第11屆景潤杯 第一講 極限的理論及方法(講座)

廈門大學(xué)第十一屆“景潤杯”數(shù)學(xué)競賽

暨第六屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽

系列講座

廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院林建華

第一講

極限的理論與方法

極限的思想是近代數(shù)學(xué)的一種重要思想方法，極限理論是高等數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)，它貫穿于整個高等數(shù)學(xué)的始終。

如果要問：“高等數(shù)學(xué)是一門什么學(xué)科？”，那么可以概括地說：“高等數(shù)學(xué)就是用極限思想來研究函數(shù)，研究自然科學(xué)的一門學(xué)科”。

極限的思想方法是微積分的基本思想，也是高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的本質(zhì)區(qū)別所在。高等數(shù)學(xué)之所以能解決許多初等數(shù)學(xué)無法解決的問題，例如瞬時速度、曲線弧長、曲邊形面積、曲面體體積等問題正是由于采用了極限的思想方法。

高等數(shù)學(xué)中的一系列重要概念，如函數(shù)的連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)以及定積分等等都是借助于極限來定義的因此掌握求極限的方法是理解極限思想的重要的基礎(chǔ)訓(xùn)練步驟之一。

求極限的方法是多種多樣的，有的還需要較高的技巧，因此要較好地掌握極限的方法，需要我們在平時的學(xué)習(xí)中不斷地總結(jié)、歸納、類比、記憶。更為重要的是還要善于把所學(xué)過的知識串起來，并加于靈活運用。

下面我們將討論幾類重要的求極限方法，它是我們所學(xué)過求極限方法的深化拓廣和提高，也是綜合利用導(dǎo)數(shù)、微分中值定理、定積分等知識解決極限問題的重要方法。1、

用導(dǎo)數(shù)定義求極限導(dǎo)數(shù)是用極限來定義的，現(xiàn)在反其道而行之，利用導(dǎo)數(shù)定義來計算某些數(shù)列和函數(shù)的極限。如下是我們所熟知的導(dǎo)數(shù)定義的一種變形例1計算解例2設(shè)解在點可導(dǎo)，計算例3設(shè)解計算1、計算分析：K為自然數(shù)。舉一反三練習(xí)2、

設(shè)f(x)在x0處二階可導(dǎo)分析：可以利用洛必達法則，但根據(jù)題設(shè)條件只能用一次，然后再利用導(dǎo)數(shù)的定義。2、用拉格朗日中值定理求極限如下是拉格朗日中值定理應(yīng)用的一種變形例1計算例2計算間。間。1、

計算分析舉一反三練習(xí)2、計算思考：可否利用柯西中值定理。3、用等價無窮小代換求極限先利用拉格朗日中值定理給出下述一般命題：設(shè)下列兩個條件滿足(1)

(x),(x)是連續(xù)函數(shù),且(2)

f(x)在x=c的一個鄰域內(nèi)可導(dǎo)且在x=c處連續(xù)，且則證：由拉格朗日定理和題設(shè)條件于是即由此命題，可得到如下的等價代換式子。它給求極限帶來很大方便。容易知道，把xx0換成x

時，相應(yīng)條件還滿足，則上述結(jié)論仍然成立。此命題的特點是：相減的兩項的外層的函數(shù)必須是相同的，里面復(fù)合的自變量函數(shù)(x)，(x)可以是不一樣。x在某種趨近方式下，且(x)(x)解：利用等價關(guān)系式子解：利用等價關(guān)系式子解：利用等價關(guān)系式子1、

計算舉一反三練習(xí)提示：2、設(shè)提示：附近有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，且在存在,求3、已知提示：尋求a,b使下式成立求的值.為任意實數(shù))對乘除運算求極限，利用等價無窮小代換簡便而有效，但對加減運算下的無窮小代換則需特別注意。下面定理給出了加減運算求極限時可以進行等價代換的條件。

4、加減運算下的等價代換命題設(shè)(x),1(x),(x),1(x)均為xx0時的無窮小，且(x)1(x),(x)1(x)，證明：當xx0時，(x)+(x)1(x)+1(x)。且不等于-1，命題證明:只需證注意到由等價關(guān)系(5)1、

計算舉一反三練習(xí)提示：Talor公式是用多項式逼近函數(shù)的一種有效工具，具有廣泛的應(yīng)用。帶有Peano余項的Talor公式常被應(yīng)用在求極限的過程中。

5、利用Taylor公式求極限公式成立的條件是：存在即可，不需要n+1階導(dǎo)數(shù)的存在。要熟記以下幾個常用的帶Peano余項的Talor公式.例2設(shè)f(x)在x=0處二階可導(dǎo)，且思考：（洛比達法則）1、

求舉一反三練習(xí)和求處可導(dǎo),且2、設(shè)在（1）數(shù)列極限的夾逼定理

若三個數(shù)列{xn},{yn},{zn},從某項開始成立且（2）函數(shù)極限的夾逼定理

如果函數(shù)在的某個鄰域里或在無窮遠的某個鄰域內(nèi)成立以下兩個條件則6、利用夾逼定理求極限例1

證:

應(yīng)用二項式展開

由夾逼定理即證。于是得還有其它的方法放大嗎？

有！

平均值不等式

由夾逼定理即可獲證。于是得證:

于是由夾逼定理得到例2.

證:

于是由夾逼定理得例3.

證:

于是由夾逼定理得到例4.

證:

于是由夾逼定理得到例5例6證由夾逼定理即得例7設(shè)則有解：由

依次取求.令將上面的不等式相加，得

依次取則有即

由夾逼定理和的任意性，得而Stolz定理則

下面介紹的Stolz定理被譽為數(shù)列極限的洛比達法則它為求離散型的未定型極限問題帶來很大的方便。

7、利用Stolz公式求極限證：例1例21、舉一反三練習(xí)2、定理

8、利用廣義洛必達法則求極限例4

1、

求舉一反三練習(xí)證明在2、設(shè)

連續(xù),且當所求的極限表達式是連乘積形式，或可表成n項之和的形式時，可聯(lián)想到用定積分的定義來求極限。

9、利用定積分定義求極限連乘積形式的極限表達式可通過取對數(shù)把它轉(zhuǎn)化成n項之和的形式。例1求極限解：記取對數(shù)轉(zhuǎn)化成和的形式故例2設(shè)又解：因為

由夾逼定理即得我們把例2的解題思路歸納總結(jié)并一般化而所以

一般地，等價的表達式具有相同的極限.例3故解：因為

1、求舉一反三練習(xí)2、求

若級數(shù)收斂，則有下列兩條性質(zhì)：

10、利用級數(shù)的收斂性求極限（級數(shù)通項趨于零）（收斂級數(shù)的前n項和Sn有極限.）例1求極限故解：構(gòu)造級數(shù)

由正項級數(shù)的比值判別法所以級數(shù)收斂，則通項必趨于零.例2設(shè)故解：構(gòu)造一個級數(shù),使級數(shù)的前n項和Sn為xn,即

所以級數(shù)收斂，因而存在，證明存在.則級數(shù)的通項為存在。另證：由于故

即有下界，所以單調(diào)下降由拉格朗日中值定理知存在。故有1、求舉一反三練習(xí)2、求

11、用單調(diào)有界定理求數(shù)列極限數(shù)列單調(diào)性的證明，通常方法是：這是因為：若x1≤x2,由f(x)的單調(diào)遞增性有x2=f(x1)≤f(x2,)=x3,所以x1≤x2≤x3,以此類推,同理若x1x2,由f(x)的單調(diào)遞增性有x2=f(x1)f(x2,)=x3,所以x1x2x3，以此類推，即可得到{xn}是單調(diào)遞增。即可得到{xn}是單調(diào)遞減。當某種數(shù)列{xn}是由遞推關(guān)系對這種由線性遞推關(guān)系所定義的數(shù)列，我們可以將其視為常系數(shù)齊次線性差分方程，通過求其差分方程的特征根，寫出xn的通項公式，從而可求出{xn