1時等腰三角形的判定 省賽一等獎

第十三章軸對稱13.3.1等腰三角形第2課時

等腰三角形的判定學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握等腰三角形的判定方法.（重點）2.掌握等腰三角形的判定定理，并運用其進行證明和計算.（難點）

在△ABC中，AB=AC，倘若不留神，它的一部分被墨水涂沒了，只留下一條底邊BC和一個底角∠C，請問，有沒有辦法把原來的等腰三角形畫出來？ABCA情境引入ABC

如圖，位于海上B、C兩處的兩艘救生船接到A處遇險船只的報警，當(dāng)時測得∠B=∠C.如果這兩艘救生船以同樣的速度同時出發(fā)，能不能同時趕到出事地點（不考慮風(fēng)浪因素）？新課講解等腰三角形的判定1已知：如圖，在△ABC中,∠B=∠C,那么它們所對的邊AB和AC有什么數(shù)量關(guān)系?【建立數(shù)學(xué)模型】CAB做一做：畫一個△ABC，其中∠B=∠C=30°，請你量一量AB與AC的長度，它們之間有什么數(shù)量關(guān)系，你能得出什么結(jié)論？AB=AC你能驗證你的結(jié)論嗎？新課講解在△ABD與△ACD，∠1=∠2，∴△ABD

≌△ACD.∠B=∠C，AD=AD，∴AB=AC.過A作AD平分∠BAC交BC于點D.證明：CAB21D（（新課講解∴

AC=AB.()∵∠B=∠C，()★等腰三角形的判定方法

如果一個三角形有兩個角相等,那么這兩個角所對的邊也相等（簡寫成“等角對等邊”）.已知等角對等邊在△ABC中，▼應(yīng)用格式：BCA((這也是判定一個三角形是等腰三角形的根據(jù)之一.知識要點即△ABC為等腰三角形.ABCD21∵∠1=∠2,∴BD=DC（等角對等邊）.∵∠1=∠2,∴DC=BCABCD21（等角對等邊）.錯，因為都不是在同一個三角形中.辨一辨：如圖,下列推理正確嗎?新課講解

求證：如果三角形一個外角的平分線平行于三角形的一邊，那么這個三角形是等腰三角形．已知：

如圖，∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC．求證：AB=AC．

證明：∵AD∥BC，∴∠1=∠B（兩直線平行，同位角相等），∠2=∠C（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）．

又∵∠1=∠2，∴∠B=∠C，∴AB=AC（等角對等邊）．ABCE（（12D新課講解例1

已知：如圖，AD∥BC，BD平分∠ABC.求證：AB=AD.BADC證明：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD.總結(jié)：平分角+平行=等腰三角形新課講解例2∴∠EDB=∠EBD，∴BE=DE，△EBD是等腰三角形.【變式】

如圖，把一張長方形的紙沿著對角線折疊，重合部分是一個等腰三角形嗎？為什么？BCADE解：重合部分是一個等腰三角形.由折疊可知，∠EBD=∠CBD.∵AD∥BC，∴∠EDB=∠CBD，新課講解1.在△ABC中，∠A和∠B的度數(shù)如下，能判定△ABC是等腰三角形的是（）A.∠A＝50°，∠B＝70°B.∠A＝70°，∠B＝40°C.∠A＝30°，∠B＝90°D.∠A＝80°，∠B＝60°B2.如圖，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝3cm，則CD等于_______.3cm新課講解

已知等腰三角形底邊長為a,底邊上的高的長為h，求作這個等腰三角形.ah作法：（1）作線段AB=a.

（2）作線段AB的垂直平分線MN，交AB于點D.（3）在MN上取一點C，使DC=h.（4）連結(jié)AC、BC，則△ABC即為所求.ABCMND新課講解例3

如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB邊上的高，AE是∠BAC的平分線，AE與CD交于點F.求證：△CEF是等腰三角形．證明：在△ABC中，∵∠ACB＝90°，∴∠B＋∠BAC＝90°.∵CD是AB邊上的高，∴∠ACD＋∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACD.∵AE是∠BAC的平分線，∴∠BAE＝∠EAC，∴∠B＋∠BAE＝∠ACD＋∠EAC，即∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，∴△CEF是等腰三角形．新課講解例4方法總結(jié)：“等角對等邊”是判定等腰三角形的重要依據(jù)，是先有角相等再有邊相等，只限于在同一個三角形中，若在兩個不同的三角形中，此結(jié)論不一定成立．新課講解

如圖，在△ABC中，AB=AC，∠ABC和∠ACB的平分線交于點O.過O作EF∥BC交AB于E，交AC于F.探究EF、BE、FC之間的關(guān)系.解：EF=BE+CF.理由如下：∵EF∥BC,∴∠EOB=∠CBO，∠FOC=∠BCO.

∵BO、CO分別平分∠ABC、∠ACB，∴∠CBO＝∠ABO，∠BCO＝∠ACO，∴∠EOB＝∠ABO，∠FOC＝∠ACO，∴BE＝OE，CF=OF，∴

EF=EO+FO＝BE+CF.ABCOEF新課講解例5方法總結(jié)：判定線段之間的數(shù)量關(guān)系，一般做法是通過全等或利用“等角對等邊”，運用轉(zhuǎn)化思想，解決問題.新課講解1.如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分別是∠ABC、∠BCD的角平分線，則圖中的等腰三角形有(

)A．5個B．4個C．3個D．2個2.一個三角形的一個外角為130°，且它恰好等于一個不相鄰的內(nèi)角的2倍，則這個三角形是（）A．鈍角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等邊三角形CA隨堂即練13.如圖，直線a、b相交于點O，∠1=50°，點A在直線a上，直線b上存在點B，使以點O、A、B為頂點的三角形是等腰三角形，這樣的B點有（）A．1個B．2個C．3個D．4個OabDA隨堂即練4.如圖，已知∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，則∠DBC=_____，∠BDC=_____，圖中的等腰三角形有_______________________.36°72°△ABC、△DBA、△BCDABCD隨堂即練5.如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線交于點E，過點E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM＋CN＝9，則線段MN的長為_____.9隨堂即練6.如圖,上午10時，一條船從A處出發(fā)以20海里每小時的速度向正北航行，中午12時到達B處，從A、B望燈塔C，測得∠NAC=40°，∠NBC=80°.求從B處到燈塔C的距離.解：∵∠NBC=∠A+∠C，∴∠C=80°-40°=40°，∴∠C=∠A，∴BA=BC（等角對等邊）.∵AB=20×（12-10）=40(海里),∴BC=40海里.即B處距離燈塔C40海里.80°40°NBAC北隨堂即練7.已知：如圖，四邊形ABCD中，AB＝