等腰三角形與直角三角形（共42題）-2021年中考數(shù)學(xué)真題分項(xiàng)匯編（解析版）【全國通用】（第01期）

2021年中考數(shù)學(xué)真題分項(xiàng)匯編【全國通用】（第01期）

專題17等腰三角形與直角三角形（共42題）

姓名：班級：得分：

一、單選題

1.（2021?湖南衡陽市?中考真題）下列命題是真命題的是（）.

A.正六邊形的外角和大于正五邊形的外角和B.正六邊形的每一個(gè)內(nèi)角為120。

C.有一個(gè)角是60。的三角形是等邊三角形D.對角線相等的四邊形是矩形

【答案】B

【分析】

根據(jù)多邊形外角和、正多邊形內(nèi)角和、等邊三角形、矩形的性質(zhì)，對各個(gè)選項(xiàng)逐個(gè)分析，即可得到答案.

【詳解】

正六邊形的外角和，和正五邊形的外角和相等，均為360。

，選項(xiàng)A不符合題意；

正六邊形的內(nèi)角和為：（6—2）x180°=720°

720°

...每?個(gè)內(nèi)角為——=120°,即選項(xiàng)B正確：

6

三個(gè)角均為60°的三角形是等邊三角形

二選項(xiàng)C不符合題意；

對角線相等的平行四邊形是矩形

.?.選項(xiàng)D不正確；

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了多邊形外角和、正多邊形內(nèi)角和、等邊三角形、矩形的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握多邊形外

角和、正多邊形內(nèi)角和、等邊三角形、矩形的性質(zhì)，從而完成求解.

2.（2021?江蘇揚(yáng)州市?中考真題）如圖，在4*4的正方形網(wǎng)格中有兩個(gè)格點(diǎn)A、B,連接在網(wǎng)格中再

找一個(gè)格點(diǎn)C,使得AABC是等曖享用三角形，滿足條件的格點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是（）

【答案】B

【分析】

根據(jù)題意，結(jié)合圖形，分兩種情況討論：①48為等腰直角△ABC底邊；②4B為等腰直角△ABC其中的一

條腰.

【詳解】

解：如圖：分情況討論：

①A8為等腰直角△ABC底邊時(shí)，符合條件的C點(diǎn)有0個(gè)：

②A8為等腰直角△ABC其中的一條腰時(shí)，符合條件的C點(diǎn)有3個(gè).

故共有3個(gè)點(diǎn)，

故選:B.

本題考查了等腰三角形的判定；解答本題關(guān)鍵是根據(jù)題意，畫出符合實(shí)際條件的圖形，數(shù)形結(jié)合的思想是

數(shù)學(xué)解題中很重要的解題思想.

3.（2021?浙江寧波市?中考真題）如圖,在△ABC中，N8=45°,ZC=60°,AD上BC于息D,BD=也.若

E,尸分別為AB,8C的中點(diǎn)，則族的長為（）

A60[

A.RB.V3C.1Dn.V6

322

【答案】C

【分析】

根據(jù)條件可知△ABD為等腰直角三角形，貝IJBZXAD,△ADC是30。、60。的直角三角形，可求出AC長，再

AT

根據(jù)中位線定理可知EF=——。

2

【詳解】

解：因?yàn)?。垂直8C,

則4ABD和4ACD都是直角三角形，

又因?yàn)閆B=45°,NC=60°,

所以AD=6O=G，

因?yàn)閟in/C=4^=且，

AC2

所以AC=2,

因?yàn)镋F為小ABC的中位線，

所以E/三空口，

2

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了等腰直角三角形、銳角三角形函數(shù)值、中位線相關(guān)知識，根據(jù)條件分析利用定理推導(dǎo)，是

解決問題的關(guān)鍵.

4.（2021?四川涼山彝族自治州?中考真題）下列命題中，假命題是（）

A.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

B.等腰三角形頂角的平分線，底邊上的中線，底邊上的高相互重合

C.若AB=8C,則點(diǎn)3是線段AC的中點(diǎn)

D.三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)叫做這個(gè)三角形的外心

【答案】C

【分析】

根據(jù)中點(diǎn)的定義，直角三角形的性質(zhì)，三線合一以及外心的定義分別判斷即可.

【詳解】

解：A、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，故為真命題；

B、等腰三角形頂角的平分線，底邊上的中線，底邊上的高相互重合，故為真命題；

C、若在同一條直線上AB=8C,則點(diǎn)8是線段AC的中點(diǎn)，故為假命題；

D、三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)叫做這個(gè)三角形的外心，故為真命題；

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了中點(diǎn)的定義，直角三角形的性質(zhì)，三線合一以及外心的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)知識，要熟練掌握.

5.（2021?四川瀘州市?中考真題）在銳角AABC中，NA,NB,NC所對的邊分別為a,b,c,有以下結(jié)論：

ahc

-----=-----=-----=2R（其中K為AABC的外接圓半徑）成立.在AA8C中，若NA=75。，ZB=45°,

sinAsinBsinC

C=4,則△ABC的外接圓面積為（）

167r64萬,

A.----B.----C.1D.647r

33

【答案】A

【分析】

c164

方法一：先求出/C,根據(jù)題目所給的定理，一一=2R，利用圓的面積公式SM=——.

sinC3

方法二：設(shè)△A8c的外心為。，連結(jié)。A,OB,過。作。于。，由三角形內(nèi)角和可求NC=60。，由

圓周角定理可求/AOB=2/C=120。，由等腰三角形性質(zhì)，/OAB=/O8A=30°,由垂徑定理可求，

利用三角函數(shù)可求。4=述，利用圓的面積公式S?=—.

33

【詳解】

解:方法一：；/A=75°,ZB=45°,

二ZC=180°-ZA-NB=180°-75°-45°=60°,

CDc448g

有題意可知sin?！猻in60°—G-3

2

46

------,

3

方法二：設(shè)AABC的外心為O,連結(jié)04,OB,過O作OD_LA8于D,

VZA=15°,ZB=45°,

???ZC=180°-ZA-ZB=180o-75°-45o=60°,

???ZAOB=2ZC=2x60°=120°,

,:04=08,

Z0AB=Z0BA=g（180?！?20。）=30°

'：ODLAB,A8為弦,

.,.AD=BD=-AB=2,

2

.*.AD=OAcos30°,

?*.OA=A￡>+cos30。=2+走=—，

23

216%

?*.S&J=7TR=TTOA~=n-T

故答案為A.

【點(diǎn)睛】

本題考查三角形的外接圓，三角形內(nèi)角和，圓周角定理，等腰三角形性質(zhì)，垂徑定理，銳角三角函數(shù)，圓

的面積公式，掌握三角形的外接圓，三角形內(nèi)角和，圓周角定理，等腰三角形性質(zhì)，垂徑定理，銳角三角

函數(shù)，圓的面積公式是解題關(guān)鍵.

6.（2021?浙江溫州市?中考真題）圖1是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會CICME）的會徽，在其主體圖案中選擇

兩個(gè)相鄰的直角三角形，恰好能組合得到如圖2所示的四邊形。鉆C.若AB=BC=1.ZAOB=a,則

OC2的值為（）

D?cos2a+\

【答案】A

【分析】

根據(jù)勾股定理和三角函數(shù)求解.

【詳解】

?.?在放中，ZAOB=a,AB=\

sinasina

2

在H/AOBC中，BC=\,OC2=OB2+BC2=|I+i+1

IsinaJsin'a

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查勾股定理和三角函數(shù).如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a,b,斜邊長為c,那么

a2+b2=c2■

7.（2021?四川涼山彝族自治州?中考真題）如圖，AAbC中，NACB=9（）°,AC=8,3C=6,將沿

OE翻折，使點(diǎn)4與點(diǎn)3重合，則CE的長為（）

257

—D.一

44

【答案】D

【分析】

先在RfABC中利用勾股定理計(jì)算出48=10,再利用折疊的性質(zhì)得到AE=8E,AD=BD=5,設(shè)AE=x,則

CE=AC-AE=S-x,BE=x,在8CE中根據(jù)勾股定理可得到r=62+(8-x)2,解得x,可得CE.

【詳解】

解：VZACB=90°,4c=8,BC=6,

.,MB=7AC2+BC2=10>

AADE沿DE翻折，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，

.\AE=BE,AD=BD=—AB=5,

2

設(shè)AE=x,則CE=AC-AE=S-x,BE=x,

在/?/△BCE中

,:BU=BC+CU,

25

/.x2=62+(8-x)2,解得k—>

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊前后兩圖象全等，即對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等.也考查了勾股定理.

Ar

8.（2021?陜西中考真題）如圖，在菱形A5CO中，NA5C=6O。，連接AC、BD,則一的值為（）

BD

D

【答案】D

【分析】

設(shè)AC與8。的交點(diǎn)為0,由題意易得ZABD=NCBD=-ZABC,AB=BC,

2

AC±BD,BO^DO,AO=CO,進(jìn)而可得△ABC是等邊三角形，130=&0,然后問題可求解.

【詳解】

解：設(shè)AC與8。的交點(diǎn)為O,如圖所示：

AD

：.NABD=NCBD=-ZABC,AB=BC,AC1.BD,BO=DO,AO=CO,

2

ZABC=60°,

：./\ABC是等邊三角形，

二/ABO=30。,AB=AC,

/.AO=-AB,

2

OB=\/AB2-AO2=6OA,

???BO=2gOA,AC=2A。，

.AC_204_3

BD2也OA3

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查菱形的性質(zhì)、含30。角的直角三角形的性質(zhì)及勾股定理，熟練掌握菱形的性質(zhì)、含30。角的直

角三角形的性質(zhì)及勾股定理是解題的關(guān)鍵.

9.（2021?安徽中考真題）如圖，在菱形A8CD中，AB=2,NA=120。，過菱形ABC”的對稱中心。分

別作邊A8,BC的垂線，交各邊于點(diǎn)E,F,G,H,則四邊形E尸GH的周長為（）

A.3+73B.2+2A/3C.2+百D.1+2后

【答案】A

【分析】

依次求出OE=O尸=OG=O”，利用勾股定理得出EF和OE的長，即可求出該四邊形的周長.

【詳解】

'：HFA-BC,EGLAB,

：.N8EO=NB尸0=90。，

Z4=120°,

ZB=60°,

:.NEOF=12。°,NEOH=60。,

由菱形的對邊平行，得HFLAD.EGLCD,

因?yàn)椤｜c(diǎn)是菱形ABCD的對稱中心，

二。點(diǎn)到各邊的距離相等，即OE=OF=OG=OH,

???ZOEF=ZOFE=30°,ZOEH=ZOHE=60°,

JZHEF=ZEFG=ZFGH=ZEHG=90°,

所以四邊形EFG”是矩形；

設(shè)OE=OF=OG=OH=xf

：.EG=HF=2x,EF=HG=J(2xj=瓜，

如圖，連接AC,則AC經(jīng)過點(diǎn)a

可得三角形ABC是等邊三角形，

AZBAC=60°,AC=AB=2y

：.OA=l,ZAOE=30°f

1

：.AE=-,

2

.小0斤卜一出￥

，四邊形EFGH的周長為EF+FG+GH+HE=2#)x+2x=273x—+2x^=3+^,

22

故選A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了菱形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、直角三角形的性質(zhì)等

內(nèi)容，要求學(xué)生在理解相關(guān)概念的基礎(chǔ)上學(xué)會應(yīng)用，能分析并綜合運(yùn)用相關(guān)條件完成線段關(guān)系的轉(zhuǎn)換，考

查了學(xué)生的綜合分析與應(yīng)用的能力.

10.（2021?四川樂山市?中考真題）如圖，已知點(diǎn)尸是菱形A8CO的對角線AC延長線上一點(diǎn)，過點(diǎn)尸分別

作A。、DC延長線的垂線，垂足分別為點(diǎn)￡、F.若NA5C=120。，A3=2,則尸石—P/7的值為（）

ADE

3r5

A.-B.、/3C.2D.-

22

【答案】B

【分析】

根據(jù)菱形的基性質(zhì)，得到/%E=30。,,利用勾股理求出AC=273，則AP=273+PC,PE=g”=6+gPC,

由NPb=/OC4=30。，得至，最后算出結(jié)果.

2

【詳解】

解：I?四邊形48CD是菱形且/ABC=120。，AB=2,

：.AB=BC=CD=DA=2,ZBAD=60°,AC1.BD,

：.ZCAE=30°,

\'AC±BD,NC4E=30。，AD=2,

/.AC=2\/22-l2=2V3，

：.AP=243+PC,

在直角△AEP中，

VZB4E=3O°,AP=2舟PC,

：.PE=^AP=y/3+^PC,

在直角△PFC中，

ZPCF=30°,

：.PF=—PC,

2

PE-PF=M+；PC-gpC=6

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了菱形的基本性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用以及在直角三角形中，30。角所對的直角邊等于斜邊的一

半，關(guān)鍵會在直角三角形中應(yīng)用30。.

11.（2021?浙江麗水市?中考真題）如圖，在RtZVLBC紙片中，NACB=90°,AC=4,BC=3,點(diǎn)

分別在AB,AC上，連結(jié)OE,將△"）石沿。E翻折，使點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)尸落在BC的延長線上，若ED平

分ZEFB,則AO的長為（）

25251520

A.—B.C.—D.—

9T77

【答案】D

【分析】

先根據(jù)勾股定理求出AB,再根據(jù)折疊性質(zhì)得出/D4E=NOFE,AD=DF,然后根據(jù)角平分線的定義證得

ZBFD=ZDFE=ZDAE,進(jìn)而證得尸=90。，證明R3ABCsRt4/友），可求得AO的長.

【詳解】

解：?.?ZACB=90°,AC=4,BC=3,

AB=yjAC2+BC2=V42+32=5,

由折疊性質(zhì)得：NDAE=/DFE,AD^DF,則8。=5-AD,

,/平分ZEFB，

，NBFD=NDFE=NDAE,

"：Nft4E+/B=90°,

NBDF+N8=90°,即ZBDF=90°,

.\RtAABCsRsFBD,

.BDBC?5-A￡>3

??---=---lnllJ------=—

DFACAD4

解得：AD=,

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查折疊性質(zhì)、角平分線的定義、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理，熟練

掌握折疊性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵.

12.（2021?四川自貢市?中考真題）如圖，A（8,0）,C（-2,0）,以點(diǎn)A為圓心，AC長為半徑畫弧，交y軸

正半軸于點(diǎn)B,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（）

A.（0,5）B.（5,0）C.（6,0）D.(0,6)

【答案】D

【分析】

先根據(jù)題意得出OA=8,0c=2,再根據(jù)勾股定理計(jì)算即可

【詳解】

解：由題意可知：AC=AB

VA（8,o）,c（-2,o）

，OA=8,OC=2

：.AC=AB=\0

在/?/△OAB中，OB==V102-82=6

，8（（）,6）

故選:D

【點(diǎn)睛】

本題考查勾股定理、正確寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，圓的半徑相等、熟練進(jìn)行勾股定理的計(jì)算是關(guān)鍵

3

13.（2021?云南中考真題）在△A6C中，ZABC=90°,若AC=100,sinA=《，則A3的長是（）

500503

A.——B.——C.60D.80

35

【答案】D

【分析】

根據(jù)三角函數(shù)的定義得到BC和AC的比值，求出8C,然后利用勾股定理即可求解.

【詳解】

nr3

解：VZABC=90°,sinZA=-=-,AC=100,

AC5

.?.80=100x3+5=60,

.?.AB=〃C2—=80,

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查的是解直角三角形，掌握勾股定理和正弦函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

14.（2021?浙江金華市?中考真題）如圖，在HhABC中，NAC6=9（）。，以該三角形的三條邊為邊向形外

S.

作正方形，正方形的頂點(diǎn)E,￡G,H,M,N都在同一個(gè)圓上.記該圓面積為AABC面積為邑，則，

的值是（）

57T1\71

A.—B.3兀C.57rD.——

22

【答案】C

【分析】

先確定圓的圓心在直角三角形斜邊的中點(diǎn)，然后利用全等三角形的判定和性質(zhì)確定△ABC是等腰直角三角

形，再根據(jù)直角二角形斜邊中線的性質(zhì)得到S2=；AS2,再由勾股定理解得。/2=(452,解得

S|=(AB2?萬，據(jù)此解題即可.

【詳解】

解：如圖所示，?.?正方形的頂點(diǎn)瓦￡G,”,M,N都在同一個(gè)圓上，

.??圓心O在線段的中垂線的交點(diǎn)上,即在放AABC斜邊A3的中點(diǎn)，且AC=MC,BC=CG,

：.AG=AC+CG=AC+BC,BM=BC+CM=BC+AC,

：.AG=BM,

XVOG=OM,OA=OB,

:.NCAB=NCBA,

"：ZACB=90°,

:./CAB=/C8A=45°,

OC=-AB,

2

S,=-ABOC=-AB-AB=-AB2

22224

?.?OF2=AO2+AF2=(-AB)2+AB2=-AB2

24

S.=7lOF2=-AB2-7l,

'4

5

c-A4Bd2,7i

4______

二5).

邑-AB2

4

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查勾股定理、直角三角形斜邊的中線的性質(zhì)、圓的面積、三角形的面積等知識，是重要考點(diǎn)，難度

一般，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.

15.（2021?浙江溫州市?中考真題）由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形組成的大正方形A3CD如圖所

示.過點(diǎn)。作。尸的垂線交小正方形對角線族的延長線于點(diǎn)G,連結(jié)CG,延長BE交CG于點(diǎn)若

AE=2BE，則變的值為（）

A3Rrr「3710n375

A.—B.、/2C.--------D.------

275

【答案】C

【分析】

如圖，設(shè)8〃交b于尸，CG交。尸于Q,根據(jù)題意可知BE=PC=OF,AE=BP=CF,根據(jù)AE=28E可得

BE=PE=PC=PF=DF,根據(jù)正方形的性質(zhì)可證明△FQG是等腰直角三角形，可得QG=FQ,根據(jù)三角形中位

線的性質(zhì)可得PH=-FQ,CH=QH=CQ,利用ASA可證明△CPH當(dāng)AGD。,可得PH=QD,即可得出PH=-

23

7

BE,可得利用勾股定理可用表示長CH的長，即可表示出CG的長，進(jìn)而可得答案.

【詳解】

如圖，設(shè)3H交CF于P,CG交。F于。

?.?由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形組成的大正方形A3CO,

:?BE=PC=DF,AE=BP=CF,

AE=2BE，

：.BE=PE=PC=PF=DFf

/CFD=NBPC,

：.DFUEH,

:.PH為XC尸。的中位線，

:.PH=；QF,CH=HQ,

???四邊形EPFN是正方形，

，NEFN=45。,

VGD1DF,

是等腰直角三角形，

：.DG=FD=PC,

,：NGDQ=/CPH=90。,

：.DG//CF,

：.ZDGQ=ZPCH,

ZGDQ=ZCPH

在^DGQ和^PCH中，(DG=PC,

NDGQ=NPCH

：./\DGQ^/\PCH,

：.PH=DQ,CH=GQ,

：.PH--DF=-BE,CG=3CH,

33

7

二BH=BE+PE+PH=-BE.

3

在R出PCH中，CH=JPC?+PH?=.IBE2+(-BE)2=?BE，

V33

:.CG=MBE,

CG_MBE_3而

.?.麗=%7=7".

3

G

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線的性質(zhì)及勾股定理，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)

及判定定理是解題關(guān)鍵.

16.(2021?四川南充市?中考真題)如圖，在矩形A8CD中，AB=15,BC=20,把邊48沿對角線80

平移，點(diǎn)A',8'分別對應(yīng)點(diǎn)4,B.給出下列結(jié)論：①順次連接點(diǎn)A',B',C,。的圖形是平行四邊形；

②點(diǎn)C到它關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的距離為48；③A'C—B'C的最大值為15；④A'C+3'C的最小值為

9V17.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】D

【分析】

根據(jù)平移的性質(zhì)和平行四邊形的判定方法判斷①，再利用等積法得出點(diǎn)C到8。的距離，從而對②做出判

斷，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系判斷③，如圖，作。關(guān)于A4'的對稱點(diǎn)"，交A4'于M,連接B。'，

過〃作。'NL3C于N,分別交AM,于K,”，證明DC是最小值時(shí)的位置，再利用勾股定理求解

D'C,對④做出判斷.

【詳解】

解：由平移的性質(zhì)可得A8〃A8'

0.AB=A'B'

???四邊形ABC。為矩形

.".AB//CD,AB=CD=15

：.AB'HCDflA'B'=CD

，四邊形A'B'C。為平行四邊形，故①正確

在矩形ABCD中，BAy/AB2+AD2=V152+202=25

過A作AM_L8￡),CN1.BD,則AM=CN

：.S^AHD=—ABCD=—BDAM

22

15x20

：.AM^CN=----------=12

25

二點(diǎn)C到的距離為24

:.點(diǎn)C到它關(guān)于直線AA,的對稱點(diǎn)的距離為48

故②正確

AC-B'C<AB'

.?.當(dāng)在條直線時(shí)HC—3'C最大，

此時(shí)8'與。重合

二AC—5'C的最大值=4?=15

故③正確，

如圖，作。關(guān)于AA'的對稱點(diǎn)以，交AA’于M,連接5。'，過*作。W_LBC于N,分別交

AM,BDTK,H,

則AB〃A87/KW,A8=K”=15,應(yīng)0為△D7/D的中位線，BD上DD'，

：.D'K=HK=T5,

由oA'B'CD可得B'C=AD,

B'C^A'D=A'D',

A'C+B'C=A'C+AD'=D'C,此時(shí)最小,

由②同理可得：DM=D'M=\2,

DC153HN

■：tanZ￡）BC=----=——=—=-----,

BC204BN

設(shè)HN=3x,則BN=4x,

由勾股定理可得：DD,2+BD2=BD,2=BN2+DW2,

252+242=（30++（4x『,

整理得：25X2+180X—301=0,

;.（5x_7）（5x+43）=0,

743

解得：%!=-,x2=-y（負(fù)根舍去）,

72171

NC=20-4x=（ON=歹，

D'C

...故④正確

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了平行四邊形的判定，矩形的性質(zhì)以及平移的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用等知識點(diǎn)，熟練掌握

相關(guān)的知識是解題的關(guān)鍵.

17.（2021?四川廣元市?中考真題）如圖，在AABC中，ZACB=90°,AC=5C=4,點(diǎn)。是8C邊的

中點(diǎn)，點(diǎn)尸是AC邊上一個(gè)動點(diǎn)，連接PO,以尸。為邊在PO的下方作等邊三角形PDQ，連接CQ.則CQ

的最小值是（）

A.—B.1C.J2D.-

22

【答案】B

【分析】

以8為邊作等邊三角形CDE,連接EQ,由題意易得NPZ?C=/QDE,PD=QD,進(jìn)而可得^PCD冬AQED,

則有NPC￡）=/QE￡>=90。，然后可得點(diǎn)。是在QE所在直線上運(yùn)動，所以C。的最小值為CQLQE時(shí)，最后

問題可求解.

【詳解】

解：以為邊作等邊三角形C0E,連接E。，如圖所示：

p

B

E

AP。。是等邊三角形，

NCED=ZPDQ=NCDE=60°,PD=QD,CD=ED,

?.?/CD。是公共角，

，ZPDC=ZQDE,

：./\PCD^^QED(SAS'),

VZACB=90°,AC=BC=4,點(diǎn)。是BC邊的中點(diǎn)，

/.ZPCD=Z<2￡D=90°,CD=DE=CE=gBC=2,

.??點(diǎn)。是在QE所在直線上運(yùn)動，

...當(dāng)CQJ_QE時(shí)，CQ取的最小值，

二ZQEC=90°-NCED=30°,

:.CQ=-CE=\-

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)、含30。直角三角形的性質(zhì)及最短路徑問題，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)、

含30。直角三角形的性質(zhì)及最短路徑問題是解題的關(guān)鍵.

18.（2021?浙江紹興市?中考真題）如圖，菱形A3C。中，28=60°,點(diǎn)尸從點(diǎn)5出發(fā)，沿折線BC-CD

方向移動，移動到點(diǎn)。停止.在&WP形狀的變化過程中，依次出現(xiàn)的特殊三角形是（）

A.直角三角形一等邊三角形一等腰三角形T直角三角形

B.直角三角形一等腰三角形一直角三角形一等邊三角形

C.直角三角形T等邊三角形T直角三角形一等腰三角形

D.等腰三角形T等邊三角形T直角三角形T等腰三角形

【答案】C

【分析】

是特殊三角形，取決于點(diǎn)P的某些特殊位置，按其移動方向，逐一判斷即可.

【詳解】

解：連接AC,BD,如圖所示.

???四邊形48co是菱形，

：.AB=BC=CD=DA,ZD=ZB.

VZB=60°,

.?.NO=N8=60°.

???AABC和^ADC都是等邊三角形.

點(diǎn)尸在移動過程中，依次共有四個(gè)特殊位置:

。(已)尸30(尸2)

(1)當(dāng)點(diǎn)尸移動到8c邊的中點(diǎn)時(shí)，記作耳.

AABC是等邊三角形，4是8c的中點(diǎn)，

二A，18。.

ANA<3=9()。,

/AB片是直角三角形.

(2)當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)C重合時(shí)，記作P2.

此時(shí)，?ASg是等邊三角形；

(3)當(dāng)點(diǎn)尸移動到CO邊的中點(diǎn)時(shí)，記為乙.

???^ABC和?49C都是等邊：:.角形，

.../AAB=3()°+6()°=9()°.

/.-ABA是直角三角形.

(4)當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)。重合時(shí)，記作A.

???AB^AP4,

巴是等腰三角形.

綜上，-A8P形狀的變化過程中，依次出現(xiàn)的特殊三.角形是:

直角三角形一等邊三角形T直角三角形T等腰三角形.

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查了菱形的性質(zhì)、直角三角形的判定、等腰三角形的判定、等邊三角形的性質(zhì)與判定等知識點(diǎn)，熟

知特殊三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵.

二、填空題

19.（2021?浙江紹興市?中考真題）如圖，在中，AB=AC,ZB=70°,以點(diǎn)C為圓心，。長為

半徑作弧，交直線8c于點(diǎn)P,連結(jié)AP,則NBAP的度數(shù)是.

【答案】15?；?5。

【分析】

分①點(diǎn)P在8c的延長線上，②點(diǎn)尸在C8的延長線上兩種情況，再利用等腰三角形的性質(zhì)即可得出答案.

【詳解】

解：①當(dāng)點(diǎn)P在8c的延長線上時(shí)，如圖

VAB=AC,ZB=70°,

二/B=ZACB=70。

：.ZCAB=40°

???以點(diǎn)C為圓心，CA長為半徑作弧，交直線8c于點(diǎn)P,

：.AC=PC

：.ZP=ZCAP

ZACB=N5+ZCAP=70°

,NP=NC4P=35°

???ZBAP=ABAC+ZCAP=40+35°=75°

②當(dāng)點(diǎn)尸在CB的延長線上時(shí)，如圖

由①得NC=70°,ZC4B=40°

'：AC=PC

NP=NCAP=55

???NBAP=ZCAP-ZBAC=550-40=15°

故答案為：15°或75°

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，分類討論不重不漏是解題的關(guān)鍵.

20.（2021?四川廣安市?中考真題）如圖，將三角形紙片ABC折疊，使點(diǎn)B、C都與點(diǎn)A重合，折痕分別

為DE、FG.已知NAC3=15°,AE=EF,DE=6則的長為.

【答案】4+2百

【分析】

由折疊的性質(zhì)得出AF=FC,ZMC=ZC=15°,得出NAFE=30。，由等腰三角形的性質(zhì)得出

/EAf=/4FE=30。，證出△A8E是等邊三角形，得出/BAE=60。，求出4E=BE=2,證出/84尸=90。，利用

勾股定理求出AF,即CF,可得BC.

【詳解】

解：???把三角形紙片折疊，使點(diǎn)8、點(diǎn)C都與點(diǎn)A重合，折痕分別為。E,FG,

:.BE=AE,AF=FC,NHC=/C=15°,

/.ZAFE=30°,又AE=EF,

：.NEAF=NAFE=30°,

：.NAEB=60°,

...△A8E是等邊三角形，ZAED=ZBED=30°,

：.NBAE=6Q。,

?:DE=6，

；.BF=BE+EF=4,ZBAF=600+30°=90°,

...FC=AF=^BF2-AB2=25/3，

：.BC=BF+FC=4+2y/3，

故答案為：4+25/3.

【點(diǎn)睛】

此題考查了翻折變換的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)；根據(jù)折

疊的性質(zhì)得出相等的邊和角是解題關(guān)鍵.

21.（2021?江蘇蘇州市?中考真題）如圖.在Rt/XABC中，ZC=90°,AF=EF.若NCEE=72°,則

【答案】54°

【分析】

首先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出凡再根據(jù)三角形的外角和定理得出求出乙4

的度數(shù)，最后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出NB的度數(shù)即可.

【詳解】

?：AF=EF,

ZA=ZAEF,

'：ZA+ZAEF=ZCFE=12°,

：.NA=36。，

<?,NC=90°,N4+NB+/C=180°,

，ZB=180°-ZA-ZC=54°.

故答案為：54°.

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角形的外角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，掌握相關(guān)定理和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

22.（2021?浙江中考真題）為慶祝中國共產(chǎn)黨建黨100周年，某校用紅色燈帶制作了一個(gè)如圖所示的正五角

星（A,B,C,D,E是正五邊形的五個(gè)頂點(diǎn)），則圖中NA的度數(shù)是度.

B■E

CD

【答案】36

【分析】

根據(jù)題意，得五邊形（是正五邊形的五個(gè)頂點(diǎn)）為正五邊形，aAF=AK；根據(jù)多邊形內(nèi)角

和性質(zhì)，得正五邊形RGH/K內(nèi)角和，從而得N4；再根據(jù)補(bǔ)角、等腰三角形、三角形內(nèi)角和性質(zhì)計(jì)算，即

可得到答案.

【詳解】

?.?正五角星（A,B,C,D,E是正五邊形的五個(gè)頂點(diǎn)）

二五邊形是正五邊形的五個(gè)頂點(diǎn)）為正五邊形，n.AF=AK

★

CD

...正五邊形FGHJK內(nèi)角和為：（5-2）x180°=540°

540°

二Z4=^-=108°

5

Z3=180°-Z4=72°

,:AF=AK

N2=N3=72°

Zl=180°-Z2-Z3=36°

故答案為：36.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正多邊形、多邊形內(nèi)角和、補(bǔ)角、等腰三角形、三角形內(nèi)角和的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握

正多邊形、多邊形內(nèi)角和、等腰三角形、三角形內(nèi)角和的性質(zhì)，從而完成求解.

23.(2021?江蘇揚(yáng)州市?中考真題)如圖,在aABCD中，點(diǎn)E在A。上，且EC平分NBED,若NEBC=30°,

BE=10,則aABCD的面積為.

【答案】50

【分析】

過點(diǎn)E作垂足為凡利用直角三角形的性質(zhì)求出EF,再根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義得

到可得8E=8C=1(),最后利用平行四邊形的面積公式計(jì)算即可.

【詳解】

解：過點(diǎn)E作垂足為凡

?:NEBC=3Q°,BE=\0,

:.EF=、BE=5,

2

四邊形ABCD是平行四邊形，

J.AD//BC,

：.NDEC=NBCE,

又EC平分/BED,即NBEC=NDEC,

：.ZBCE=ZBEC,

；.BE=BC=1Q,

二四邊形A8CO的面積=8Cx￡F=10x5=50,

故答案為：50.

E

AD

【點(diǎn)睛】

本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，30度的直角三角形的性質(zhì)，角平分線的定義，等角對等邊，知識點(diǎn)較多，

但難度不大，圖形特征比較明顯，作出輔助線構(gòu)造直角三角形求出EF的長是解題的關(guān)鍵.

24.（2021?云南中考真題）已知AABC的三個(gè)頂點(diǎn)都是同一個(gè)正方形的頂點(diǎn)，NABC的平分線與線段AC

交于點(diǎn)o.若AABC的一條邊長為6,則點(diǎn)O到直線AB的距離為.

【答案】3或孚或6及-6或6-3及

【分析】

將AABC放入正方形中，分NABC=90。，ZBAC=90°,再分別分AB=BC=6,AC=6,進(jìn)行解答.

【詳解】

解：???△ABC三個(gè)頂點(diǎn)都是同一個(gè)正方形的頂點(diǎn)，

如圖，若/ABC=90。，

則NA8C的平分線為正方形ABCD的對角線，D為對角線交點(diǎn)，

過點(diǎn)。作力垂足為凡

當(dāng)AB=BC=6,

貝ijDF=—BC=3；

2

當(dāng)AC=6,

6

則AB=BC=F=3V2，

22

如圖，若/54C=90。，過點(diǎn)。作。F，8c于F,

■:BD平分/ABC,

:.NABD=/CBD,AD=DF,

又NBAD=NBFD=90°,BD=BD,

.?.△BAD絲△BFC(A4S),

：.AB=BF,

當(dāng)AB=4C=6,

則BC=,6?+6?=6\/2，

：.BF=6,C尸=6夜一6，

在正方形ABEC中，ZACB=45°,

；.ACDF是等腰直角三角形，則CF=DF=AD=6叵-6；

當(dāng)8c=6,

6r-

貝ijA8=4C=g=3也，

同理可得：6-3立，

綜上：點(diǎn)。到直線AB的距離為：3或孚或6&-6或6-3夜，

故答案為：3或羋或68—6或6—30.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)，角平分線的定義，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判

定和性質(zhì)，知識點(diǎn)較多，解題時(shí)要結(jié)合題意畫出符合題意的圖形，分情況解答.

25.（2021?江蘇南京市?中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，AB=8C=5D.設(shè)ZABC=。，則ZADC=

（用含&的代數(shù)式表示）.

【答案】180。一

2

【分析】

由等腰的性質(zhì)可得：ZADB^90°--ZABD,/8DC=90?！琋CB￡),兩用相加即可得到結(jié)論.

22

【詳解】

解：在△A8C中，AB=BD

AZA=ZADB=-(180°-ZABD)=90°--ZABD

22

在△BCD中，BC=BD

：.ZC=ZBDC=-(180°-ZCBD)=90°--ZCBD

22

?/ZABC=ZABD+ZCBD=a

/.ZADC=ZADB+NCBD

=90?！筞ABD+90°--NCBD

22

=180°-；(NABD+ZCBD)

=180°--ZABC

2

=180°--<z

2

故答案為：180°--a.

2

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，分別求出/ADB=90°-4NAB￡）,/BDC=

2

90。一NCBD是解答本題的關(guān)鍵.

2

26.（2021?四川資陽市?中考真題）將一張圓形紙片（圓心為點(diǎn)O）沿直徑MN對折后，按圖1分成六等份

折疊得到圖2,將圖2沿虛線A8剪開，再將AAOB展開得到如圖3的一個(gè)六角星.若NCDE=75°,則

NOBA的度數(shù)為.

【答案】135°

【分析】

利用折疊的性質(zhì)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理解題.

【詳解】

解：連接OC,EO

360°

由折疊性質(zhì)可得：ZEOC=------=30°,EC=DC,OC平分NEC。

12

/.ZECO=-ZECD」（180。-2x75°）=15°

22

ZOEC^180°-ZECO-ZEOC^1350

即NO84的度數(shù)為135°

故答案為：135。

【點(diǎn)睛】

主要在考查折疊的性質(zhì)，學(xué)生動手操作的能力，也考查了等腰三角形的性質(zhì)及內(nèi)角和定理，掌握折疊及等

腰三角形的性質(zhì)正確推理計(jì)算是解題關(guān)鍵.

27.（2021?浙江金華市?中考真題）如圖，菱形A8C。的邊長為6cm,NBA。=60。，將該菱形沿AC方向

平移2Jicm得到四邊形AB'C'D',AD交CD于點(diǎn)E,則點(diǎn)E到AC的距離為cm.

【答案】2

【分析】

首先根據(jù)菱形對角線的性質(zhì)得出AC的長，然后利用菱形對角線平分對角和平移的性質(zhì)得出等腰V