北京市北方交大附中2024屆數(shù)學高一下期末達標檢測試題含解析

北京市北方交大附中2024屆數(shù)學高一下期末達標檢測試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．設向量,若,則實數(shù)的值為()A．1 B．2 C．3 D．42．將函數(shù)y=2sinx+π3sinA．π6 B．π12 C．π3．函數(shù)的定義域是（）．A． B． C． D．4．已知正方體ABCD-ABCD中,E、F分別為BB、CC的中點,那么異面直線AE與DF所成角的余弦值為()A． B．C． D．5．在中，已知，且滿足，則的面積為（）A．1 B．2 C． D．6．中,，則（）A．5 B．6 C． D．87．已知兩個單位向量的夾角為，則下列結論不正確的是（）A．方向上的投影為 B．C． D．8．當時，不等式恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（）A． B． C． D．9．如果若干個函數(shù)的圖象經(jīng)過平移后能夠重合，則稱這些函數(shù)為“同簇函數(shù)”．給出下列函數(shù)：①；②；③；④．其中“同簇函數(shù)”的是（）A．①②B．①④C．②③D．③④10．從一批產(chǎn)品中取出兩件產(chǎn)品，事件“至少有一件是次品”的對立事件是A．至多有一件是次品 B．兩件都是次品C．只有一件是次品 D．兩件都不是次品二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．的最大值為______.12．若正實數(shù)，滿足，則的最小值是________.13．如圖所示為函數(shù)的部分圖像，其中、分別是函數(shù)圖像的最高點和最低點，且，那么________．14．若函數(shù)，的圖像關于對稱，則________．15．若是等比數(shù)列，，，且公比為整數(shù)，則______.16．在數(shù)列{}中，，則____.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，在四棱柱中，側棱底面，，，，，且點和分別為和的中點.（1）求證：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）設為棱上的點，若直線和平面所成角的正弦值為，求線段的長.18．已知函數(shù).（1）求的最小正周期和單調遞增區(qū)間；（2）若方程在有兩個不同的實根，求的取值范圍．19．大豆，古稱菽，原產(chǎn)中國，在中國已有五千年栽培歷史.2019年春，為響應中國大豆參與世界貿易的競爭，某市農(nóng)科院積極研究，加大優(yōu)良品種的培育工作，其中一項基礎工作就是研究晝夜溫差大小與大豆發(fā)芽率之間的關系.為此科研人員分別記錄了7天中每天50粒大豆的發(fā)芽數(shù)得如下數(shù)據(jù)表格：日期4月3日4月4日4月5日4月6日4月7日4月8日4月9日溫差（℃）89101211813發(fā)芽數(shù)（粒）21252632272033科研人員確定研究方案是：從7組數(shù)據(jù)中選5組數(shù)據(jù)求線性回歸方程，再用求得的回歸方程對剩下的2組數(shù)據(jù)進行檢驗.（1）若選取的是4月4日至4月8日五天數(shù)據(jù)，據(jù)此求關于的線性回歸方程；（2）若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與實際數(shù)據(jù)的誤差絕對值均不超過1粒，則認為得到的線性回歸方程是可靠的，請檢驗（1）中回歸方程是否可靠？注：.參考數(shù)值：，.20．已知圓,圓與圓關于直線對稱.(1)求圓的方程;(2)過直線上的點分別作斜率為的兩條直線,使得被圓截得的弦長與被圓截得的弦長相等.(i)求的坐標;(ⅱ)過任作兩條互相垂直的直線分別與兩圓相交,判斷所得弦長是否恒相等,并說明理由.21．已知是等差數(shù)列，滿足，，數(shù)列滿足，，且是等比數(shù)列.（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解題分析】

首先求出的坐標，再根據(jù)平面向量共線定理解答.【題目詳解】解：,因為,所以,解得.故選：【題目點撥】本題考查平面向量共線定理的應用，屬于基礎題.2、B【解題分析】

由誘導公式將函數(shù)化簡成y=sin(2x+2π3)【題目詳解】∵(x+π∴sin∴y=2sinx+πy=sin∵平移后的函數(shù)恰為偶函數(shù)，∴x=0為其對稱軸，∴x=0時，y=±1，∴-2φ+2π3=kπ+∵φ>0,∴k=0時，φmin【題目點撥】通過恒等變換把函數(shù)變成y=Asin(ωx+φ)(ω>0)的形式，再研究三角函數(shù)的性質是三角函數(shù)題常見解題思路；三角函數(shù)若為偶函數(shù)，則該條件可轉化為直線x=0為其中一條對稱軸，從而在3、C【解題分析】函數(shù)的定義域即讓原函數(shù)有意義即可；原式中有對數(shù)，則故得到定義域為.故選C.4、C【解題分析】

連接DF,因為DF與AE平行,所以∠DFD即為異面直線AE與DF所成角的平面角,設正方體的棱長為2,則FD=FD=,由余弦定理得cos∠DFD==.5、D【解題分析】

根據(jù)正弦定理先進行化簡，然后根據(jù)余弦定理求出C的大小，結合三角形的面積公式進行計算即可．【題目詳解】在中，已知，∴由正弦定理得，即，∴＝＝，即＝.∵，∴的面積．故選D．【題目點撥】本題主要考查三角形面積的計算，結合正弦定理余弦定理進行化簡是解決本題的關鍵,屬于基礎題．6、D【解題分析】

根據(jù)余弦定理，可求邊長.【題目詳解】，代入數(shù)據(jù)，化解為解得或（舍）故選D.【題目點撥】本題考查了已知兩邊及其一邊所對角，求另一邊，這種題型用余弦定理，屬于基礎題型.7、B【解題分析】試題分析：A．方向上的投影為，即，所以A正確；B．，所以B錯誤；C．，所以，所以C正確；D．，所以．D正確．考點：向量的數(shù)量積；向量的投影；向量的夾角．點評：熟練掌握數(shù)量積的有關性質是解決此題的關鍵，尤其要注意“向量的平方就等于其模的平方”這條性質．8、A【解題分析】

當x＞0時，不等式x2﹣mx+9＞0恒成立?m＜（x）min，利用基本不等式可求得（x）min＝6，從而可得實數(shù)m的取值范圍．【題目詳解】當x＞0時，不等式x2﹣mx+9＞0恒成立?當x＞0時，不等式m＜x恒成立?m＜（x）min，當x＞0時，x26（當且僅當x＝3時取“＝”），因此（x）min＝6，所以m＜6，故選A．【題目點撥】本題考查函數(shù)恒成立問題，分離參數(shù)m是關鍵，考查等價轉化思想與基本不等式的應用，屬于中檔題．9、C【解題分析】試題分析：對于①中的函數(shù)而言，，對于③中的函數(shù)而言，，由“同簇函數(shù)”的定義而知，互為“同簇函數(shù)”的若干個函數(shù)的振幅相等，將②中的函數(shù)向左平移個單位長度，得到的新函數(shù)解析式為，故選C.考點：1.新定義；2.三角函數(shù)圖象變換10、D【解題分析】試題分析：根據(jù)對立事件的定義，至少有n個的對立事件是至多有n﹣1個，由事件A：“至少有一件次品”，我們易得結果．解：∵至少有n個的否定是至多有n﹣1個又∵事件A：“至少有一件次品”，∴事件A的對立事件為：至多有零件次品，即是兩件都不是次品．故答案為D．點評：本題考查的知識點是互斥事件和對立事件，互斥事件關鍵是要抓住不可能同時發(fā)生的要點，對立事件則要抓住有且只有一個發(fā)生，可以轉化命題的否定，集合的補集來進行求解．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、3【解題分析】

由余弦型函數(shù)的值域可求得整個函數(shù)的值域，進而得到最大值.【題目詳解】，即故答案為：【題目點撥】本題考查含余弦型函數(shù)的值域的求解問題，關鍵是明確在自變量無范圍限制時，余弦型函數(shù)的值域為.12、【解題分析】

將配湊成，由此化簡的表達式，并利用基本不等式求得最小值.【題目詳解】由得，所以.當且僅當，即時等號成立.故填：.【題目點撥】本小題主要考查利用基本不等式求和式的最小值，考查化歸與轉化的數(shù)學思想方法，屬于中檔題.13、【解題分析】

由圖可知：，因為，由周期公式得到，結合以及誘導公式即可求解.【題目詳解】由圖可知：，因為所以，即由題意可知：，即故答案為：【題目點撥】本題主要考查了正弦型函數(shù)的圖像的性質以及求值，關鍵是從圖像得出周期，最值等，屬于基礎題.14、【解題分析】

特殊值法：由的對稱軸是，所以即可算出【題目詳解】由題意得是三角函數(shù)所以【題目點撥】本題主要考查了三角函數(shù)的性質，需要記憶三角函數(shù)的基本性質：單調性、對稱軸、周期、定義域、最值、對稱中心等。根據(jù)對稱性取特殊值法解決本題是關鍵。屬于中等題。15、512【解題分析】

由題設條件知和是方程的兩個實數(shù)根，解方程并由公比q為整數(shù)，知，，由此能夠求出公比，從而得到.【題目詳解】是等比數(shù)列，

，，

，，

和是方程的兩個實數(shù)根，

解方程，

得，，

公比q為整數(shù)，

，，

，解得，

.故答案為：512【題目點撥】本題考查等比數(shù)列的通項公式的求法，利用了等比數(shù)列下標和的性質，是基礎題.解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化.16、1【解題分析】

直接利用等比數(shù)列的通項公式得答案．【題目詳解】解：在等比數(shù)列中，由，公比，得．故答案為：1．【題目點撥】本題考查等比數(shù)列的通項公式，是基礎題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）；（3）【解題分析】

如圖，以為原點建立空間直角坐標系，依題意可得，又因為分別為和的中點，得.（Ⅰ）證明：依題意，可得為平面的一個法向量，，由此可得，，又因為直線平面，所以平面（Ⅱ），設為平面的法向量，則，即，不妨設，可得，設為平面的一個法向量，則，又，得，不妨設，可得因此有，于是，所以二面角的正弦值為.（Ⅲ）依題意，可設，其中，則，從而，又為平面的一個法向量，由已知得，整理得，又因為，解得，所以線段的長為.考點：直線和平面平行和垂直的判定與性質，二面角、直線與平面所成的角，空間向量的應用.18、（1）最小正周期，；（2）.【解題分析】

（1）利用兩角差的余弦公式、倍角公式、輔助角公式得，求得周期；（2）利用換元法令，將問題轉化成方程在有兩個不同的實根，再利用圖象得的取值范圍.【題目詳解】（1），所以的最小正周期，由得：，所以的單調遞增區(qū)間是.（2）令，因為，所以，即方程在有兩個不同的實根，由函數(shù)的圖象可知，當時滿足題意，所以的取值范圍為.【題目點撥】第（1）問考查三角恒等變換的綜合運用；第二問考查換元法求參數(shù)的取值范圍，注意在換元的過程中參數(shù)不能出錯，否則轉化后的問題與原問題就不等價.19、（1）；（2）（1）中回歸方程是可靠的．【解題分析】

（1）運用已知題中所給的數(shù)值，結合所給的計算公式、數(shù)表提供的數(shù)據(jù)求得與的值，進而寫出線線回歸方程；（2）在（1）中求得的線性回歸方程中，分別取x＝8與13求得y值，進一步求得殘差得結論．【題目詳解】因為，．，所以，．因此關于的線性回歸方程；（2）取x＝8，得，此時；取x＝13，得，此時∴（1）中回歸方程是可靠的．【題目點撥】本題考查線性回歸方程的求法，考查數(shù)學運算能力，屬于基礎題．20、（1）；（2）（i）,（ii）見解析【解題分析】

(1)根據(jù)題意，將問題轉化為關于直線的對稱點即可得到，半徑不變，從而得到方程；(2)(i)設，由于弦長和距離都相等，故P到兩直線的距離也相等，利用點到線距離公式即可得到答案；(ⅱ)分別討論斜率不存在和為0三種情況分別計算對應弦長，故可判斷.【題目詳解】（1）設，因為圓與圓關于直線對稱，，則直線與直線垂直，中點在直線上，得解得所以圓.（2）（i）設的方程為，即；的方程為，即.因為被圓截得的弦長與被圓截得的弦長相等，且兩圓半徑相等，所以到的距離與到的距離相等，即，所以或.由題意，到直線的距離，所以不滿足題意，舍去，故，點坐標為.（ii）過點任作互相垂直的兩條直線分別與兩圓相交，所得弦長恒相等.證明如下：當?shù)男甭实扔?時，的斜率不存在，被圓截得的弦長與被圓截得的弦長都等于圓的半徑；當?shù)男甭什淮嬖?，的斜率等?時，與圓不相交，與圓不相交.當、的斜率存在且都不等于0，兩條直線分別與兩圓相交時，設、的方程分別為，即.因為到的距離，到的距離，所以到的距離與到的距離相等.所以圓與圓的半徑相等，所以被圓截得的弦長與被圓截得的弦長恒相等.綜上所述，過點任作互相垂直的兩條直線分別與兩圓相交，所得弦長恒相等.【題目點撥】本題主要考查點的對稱問題，直線與圓的位置關系，計算量較大，意在考查學生的轉化能力，計算能力，難度中等.21、（1），；（2）【解題分析】試題分析：（1）利用等差數(shù)列，等比數(shù)列的通項公式先求得公差和公比，即