微分方程基本概念

姓名：趙晶單位：信息與計(jì)算科學(xué)教研室機(jī)C304

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第七章—積分問題—微分方程問題推廣第一節(jié)微分方程的基本概念

微分方程的基本概念引例幾何問題物理問題一、問題的提出二、微分方程的定義三、小結(jié)一、問題的提出【引例1】

一曲線通過點(diǎn)(1,2),在該曲線上任意點(diǎn)處的【解】

設(shè)所求曲線方程為y=y(x),則有如下關(guān)系式:①(C為任意常數(shù))由②得C=1,因此所求曲線方程為②由①得切線斜率為2x,求該曲線的方程.【引例2】

列車在平直路上以的速度行駛,制動(dòng)時(shí)獲得加速度求制動(dòng)后列車的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.【解】

設(shè)列車在制動(dòng)后

t

秒行駛了s

米,已知由前一式兩次積分,可得利用后兩式可得因此所求運(yùn)動(dòng)規(guī)律為［說明］

利用這一規(guī)律可求出制動(dòng)后多少時(shí)間列車才能停住,以及制動(dòng)后行駛了多少路程.即求

s

=s(t).【例】二、微分方程的定義常微分方程偏微分方程含未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)（或微分）的方程叫做微分方程

.(未知函數(shù)為一元函數(shù))分類方程中所含未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)叫做微分方程的階.(n

階顯式微分方程)一般地,n

階常微分方程的形式是或(未知函數(shù)為多元函數(shù))引例2—使方程成為恒等式的函數(shù).通解—解中所含獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與方程—確定通解中任意常數(shù)的條件.n階方程的初始條件(或初值條件):的階數(shù)相等.特解引例1

通解:特解:微分方程的解

—不含任意常數(shù)的解,初始條件其圖形稱為積分曲線.【分類1】常微分方程,偏微分方程.一階微分方程高階(n)微分方程【分類2】【分類3】線性微分方程，非線性微分方程

——未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)是否都是一次冪的?！痉诸?】單個(gè)微分方程與微分方程組.【例1】驗(yàn)證函數(shù)是微分方程的通解,的特解.【解】

這說明是方程的解.是兩個(gè)獨(dú)立的任意常數(shù),利用初始條件易得:故所求特解為故它是方程的通解.并求滿足初始條件微分方程；微分方程的階；微分方程的解；通解;初始條件；特解；初值問題；積分曲線．三、小結(jié)本節(jié)基本概念：【思考題】【思考題解答】中不含任意常數(shù),故為微分方程的特解.求曲線所滿足的微分方程.【補(bǔ)例1】已知曲線上點(diǎn)

P(x,y)處的法線與x

軸交點(diǎn)為

Q【解】如圖所示,令Y=0,得

Q

點(diǎn)的橫坐標(biāo)即點(diǎn)P(x,y)處的法線方程為且線段PQ被y軸平分,【補(bǔ)例2】【解】①②①+②得①－②得③④代入原方程可得即消去任