高校強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試題

2021年和2020年全部高校

強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試題

（北大，清華，復(fù)旦，交大，中科大等）

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目錄

1.2021年北京大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試題.....................6

2.2021年清華大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試題.....................10

3.2021年復(fù)旦大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試題.....................16

4.2021年上海交通大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試題.................18

5.2021年中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試題.............19

6.2021年中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試題（廣東）.....21

7.2021年南京大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試題.....................24

8.2020年北京大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試題.....................25

9.2020年清華大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試題.....................30

10.2020年復(fù)旦大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試題....................40

11.2020年上海交通大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試題................46

12.2020年中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)創(chuàng)新班數(shù)學(xué)試題..............51

13.2020年武漢大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試題....................53

14.2021年北京大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試題解析................58

15.2021年清華大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試題解析................68

16.2021年復(fù)旦大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試題解析................80

17.2021年上海交通大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試題解析............85

18.2021年中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試題解析........87

19.2021年中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試題解析（廣東）.90

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20.2021年南京大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試題解析...............96

21.2020年北京大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試題解析...............97

22.2020年清華大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試題解析...............107

23.2020年復(fù)旦大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試題解析...............123

24.2020年上海交通大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試題解析...........135

25.2020年中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)創(chuàng)新班數(shù)學(xué)試題解析.........144

26.2020年武漢大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試題解析...............149

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強(qiáng)基計(jì)劃簡(jiǎn)介

一、強(qiáng)基計(jì)劃

2020年1月，教育部（教學(xué)）1號(hào)文件指出，自2020年起，在部分高校開

展基礎(chǔ)學(xué)科招生改革試點(diǎn)（也稱強(qiáng)基計(jì)劃），取代原有的高校自主招生，突

出基礎(chǔ)學(xué)科的引領(lǐng)作用，重點(diǎn)在數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、生物、歷史及哲學(xué)等相

關(guān)專業(yè)招生.強(qiáng)基計(jì)劃的主要目標(biāo)是選拔并培養(yǎng)有志于服務(wù)國(guó)家重大戰(zhàn)略

需求且綜合素質(zhì)優(yōu)秀或基礎(chǔ)學(xué)科拔尖的人才.

二、36所強(qiáng)基計(jì)劃試點(diǎn)高校名單

北京大學(xué)、中國(guó)人民大學(xué)、清華大學(xué)、北京航空航天大學(xué)、北京理工大學(xué)、

中國(guó)農(nóng)業(yè)大學(xué)、北京師范大學(xué)、中央民族大學(xué)、南開大學(xué)、天津大學(xué)、大連

理工大學(xué)、吉林大學(xué)、哈爾濱工業(yè)大學(xué)、復(fù)旦大學(xué)、同濟(jì)大學(xué)、上海交通大

學(xué)、華東師范大學(xué)、南京大學(xué)、東南大學(xué)、浙江大學(xué)、中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)、

廈門大學(xué)、山東大學(xué)、中國(guó)海洋大學(xué)、武漢大學(xué)、華中科技大學(xué)、中南大學(xué)、

中山大學(xué)、華南理工大學(xué)、四川大學(xué)、重慶大學(xué)、電子科技大學(xué)、西安交通

大學(xué)、西北工業(yè)大學(xué)、蘭州大學(xué)、國(guó)防科技大學(xué).

三、強(qiáng)基計(jì)劃重點(diǎn)專業(yè)

強(qiáng)基計(jì)劃重點(diǎn)在數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、生物及歷史、哲學(xué)、古文字學(xué)等相關(guān)專

業(yè)招生.

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四、錄取方式

高校強(qiáng)基計(jì)劃以考生綜合成績(jī)擇優(yōu)錄取，大部分高校校測(cè)成績(jī)占綜合成績(jī)的

15%,高考成績(jī)占綜合成績(jī)的85%.高校強(qiáng)基計(jì)劃主要考筆試、面試，考試時(shí)

間集中安排1-2天內(nèi)進(jìn)行，考生在高考后得知自己是否入圍，并決定是否參

加高校校測(cè).另外，五大學(xué)科競(jìng)賽銀牌及以上的考生可以通過強(qiáng)基計(jì)劃破格

入圍生報(bào)考，部分高校會(huì)給予破格入圍考生校測(cè)滿分.

五、培養(yǎng)模式

強(qiáng)基計(jì)劃不僅聚焦拔尖人才的選拔，更注重人才的培養(yǎng).按照“一校一策”

的原則，高校對(duì)通過強(qiáng)基計(jì)劃錄取的學(xué)生單獨(dú)制定培養(yǎng)方案，單獨(dú)編班，配

備一流的師資和學(xué)習(xí)條件，實(shí)行導(dǎo)師制、小班化等培養(yǎng)模式，探索本-碩-博

銜接培養(yǎng)模式.

六、時(shí)間安排

3月底前，高校公布招生簡(jiǎn)章；

4月，考生網(wǎng)上報(bào)名；

6月，考生參加統(tǒng)一高考；

6月25日前，各省（區(qū)、市）提供高考成績(jī)；

6月26日前，高校確定參加考核的考生名單；

7月4日前，高校組織考核；

7月5日前，高校根據(jù)考生的高考成績(jī)、高校綜合考核結(jié)果及綜合素質(zhì)評(píng)價(jià)

等折合成綜合成績(jī)，擇優(yōu)錄取.

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2021年北京大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試題

本試卷共20題，部分題目可能與實(shí)際考試有所出入，僅供參考.

1.已知。為△ABC的外心，AB、AC與AOBC的外接圓交于O、E.若DE=04,則NOBC=

2.方程/+/=/的正整數(shù)解(y/4的組數(shù)為.

3.若實(shí)數(shù)a,b,c,d滿足ab+bc+cd+da=l,則/+?2+3,2+4/的最小值為.

4.(hi)已知丫=14,則y的個(gè)位數(shù)字是—.

i=0L7.

5.若平面上有100條二次曲線，則這些曲線可以把平面分成若干個(gè)連通區(qū)域，

則連通區(qū)域數(shù)量最大值為.

6,已知實(shí)數(shù)與.數(shù)列｛々｝滿足：若/_]<g,則尤〃=2/_|,若/_].*,則

xn=2xn_1-l(n=l,2,--?).現(xiàn)知/=々021，則可能的/的個(gè)數(shù)為.

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7.設(shè)為=122…21.若IOJI%,貝的最小值為

8.已知a、b、c是二個(gè)不全相等的實(shí)數(shù)且滿足a=o/?+c、b=bc+a、

c-ca+b.則a+6+c=

9.如圖，AD為△ABC中Z4的平分線.過A作4）的垂線47,過C作

CEHAD交AH于康、E.若應(yīng):與AD交于點(diǎn)E,且/W=6,AC=8,BC=7.則

10.如果一個(gè)十位數(shù)F的各位數(shù)字之和為81,則稱E是一個(gè)“小猿

數(shù)”.則小猿數(shù)的個(gè)數(shù)為.

11.設(shè)冊(cè)是與電的差的絕對(duì)值最小的整數(shù)，勿是與病的差的絕對(duì)值

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最小的整數(shù).記目的前〃項(xiàng)和為的前〃項(xiàng)和為T,?則27100TM的

值為.

12.設(shè)正整數(shù)a2021,且一一5〃3+4〃+7是完全平方數(shù).則可能的〃的個(gè)

數(shù)為.

13.方程W_2孫+3/-4x+5=o的整數(shù)解的組數(shù)為.

14.現(xiàn)有7把鑰匙和7把鎖.用這些鑰匙隨機(jī)開鎖，則.，4,R這

三把鑰匙不能打開對(duì)應(yīng)的鎖的概率是.

15.設(shè)正整數(shù)入〃均不大于2021,且上-＜及＜%里.則這樣的數(shù)組(…)

〃+1n

個(gè)數(shù)為.

16.(hi)有三個(gè)給定的經(jīng)過原點(diǎn)的平面.過原點(diǎn)作第四個(gè)平面a,

使之與給定的三個(gè)平面形成的三個(gè)二面角均相等.則這樣的a的個(gè)數(shù)

是.

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17.若a,b,c為非負(fù)實(shí)數(shù)，a2+b2+c2-ab-be-ca=25,貝（］a+6+c的

最小值為.

h

18.已知數(shù)列｛4｝滿足q=2,勺+產(chǎn)2%.數(shù)列｛4｝滿足仿=5,bn+]=5".若

正整數(shù)，”滿足與＞叼5，則機(jī)的最小值為.

19.若X],X?5***?Xrj為非負(fù)整數(shù)，則方程玉+々+?一+九7=X1A2.一切的解有

組.

20,已知a,b,CwR+,（6T4-/?-C）f—+—f=3,求.+/+力儀+￡+3）的

\ab

最小值.

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2021年清華大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試題

部分題目可能與實(shí)際考試有所出入，僅供參考.

1.甲乙丙丁四人共同參加4項(xiàng)體育比賽，每項(xiàng)比賽第一名到第四名

的分?jǐn)?shù)依次為4、3、2、1分.比賽結(jié)束甲獲得14分第一名，乙獲得

13分第二名，貝U().

A.第三名不超過9分

B.第三名可能獲得其中一場(chǎng)比賽的第一名

C.最后一名不超過6分

D.第四名可能一項(xiàng)比賽拿到3分

2.定義=則(…((2*3)*4)…)*21=().

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3.已知切=cos二+isin巴，則（）.

55

A.X4+X3+X2+X+I=（工—助（1一03）（彳一4）（尢_09）

B.X4-A3+X2-X+l=（X-G）（x—6）（x-G7）（x-（y9）

C.x4-x3-x2+X+1;"一句卜一蘇北工一/乂“一。。）

432

D.X+X+X-X-l=（工一切）（工一蘇）（工一口，）（九一6y9）

4.恰有一個(gè)實(shí)數(shù)x使得d-奴-1=0成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）.

A.（-00,^2）B.18,平|C.（孚）D.18,孚、

5.已知國(guó)為高斯函數(shù)，；+：+：=》解的組數(shù)為（）.

A.30B.40C.50D.60

6.已知加，〃最大公約數(shù)為10!,最小公倍數(shù)為50!,數(shù)對(duì)（九〃）的組數(shù)

為（）.

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A.29B.215C.221D.2,8

7.設(shè)a為常數(shù)，/(O)=g，/(x+y)=/(x)/(a-y)+/(y)/(a-x),則().

A./(〃)=；B.=；恒成立

C./(x+y)=2/(x)/(y)D.滿足條件的不止一個(gè)

8.已知四面體D-/WC中，AC=BC=AD=BD=\,則Q-/WC體積的最大

值為().

A.逑B.逑C.空D.3

2782718

9.在A4BC中，。為8c的中點(diǎn)，NC4D=15。，則ZABC的最大值為().

A.120°B.105°C.90°D.60°

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10.已知非負(fù)實(shí)數(shù)a,b,c滿足a+b+c=l,Mila2（^b-c）+b2（c-a）+c2（?-/?）

的最大值為（）.

11.已知A，4,…/十等分圓周，則在其中取四點(diǎn)構(gòu)成凸四邊形為梯形

個(gè)數(shù)為（）.

A.60B.45C.40D.50

12.已知y(x)=sinxcosx+sinx+2cosx,xe0,y,設(shè)/(x)的最大值為M,

52

最小值為則().

A.M=—B.mC.MTD.T

8525

13.已知集合。={0』,2,…,2021},SUU,且S中任意兩項(xiàng)相加不是5的

倍數(shù)，求S的元素個(gè)數(shù)最大值.

14.將函數(shù)y=>/^^7^7-2（xe[0,6]）的圖象逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)6*（0射的a）,

得到曲線C.若對(duì)于每一個(gè)旋轉(zhuǎn)角。，曲線。都是一個(gè)函數(shù)的圖像,

則a的最大值為（）.

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A,arctan—B,arctan—CD.71

23-7

15.（hi）在平面直角坐標(biāo)系中，o是坐標(biāo)原點(diǎn)，兩定點(diǎn)A,5滿足

網(wǎng)=網(wǎng)=礪.麗=2,則點(diǎn)集｛PI麗=2礪+〃弧岡+1”,,1,4〃e肽｝所表示的區(qū)

域的面積是（）

A.2拒B,4&C.2+D.473

16.已知/=4x,過A（-2,3）做拋物線兩條切線，交y軸于3,C兩點(diǎn),

則△ABC外接圓方程為（）.

B.(x+lf+()」1)2=?

D."T)+(>,-1)2=y

17.橢圓且+y2=],A（-2,0）,過P（l,o）作直線/交橢圓于M、N,AM、

4

四交x=l于8、C,下面正確的有（）

A.附+|PC|定值B.歸即歸。為定值

C.附+附|可能為2D.|尸斗閘可能為2

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18.如圖，四邊形AEBC為圓。外接四邊形，BC//DE,為直徑：若3E=12,

￡>E=DC=14,則隹或>=.

19.Xj,x2,xi,七為互不相等的正實(shí)數(shù)，X,.,九,X&,q為其一個(gè)排

列，X=maxIrnin{”,占,},min鼠，/}},Y=min{max{玉，％,},max{"，4}卜

x>y的概率是

20.(hi)有〃個(gè)質(zhì)點(diǎn)，每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為？，則質(zhì)心位置x=注生；

Z恤

對(duì)于一桿，長(zhǎng)3m,放于xe[-l,2]間，且線密度滿足A=2+x,則質(zhì)心位

于().

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21.有限項(xiàng)等差數(shù)列公差為4,第二項(xiàng)起各項(xiàng)的和加首項(xiàng)的平方小于

100,則該數(shù)列最多可有項(xiàng).

2021復(fù)旦大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試題

1.(hi)命題p：“△ABC的內(nèi)心與外心重合”是命題(7：“△ABC是正

三角形”的什么條件？

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2.已知周期為1,則命題p：“〃力+/1+@=2”是命題4：”/(x)

恒為1”的什么條件？

3.4)是小鉆。的角平分線，AB=3,AC=8,BC=1,求AD的長(zhǎng).

4.求3+，+丫4+與1的常數(shù)項(xiàng).

5.已知譚人18,l9/?+n=2O212022,貝=.

6.已知片，B分別是橢圓的左右焦點(diǎn)，5為橢圓上一點(diǎn)，延長(zhǎng)F?8到

y

點(diǎn)A,滿足m=BA.前的中點(diǎn)為“，則下列兩\'

個(gè)結(jié)論是否正確：1汽]\

結(jié)論1:AF^BH;結(jié)論2:5”為橢圓的切線.(YJ'，)一彳

7.若&")=%+固+2Jx+kl2],〃x)=]og2x,解不等式0<g(/(x))<i.

8.方程18x+4y+9z=2021的正整數(shù)解有多少組？

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9.確定曲線|工+y|=2，(工一31+(y+6『的類型.

10.求由曲線k|+M，石，￥+,2.2圍成的面積.

11.(hi)求極坐標(biāo)夕=6的曲線軌跡.

12,若數(shù)列｛〃〃｝滿足4聯(lián)+4“川—12x4%=0,求lim

〃一＞400fl

13.求展開式中的常數(shù)項(xiàng).

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2021上海交大強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試題

1.已知△ABC中，tanC=-3tanA,求tanB最大值.

2.求邊長(zhǎng)為1的正五邊形的對(duì)角線長(zhǎng).

3.實(shí)數(shù)〃，b>\,滿足lg(a+b)=lga+lg&,求lg(a-l)+lg(b-l)的值.

4.2個(gè)拋物線最多分平面為7份，3個(gè)最多分16份，求4個(gè)拋物線

最多分平面為幾份？

5.(hi)求方程卜亞二7的實(shí)根個(gè)數(shù).

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2021年中科大強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試題

1.已知正實(shí)數(shù)4,二次函數(shù)/（X）="X2_X+1,若任意長(zhǎng)度為1的區(qū)間上,

存在兩點(diǎn)函數(shù)值之差的絕對(duì)值不小于1,貝I“的最小值為.

2.已知正實(shí)數(shù).滿足色+，=1,則歷了的最小值為.

xy

3.（hi）已知正實(shí)數(shù)〃，b,c滿足a+b+c=l,貝"a?+廿+c?+2"c的取值

范圍為.

4.拋物線y=/上有A,8兩點(diǎn)，AB=2,則AB中點(diǎn)的軌跡方程為

5.拋擲一個(gè)均勻的骰子（各面1-6）"次，記該過程中出現(xiàn)的最大數(shù)字為X,

則E（X）=.

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6.有邊長(zhǎng)為1的正A4BC,。在邊AB上，E在邊AC上，DE//BC,沿DE

折起△ABC,求四棱錐ADEBC體積的最大值.

7.已知匕]=（4+26）"的整數(shù)部分，證明：2叫CJ+1）.

8?已知史/，求鬻震*+滂黑嚼的范圍?

9.小）,g（x）,〃（力為實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式，且兩兩互素,

[〃切"+[g（x）]"=[Mx）＞證明:"=1或2.

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2021年中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試題(廣東)

一、填空題

2020,

1.求沙瑞

2.設(shè)拋物線y=』與x=沖2+1相切，則a=

3.寫出一個(gè)函數(shù)/(x)=,使得

/(x-f(y))=/(/(y))+2j/(y)+/(x)-1對(duì)于任意的X,yeR恒成立.

4.(hi)設(shè)空間區(qū)域｛(X,y,X)|f+y2+z2就z0｝中存在四個(gè)點(diǎn)兩兩距離都

是d,則d的是大值為

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5.設(shè)k個(gè)人進(jìn)行互相傳球游戲，每個(gè)拿球的人等可能地把球傳給其他

人中的任何一位，33.若初始時(shí)球彳王甲手中，則第"次傳球之后，球

又回到甲手中的概率為.

二、解答題

6.求函數(shù)/(x)=5+6cosx-3cos*x-4cos3x+^-sin^-的取值范圍.

p—1p~\pT

7.設(shè)a,〃，c是正整數(shù)，〃是素?cái)?shù)，八5且〃整除ak+Oh+c可，證

明：0整除必C.

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8.設(shè)數(shù)列｛%｝滿足q=3,且對(duì)任意正整數(shù)m,〃均有

aa

2?l+n=2am+n+2"/+4mn.

求％的通項(xiàng)公式.

9.設(shè)“X)是”次實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式，其中”..1,g(x)=/(x)-尸(X).證明：若/(X)

的"個(gè)根都是實(shí)數(shù)，則g(x)的"個(gè)根也都是實(shí)數(shù).

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2021年南京大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試題及其解析

1.求〃=［苗］+［次］+.?.+|j/^T］.

2.已知OWa+b,b+c,C+Q<1,求M=#_闿+耶+而_4的最值.

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2020年北京大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試題

共20道選擇題，在每題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，

選對(duì)得5分，選錯(cuò)或不選得。分.

1.（hi）已知口y,z,w均為正實(shí)數(shù),且滿足卬和之+yK2（z+w）,則

^十三的最小值等于（）

A.-B.-C.1D.前三個(gè)答案都不對(duì)

48

2.在（2019x2020）2°2i的全體正因數(shù)中選出若干個(gè)，使得其中任意兩個(gè)

的乘積都不是平方數(shù)，則最多可選因數(shù)的個(gè)數(shù)為（）.

A.16B.31C.32D.前三個(gè)答案都不對(duì)

3.已知整數(shù)列{%}滿足q=l,4=4,且對(duì)任意〃..2有

—27—

。；-““+必,1=2"7，則。2020的個(gè)位數(shù)字是（）?

A.8B.4C.2D.前三個(gè)答案都不對(duì)

4.設(shè)a,b,c,d是方程x,+2》3+3/+4x+5=0的4個(gè)復(fù)根，貝!]

CI一1b—1c-1d—1

---+-----------F---+的值為（).

。+2b+2c+2d+2

A.-B.C.|D.前三個(gè)答案都不對(duì)

5.設(shè)等邊△ABC的邊長(zhǎng)為1,過點(diǎn)C作以AB為直徑的圓的切線，交AB

的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。，AD>BD,則△BCD的面積為（）.

A.還二主8B.4近-3邪&口.前三個(gè)答案都不對(duì)

161616

6.設(shè)x,y,z均不為+g卜，其中后為整數(shù)，已知sin（y+z-x）,

sin（x+z-y）,sin（x+y-z）成等差數(shù)列，則依然成等差數(shù)列的是（）.

A.sinx,siny,sinzB.cosx,cosy,cosz

C.tanx,tany,tanzD.前三個(gè)答案都不對(duì)

7.（hi）方程19x+93y=4個(gè)的整數(shù)解個(gè)數(shù)為（）.

A.4B.8C.16D.前三個(gè)答案都不對(duì)

-28―

丫2

8.從圓必+產(chǎn)=4上的點(diǎn)向橢圓。：5+，2=1引切線，兩個(gè)切點(diǎn)間的

線段稱為切點(diǎn)弦，則橢圓。內(nèi)不與任何切點(diǎn)弦相交的區(qū)域面積為

().

A.2LB.-C.-D.前三個(gè)答案都不對(duì)

234

9.使得5x+12jE”a(x+y)對(duì)所有正實(shí)數(shù)x,y都成立的實(shí)數(shù)。的最小

值為().

A.8B.9C.10D.前三個(gè)答案都不對(duì)

10.(hi)設(shè)P為單位立方體的面對(duì)角線A片上的一點(diǎn),

則PA+PG的最小值為().

A.J2+V2B.42+20C.2-夸D.前三個(gè)答案都不對(duì)

11.設(shè)數(shù)列{a“}“」?jié)M足4=1,4=9，且對(duì)任意〃-1有4+2=4%+|-3a“-20,

其前”項(xiàng)和為S“，則S”的最大值等于().

A.28B.35C.47D.前三個(gè)答案都不對(duì)

-29-

22

12.設(shè)直線y=3x+,〃與橢圓*+J=1交于A,B兩點(diǎn),。坐標(biāo)原點(diǎn),

-2516

則△OAB面積的最大值為（）.

A.8B.10C.12D.前三個(gè)答案都不對(duì)

13.正整數(shù)機(jī).3稱為理想的，若存在正整數(shù)掇灰〃—1使得c3,C：,C>

構(gòu)成等差數(shù)列，其中C=“〃！…為組合數(shù),則不超過2020的理想數(shù)

k\yn-k）\

個(gè)數(shù)為（）.

A.40B.41C.42D.前三個(gè)答案都不對(duì)

14.在△ABC中，ZA=150°,2，D2,…，2O2O依次為邊上的點(diǎn),

且BD]=D]D?=砂3=-=。2019。2020=。2020。?設(shè)/胡〃=/,

/3019AD2

ZD}AD2=a2020=。2020/。2020人?！?021,則

sinsina…sin%02i

3的值為（).

sinsin---sina

a2a42O2O

A.1B.—C.—D.前三個(gè)答案都不對(duì)

101020202021

—30—

15.函數(shù)〃。)=g+zGcose+cos，8+j5-2Gcose+cos2夕+4sin)的最大

值為().

A.逝+GB.2V2+V3C.V2+2V3D.前三個(gè)答案都不對(duì)

16.(hi)

方程Jx+5_4V7TT+Jx+2_2V7TT=］的實(shí)根個(gè)數(shù)為().

A.1B.2C.3D.前三個(gè)答案都不對(duì)

17.凸五邊形A3CDE的對(duì)角線CE分別與對(duì)角線80和AO交于點(diǎn)廠和

G,已知田=5:4,AG:GD=\A,CF:FG:GE=2:2:3,S&CFDS^ABE

分別為△CFD和△48E的面積，則SMFD：以小等于（）.

A.8：15B.2：3C.11：23D.前三個(gè)答案都不對(duì)

18.設(shè)p,4均為不超過100的正整數(shù)，則有有理根的多項(xiàng)式

/（力=%5+沖+4的個(gè)數(shù)為（）.

A.99B.133C.150D.前三個(gè)答案都不對(duì)

19.滿足對(duì)任意幾.1有。，田=2"-3%且嚴(yán)格遞增的數(shù)列{4}“」的個(gè)數(shù)為

-31-

（）.

A.0B.1C.無窮個(gè)D.前三個(gè)答案都不對(duì)

20.設(shè)函數(shù)〃x,y,z）=—^+」-+，一,其中x,y,z均為正實(shí)數(shù),

x+yy+zz+x

則有（）.

A./既有最大值也有最小值B./有最大值但無最小值

C./有最小值但無最大值D.前三個(gè)答案都不對(duì)

2020年清華大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試題

共35道選擇題，為不定項(xiàng)選擇題.

1.若/+昧,1,則V+xy—y2的取值范圍是（）.

-32-

A.卜東用B.[-1,1]，?昌闈D.[一2,2]

2.設(shè)a,b,c為正實(shí)數(shù)，若一元二次方程加+法+c=0有實(shí)根，則（）

A.max{a,b,c'}...；(a+b+c)B.max{a,b,c}...—(?+/?+c)

C.min{a,；(a+b+c)D.min{。也c},,g(a+h+c)

3.在非等邊△ABC中，BC=AC,若。和尸分別為△ABC的外心和內(nèi)心,

。在線段6C上，且滿足ODL8P,則下列選項(xiàng)正確的是（）.

A.5,。，0,P四點(diǎn)共圓B.OD//AC

C.0D//ABD.PD//AC

4.已知集合A,8,C={l,2,3「.,2020}，且AqBqC,則有序集合組(A,8,C)

的個(gè)數(shù)是().

A.22020B.32020C,42020D.52020

20

5.已知數(shù)列｛凡｝滿足q=0,|?,+i|=|?,+l|（/eN）,則A=之q的值可能

A=l

是（).

-33-

A.0B.2C.10D.12

22

6.(hi)已知點(diǎn)P在橢圓?+q=l上，A(l,0),3(1,1),則附+|PB|的

最大值是().

A.4B.4+GC.4+6D.6

7.已知P為雙曲線?-丁=1上一點(diǎn)(非頂點(diǎn))，A(-2,0),B(2,0),令

ZPAB=a,NPBA=。,下列表達(dá)式為定值的是().

A.tanatanBB.tan—tan—

22

C?S^PABtan(?+/?)D.S^PABcot(a+p)

8.甲、乙、丙三位同學(xué)討論同一道數(shù)學(xué)競(jìng)賽題，甲說：“我做錯(cuò)了

乙說：“甲做對(duì)了丙說：“我做錯(cuò)了老師看過他們的答案并

聽了他們的上述對(duì)話后說：“你們僅有一人做對(duì)且僅有一人說謊

了”，則根據(jù)以上信息可以推斷（）.

A.甲做對(duì)了B.乙做對(duì)了C.丙做對(duì)了D.無法確定誰做對(duì)了

—34—

PAPBPC

9.在RtZiA3C中，ZABC=-9AB=C,BC=1,0,

2R+M+R

則下列說法正確的是（).

2兀

A.ZAPB^—B.NBPCc.PC=2PBD.PA=2PC

3T

n2\

10.求值:lim%arctan—).

2

k7

c.5兀D.

T

11.從。到9這十個(gè)數(shù)中任取五個(gè)數(shù)組成一個(gè)五位數(shù)嬴直（4可以等

于0）,則3961a兒de的概率為().

A-表B,擊c?自D,擊

12.隨機(jī)變量X（=1,2,3,…），7（=0,1,2）,滿足P（X=左）M且

y=x(mod3),則磯y)=().

「12

B.1U?—D

A27-7

-35-

13.已知向量a,b,c滿足時(shí),,1,網(wǎng),,1,\a+2b+c\-\a-2b\,則下列說

法正確的是（）.

A.卜|的最大值為B.卜|最大值為2。

C.同的最小值為0D.卜|的最小值為2

14.若存在x,yeN,：,使得犬+6與V+日均為完全平方數(shù)，則正整

數(shù)后可能取值為（）.

A.2B.4C.5D.6

3

15.sinarctan1+arccos4-arcsin）.

V10

A.0B.-C.—D.1

22

16.已知正四棱錐中，相鄰兩側(cè)面構(gòu)成的二面角為a,側(cè)棱與底面夾

角為尸，則（）.

A.cosa+tan2/?=1B.seccr+tan2/?=-l

C.coscr+2tan2p=1D.seccr+2tan2/?=-l

—36—

17.已知函數(shù)/(無)=]?77+5布尤卜€(wěn)|-2,2]),則/(X)的最大值與最小

值的和是().

A.2B.eC.3D.4

(hi)

18.已知函數(shù)/(x)的圖像如圖所示，/(x)的圖像與直線x=a,

x^t(a<t<c),x軸圍成圖形的面積為S⑺，則下列說法正確的是

().

A.S(t)<cf(b)B.S'(f),J(a)C.D.S'(f),J(c)

19.我們稱數(shù)列｛%｝為“好數(shù)列”，若對(duì)任意〃eN*存在加eN*,使得

%=S“，其中則下列說法正確的是().

日，

A.若％=[；二=\，則數(shù)列幾｝為''好數(shù)列”

Z,AZ.?Z,

B.若a.k”(Z為常數(shù))，則數(shù)列｛g｝為“好數(shù)列”

C.若也｝，匕｝均為“好數(shù)列”，則％=〃,+￡,為等差數(shù)列

D.對(duì)任意等差數(shù)列｛4｝,存在“好數(shù)列”也｝,｛%｝,使

4=a+J(〃eN

-37-

20.(hi).Jn?？?().

sinx+cosx

A.7CB,亞nC.2兀D.A/5TI

21.在△ABC中，AC=\,BC=6,AB^2,設(shè)M為他中點(diǎn)，現(xiàn)將ZvlBC沿

CM折起，使得四面體3-ACN的體積為受，則折起后A3的長(zhǎng)度可能

12

為（）

A.1B.&C.GD.2

22.設(shè)復(fù)數(shù)4，%在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為4，Z,,。為坐標(biāo)原點(diǎn),

若㈤=1,5Z；+Z：-2"2=0,則△OZ￡的面積為（）

A.1B.GC.2D.273

23.使得〃sinl>1+5cosl成立的最小正整數(shù)”等于（）

A.3B.4C.5D.6

-38—

[1-2

-X——V7=1

93

1312

24.已知實(shí)數(shù)x,y,z滿足.—V——Z-Z=1則()

935

11

—Z3—X2-x=1

[93

A.(x,y,z)有1組B..(x,y,z)有4組

C.x,y,z均為有理數(shù)D.X,y,z均為無理數(shù)

25.設(shè)實(shí)數(shù)項(xiàng),々,…滿足0M,則的最大值為

()

A.110B.120C.220D.240

26.(hi)在平面直角坐標(biāo)系中，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱為

格點(diǎn)，且所有頂點(diǎn)都是格點(diǎn)的多邊形稱為格點(diǎn)多邊形.若一個(gè)格點(diǎn)多

邊形的內(nèi)部有8個(gè)格點(diǎn)，邊界上有10個(gè)格點(diǎn)，則這個(gè)格點(diǎn)多邊形的

面積為()

A.10B.11C.12D.13

-39-

27.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|3z-7i|=3,則卷產(chǎn)的（）

A.最大值其B.最大值相C.最小值相D.最小值羯

28.設(shè)a,〃為銳角，且cos(o+/?)=s'"。,則tana的最大值為()

sin/?

A.也B.3C.1D.72

43

29.已知函數(shù)/（x）=e*+a（x-l）+〃在區(qū)間［1,3］上存在零點(diǎn)，則片+從的最

小值為（）

A.-B.eC.-D.e2

22

30.設(shè)A,3分別是x軸，y軸上的動(dòng)點(diǎn)，若以A3為直徑的圓C與直線

2x+y-4=0相切，則圓C面積的最小值為（）

—40—

31.(hi)已知實(shí)數(shù)a,b滿足/+/+3必=1,設(shè)a+6的所有可能值構(gòu)成

的集合為M,則()

A.M為單元素集B.M為有限集，但不是單元素集

C.M為無限集，且有下界D.M為無限集，且無下界

32.已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和s.=(-1)".為+￡+”-3,且實(shí)數(shù)f滿足

1

(r-a?)(?-a,I+l)<0,貝Jr的取值范圍是()

3H3H3H3H

4'74,~55,7557

33.(hi)《紅樓夢(mèng)》，《三國(guó)演義》，《水滸傳》和《西游記》四部書分

列在四層架子的書柜的不同層上.小趙，小錢，小孫，小李分別借閱

了四部書中的一部.現(xiàn)已知：小錢借閱了第一層的書籍，小趙借閱了

—41—

第二層的書籍，小孫借閱的是《紅樓夢(mèng)》，《三國(guó)演義》在第四層.則

()

A.《水滸傳》一定陳列在第二層B.《西游記》一定陳列在第一層

C.小孫借閱的一定是第三層的書籍D.小李借閱的一定是第四層的

書籍

34.設(shè)多項(xiàng)式7⑴的各項(xiàng)系數(shù)都是非負(fù)實(shí)數(shù)，且

/(i)=r(i)=r(i)=r(i)=i,則的常數(shù)項(xiàng)的最小值為()

35.已知/(z)=z">+++g3+則()

A.〃z)=o存在實(shí)數(shù)解B.〃z)=o共有20個(gè)不同的復(fù)數(shù)解

C.〃z)=o復(fù)數(shù)解的模長(zhǎng)均為1D.〃z)=o存在模長(zhǎng)大于1的復(fù)數(shù)解

—42—

2020年復(fù)旦大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試題

1.設(shè)拋物線V=2px,過焦點(diǎn)F作直線，交拋物線于A,B兩點(diǎn)，滿

足赤=3而.過點(diǎn)A作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足記為點(diǎn)A，準(zhǔn)線交

x軸于點(diǎn)C,若ScFA=12g,則〃=.

2.(hi)已知實(shí)數(shù)x,y,滿足f+2xy=l,求V+y?的最小值.

3.已知/(x)=asin(27Lr)+Ocos(27Lx)+csin(47Lr)+dcos(47Lr),若

；+x)+/(x)=〃2x),則在“，力，c,△中能確定的參數(shù)是.

4.若三次方程x3+ax2+4x+5=0有一個(gè)根是純虛數(shù)，則a=

—43—

\10

x2l/l|的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為

(+++

—^(1x42x5幾(〃+3)

7.點(diǎn)(4,5)繞點(diǎn)(1,1)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60度，所得的點(diǎn)的坐標(biāo)為

8.方程5夕cos6=42+3夕cos2e(p..O)所表不的曲線形狀是

c、兒無兀#-V3+cos\x-\---|—2<7—0,_,,,

9.設(shè)X,ye—，若(I2)則cos(x+2>)=_______

44」3

4y+sinycosy+a=0,

10.實(shí)數(shù)x,y滿足/+、2=1,若|x+2y-a|+|a+6-x-2y|的值與x,y無

關(guān)，貝心的取值范圍是.

11.在AABC中，cosZBAC=-，若O為AABC的內(nèi)心，且滿足

3

—44—

AO=xAB+yAC,則x+y的最大值為.

12.已知直線m：y=xcosa和〃：3x+y=c,則有（）.

A.加與“可能重合

B.加與“不可能垂直

C.直線加上存在一點(diǎn)P,使得直線〃以P為中心旋轉(zhuǎn)后與加重合

D.以上都不對(duì)cta32

13.如圖15-2所示，拋物線3丁=》的焦點(diǎn)為尸，A在拋物線上，4點(diǎn)

處的切線與夾角為30度，則4點(diǎn)橫坐標(biāo)為.

14.已知P為直線工）'-=60上一點(diǎn)，且尸到A（2,5）和3（4,3）的金

-14

相同，則尸點(diǎn)坐標(biāo)為—

15.已知了,〉€{1,2,3,4,5,6,7,8,9}且"X,連接原點(diǎn)。和4（乂封，3出尤）

—45-

兩點(diǎn)，則ZAO5=2arctaJ的概率為______.

3

10.714+372.3

10.arcsin--------+arcsin—=.

84

17.已知三棱錐P-ABC的體積為10.5,且A8=6,AC=BC=4,

AP^BP=\O,貝UCP的長(zhǎng)度為.

18.在ZVIBC中，48=9,BC=6,C4=7,貝邊上中線的長(zhǎng)

19.若〃x)=x2-1,則的圖象大致為.

(hi)

20.定義九(“=」'；彳'令MS)N={x［九(x)%(x)=-1},已知

A=卜卜vj2-x},fl=|x|x(x+3)(x-3)>0|,貝?。軦?B=_______.

21.方程3x+4y+12z=2020的非負(fù)整數(shù)解的組數(shù)為.

—46—

22.已知加，〃eZ,且噴女11,若滿足Z^o+B?02：時(shí)/+〃，則“=

23.若四邊形ABCD是凸四邊形，則/R4C=N3。。是ZDACn/DBC的

__條件.

24.設(shè)函數(shù)〃x)=3，-3r的反函數(shù)為y=/T(x),則g(x)=尸+1在

[-3,5]上的最大值和最小值的和為.

25.若%>4,(hi)直線6-2y-2k+8=0與2%+小一4/-4=0和坐標(biāo)軸

圍成的四邊形面積的取值范圍是.

26.已知A,B,C,。四點(diǎn)共圓，且48=1,8=2,AD=4,BC=5,

P為AD,BC的交點(diǎn)，則QA的長(zhǎng)度為.

27.給定5個(gè)函數(shù)，其中3個(gè)奇函數(shù)，2個(gè)偶函數(shù)，在這5個(gè)函數(shù)中

任意取3個(gè)，其中既有奇函數(shù)，又有偶函數(shù)的概率為.

28.下列不等式恒成立的是().

A.x2H—7??—B.卜-----..2

xxx-y

—47—

C.…一32

29.向量數(shù)列｛%｝滿足%+i=怎+d,且滿足圖=3,q.4=-?!，令

S“=%（gaJ,則當(dāng)S“取最大值時(shí)，〃的值為_____.

30.某公司安排甲、乙、丙等7人完成7天的值班任務(wù)，每人負(fù)責(zé)天

已知甲不安排在第一天，乙不安排在第二天，甲和丙在相鄰兩天，

則不同的安排方式有種.

31.直線/1,，2交于。點(diǎn)，M為平面上任意一點(diǎn)，（hi）若p,q分別

為M點(diǎn)到直線4,4的距離，則稱（p,q）為點(diǎn)M的距離坐標(biāo).已知非負(fù)

常數(shù)〃，q,下列三個(gè)命題正確的個(gè)數(shù)是.

（1）若p=q=O,則距離坐標(biāo)為（0,0）的點(diǎn)有且僅有1個(gè).

（2）若pq=0,且。+?工0,則距離坐標(biāo)為（0,0）的點(diǎn)有且僅有1個(gè).

（3）若4/0,則距離坐標(biāo)為（p,q）的點(diǎn)有且僅有4個(gè).

—48―

32.GiventwosetsA={1,2,3,4,5}andB={3,4,5,6,7},thenthe

intersectionsetofAandBis().

A.{1,2}B.{3,4,5}C.{1,2,3,4,5,6,7}D.{6,7}

33.Whichnumberofthatnumber5isthecubicrootof?()

A.3B.5C.25D.125

2020年上海交通大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試題

1.已知函數(shù)/(力的定義域?yàn)?0,1),若ce(o,￡|,則函數(shù)

g(x)=/(X