數(shù)學(xué)物理方程 1 數(shù)學(xué)建模和基本原理介紹

1劉慶芳數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院辦公室：理科樓330辦公電話：82663162手機mail:qfliu2010@公共郵箱：qfliumath@163.com密碼：mathmath答疑：理科樓330,周三晚7:00-9:00作業(yè)：周二下午交作業(yè)到理科樓3302波動方程熱傳導(dǎo)方程拉普拉斯方程或泊松方程本課程主要研究三類偏微分方程（PDE）31.1數(shù)學(xué)模型的建立建模步驟：1.從所研究的系統(tǒng)中劃出任一微元，分析鄰近部分與它的相互作用2.研究物理量遵循哪些物理規(guī)律3.按物理定律寫出數(shù)理方程第1章數(shù)學(xué)建模和基本原理介紹4以弦線所處的平衡位置為x軸，垂直于弦線且通過弦線的一個端點的直線為u軸建立坐標(biāo)系u(x,t):坐標(biāo)為x的點在t時刻的位移牛頓第二定律具體建模

波動方程的導(dǎo)出物理模型：長為的均勻柔軟的細弦作微小橫振動，求弦線上任一點在任一時刻的位移。

5將所取小段弦線近似視為質(zhì)點水平方向受力分析選取一微元作為研究對象u(x,t)u0

1

2T2T1xx+

xBF6設(shè)為u軸正向的單位向量，則有垂直方向受力分析7沿x軸方向沿垂直于x軸方向在微小橫振動條件下由（1）式，弦中各點的張力相等牛頓第二定律：8弦振動方程(vibratingstringequation)：波速a令刻劃了柔軟均勻細弦作微小橫振動時所服從的一般規(guī)律。9………一維波動方程------非齊次方程------齊次方程忽略重力和外力作用：如考慮弦的重量：沿x軸方向，不出現(xiàn)平移沿垂直于x軸方向類似討論u(x,t)u0

1

2T2T1xx+

xBF10

定解條件：初始條件和邊界條件初始條件：分為初始位移和初始速度。即弦線做初始時刻t=0時位移和速度11邊界條件：一般來說有三種

(1)已知端點的位移(第一類邊界條件,Dirichlet邊界)(2)已知端點所受垂直于弦線的外力(第二類邊界條件,Neumann邊界)(3)端點位置與彈性物體相連情況12x=0端，在時刻t，彈簧實際的伸縮量為

令

可得即類似可得x=l端邊界條件為第三類邊界條件的推導(dǎo)取區(qū)間，與建立弦振動方程完全相同的方法有由Hooke定律該處的彈力為13初始條件和邊界條件通常稱為定解條件。一個微分方程連同它相應(yīng)的定解條件組成一個定解問題。14（二）熱傳導(dǎo)方程和定解條件模型及其假設(shè)：1.內(nèi)部有熱源，與周圍介質(zhì)有熱交換2.均勻，各向同性導(dǎo)熱體熱傳導(dǎo)現(xiàn)象：當(dāng)導(dǎo)熱介質(zhì)中各點的溫度分布不均勻時，有熱量從高溫處流向低溫處。熱場1.熱力學(xué)第二定律積分形式熱量Q2(t2)-Q1(t1)=W+通過邊界流入的熱量2.Fourier熱定律3比熱容公式：Q=mcu15參數(shù)16171819熱傳導(dǎo)方程定解條件

初始條件

邊界條件20212223常見的線性邊界條件，數(shù)學(xué)上分為三類：

第一類邊界條件，直接規(guī)定了所研究的物理量做邊界上的數(shù)值；第二類邊界條件，規(guī)定了所研究物理量在邊界外法線方向上的方向?qū)?shù)的數(shù)值；第三類邊界條件，規(guī)定了所研究物理量及其外法向?qū)?shù)的線性組合在邊界上的數(shù)值。24作業(yè)：P29第1,2,3題25泊松方程或拉普拉斯方程

時稱為拉普拉斯方程(調(diào)和方程)考慮熱傳導(dǎo)方程：則方程變?yōu)椋悍Q這個方程為泊松方程(位勢方程)=0f261.2定解問題的適定性1.2.1基本概念偏微分方程偏微分方程的階數(shù)線性與非線性方程齊次與非齊次方程線性定解問題方程的古典解，通解，特解27二階線性PDE二階線性PDE二階非線性PDE28把所有自變量依次記作x1,x2,

xn，線性二階偏微分方程可表為其中

aij,bi,c,f只是

x1,x2,

xn的函數(shù)。偏微分方程，階數(shù)，線性偏微分方程，自由項，齊次方程，非齊次方程二階線性偏微分方程29

微分方程的解

古典解：如果將某個函數(shù)u

代入偏微分方程中，能使方程成為恒等式，則這個函數(shù)就是該偏微分方程的古典解。通解：解中含有相互獨立的和偏微分方程階數(shù)相同的任意常數(shù)的解。特解：通過定解條件確定了解中的任意常數(shù)后得到的解。301.2.2適定性概念解的存在性:即在給定的定解條件下，定解問題是否有解存在?從下一章起，我們要介紹三種典型的數(shù)學(xué)物理方程的解法，它們直接給出了解的存在性的證明。解的唯一性:即在給定的定解條件下，定解問題的解若存在，它是否唯一？如果能知道一個定解問題具有唯一解，那么我們就能采用任何合適的方法去尋找它的解。

31解的穩(wěn)定性：定解條件及方程中的參數(shù)有微小變化時，解也只有微小的變動,則稱該定解問題的解是穩(wěn)定的，否則稱它的解是不穩(wěn)定的。因為定解條件中的一些已知量，通?？偸抢脤嶒灥玫降臄?shù)據(jù)，不可避免地會有一定的誤差，所以人們自然會關(guān)心定解條件的微小擾動是否會導(dǎo)致解的變化很大。適定性：一個定解問題存在唯一穩(wěn)定的解，則此問題是適定的。否則就稱它為不適定的。

32

由于許多數(shù)學(xué)物理問題均可以用適定的定解問題來處理，長期以來，人們認(rèn)為不適定數(shù)學(xué)物理問題的研究是沒有意義的，然而在實際問題中經(jīng)常遇到不適定的問題。例如，對于某物體，希望在某時刻具有一個實際的溫度分布，那么在初始時刻物體應(yīng)當(dāng)具有一個什么樣的溫度分布才能達到此目的？這就是一個不適定的問題它是所謂的數(shù)學(xué)物理問題的反問題。通過研究，人們找到了處理這類不適定問題的一些辦法。現(xiàn)在對不適定問題的研究已成為偏微分方程的一個重要的研究方向。331.3疊加原理

1.3.1疊加原理(superpositionprinciple)在數(shù)學(xué)物理中經(jīng)常出現(xiàn)這樣的現(xiàn)象：幾種不同原因的綜合所產(chǎn)生的效果，等于這些不同原因單獨產(chǎn)生效果的累加。例如，物理中幾個外力作用于一個物體上所產(chǎn)生的加速度，等于各個外力單獨作用在該物體上所產(chǎn)生的加速度的總和，這個原理稱為疊加原理。疊加原理適用范圍非常廣泛。1.如果幾個電荷同時存在,它們電場就互相疊加,形成合電場.這時某點的場強等于各個電荷單獨存在時在該點產(chǎn)生的場強的矢量和,這叫做電場的疊加原理.

2.點電荷系電場中某點的電勢等于各個點電荷單獨存在時,在該點產(chǎn)生的電勢的代數(shù)和,稱為電勢疊加原理.34線性問題和非線性問題的最根本區(qū)別就是：線性問題的解滿足疊加原理，而非線性問題的解一般來講不滿足疊加原理。35

設(shè)是任意兩個常數(shù)，是兩個具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，簡記為則有

設(shè)自變量為x、y（或者x、t），未知函數(shù)u(x,y)，則二階線性偏微分方程的一般形式為

記算符為

通常稱為二階偏微分算子，易證是線性算子。36再介紹三個二階線性偏微分算子：

疊加原理1設(shè)是二階線性偏微分算子，為n個任意常數(shù)，為平面區(qū)域內(nèi)的n個已知函數(shù)若在區(qū)域內(nèi)是如下方程的解則方程37可解，且是（8）在區(qū)域內(nèi)的一個解。

注1疊加原理1對三元函數(shù)u(x,y,z)情況也成立，此時，

注2疊加原理1討論的是自由項的疊加性。例如方程只需解出方程,其解分別為，則原方程解為

注3疊加原理1討論的自由項是有限和。38如果該級數(shù)在區(qū)域內(nèi)收斂，且相應(yīng)的解在區(qū)域內(nèi)也收斂而且可以逐項求一階和二階偏導(dǎo)數(shù)，相應(yīng)的二階偏導(dǎo)數(shù)的級數(shù)在區(qū)域內(nèi)一致收斂，此時疊加原理1的結(jié)論仍成立。此條對下面的疊加原理也成立。

注4線性定解問題，如果邊界條件是齊次的，疊加原理也成立。

弦振動方程混合問題中，考慮如下的波算子定解問題邊界條件是齊次的。可分解為下面三個齊次邊界條件的定解問題對于無窮級數(shù)3940

疊加原理2若定解問題（10）（11）（12）的解分別為，則是定解問題（9）的解41對波算子定解問題（9），自由項f是有限和，如果是級數(shù)，就有

疊加原理3定解問題（9），設(shè)如果對每個是如下問題的解則是定解問題（9）的解。42弦振動方程混合問題中，不是齊次邊界條件的波算子定解問題介紹邊界條件的齊次化問題，即將化為零。第一步，選取滿足最簡單的是取第二步，令。則有為齊次邊界條件，定解問題（9）。43

例1求方程的任意一個解。解：由疊加原理1，只需分別求出如下三個方程的解易求出：和。所以是原方程的一個解。44令，則原方程化為例2求如下定解問題中的方程齊次化

解：由上例，是方程的一個解，45

定理1（齊次化原理）用表示以為初值的的定解問題（12）的解，則初值問題（10）和（11）的解可以表示為其中是一個函數(shù)定義為證明：略。1.3.2疊加原理應(yīng)用疊加原理的一個重要應(yīng)用就是它可以把非齊次的偏微分方程的求解化為齊次偏微分方程的求解，即所謂的齊次化原理。46設(shè)密度1.3.