充要條件 高一數(shù)學人教A版（2019）必修第一冊

1.4.2充要條件要求課標要求

通過對典型數(shù)學命題的梳理，理解充要條件的意義，理解數(shù)學定義與充要條件的關系．素養(yǎng)要求

針對充要條件問題，通過幾個數(shù)學定義的研究比較，學生經歷梳理知識、提煉定義、感悟思想的學習過程，提升邏輯推理素養(yǎng)與數(shù)學抽象素養(yǎng)．從集合角度理解充分條件與必要條件p?q，p是q的充分條件，相當于P?Q有它就行PQP、Q或q?p，p是q的必要條件，相當于Q?P缺它不行QPP、Q或QP在P中的元素就一定在Q中，在Q中的元素不一定在P中．

小的可以推出大的，p?q，大的不能推出小的，q?p．從集合角度理解充分條件與必要條件例：判斷下列哪個p是q的充分條件，哪個p是q的必要條件?

(1)p：x<0，q：x2>0；

(2)p：x＝y(tǒng)，q：|x|＝|y|；

(3)p：x<2，q：x<0；

(4)p：菱形，q：正方形．充分條件充分條件必要條件必要條件練習：填空

(1)xy＝0的一個充分條件是

； x<2的一個必要條件是

．(2)已知x<3是x<a的一個必要條件，

則實數(shù)a的取值范圍是

．(3)已知x＋a<0是x－2<0的一個充分條件，

則實數(shù)a的取值范圍是

．{x|x≤3}{x|x≥－2}x<5x＝0

pqqp充要條件p是q的充分條件

p是q的必要條件

p是q的

充

要

條

件

p

q表示p

q,且q

p

充要條件有時可以改用“當且僅當”來表示

p與q的邏輯關系思考條件p與條件q之間有幾種不同的邏輯關系？①若p

q

，且q

p

，則p是q的充分不必要條件；②若p

q，且q

p

，則p是q的必要不充分條件；④若p

q，且q

p

，則p是q的充要條件.

③若p

q

，且q

p

，則p是q的即不充分也不必要條件；練一練1.在下列電路圖中,開關A閉合是燈泡B亮的什么條件:⑴如圖①所示,開關A閉合是燈泡B亮的__________條件;⑵如圖②所示,開關A閉合是燈泡B亮的__________條件;⑶如圖③所示,開關A閉合是燈泡B亮的__________條件;⑷如圖④所示,開關A閉合是燈泡B亮的________________條件.充分不必要必要不充分

充

要既不充分也不必要1)p：同位角相等；

q：兩直線平行2)p：兩個角是對頂角；

q：兩個角相等3)p：兩個三角形周長相等；

q：兩個三角形面積相等4)p：兩個三棱錐底面積相等；

q：兩個三棱錐體積相等2.下列各小題中，p是q的什么條件？練一練概括歸納

已知

p：x∈A；

q：x∈B

若A?B，則p是q的充分不必要條件；若B?A，則p是q的必要不充分條件；若A=B，

則p是q的充要條件；若A?B，且B?A,

則p是q的既不充分也不必要條件.ABxBA

例:下列“若p，則q”形式的命題中，哪些命題中的p是q的充要條件？(1)p：四邊形是正方形，q：四邊形的對角線互相垂直平分；(2)p：兩個三角形相似，q：兩個三角形的三邊成比例；(3)p：xy>0,q：x>0,y>0；(4)p：x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一個根,q：a+b+c=0。例析解：(1)(2)∴p是q的充要條件。(3)∴p是q的充要條件?！鄍不是q的充要條件。(4)∴p不是q的充要條件。（p是q的充分不必要條件）（p是q的充要條件）（p是q的必要不充分條件）（p是q的充要條件）(1)若

，且

，則p是q的充分不必要條件；(2)若

，且

，則p是q的必要不充分條件；命題條件的分類

(3)若

，且

，則p是q的充要條件；(4)若

，且

，則p是q的既不充分也不必要條件.命題的條件分為四類：充分不必要條件、必要不充分條件、充要條件以及既不充分也不必要條件。即：小結

思考：根據(jù)以上的知識想一想，一個命題的條件可分為哪幾類？(2)你還能能給出“四邊形是平行四邊形”其它充要條件嗎？四邊形的兩組對角分別相等；“兩組對邊分別平行”是“四邊形是平行四邊形”的充要條件嗎？兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形(1)平行四邊形的定義是怎樣的？你能用這些條件來給平行四邊形另外下一個定義嗎？四邊形的兩組對邊分別相等;四邊形的一組對邊平行且相等；四邊形的兩條對角線互相平分.兩組對角分別相等的四邊形叫做平行四邊形兩組對邊分別相等的四邊形叫做平行四邊形一組對邊平行且相等的四邊形叫做平行四邊形兩條對角線互相平分的四邊形叫做平行四邊形（3)如何給一個概念下定義？

利用概念的充要條件可以給一個概念下定義，而且這些定義之間是相互等價的。QP1)QP3)P（Q）2)集合的包含關系與命題的條件p是q的充分不必要條件，q是p的必要不充分條件p，q互為充要條件p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件設p、q對應的集合分別為P、Q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件小結鞏固與練習探究一般的定義命題的條件都是充要條件充要條件并不唯一它為我們提供了等價轉化的機會。課堂檢測1.已知集合A={1,a},B={1,2,3},則“a=3”是“A?B”的

()A.充分不必要條件

B.必要不充分條件C.充要條件

D.既不充分又不必要條件解析

∵A={1,a},B={1,2,3},A?B,∴a∈B且a≠1,∴a=2或a=3,∴“a=3”

是“A?B”的充分不必要條件.A2.設p:x<3,q:-1<x<3,則p是q成立的

()A.充要條件

B.充分不必要條件C.必要不充分條件

D.既不充分又不必要條件解析

因為{x|-1<x<3}{x|x<3},所以p是q成立的必要不充分條件.C3.(多選)下列論述正確的是

()A.若x∈R,則“x>1”是“x>2”的必要不充分條件B.在△ABC中,“AB2+AC2=BC2”是“△ABC為直角三角形”的充要條件C.“

>

”是“a<b”的充要條件D.若a,b∈R,則“a2+b2≠0”是“a,b不全為0”的充要條件AD解析

AD對于A,∵x>2?x>1,但x>1?/x>2,∴A正確;對于B,“AB2+AC2=BC2”特指A為直角,但“△ABC為直角三角形”

的直角不一定是A,故B錯誤;對于C,“

>

”“a<b“兩者都不能相互推出,故C錯誤;對于D,由a2+b2≠0?a,b不全為0,反之,由a,b不全為0?a2+b2≠0,故D

正確.故選AD.4.已知x,y∈R,則“xy=0”是“x2+y2=0”的

條件.必要不充分5.函數(shù)y=x2+mx+1的圖象關于直線x=1對稱的充要條件是

.解析二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線x=-

=-

,當m=-2時,y=x2-2x+1,其圖象關于直線x=1對稱,反之也成立,所以函數(shù)y=x2+mx+1的圖象關于直線x=1對稱

的充要條件是m=-2.m=-2邏輯推理——充要條件的證明設在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,求證:方程x2+2ax+b2=0與x2+2cx-b2=

0有公共根的充要條件是∠A=90°.素養(yǎng)探究:一般地,證明“p成立的充要條件為q”時,在證充分性時應以q為

“已知條件”,p是該步中要證明的“結論”,即q?p;證明必要性時則是以p

為“已知條件”,q為該步中要證明的“結論”,即p?q,過程中體現(xiàn)邏輯推理

核心素養(yǎng).素養(yǎng)演練證明必要性:設方程x2+2ax+b2=0與x2+2cx-b2=0的公共根為x0,則

+2ax0+b2=0,

+2cx0-b2=0.兩式相減,得x0=

,代入

+2ax0+b2=0,可得b2+c2=a2,故∠A=90°.∴必要性成立.充分性:∵∠A=90°,∴b2=a2-c2.①將①代入方程x2+2ax+b2=0,可得x2+2ax+a2-c2=0,即(x+a-c)(x+a+c)=0.將①代入方程x2+2cx-b2=0,可得x2+2cx+c2-a2=0,即(x+c-a)(x+c+a)=0.故兩方程有公共根x=-(a+c).∴充分性成立.∴方程x2+2ax+b2=0與x2+2cx-b2=0有公共根的充要條件是∠A=90°.針對訓練已知a+b≠0,證明:a2+b2-a-b+2ab=0成立的充要條件是a+b=1.證明充分性:若a+b=1,則a2+b2-a-b+2ab=(a+b)2-(a+b)=1-1=0,即充分性成立.必要性:若a2+b2-a-b+2