福建省龍巖市一級達(dá)標(biāo)學(xué)校2024屆數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末聯(lián)考試題含解析

福建省龍巖市一級達(dá)標(biāo)學(xué)校2024屆數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末聯(lián)考試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知點(diǎn)、、在圓上運(yùn)動(dòng)，且，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，的最大值為（）A． B． C． D．2．以橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為直徑的端點(diǎn)的圓與橢圓交于四個(gè)不同的點(diǎn),順次連接這四個(gè)點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)恰好組成一個(gè)正六邊形,那么這個(gè)橢圓的離心率為（）A． B． C． D．3．已知向量、的夾角為，，，則（）A． B． C． D．4．函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后，得到函數(shù)的圖象，若為偶函數(shù)，則的值為（）A． B． C． D．5．在中，，，成等差數(shù)列，，則的形狀為（）A．直角三角形 B．等腰直角三角形C．等腰三角形 D．等邊三角形6．在中，且，則等于()A． B． C． D．7．已知公式為正數(shù)的等比數(shù)列滿足：，，則前5項(xiàng)和()A．31 B．21 C．15 D．118．設(shè)等比數(shù)列的公比，前n項(xiàng)和為，則（）A．2 B．4 C． D．9．過點(diǎn)的直線的斜率為，則等于（）A． B．10 C．2 D．410．設(shè)不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)?，在?nèi)任取一點(diǎn)，的概率是（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．中，，，，則________.12．已知向量，則________13．已知向量，則___________.14．實(shí)數(shù)2和8的等比中項(xiàng)是__________．15．已知當(dāng)時(shí)，函數(shù)（且）取得最小值，則時(shí)，的值為__________．16．公比為的無窮等比數(shù)列滿足：，，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，且.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）是否存在正整數(shù)，使得成立？若存在，求出的最小值；若不存在，請說明理由.18．已知，.（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）求的值.19．在△ABC中，中線長AM＝2.（1）若＝－2，求證：＋＋＝0；（2）若P為中線AM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求·(＋)的最小值．20．已知等比數(shù)列滿足，，等差數(shù)列滿足，，求數(shù)列的前項(xiàng)和.21．已知向量，，.（1）若，求的值；（2）設(shè)，若恒成立，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解題分析】

由題意可知為圓的一條直徑，由平面向量加法的平行四邊形法則可得（為坐標(biāo)原點(diǎn)），然后利用平面向量模的三角不等式以及圓的幾何性質(zhì)可得出的最大值.【題目詳解】如下圖所示：，為圓的一條直徑，由平面向量加法的平行四邊形法則可得（為坐標(biāo)原點(diǎn)），由平面向量模的三角不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，等號成立，因此，的最大值為.故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查向量模的最值問題，涉及平面向量模的三角不等式以及圓的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中等題.2、D【解題分析】

四個(gè)交點(diǎn)中的任何一個(gè)到焦點(diǎn)的距離和都是，然后分析正六邊形中的長度和焦距的關(guān)系，從而建立等式求解.【題目詳解】設(shè)橢圓的焦點(diǎn)是，圓與橢圓的四個(gè)交點(diǎn)是,設(shè)，，，，.故選D.【題目點(diǎn)撥】本題考查了橢圓的定義和橢圓的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題型3、B【解題分析】

利用平面向量數(shù)量積和定義計(jì)算出，可得出結(jié)果.【題目詳解】向量、的夾角為，，，則．故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題考查利用平面向量的數(shù)量積來計(jì)算平面向量的模，在計(jì)算時(shí)，一般將模進(jìn)行平方，利用平面向量數(shù)量積的定義和運(yùn)算律進(jìn)行計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于中等題.4、B【解題分析】f（x）=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣）的圖象向左平移φ（0＜φ＜）個(gè)單位，得到g（x）=2sin（2x-2φ﹣）．為偶函數(shù)，故得到，故得到2sin（-2φ﹣）=-2或2，．因?yàn)椋实玫?，k=-1,的值為.故答案為B．5、B【解題分析】

根據(jù)等差中項(xiàng)以及余弦定理即可．【題目詳解】因?yàn)?，，成等差?shù)列，得為直角三角形為等腰直角三角形，所以選擇B【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了等差中項(xiàng)和余弦定理，若為等差數(shù)列，則，屬于基礎(chǔ)題．6、A【解題分析】

在△ABC中，利用正弦定理與兩角和的正弦化簡已知可得，sin（A+C）＝sinB，結(jié)合a＞b，即可求得答案．【題目詳解】在△ABC中，∵asinBcosC+csinBcosAb，∴由正弦定理得：sinAsinBcosC+sinCsinBcosAsinB，sinB≠0，∴sinAcosC+sinCcosA，∴sin（A+C），又A+B+C＝π，∴sin（A+C）＝sin（π﹣B）＝sinB，又a＞b，∴B．故選A．【題目點(diǎn)撥】本題考查兩角和與差的正弦函數(shù)與正弦定理的應(yīng)用，考查了大角對大邊的性質(zhì)，屬于中檔題．7、A【解題分析】

由條件求出數(shù)列的公比．再利用等比數(shù)列的前項(xiàng)求和公式即可得出．【題目詳解】公比為正數(shù)的等比數(shù)列滿足：，則，即.所以,所以.故選：A【題目點(diǎn)撥】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．8、D【解題分析】

設(shè)首項(xiàng)為，利用等比數(shù)列的求和公式與通項(xiàng)公式求解即可.【題目詳解】設(shè)首項(xiàng)為，因?yàn)榈缺葦?shù)列的公比，所以，故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查等比數(shù)列的求和公式與通項(xiàng)公式，熟練掌握基本公式是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.9、B【解題分析】

直接應(yīng)用斜率公式，解方程即可求出的值.【題目詳解】因?yàn)檫^點(diǎn)的直線的斜率為，所以有，故本題選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查了直線斜率公式，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.10、A【解題分析】作出約束條件所表示的平面區(qū)域，如圖所示，四邊形所示，作出直線，由幾何概型的概率計(jì)算公式知的概率，故選A.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、7【解題分析】

在中，利用余弦定理得到，即可求解，得到答案.【題目詳解】由余弦定理可得，解得.故答案為：7.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了余弦定理的應(yīng)用，其中解答中熟記三角形的余弦定理，準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.12、2【解題分析】

由向量的模長公式，計(jì)算得到答案.【題目詳解】因?yàn)橄蛄?，所以，所以答案?【題目點(diǎn)撥】本題考查向量的模長公式，屬于簡單題.13、【解題分析】

根據(jù)向量夾角公式可求出結(jié)果.【題目詳解】．【題目點(diǎn)撥】本題考查了向量夾角的運(yùn)算，牢記平面向量的夾角公式是破解問題的關(guān)鍵．14、【解題分析】所求的等比中項(xiàng)為：.15、3【解題分析】

先根據(jù)計(jì)算，化簡函數(shù)，再根據(jù)當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，代入計(jì)算得到答案.【題目詳解】或當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值：或（舍去）故答案為3【題目點(diǎn)撥】本題考查了三角函數(shù)的化簡，輔助角公式，函數(shù)的最值，綜合性較強(qiáng)，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力和計(jì)算能力.16、【解題分析】

依據(jù)等比數(shù)列的定義以及無窮等比數(shù)列求和公式，列出方程，即可求出的表達(dá)式，再利用求值域的方法求出其范圍?！绢}目詳解】由題意有，即，因?yàn)?，所以?！绢}目點(diǎn)撥】本題主要考查無窮等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用以及基本函數(shù)求值域的方法。三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）存在，【解題分析】

（1）根據(jù)條件求解出公比，然后寫出等比數(shù)列通項(xiàng)；（2）先表示出，然后考慮的的最小值.【題目詳解】（1）因?yàn)?，所以或，又，則，所以；（2）因?yàn)?，則，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)有不符合；所以為奇數(shù)，且，，所以且為奇數(shù)，故.【題目點(diǎn)撥】本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)及其前項(xiàng)和的應(yīng)用，難度一般.對于公比為負(fù)數(shù)的等比數(shù)列，分析前項(xiàng)和所滿足的不等式時(shí)，注意分類討論，因此的奇偶會影響的正負(fù).18、(Ⅰ)，.(Ⅱ).【解題分析】試題分析：(Ⅰ)結(jié)合角的范圍和同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得，.(Ⅱ)將原式整理變形，結(jié)合(Ⅰ)的結(jié)論可得其值為.試題解析：（Ⅰ）因?yàn)?，所以，由于，所以，所?（Ⅱ）原式..19、（1）見解析；（2）最小值－2.【解題分析】

試題分析：（1）∵M(jìn)是BC的中點(diǎn)，∴＝(＋)．代入＝－2，得＝－－，即＋＋＝0（2）若P為中線AM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若AM＝2，我們易將·(＋),轉(zhuǎn)化為－2||||=2(x－1)2－2的形式，然后根據(jù)二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值的求法，得到答案．試題解析：（1）證明：∵M(jìn)是BC的中點(diǎn)，∴＝(＋)代入＝－2，得＝－－，即＋＋＝0（2）設(shè)||＝x，則||＝2－x(0≤x≤2)∵M(jìn)是BC的中點(diǎn)，∴＋＝2∴·(＋)＝2·＝－2||||＝－2x(2－x)＝2(x2－2x)＝2(x－1)2－2，當(dāng)x＝1時(shí)，取最小值－2考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.【題目詳解】請?jiān)诖溯斎朐斀猓?0、【解題分析】

由等比數(shù)列易得公比和，進(jìn)而可得等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，代入求和公式計(jì)算可得．【題目詳解】解：∵等比數(shù)列滿足，，

∴公比，

，

，

∴等差數(shù)列中，

∴公差，

∴數(shù)列的前項(xiàng)和．【題目點(diǎn)撥】本題考查等差數(shù)列的求和公式，涉及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，求出數(shù)列的首項(xiàng)和公差是解決問題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．21、（1）；（2）.【解題分析】

（1）由，轉(zhuǎn)化為，利用弦化切的思想得出的值，從而求出的值；（2）由，轉(zhuǎn)化為，然后利用平面