數(shù)字電子技術(shù)-02邏輯代數(shù)基礎(chǔ)

2.1邏輯代數(shù)基礎(chǔ)

2.1.1邏輯代數(shù)的基本運(yùn)算

2.1.2

復(fù)合邏輯運(yùn)算

1/12/20241復(fù)習(xí)（255）10=（）2=（）8=（）16=（）8421BCD00100101010110000000-1=11111111111111=7F1111111=1771/12/20242

內(nèi)容提要

1.3邏輯代數(shù)中的邏輯運(yùn)算

基本邏輯運(yùn)算（與、或、非）；復(fù)合邏輯函數(shù)運(yùn)算；1/12/202431.3.1基本邏輯運(yùn)算

邏輯：一定的因果關(guān)系。

邏輯代數(shù)是描述客觀事物邏輯關(guān)系的數(shù)學(xué)方法，是進(jìn)行邏輯分析與綜合的數(shù)學(xué)工具。因?yàn)樗怯?guó)數(shù)學(xué)家喬治·布爾(GeorgeBoole)于1847年提出的,所以又稱(chēng)為布爾代數(shù)。

邏輯代數(shù)有其自身獨(dú)立的規(guī)律和運(yùn)算法則，不同于普通代數(shù)。

相同點(diǎn)：都用字母A、B、C……表示變量；

不同點(diǎn)：邏輯代數(shù)變量的取值范圍僅為“0”和“1”，且無(wú)大小、正負(fù)之分。邏輯代數(shù)中的變量稱(chēng)為邏輯變量。

“0”和“1”表示兩種不同的邏輯狀態(tài)：是和非、真和假、高電位和低電位、有和無(wú)、開(kāi)和關(guān)等等。

1/12/202441.三種基本邏輯運(yùn)算（1）與運(yùn)算

當(dāng)決定某一事件的全部條件都具備時(shí)，該事件才會(huì)發(fā)生，這樣的因果關(guān)系稱(chēng)為與邏輯關(guān)系，簡(jiǎn)稱(chēng)與邏輯。開(kāi)關(guān)A開(kāi)關(guān)B燈Y斷開(kāi)斷開(kāi)滅斷開(kāi)閉合滅閉合斷開(kāi)滅閉合閉合亮ABY000010100111表1-6與邏輯的真值表

A、B全1，Y才為1。串聯(lián)開(kāi)關(guān)電路功能表

圖1-1(a)串聯(lián)開(kāi)關(guān)電路

設(shè)定邏輯變量并狀態(tài)賦值：邏輯變量：A和B，對(duì)應(yīng)兩個(gè)開(kāi)關(guān)的狀態(tài)；

1－閉合，0－斷開(kāi)；邏輯函數(shù)：Y，對(duì)應(yīng)燈的狀態(tài)，

1－燈亮，0－燈滅。1/12/20245圖1-1(b)與邏輯的邏輯符號(hào)邏輯表達(dá)式：

Y＝A·B＝AB符號(hào)“·”讀作“與”（或讀作“邏輯乘”）；在不致引起混淆的前提下，“·”常被省略。

實(shí)現(xiàn)與邏輯的電路稱(chēng)作與門(mén)，與邏輯和與門(mén)的邏輯符號(hào)如圖1-1(b)所示，符號(hào)“&”表示與邏輯運(yùn)算。1/12/20246

若開(kāi)關(guān)數(shù)量增加，則邏輯變量增加。

ABCY00000010010001101000101011001111A、B、C全1，Y才為1。Y＝A

·

B·C＝ABC1/12/20247（2）或運(yùn)算

當(dāng)決定某一事件的所有條件中，只要有一個(gè)具備，該事件就會(huì)發(fā)生，這樣的因果關(guān)系叫做或邏輯關(guān)系，簡(jiǎn)稱(chēng)或邏輯。開(kāi)關(guān)A開(kāi)關(guān)B燈Y斷開(kāi)斷開(kāi)滅斷開(kāi)閉合亮閉合斷開(kāi)亮閉合閉合亮ABY000011101111表1-7或邏輯的真值表

A、B有1，Y就為1。并聯(lián)開(kāi)關(guān)電路功能表

圖1-2(a)并聯(lián)開(kāi)關(guān)電路1/12/20248圖1-2(b)或邏輯的邏輯符號(hào)邏輯表達(dá)式：

Y＝A＋B符號(hào)“＋”讀作“或”（或讀作“邏輯加”）。

實(shí)現(xiàn)或邏輯的電路稱(chēng)作或門(mén)，或邏輯和或門(mén)的邏輯符號(hào)如圖1-2(b)所示，符號(hào)“≥1”表示或邏輯運(yùn)算。1/12/20249（3）非運(yùn)算

當(dāng)某一條件具備了，事情不會(huì)發(fā)生；而此條件不具備時(shí)，事情反而發(fā)生。這種邏輯關(guān)系稱(chēng)為非邏輯關(guān)系，簡(jiǎn)稱(chēng)非邏輯。表1-8非邏輯的真值表

A與Y相反開(kāi)關(guān)與燈并聯(lián)電路功能表

圖1-3(a)開(kāi)關(guān)與燈并聯(lián)電路開(kāi)關(guān)A燈Y斷開(kāi)亮閉合滅AY01101/12/202410圖1-3(b)非邏輯的邏輯符號(hào)

實(shí)現(xiàn)非邏輯的電路稱(chēng)作非門(mén)，非邏輯和非門(mén)的邏輯符號(hào)如圖1-3(b)所示。邏輯符號(hào)中用小圓圈“?！北硎痉沁\(yùn)算，符號(hào)中的“1”表示緩沖。邏輯表達(dá)式：

Y＝A符號(hào)“—”讀作“非”。1/12/2024112.復(fù)合邏輯運(yùn)算

在數(shù)字系統(tǒng)中，除應(yīng)用與、或、非三種基本邏輯運(yùn)算之外，還廣泛應(yīng)用與、或、非的不同組合，最常見(jiàn)的復(fù)合邏輯運(yùn)算有與非、或非、與或非、異或和同或等。

（1）與非運(yùn)算“與”和“非”的復(fù)合運(yùn)算稱(chēng)為與非運(yùn)算。

邏輯表達(dá)式：Y＝ABCABCY00010011010101111001101111011110表1-9與非邏輯的真值表

圖1-4與非邏輯的邏輯符號(hào)“有0必1，全1才0”1/12/202412

（2）或非運(yùn)算“或”和“非”的復(fù)合運(yùn)算稱(chēng)為或非運(yùn)算。

邏輯表達(dá)式：Y＝A+B+CABCY00010010010001101000101011001110表1-10或非邏輯的真值表

“有1必0，全0才1”圖1-5或非邏輯的邏輯符號(hào)1/12/202413

（3）與或非運(yùn)算“與”、“或”和“非”的復(fù)合運(yùn)算稱(chēng)為與或非運(yùn)算。

邏輯表達(dá)式：Y＝AB+CD圖1-6與或非邏輯的邏輯符號(hào)1/12/202414

（4）異或運(yùn)算所謂異或運(yùn)算，是指兩個(gè)輸入變量取值相同時(shí)輸出為0，取值不相同時(shí)輸出為1。

表1-11異或邏輯的真值表

“相同為0，相異為1”圖1-7異或邏輯的邏輯符號(hào)邏輯表達(dá)式：Y=A⊕B=AB+AB式中符號(hào)“⊕”表示異或運(yùn)算。

ABY0000111011101/12/2024152.1邏輯代數(shù)基礎(chǔ)2.1.3邏輯代數(shù)的公式和運(yùn)算規(guī)則

1/12/202416一邏輯代數(shù)的基本定律

邏輯函數(shù)的相等：

已知Y=F1

(A、B、C、D……)

W=F2

(A、B、C、D……)

問(wèn)：Y=W的條件？

僅當(dāng)A、B、C、D……的任一組取值所對(duì)應(yīng)的Y和W都相同，具體表現(xiàn)為二者的真值表完全相同時(shí)，Y=W。

等號(hào)“＝”不表示兩邊數(shù)值相等，僅表示一種等價(jià)、等效的邏輯關(guān)系。因?yàn)檫壿嬜兞亢瓦壿嫼瘮?shù)的取值0和1是不能比較大小的，僅表示一種狀態(tài)。結(jié)論：可用真值表驗(yàn)證邏輯函數(shù)是否相等。

ABY000010100111ABW0010101001111/12/2024171.基本公式（1）常量之間的關(guān)系

這些常量之間的關(guān)系，同時(shí)也體現(xiàn)了邏輯代數(shù)中的基本運(yùn)算規(guī)則，也叫做公理，它是人為規(guī)定的，這樣規(guī)定，既與邏輯思維的推理一致，又與人們已經(jīng)習(xí)慣了的普通代數(shù)的運(yùn)算規(guī)則相似。0·

0=00+0=00·

1=0

0+1=11·

0=01+0=11·

1=1

1+1=10=1

1=0請(qǐng)?zhí)貏e注意與普通代數(shù)不同之處與或1/12/202418（2）常量與變量之間的關(guān)系普通代數(shù)結(jié)果如何？（3）與普通代數(shù)相似的定理

交換律A·B=B·AA+B=B+A結(jié)合律A·（B·C）=（A·B）·CA+(B+C)=(A+B)+C分配律A·（B+C）=A·B+A·CA+(BC)=(A+B)(A+C)1/12/202419（4）特殊的定理

De·morgen定理表1-16反演律(摩根定理)真值表1/12/202420表1-15邏輯代數(shù)的基本公式1/12/2024212.常用公式B：互補(bǔ)A：公因子A是AB的因子1/12/202422A的反函數(shù)是因子與互補(bǔ)變量A相與的B、C是第三項(xiàng)添加項(xiàng)1/12/202423常用公式需記憶1/12/202424在任何一個(gè)邏輯等式（如F＝W）中，如果將等式兩端的某個(gè)變量（如B）都以一個(gè)邏輯函數(shù)（如Y=BC）代入，則等式仍然成立。這個(gè)規(guī)則就叫代入規(guī)則。二.邏輯代數(shù)的基本規(guī)則（1）代入規(guī)則推廣利用代入規(guī)則可以擴(kuò)大公式的應(yīng)用范圍。

理論依據(jù)：任何一個(gè)邏輯函數(shù)也和任何一個(gè)邏輯變量一樣，只有邏輯0和邏輯1兩種取值。因此，可將邏輯函數(shù)作為一個(gè)邏輯變量對(duì)待。1/12/202425（2）反演規(guī)則運(yùn)用反演規(guī)則時(shí)，要注意運(yùn)算的優(yōu)先順序（先括號(hào)、再相與，最后或），必要時(shí)可加或減擴(kuò)號(hào)。對(duì)任何一個(gè)邏輯表達(dá)式Y(jié)作反演變換，可得Y的反函數(shù)Y。這個(gè)規(guī)則叫做反演規(guī)則。

反演變換：“﹒”→“﹢”“﹢”→“﹒”

“0”

→

“1”“1”

→“0”，原變量→反變量反變量→原變量1/12/202426對(duì)任何一個(gè)邏輯表達(dá)式Y(jié)作對(duì)偶變換，可Y的對(duì)偶式Y(jié)ˊ。（3）對(duì)偶規(guī)則運(yùn)用對(duì)偶規(guī)則時(shí)，同樣應(yīng)注意運(yùn)算的優(yōu)先順序，必要時(shí)可加或減擴(kuò)號(hào)。對(duì)偶變換：“﹒”→“﹢”“﹢”→“﹒”“0”

→

“1”“1”

→“0”1/12/202427

利用對(duì)偶定理，可以使要證明和記憶的公式數(shù)目減少一半。

互為對(duì)偶式

對(duì)偶定理：若等式Y(jié)=W成立，則等式Y(jié)ˊ=Wˊ也成立。

1/12/202428作業(yè)題P321、2.1（1）、（2）、（3）2、2.3（1）、（3）3、2.4（1）、（3）1/12/202429

（5）同或運(yùn)算所謂同或運(yùn)算，是指兩個(gè)輸入變量取值相同時(shí)輸出為1，取值不相同時(shí)輸出為0。

表1-12同或邏輯的真值表

“相同為1，相異為0”圖1-8同或邏輯的邏輯符號(hào)ABY001010100111邏輯表達(dá)式：Y=A⊙B=AB+AB=A⊕B

式中符號(hào)“⊙”表示同或運(yùn)算。

1/12/2024302.2邏輯函數(shù)的表示方法

一邏輯函數(shù)

二邏輯函數(shù)的描述

1/12/2024311.邏輯函數(shù)

輸入邏輯變量和輸出邏輯變量之間的函數(shù)關(guān)系稱(chēng)為邏輯函數(shù)，寫(xiě)作

Y=F(A、B、C、D……)

A、B、C、D為有限個(gè)輸入邏輯變量；

F為有限次邏輯運(yùn)算（與、或、非）的組合。表示邏輯函數(shù)的方法有：真值表、邏輯函數(shù)表達(dá)式、邏輯圖和卡諾圖。1/12/202432

真值表是將輸入邏輯變量的所有可能取值與相應(yīng)的輸出變量函數(shù)值排列在一起而組成的表格。

1個(gè)輸入變量有0和1兩種取值，

n個(gè)輸入變量就有2n個(gè)不同的取值組合。例：邏輯函數(shù)Y=AB+BC+AC表1-11邏輯函數(shù)的真值表

ABCY00000010010001111000101111011111三個(gè)輸入變量，八種取值組合2.真值表ABBCAC1/12/202433ABCY00000010010001111000101111011111真值表的特點(diǎn)：①唯一性;②按自然二進(jìn)制遞增順序排列（既不易遺漏，也不會(huì)重復(fù)）。③n個(gè)輸入變量就有2n個(gè)不同的取值組合。

1/12/202434例：控制樓梯照明燈的電路。

兩個(gè)單刀雙擲開(kāi)關(guān)A和B分別裝在樓上和樓下。無(wú)論在樓上還是在樓下都能單獨(dú)控制開(kāi)燈和關(guān)燈。設(shè)燈為L(zhǎng)，L為1表示燈亮，L為0表示燈滅。對(duì)于開(kāi)關(guān)A和B，用1表示開(kāi)關(guān)向上扳，用0表示開(kāi)關(guān)向下扳。表1-14控制樓梯照明燈的電路的真值表ABL001010100111圖1-9控制樓梯照明燈的電路1/12/2024353.邏輯表達(dá)式

按照對(duì)應(yīng)的邏輯關(guān)系，把輸出變量表示為輸入變量的與、或、非三種運(yùn)算的組合，稱(chēng)之為邏輯函數(shù)表達(dá)式（簡(jiǎn)稱(chēng)邏輯表達(dá)式）。由真值表可以方便地寫(xiě)出邏輯表達(dá)式。方法為：①找出使輸出為1的輸入變量取值組合；②取值為1用原變量表示，取值為0的用反變量表示，則可寫(xiě)成一個(gè)乘積項(xiàng)；③將乘積項(xiàng)相加即得。

ABL001010100111L=AB+ABABAB1/12/2024364.邏輯圖

用相應(yīng)的邏輯符號(hào)將邏輯表達(dá)式的邏輯運(yùn)算關(guān)系表示出來(lái)，就可以畫(huà)出邏輯函數(shù)的邏輯圖。ABL001010100111L=AB+AB圖1-10圖1-9電路的邏輯圖1/12/2024372.3邏輯函數(shù)的代數(shù)化簡(jiǎn)法2.3.2具體的代數(shù)化簡(jiǎn)法

2.3.1化簡(jiǎn)的意義與標(biāo)準(zhǔn)1/12/2024382.3.1

化簡(jiǎn)的意義與標(biāo)準(zhǔn)（1）化簡(jiǎn)的意義

例：用非門(mén)和與非門(mén)實(shí)現(xiàn)邏輯函數(shù)

解：直接將表達(dá)式變換成與非－與非式：

可見(jiàn)，實(shí)現(xiàn)該函數(shù)需要用兩個(gè)非門(mén)、四個(gè)兩輸入端與非門(mén)、一個(gè)五輸入端與非門(mén)。電路較復(fù)雜?！?×4×1兩次求反反演律1/12/202439若將該函數(shù)化簡(jiǎn)并作變換：

可見(jiàn)，實(shí)現(xiàn)該函數(shù)需要用兩個(gè)非門(mén)和一個(gè)兩輸入端與非門(mén)即可。電路很簡(jiǎn)單。×2×11/12/202440（2）邏輯函數(shù)的多種表達(dá)式形式與-或表達(dá)式與非-與非表達(dá)式

或-與非表達(dá)式

或非-或表達(dá)式

兩次求反并用反演律反演律反演律1/12/202441（2）邏輯函數(shù)的多種表達(dá)式形式（續(xù)）或-與表達(dá)式或非-或非表達(dá)式

與-或非表達(dá)式

與非-與表達(dá)式

1/12/202442

由以上分析可知，邏輯函數(shù)有很多種表達(dá)式形式，但形式最簡(jiǎn)潔的是與或表達(dá)式，因而也是最常用的。

（3）邏輯函數(shù)的最簡(jiǎn)標(biāo)準(zhǔn)由于與或表達(dá)式最常用，因此只討論最簡(jiǎn)與或表達(dá)式的最簡(jiǎn)標(biāo)準(zhǔn)。

最簡(jiǎn)與或表達(dá)式為：①與項(xiàng)（乘積項(xiàng)）的個(gè)數(shù)最少；②每個(gè)與項(xiàng)中的變量最少。1/12/2024432.3.2具體的代數(shù)化簡(jiǎn)法

反復(fù)利用邏輯代數(shù)的基本公式、常用公式和運(yùn)算規(guī)則進(jìn)行化簡(jiǎn)，又稱(chēng)為代數(shù)化簡(jiǎn)法。必須依賴(lài)于對(duì)公式和規(guī)則的熟練記憶和一定的經(jīng)驗(yàn)、技巧。1/12/202444

（1）代入規(guī)則

在任何一個(gè)邏輯等式（如F＝W）中，如果將等式兩端的某個(gè)變量（如B）都以一個(gè)邏輯函數(shù)（如Y=BC）代入，則等式仍然成立。這個(gè)規(guī)則就叫代入規(guī)則。

在公式化簡(jiǎn)中大量應(yīng)用！需靈活掌握。最常使用，特別需要熟練記憶！1/12/202445

（2）反演規(guī)則－便于實(shí)現(xiàn)反函數(shù)。（3）對(duì)偶規(guī)則－使公式的應(yīng)用范圍擴(kuò)大一倍，使公式的記憶量減小一倍。反演變換：“﹒”→“﹢”“﹢”→“﹒”“0”

→

“1”“1”

→“0”，原變量→反變量反變量→原變量對(duì)偶變換：“﹒”→“﹢”“﹢”→“﹒”“0”

→

“1”“1”

→“0”1/12/202446例1-2化簡(jiǎn)函數(shù)解：

例化簡(jiǎn)函數(shù)解：代入規(guī)則

（1）并項(xiàng)法利用公式A+A=1或公式AB+AB=A進(jìn)行化簡(jiǎn)，通過(guò)合并公因子，消去變量。

或：代入規(guī)則1/12/202447

（2）吸收法利用公式A+AB=A進(jìn)行化簡(jiǎn)，消去多余項(xiàng)。

例1-3化簡(jiǎn)函數(shù)解：

例化簡(jiǎn)函數(shù)解：1/12/202448例1-4化簡(jiǎn)函數(shù)解：例化簡(jiǎn)函數(shù)解：

（3）消去法利用公式A+AB=A＋B進(jìn)行化簡(jiǎn)，消去多余項(xiàng)。1/12/202449例1-5化簡(jiǎn)函數(shù)解：

（4）配項(xiàng)法在適當(dāng)?shù)捻?xiàng)配上A+A=1進(jìn)行化簡(jiǎn)。1/12/202450例1-5化簡(jiǎn)函數(shù)解2：

解1得：?jiǎn)栴}：函數(shù)Y的結(jié)果不一樣，哪一個(gè)解正確呢？

答案都正確!最簡(jiǎn)結(jié)果的形式是一樣的，都為三個(gè)與項(xiàng)，每個(gè)與項(xiàng)都為兩個(gè)變量。表達(dá)式不唯一！1/12/202451例化簡(jiǎn)函數(shù)解：

（5）添加項(xiàng)法利用公式AB+AC+BC=AB＋AC，先添加一項(xiàng)BC，然后再利用BC進(jìn)行化簡(jiǎn)，消去多余項(xiàng)。1/12/202452下面舉一個(gè)綜合運(yùn)用的例子。解：1/12/202453

公式化簡(jiǎn)法評(píng)價(jià)：特點(diǎn)：目前尚無(wú)一套完整的方法，能否以最快的速度進(jìn)行化簡(jiǎn)，與我們的經(jīng)驗(yàn)和對(duì)公式掌握及運(yùn)用的熟練程度有關(guān)。優(yōu)點(diǎn)：變量個(gè)數(shù)不受限制。缺點(diǎn)：結(jié)果是否最簡(jiǎn)有時(shí)不易判斷。

下次課將介紹與公式化簡(jiǎn)法優(yōu)缺點(diǎn)正好互補(bǔ)的卡諾圖化簡(jiǎn)法。當(dāng)變量個(gè)數(shù)超過(guò)4時(shí)人工進(jìn)行卡諾圖化簡(jiǎn)較困難，但它是一套完整的方法，只要按照相應(yīng)的方法就能以最快的速度得到最簡(jiǎn)結(jié)果。1/12/2024542.4邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡(jiǎn)法2.4.1最小項(xiàng)及最小項(xiàng)表達(dá)式

2.4.2用卡諾圖表示邏輯函數(shù)2.4.3卡諾圖化簡(jiǎn)法

2.4.4含有無(wú)關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)

1/12/2024552.4邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡(jiǎn)法

公式化簡(jiǎn)法評(píng)價(jià)：優(yōu)點(diǎn)：變量個(gè)數(shù)不受限制。缺點(diǎn)：目前尚無(wú)一套完整的方法，結(jié)果是否最簡(jiǎn)有時(shí)不易判斷。

利用卡諾圖可以直觀而方便地化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)。它克服了公式化簡(jiǎn)法對(duì)最終化簡(jiǎn)結(jié)果難以確定等缺點(diǎn)?？ㄖZ圖是按一定規(guī)則畫(huà)出來(lái)的方框圖，是邏輯函數(shù)的圖解化簡(jiǎn)法，同時(shí)它也是表示邏輯函數(shù)的一種方法?？ㄖZ圖的基本組成單元是最小項(xiàng)，所以先討論一下最小項(xiàng)及最小項(xiàng)表達(dá)式。

1/12/2024562.4.1最小項(xiàng)及最小項(xiàng)表達(dá)式

（1）最小項(xiàng)

具備以上條件的乘積項(xiàng)共八個(gè)，我們稱(chēng)這八個(gè)乘積項(xiàng)為三變量A、B、C的最小項(xiàng)。

設(shè)A、B、C是三個(gè)邏輯變量，若由這三個(gè)邏輯變量按以下規(guī)則構(gòu)成乘積項(xiàng)：①每個(gè)乘積項(xiàng)都只含三個(gè)因子，且每個(gè)變量都是它的一個(gè)因子；②每個(gè)變量都以反變量(A、B、C)或以原變量(A、B、C)的形式出現(xiàn)一次，且僅出現(xiàn)一次。

AB是三變量函數(shù)的最小項(xiàng)嗎？ABBC是三變量函數(shù)的最小項(xiàng)嗎？

推廣：一個(gè)變量?jī)H有原變量和反變量?jī)煞N形式，因此N個(gè)變量共有2N個(gè)最小項(xiàng)。1/12/202457

最小項(xiàng)的定義:對(duì)于N個(gè)變量，如果P是一個(gè)含有N個(gè)因子的乘積項(xiàng)，而且每一個(gè)變量都以原變量或者反變量的形式，作為一個(gè)因子在P中出現(xiàn)且僅出現(xiàn)一次，那么就稱(chēng)P是這N個(gè)變量的一個(gè)最小項(xiàng)。表1-17三變量最小項(xiàng)真值表

1/12/202458（2）最小項(xiàng)的性質(zhì)

①對(duì)于任意一個(gè)最小項(xiàng)，只有一組變量取值使它的值為1，而變量取其余各組值時(shí)，該最小項(xiàng)均為0；②任意兩個(gè)不同的最小項(xiàng)之積恒為0；③變量全部最小項(xiàng)之和恒為1。1/12/202459

最小項(xiàng)也可用“mi”表示，下標(biāo)“i”即最小項(xiàng)的編號(hào)。編號(hào)方法：把最小項(xiàng)取值為1所對(duì)應(yīng)的那一組變量取值組合當(dāng)成二進(jìn)制數(shù)，與其相應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)，就是該最小項(xiàng)的編號(hào)。

表1-18三變量最小項(xiàng)的編號(hào)表

1/12/202460

（3）最小項(xiàng)表達(dá)式

任何一個(gè)邏輯函數(shù)都可以表示為最小項(xiàng)之和的形式——標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式。而且這種形式是惟一的，就是說(shuō)一個(gè)邏輯函數(shù)只有一種最小項(xiàng)表達(dá)式。例1-7將Y=AB+BC展開(kāi)成最小項(xiàng)表達(dá)式。解：或：1/12/202461例14寫(xiě)出三變量函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式。解利用摩根定律將函數(shù)變換為與或表達(dá)式，然后展開(kāi)成最小項(xiàng)之和形式。1/12/2024622.4.2用卡諾圖表示邏輯函數(shù)

（1）卡諾圖及其構(gòu)成原則

卡諾圖是把最小項(xiàng)按照一定規(guī)則排列而構(gòu)成的方框圖。構(gòu)成卡諾圖的原則是：

①N變量的卡諾圖有2N個(gè)小方塊（最小項(xiàng)）；

②最小項(xiàng)排列規(guī)則：幾何相鄰的必須邏輯相鄰。

邏輯相鄰：兩個(gè)最小項(xiàng),只有一個(gè)變量的形式不同,其余的都相同。邏輯相鄰的最小項(xiàng)可以合并。

幾何相鄰的含義：一是相鄰——緊挨的；二是相對(duì)——任一行或一列的兩頭；三是相重——對(duì)折起來(lái)后位置相重。在五變量和六變量的卡諾圖中，用相重來(lái)判斷某些最小項(xiàng)的幾何相鄰性，其優(yōu)點(diǎn)是十分突出的。1/12/202463圖1-11三變量卡諾圖的畫(huà)法

（2）卡諾圖的畫(huà)法首先討論三變量（A、B、C）函數(shù)卡諾圖的畫(huà)法。①3變量的卡諾圖有23個(gè)小方塊；②幾何相鄰的必須邏輯相鄰：變量的取值按00、01、11、10的順序（循環(huán)碼）排列。相鄰相鄰1/12/202464圖1-12四變量卡諾圖的畫(huà)法相鄰相鄰不相鄰

正確認(rèn)識(shí)卡諾圖的“邏輯相鄰”：上下相鄰，左右相鄰，并呈現(xiàn)“循環(huán)相鄰”的特性，它類(lèi)似于一個(gè)封閉的球面，如同展開(kāi)了的世界地圖一樣。對(duì)角線(xiàn)上不相鄰。1/12/202465

（1）從真值表畫(huà)卡諾圖根據(jù)變量個(gè)數(shù)畫(huà)出卡諾圖，再按真值表填寫(xiě)每一個(gè)小方塊的值（0或1）即可。需注意二者順序不同。

例1-8已知Y的真值表，要求畫(huà)Y的卡諾圖。表1-19邏輯函數(shù)Y的真值表ABCY00000011010101101001101011001111圖1-20例1-8的卡諾圖1/12/202466

（2）從最小項(xiàng)表達(dá)式畫(huà)卡諾圖

把表達(dá)式中所有的最小項(xiàng)在對(duì)應(yīng)的小方塊中填入1，其余的小方塊中填入0。例1-9畫(huà)出函數(shù)Y(A、B、C、D)=∑m(0,3,5,7,9,12,15)的卡諾圖。

圖1-14例1-9的卡諾圖1/12/202467

（3）從與－或表達(dá)式畫(huà)卡諾圖把每一個(gè)乘積項(xiàng)所包含的那些最小項(xiàng)（該乘積項(xiàng)就是這些最小項(xiàng)的的公因子）所對(duì)應(yīng)的小方塊都填上1，剩下的填0，就可以得到邏輯函數(shù)的卡諾圖。1111AB＝11

例已知Y＝AB＋ACD＋ABCD，畫(huà)卡諾圖。最后將剩下的填01+1ACD=1011ABCD=01111/12/202468

（4）從一般形式表達(dá)式畫(huà)卡諾圖

先將表達(dá)式變換為與或表達(dá)式，則可畫(huà)出卡諾圖。

1/12/202469練習(xí)：

解：（1）利用摩根定律去掉非號(hào)，直到最后得到一個(gè)與或表達(dá)式，即

（2）根據(jù)與或表達(dá)式畫(huà)出卡諾圖，如下圖所示。1/12/2024701/12/202471

（1）卡諾圖中最小項(xiàng)合并的規(guī)律合并相鄰最小項(xiàng)，可消去變量。合并兩個(gè)最小項(xiàng)，可消去一個(gè)變量；合并四個(gè)最小項(xiàng)，可消去兩個(gè)變量；合并八個(gè)最小項(xiàng)，可消去三個(gè)變量。合并2N個(gè)最小項(xiàng)，可消去N個(gè)變量。2.4.3卡諾圖化簡(jiǎn)法

由于卡諾圖兩個(gè)相鄰最小項(xiàng)中，只有一個(gè)變量取值不同，而其余的取值都相同。所以，合并相鄰最小項(xiàng)，利用公式A+A=1，AB＋AB＝A，可以消去一個(gè)或多個(gè)變量，從而使邏輯函數(shù)得到簡(jiǎn)化。

1/12/202472圖1-15兩個(gè)最小項(xiàng)合并

m3m11BCD1/12/202473圖1-16四個(gè)最小項(xiàng)合并

1/12/202474圖1-17八個(gè)最小項(xiàng)合并1/12/202475

（2）利用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)

A．基本步驟：

①畫(huà)出邏輯函數(shù)的卡諾圖；②合并相鄰最小項(xiàng)（圈組）；③從圈組寫(xiě)出最簡(jiǎn)與或表達(dá)式。

關(guān)鍵是能否正確圈組。

B．正確圈組的原則①必須按2、4、8、2N的規(guī)律來(lái)圈取值為1的相鄰最小項(xiàng)；②每個(gè)取值為1的相鄰最小項(xiàng)至少必須圈一次，但可以圈多次；③圈的個(gè)數(shù)要最少（與項(xiàng)就少），并要盡可能大（消去的變量就越多）。1/12/202476

C．從圈組寫(xiě)最簡(jiǎn)與或表達(dá)式的方法：

①將每個(gè)圈用一個(gè)與項(xiàng)表示

圈內(nèi)各最小項(xiàng)中互補(bǔ)的因子消去，相同的因子保留，相同取值為1用原變量，相同取值為0用反變量；

②將各與項(xiàng)相或，便得到最簡(jiǎn)與或表達(dá)式。1/12/202477

例1-10用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)

Y(A、B、C、D)=∑m(0,1,2,3,4,5,6,7,8,10,11)

解：相鄰A1/12/202478相鄰BCA1/12/202479BCABD1/12/202480

例1-11化簡(jiǎn)圖示邏輯函數(shù)。解：多余的圈112233441/12/202481

圈組技巧(防止多圈組的方法)：

①先圈孤立的1；

②再圈只有一種圈法的1；③最后圈大圈；④檢查：每個(gè)圈中至少有一個(gè)1未被其它圈圈過(guò)。1/12/202482圖1.18例19卡諾圖化簡(jiǎn)過(guò)程例19化簡(jiǎn)

解化簡(jiǎn)步驟如下：①函數(shù)的卡諾圖如圖1.17所示，“0”可以不填。②畫(huà)卡諾圈：如圖1.17所示1/12/202483

③按消去不同、保留相同的方法寫(xiě)出邏輯表達(dá)式。

例20化簡(jiǎn)

Y(A,B,C,D)=∑m(0,1,2,3,4,5,8,10,11)

解（1）畫(huà)出函數(shù)的卡諾圖,如圖1.19所示。

(2)按合并最小項(xiàng)的規(guī)律可畫(huà)出三個(gè)卡諾圈，如圖1.18所示。

(3)寫(xiě)出化簡(jiǎn)后的邏輯表達(dá)式

1/12/202484

圖1.19例20的卡諾圖

1/12/2024852.4.4具有無(wú)關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)及其化簡(jiǎn)

①無(wú)關(guān)項(xiàng)的概念

對(duì)應(yīng)于輸入變量的某些取值下，輸出函數(shù)的值可以是任意的(隨意項(xiàng)、任意項(xiàng))，或者這些輸入變量的取值根本不會(huì)（也不允許）出現(xiàn)(約束項(xiàng))，通常把這些輸入變量取值所對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)稱(chēng)為無(wú)關(guān)項(xiàng)或任意項(xiàng)，在卡諾圖中用符號(hào)“×”表示，在標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式中用∑d（）表示。例：當(dāng)8421BCD碼作為輸入變量時(shí)，禁止碼1010～1111這六種狀態(tài)所對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)就是無(wú)關(guān)項(xiàng)。

1/12/202486

②具有無(wú)關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)及其化簡(jiǎn)

因?yàn)闊o(wú)關(guān)項(xiàng)的值可以根據(jù)需要取0或取1，所以在用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)時(shí)，充分利用無(wú)關(guān)項(xiàng)，可以使邏輯函數(shù)進(jìn)一步得到簡(jiǎn)化。1/12/202487

例1-12設(shè)ABCD是十進(jìn)制數(shù)X的二進(jìn)制編碼，當(dāng)X≥5時(shí)輸出Y為1，求Y的最簡(jiǎn)與或表達(dá)式。表1-20例1-12的真值表

XABCDY00

000010

001020

010030

011040

100050

101160

110170

111181

000191

0011/1010×/1011×/1100×/1101×/1110×/1111×解：列真值表，見(jiàn)表1-20所示。

畫(huà)卡諾圖并化簡(jiǎn)。

1/12/202488圖1-20例1-12的卡諾圖

充分利用無(wú)關(guān)項(xiàng)化簡(jiǎn)后得到的結(jié)果要簡(jiǎn)單得多。注意：當(dāng)圈組后，圈內(nèi)的無(wú)關(guān)項(xiàng)已自動(dòng)取值為1，而圈外無(wú)關(guān)項(xiàng)自動(dòng)取值為0。利用無(wú)關(guān)項(xiàng)化簡(jiǎn)結(jié)果為：Y＝A＋BD＋BC1/12/202489

例1-13化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)Y(A、B、C、D)=∑m(1,2,5,6,9)+∑d(10,11,12,13,14,15)式中d表示無(wú)關(guān)項(xiàng)。圖1-21例1-13的卡諾圖

解：畫(huà)函數(shù)的卡諾圖并化簡(jiǎn)。結(jié)果為：Y＝CD＋CD

1/12/202490例1-14十字路口的交通信號(hào)燈,紅、綠、黃燈分別用A、B、C來(lái)表示。燈亮用1來(lái)表示，燈滅用0來(lái)表示。車(chē)輛通行狀態(tài)用Y來(lái)表示，停車(chē)時(shí)Y為0，通車(chē)時(shí)Y為1。用卡諾圖化簡(jiǎn)此邏輯函數(shù)。解：

(1)在實(shí)際交通信號(hào)燈工作時(shí)，不可能有兩個(gè)或兩個(gè)以上的燈同時(shí)亮(燈全滅時(shí),允許車(chē)輛感到安全時(shí)可以通行)。根據(jù)題目要求列出真值表，如表1.13所示。

(2)根據(jù)真值表畫(huà)卡諾圖，如圖1.21所示。1/12/202491表1.13例1-14的真值表ABCY000001010011100101110111101×0×××1/12/202492

圖1.22例24的卡諾圖

(3)畫(huà)卡諾圈合并最小項(xiàng),其中約束項(xiàng)可以當(dāng)作0或1,目的是要得到最簡(jiǎn)的結(jié)果。

1/12/202493邏輯代數(shù)應(yīng)用舉例：例1：給定條件：A從來(lái)不說(shuō)話(huà)；B只有A在場(chǎng)時(shí)才說(shuō)話(huà)；C在任何情況下甚至一個(gè)人時(shí)也說(shuō)話(huà)；D只有C在場(chǎng)時(shí)才說(shuō)話(huà)。問(wèn)房中沒(méi)有人說(shuō)話(huà)的條件。設(shè)：沒(méi)人說(shuō)話(huà)時(shí)，輸出為1。對(duì)變量（A，B，C，D）而言，不在場(chǎng)時(shí)為0，在場(chǎng)時(shí)為1。列真值表：1/12/202494

ABCDY0000000100