數(shù)值分析課件第03章函數(shù)逼近與曲線擬合

數(shù)值分析NumericalAnalysis機(jī)械與汽車工程學(xué)院主講人：孔勝利kongsl@2012-09-01數(shù)值分析第3章函數(shù)逼近與曲線擬合3.1

函數(shù)逼近的概念

3.2正交多項(xiàng)式3.3最佳一次逼近多項(xiàng)式3.4最佳平方逼近3.5

曲線擬合的最小二乘法3.6最佳平方三角逼近與快速傅里葉變換數(shù)值分析3.1函數(shù)逼近的概念

函數(shù)逼近：

對(duì)函數(shù)類A中給定的函數(shù)，記作，要求在另一類簡單的便于計(jì)算的函數(shù)類B中求函數(shù)，使與的誤差在某種度量意義下最小。 逼近誤差：度量逼近好壞的兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)： 一致逼近 均方逼近數(shù)值分析定理1 設(shè) ，則對(duì)任何，總存在一個(gè)代數(shù)多項(xiàng)式 ，使在 上一致成立。數(shù)值分析范數(shù)與賦范線性空間定義 設(shè)S為線性空間，，若存在唯一實(shí)數(shù)，滿足條件： （1），當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，；（正定性） （2）；（齊次性） （3） （三角不等式）則稱為線性空間S上的范數(shù)，S與一起稱為賦范線性空間。數(shù)值分析例如，在上的向量 ，三種常見范數(shù)為 稱為無窮范數(shù)或最大范數(shù)， 稱為1—范數(shù)

稱為2—范數(shù)類似地，對(duì)連續(xù)函數(shù)空間 ，則 可定義三種常見范數(shù) 稱為無窮范數(shù)

稱為1—范數(shù) 稱為2—范數(shù)數(shù)值分析內(nèi)積與內(nèi)積空間線性代數(shù)中，中兩個(gè)向量 及 的內(nèi)積定義為將其推廣到一般的線性空間，則有以下定義。定義 設(shè)X是數(shù)域K上的線性空間，對(duì) ，有K中一個(gè)數(shù)與之對(duì)應(yīng)，記為，它滿足以下條件：（1）（2）（3）（4）則稱為X上u與v的內(nèi)積。數(shù)值分析定義設(shè)是有限或無線區(qū)間，在上的非負(fù)函數(shù)滿足條件：（1）（2）對(duì)上的非負(fù)連續(xù)函數(shù)g(x),如果 則則稱為上的一個(gè)權(quán)函數(shù)。數(shù)值分析3.2正交多項(xiàng)式正交多項(xiàng)式定義 若 ，為上的權(quán)函數(shù)且滿足則稱f(x)與g(x)在上帶權(quán)正交。 若函數(shù)組 滿足關(guān)系

則稱是上帶權(quán)的正交函數(shù)族。數(shù)值分析勒讓德（Legendre）多項(xiàng)式當(dāng)區(qū)間為[-1，1]，權(quán)函數(shù)時(shí)，由序列 正交化得到的多項(xiàng)式就稱為勒讓德多項(xiàng)式，并用 表示。切比雪夫（Chebyshev）多項(xiàng)式當(dāng)區(qū)間為[-1，1]，權(quán)函數(shù)時(shí)，由序列 正交化得到的多項(xiàng)式就稱為切比雪夫多項(xiàng)式，它可表示為數(shù)值分析3.3最佳一次逼近多項(xiàng)式基本概念在 中求多項(xiàng)式，使其誤差這就是通常所謂的最佳一致逼近或切比雪夫逼近問題。數(shù)值分析3.4最佳平方逼近基本概念對(duì)及中的一個(gè)子集 若存在 ，使則稱是在子集 中的最佳平方逼近函數(shù)。數(shù)值分析在實(shí)際問題中，常常碰到這樣的情況：雖然函數(shù)的解析式不知道，但通過實(shí)驗(yàn)可得出一組數(shù)據(jù)對(duì)，如何利用已知的數(shù)據(jù)來求出近似函數(shù)的解析式？插值法雖然可以做到這點(diǎn)，但它要求所構(gòu)造的插值曲線嚴(yán)格經(jīng)過所有數(shù)據(jù)點(diǎn)。當(dāng)觀察數(shù)據(jù)有一定的隨機(jī)誤差時(shí)，插值曲線也將保留這些誤差；若個(gè)別點(diǎn)誤差太大，則在該點(diǎn)附近的插值效果便不理想。另一方面，以插值多項(xiàng)式為例，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)多了，插值多項(xiàng)式的次數(shù)便隨著提高，給運(yùn)算帶來不便。在許多實(shí)際應(yīng)用問題中，最小二乘法正是構(gòu)造各種經(jīng)驗(yàn)公式的有效數(shù)值方法。3.5數(shù)據(jù)擬合的最小二乘法數(shù)值分析擬合曲線的最小二乘法 通過對(duì)數(shù)據(jù)組 描點(diǎn)作圖分析，如果確定應(yīng)當(dāng)用函數(shù)類A中的某個(gè)函數(shù)P*(x)去擬合它，則根據(jù)均方逼近在離散情況下的表示式，P*(x)應(yīng)滿足

通過此式去求P*(x)稱為擬合曲線的最小二乘法。常用的擬合方法是直線擬合和拋物線擬合。數(shù)據(jù)擬合的最小二乘法數(shù)值分析直線擬合 若按數(shù)據(jù)組描點(diǎn)連起來后幾乎成直線形，則可用一次多項(xiàng)式函數(shù)，即用直線 去擬合數(shù)據(jù)組，其中a,b為待定系數(shù)，稱為直線擬合或一次擬合。 記 則應(yīng)求二元函數(shù)Q(a,b)的最小值點(diǎn)。通常這種點(diǎn)應(yīng)為駐點(diǎn)，即 Q(a,b)的梯度等于零的點(diǎn)。 數(shù)值分析從而(a,b)應(yīng)滿足以下方程組式中規(guī)定 ，從而數(shù)值分析例題1 測得函數(shù) 的一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

試求擬合這組數(shù)據(jù)的多項(xiàng)式。解 數(shù)據(jù)對(duì)描成點(diǎn)用線連接，接近一條直線，故可采用直線擬合數(shù)據(jù)。由數(shù)據(jù)知：

xi020406080yi35.235.936.737.438.4數(shù)值分析故得方程組從而，擬合直線為

數(shù)值分析 實(shí)際應(yīng)用問題中，除直線擬合外，還常用到分式函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)為擬合函數(shù)。它們雖然不是直線擬合，不是線性最小二乘法問題，但可化為直線問題即線性擬合問題來求解。

分式函數(shù)：

冪函數(shù)：

指數(shù)函數(shù)：

對(duì)數(shù)函數(shù)：數(shù)值分析拋物線擬合若數(shù)據(jù)組 描點(diǎn)作圖與拋物線相似，則可選二次多項(xiàng)式為擬合函數(shù)，稱為拋物線擬合或二次擬合。為確定系數(shù)，記差的平方和數(shù)值分析令Q的梯度 ，則可建立 的方程組，即式中，數(shù)值分析超定方程組的廣義解 方程個(gè)數(shù)多于未知元的個(gè)數(shù)的線性方程組稱為“超定”方程組。它通常是無解的，無解時(shí)人們也稱它為矛盾方程組。矛盾方程組無解，但可用最小二乘法求得廣義解，這種解在應(yīng)用問題中具有實(shí)際意義。例如： 求解解 本題方程數(shù)大于未知數(shù)，是“超定”方程組，故無解。為求廣義解，作差的平方和數(shù)值分析令即為原矛盾方程組的廣義解。數(shù)值分析3.6最佳平方三角逼近與快速傅里葉變換當(dāng)f(x)是周期函數(shù)時(shí)，用三角函數(shù)的多項(xiàng)式來逼近f(x)比用一般的代數(shù)多項(xiàng)式更加合適。設(shè)f(x)是以為周期的平方可積函數(shù)，用三角多項(xiàng)式做最佳平方逼近函數(shù)。由于三角函數(shù)族 在[0，]上是正交函數(shù)族，于是f(x)在[0，]上的最小平方三角逼近多項(xiàng)式Sn(x)的系數(shù)是數(shù)值分析其中， 稱為傅里葉系數(shù)。函數(shù)f(x)按傅里葉系數(shù)展開所得到的級(jí)數(shù)就稱為傅里葉級(jí)數(shù)。只要 在[0，]上分段連