甘肅省武威市2021年中考數(shù)學(xué)試卷（解析版）

甘肅省武威市2021年中考數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分，每小題只有一個(gè)正確選項(xiàng).

1.3的倒數(shù)是（）

A.3B.—3C.-D.—

33

【答案】C

【解析】

【詳解】根據(jù)倒數(shù)的定義可知.

解：3的倒數(shù)是！.

3

主要考查倒數(shù)的定義，要求熟練掌握.需要注意的是：

倒數(shù)的性質(zhì)：負(fù)數(shù)的倒數(shù)還是負(fù)數(shù)，正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)，0沒(méi)有倒數(shù).

倒數(shù)的定義：若兩個(gè)數(shù)的乘積是1,我們就稱(chēng)這兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù).

2.2021年是農(nóng)歷辛丑牛年，習(xí)近平總書(shū)記勉勵(lì)全國(guó)各族人民在新的一年發(fā)揚(yáng)“為民服務(wù)孺子牛，創(chuàng)新發(fā)展

拓荒牛，艱苦奮斗老黃?！本瘢成鐓^(qū)也開(kāi)展了“迎新春牛年剪紙展”，下面的剪紙作品是軸對(duì)稱(chēng)圖形

鼻的是（）G斤

【答案】B

【解析】

【分析】結(jié)合軸對(duì)稱(chēng)圖形的定義即可求解.

【詳解】解：A：不符合軸對(duì)稱(chēng)圖形的定義，不合題意；

以符合軸對(duì)稱(chēng)圖形的定義，符合題意；

C：不符合軸對(duì)稱(chēng)圖形的定義，不合題意；

D,不符合軸對(duì)稱(chēng)圖形的定義，不合題意：

故答案是：B.

【點(diǎn)睛】本題考察軸對(duì)稱(chēng)圖形的定義，難度不大，屬于基礎(chǔ)題.解題的關(guān)鍵是掌握軸對(duì)稱(chēng)圖形的定義，即

當(dāng)一個(gè)平面圖形沿某條直線折疊后，直線兩旁的部分能完全重合的圖形.

3.下列運(yùn)算正確的是（）

A.V3+V3=3B.475-75=4C.乖＞乂0=瓜D.寂+正=4

【答案】C

【解析】

【分析】直接根據(jù)二次根式的運(yùn)算法則計(jì)算即可得到答案.

【詳解】百+6=26,故A錯(cuò)；

4亞-亞=3亞,故B錯(cuò);

=指，C正確；

在屋瓜=2,故。錯(cuò).

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題考查的是二次根式的運(yùn)算和化簡(jiǎn)，掌握其運(yùn)算法則是解決此題關(guān)鍵.

4.中國(guó)疫苗撐起全球抗疫“生命線”！中國(guó)外交部數(shù)據(jù)顯示，截止2021年3月底，我國(guó)已無(wú)償向80個(gè)國(guó)家

和3個(gè)國(guó)際組織提供疫苗援助.預(yù)計(jì)2022年中國(guó)新冠疫苗產(chǎn)能有望達(dá)到50億劑，約占全球產(chǎn)能的一半，必

將為全球抗疫作出重大貢獻(xiàn).數(shù)據(jù)“50億”用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.5xl08B.5xl09C.5x101°D.50xl08

【答案】B

【解析】

【分析】結(jié)合科學(xué)計(jì)數(shù)法的表示方法即可求解.

【詳解】解：50億即5000000000,故用科學(xué)計(jì)數(shù)法表示為5xl（）9,

故答案是：B.

【點(diǎn)睛】本題考察科學(xué)計(jì)數(shù)法的表示方法，難度不大，屬于基礎(chǔ)題。解題關(guān)鍵即掌握科學(xué)計(jì)數(shù)法的表示方

法，科學(xué)計(jì)數(shù)法的表示形式為ax10",其中1W時(shí)＜10,〃為整數(shù).此外熟記常用的數(shù)量單位，如萬(wàn)即是IO”，

億即是1（）8等.

5.將直線y=5x向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，所得直線的表達(dá)式為（）

A.y=5x-2B,y=5x+2C.y=5（x+2）D.y=5（x-2）

【答案】A

【解析】

【分析】只向下平移，讓比例系數(shù)不變，常數(shù)項(xiàng)減去平移的單位即可.

【詳解】解：直線y=5x向下平移2個(gè)單位后所得直線的解析式為y=5X-2

故選:A

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖象與幾何變換，解題的關(guān)鍵是熟記函數(shù)上下平移的規(guī)則''上加下減”在常數(shù)

項(xiàng).函數(shù)左右平移的規(guī)則“左加右減''在自變量，本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)平

移的規(guī)則求出平移后的函數(shù)解析式是關(guān)鍵.

6.如圖，直線的頂點(diǎn)3在6尸上，若NCBF=20。,則()

B.60°C.75°D.80°

【答案】A

【解析】

【分析】先求出NCBE的余角/ABF,利用平行線性質(zhì)可求NAOE.

【詳解】解：NCB產(chǎn)=20°

ZABC=90°,ZABF=90°-ZCBF=90°-20o=70°,

?；DE//BF,

NADE=NABF=70°.

故選擇4.

【點(diǎn)睛】本題考查余角性質(zhì)，平行線性質(zhì)，掌握余角性質(zhì)，平行線性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

7.如圖，點(diǎn)A,B,C,D,E在。。上，AB=CD,ZAOB=42°,則NCED=()

E

4

Hq、

A.48°B.24°C.22°D.21°

【答案】D

【解析】

【分析】先證明=CD,再利用等弧的性質(zhì)及圓周角定理可得答案.

【詳解】解：?.?點(diǎn)在OO上，AB=8,乙408=42。，

AB=CD,

NCED=-ZAOB=1x42°=21°,

22

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查的兩條弧，兩個(gè)圓心角，兩條弦之間的關(guān)系，圓周角定理，等弧的概念與性質(zhì)，掌握同

弧或等弧的概念與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

8.我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》有“多人共車(chē)”問(wèn)題：“今有三人共車(chē)，二車(chē)空；二人共車(chē)，九人步.問(wèn):

人與車(chē)各幾何?”其大意如下：有若干人要坐車(chē)，如果每3人坐一輛車(chē)，那么有2輛空車(chē)；如果每2人坐一

輛車(chē)，那么有9人需要步行，問(wèn)人與車(chē)各多少?設(shè)共有x人，,輛車(chē)，則可列方程組為（）

3(y-2)=x3(y+2)=x3(y-2)=x[3(y-2)=x

D.〈

2y-9=x2y+9=x2y+9=i2y+x=9

【答案】C

【解析】

【分析】設(shè)共有X人，y輛車(chē)，由每3人坐一輛車(chē)，有2輛空車(chē)，可得3（y—2）=x,由每2人坐一輛車(chē),

有9人需要步行，可得：2y+9=x,從而可得答案.

【詳解】解：設(shè)共有x人，y輛車(chē)，則

：3（y-2）=x

2y+9=x

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查的是二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用，確定相等關(guān)系列方程是解題的關(guān)鍵.

9.對(duì)于任意的有理數(shù)。力,如果滿(mǎn)足0+2=土也，那么我們稱(chēng)這一對(duì)數(shù)a1為“相隨數(shù)對(duì)”，記為

232+3

（a,。）.若（根,〃）是“相隨數(shù)對(duì)”,則3加+2[3加+（2〃-1）]=（）

A.-2B.-1C.2D.3

【答案】A

【解析】

【分析】先根據(jù)新定義，可得9〃?+4〃=0,將整式3m+2[3m+（2〃-1）]去括號(hào)合并同類(lèi)項(xiàng)化簡(jiǎn)得9〃?+4〃-2,

然后整體代入計(jì)算即可.

【詳解】解：???（〃/,〃）是“相隨數(shù)對(duì)”，

mnm+n

—I—=----,

232+3

整理得9〃任4〃=0,

3帆+2[3m+（2〃-1）]=3m+6m+4〃-2=9機(jī)+4〃-2=—2.

故選擇A.

【點(diǎn)睛】本題考查新定義相隨數(shù)對(duì)，找出數(shù)對(duì)之間關(guān)系，整式加減計(jì)算求值，掌握新定義相隨數(shù)對(duì)，找出

數(shù)對(duì)之間關(guān)系，整式加減計(jì)算求值是解題關(guān)鍵.

10.如圖1,在△A8C中，=于點(diǎn)。（AQ>5O）.動(dòng)點(diǎn)”從A點(diǎn)出發(fā)，沿折線

ABf5c方向運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止.設(shè)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路程為“AMD的面積為y,y與x的函數(shù)圖

2,則AC的長(zhǎng)為（）

HnV

ADC

圖1圖2

A.3B.6C.8D.9

【答案】B

【解析】

【分析】從圖象可知，AB=BC=點(diǎn)用運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)6位置時(shí)，的面積達(dá)到最大值片3,結(jié)

合等腰三角形的“三線合一”的性質(zhì)、三角形的面積公式和勾股定理可求得/C的長(zhǎng).

【詳解】解：根據(jù)函數(shù)圖象可知，點(diǎn)例的運(yùn)動(dòng)路程》=46+8。=2回，點(diǎn)"運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)8的位置時(shí)，

?AMD的面積y達(dá)到最大值3,即?ABD的面積為3.

.AB=BC,BD1AC,

：.AB=BC=A，AC=2AD,~AU!BD=?>.

2

AD2+BD2=AB2=（713）2=X^IAD?BD=.

.-AD2+2AOBDiSD2=+=，即：（40+80）2=25,

AD2-1^EVBD￥BD2=-=，即：（AP-BD）2=1.

AD>BD，

'AD+BD—5,AD—BD=\.

兩式相加，得，2AD=6.

,'.AC=2AD=6.

故選：B

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、等式的性質(zhì)與恒等變形、函數(shù)圖象等知識(shí)點(diǎn)，從函數(shù)

圖象中獲取相應(yīng)的信息，利用勾股定理和三角形的面積公式，進(jìn)行等式的恒等變形是解題的關(guān)鍵.

二、填空題：本大題共8小題，每小題3分，共24分.

11.因式分解：4m-2m2-.

【答案】2/77（2-m）

【解析】

【分析】先確定4機(jī)-2機(jī)2的公因式為2加，再利用提公因式分解因式即可得到答案.

【詳解】解：4m—2m2—

故答案為：2m（2-m）

【點(diǎn)睛】本題考查的是提公因式分解因式，掌握公因式的確定是解題的關(guān)鍵.

12.關(guān)于x的不等式,尤—1〉，的解集是___________.

32-

9

【答案】x>|

【解析】

【分析】先去分母，再移項(xiàng)，最后把未知數(shù)的系數(shù)化“1”，即可得到不等式的解集.

【詳解】解：-X-1>-

32

去分母得：2x—6>3,

移項(xiàng)得：2x>9,

9

.二X〉一

2

9

故答案為：彳>5

【點(diǎn)睛】本題考查的是一元一次不等式的解法，掌握解不等式的方法是解題的關(guān)鍵.

13.己知關(guān)于x的方程》2—2x+〃?=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則m的值是—.

【答案】1

【解析】

【詳解】試題分析：根據(jù)一元二次方程根的判別式，可由方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根可的A=b2-4ac=4-4m=0,

解得m=l.

故答案為1.

考點(diǎn)：一元二次方程根的判別式

14.開(kāi)學(xué)前，根據(jù)學(xué)校防疫要求，小蕓同學(xué)連續(xù)14天進(jìn)行了體溫測(cè)量，結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下表：

體溫（℃）36.336.436.536.636.736.8

天數(shù)（天）233411

這14天中，小蕓體溫的眾數(shù)是℃.

【答案】36.6

【解析】

【分析】根據(jù)眾數(shù)的定義就可解決問(wèn)題.

【詳解】根據(jù)表格數(shù)據(jù)可知眾數(shù)是366C,

故答案為：36.6.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了眾數(shù)求解，正確理解眾數(shù)的意義是解決本題的關(guān)鍵.

15.如圖，在矩形A8C。中，E是BC邊上一點(diǎn),乙4￡。=90。,/￡4)=30。,7;1是4。邊的中點(diǎn)，

EF-4cm,則BE=cm.

【答案】6

【解析】

【分析】先利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求解A。，再利用銳角三角函數(shù)依次求解AE,BE

即可得到答案.

【詳解】解：???/4匹=90°,/是AO邊的中點(diǎn)，EF^4cm,

..AZ>=2ER=8,

?.?NZME=30。，

：.AE=cos30。xAO=8xt=4百,

2

???矩形ABC。，

AD//BC,ZABE^90°,

;.NAEB=NDAE=30。,

BE=AE.cos30°=4V3x—=6.

2

故答案為：6.

【點(diǎn)睛】本題考查的是矩形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，掌

握銳角三角函數(shù)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

16.若點(diǎn)4（一3,%）,3（—1,%）在反比例函數(shù)丫=土土1的圖象上，則,力（填或或“=”）

x

【答案】<

【解析】

【分析】先確定y=4舊的圖像在一，三象限，且在每一象限內(nèi)，y隨X的增大而減小，再利用反比例函

x

數(shù)的性質(zhì)可得答案.

【詳解】解：

y=絲出的圖像在一，三象限，且在每一象限內(nèi)，y隨X的增大而減小，

x

v-3>-4,

???X<%，

故答案為：<

【點(diǎn)睛】本題考查的是反比例函數(shù)的性質(zhì)，掌握利用反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)比較函數(shù)值的大小是解題的

關(guān)鍵.

17.如圖，從一塊直徑為4dm的圓形鐵皮上剪出一個(gè)圓心角為90°的扇形，則此扇形的面積為dm2.

【答案】2乃

【解析】

【分析】如圖，連接A8,證明4B為圓的直徑，再利用勾股定理求解AC,再利用扇形面積公式計(jì)算即可

得到答案.

【詳解】解：如圖，連接A5,

-.?ZACB=9Q°,

.?.A3為圓的直徑，AB=4,

AC2+BC2=AB2,AC=BC,

AC=BC=2R

=2萬(wàn).

故答案為：2加

【點(diǎn)睛】本題考查的是圓周角定理，扇形的面積的計(jì)算，勾股定理的應(yīng)用，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

18.一組按規(guī)律排列的代數(shù)式：a+2b,a2-2b\a3+2b5,a4-2b1,則第八個(gè)式子是—

【答案】?jī)?yōu)+(—1)向?2戶(hù)t

【解析】

【分析】根據(jù)已知的式子可以看出：每個(gè)式子的第一項(xiàng)中。的次數(shù)是式子的序號(hào)；第二項(xiàng)中6的次數(shù)是序

號(hào)的2倍減1,而第二項(xiàng)的符號(hào)是第奇數(shù)項(xiàng)時(shí)是正號(hào)，第偶數(shù)項(xiàng)時(shí)是負(fù)號(hào).

【詳解】解：?.?當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，(-1)”"=1；

當(dāng)w為偶數(shù)時(shí)，(一1)"=一1,

.?篇n個(gè)式子是：a"+(-2)，，+1?b2"-'.

故答案為：a"+(-2)，，+，?b2n-'

【點(diǎn)睛】本題考查了多項(xiàng)式的知識(shí)點(diǎn)，認(rèn)真觀察式子的規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

三、解答題：本大題共5小題，共26分.解答時(shí)，應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算

步驟.

19.計(jì)算：(2021-％)°+(/)?-2cos45°.

【答案】3-42

【解析】

【分析】先進(jìn)行零指數(shù)幕和負(fù)整數(shù)指數(shù)幕，余弦函數(shù)值計(jì)算，再計(jì)算二次根式的乘法，合并同類(lèi)項(xiàng)即可.

【詳解】解：(2021-^-)°+2cos45°,

2

=l+2-2x—)

2

=3—V2-

【點(diǎn)睛】本題主要考查零指數(shù)幕和負(fù)整數(shù)指數(shù)累，特殊角三角函數(shù)值，掌握零指數(shù)基和負(fù)整數(shù)指數(shù)累的運(yùn)

算法則，特殊角銳角三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.

2r?一4

20.先化簡(jiǎn)，再求值：（2--）-，其中x=4.

x-2X2-4X+4

2

【答案】——-

x+23

【解析】

【分析】小括號(hào)內(nèi)先通分計(jì)算，將除法變成乘法并因式分解，根據(jù)乘法法則即可化簡(jiǎn)，再代值計(jì)算即可.

2元一42x)(x—2)-

【詳解】解：原式=（一

x—2(x+2)(x—2)

—__-4_x_x_-_2_

X-2x+2

4

x+2

42

當(dāng)x=4時(shí)，原式=------——

4+23

【點(diǎn)睛】本題考察分式的化簡(jiǎn)求值，難度不大，屬于基礎(chǔ)題型.解題的關(guān)鍵在于熟悉運(yùn)算法則和因式分解.

21.在《阿基米德全集》中的《引理集》中記錄了古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德提出的有關(guān)圓的一個(gè)引理.如圖,

己知AB,C是弦AB上一點(diǎn)，請(qǐng)你根據(jù)以下步驟完成這個(gè)引理的作圖過(guò)程.

（1）尺規(guī)作圖（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）:

①作線段AC的垂直平分線OE,分別交于點(diǎn)°，AC于點(diǎn)E，連接A￡>,C￡>；

②以點(diǎn)。為圓心，D4長(zhǎng)為半徑作弧，交AB于點(diǎn)尸（居人兩點(diǎn)不重合），連接。

（2）直接寫(xiě)出引理的結(jié)論：線段BC,8/的數(shù)量關(guān)系.

【答案】（1）①見(jiàn)解析；②見(jiàn)解析：（2）BC=BF

【解析】

【分析】（1）①分別AC為圓心，大于‘AC為半徑畫(huà)弧，得到兩弧的交點(diǎn)，過(guò)兩弧的交點(diǎn)作直線￡>￡即

2

可得到答案，②按照語(yǔ)句依次作圖即可；

（2）由作圖可得：DA=DC=DF,再證明NDBC=/D3b,NDFB=NDCB,再證明

△DCB'DFB,從而可得結(jié)論.

【詳解】解：（1）作出線段AC的垂直平分線OE，連接AD,C。；

以。為圓心，D4長(zhǎng)為半徑作弧，交AB于點(diǎn)尸，連接如圖示：

、\\F

x

(2)結(jié)論：BC=BF.理由如下：

由作圖可得：OE是AC的垂直平分線，DA=DF,

.-.DA=DC=DF,

：.ZDAC=ZDCA,AD=FD,

:"DBC=NDBF,

???四邊形ABED是圓內(nèi)接四邊形，

：.ZDAB+ZDFB^ISO°,

?.?ZDC4+NDC3=180。，

/DFB=ZDCB,

DB=DB,

：.ADCB-DFB、

：.BC=BF.

【點(diǎn)睛】本題考查的是線段的垂直平分線的作圖，三角形全等的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，圓周角

定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟練運(yùn)用基礎(chǔ)知識(shí)解題是關(guān)鍵.

22.如圖1是平?jīng)鍪械貥?biāo)建筑“大明寶塔”，始建于明嘉靖十四年（1535年），是明代平?jīng)鲰n王府延恩寺的

主體建筑.寶塔建造工藝精湛，與蛇帽山的凌空塔遙相呼應(yīng)，被譽(yù)為平?jīng)龉潘半p璧”.某數(shù)學(xué)興趣小組

開(kāi)展了測(cè)量“大明寶塔的高度”的實(shí)踐活動(dòng)，具體過(guò)程如下：

方案設(shè)計(jì):如圖2,寶塔CO垂直于地面,在地面上選取A8兩處分別測(cè)得NC4D和NCBO的度數(shù)（A,D,B

在同一條直線上）.

數(shù)據(jù)收集：通過(guò)實(shí)地測(cè)量：地面上A,5兩點(diǎn)的距離為58m,NC4D=42。,NCBD=58。.

問(wèn)題解決：求寶塔CO的高度（結(jié)果保留一位小數(shù)）.

參考數(shù)據(jù)：sin42°x0.67,cos42°=0.74,tan42°?0.90,sin58°=0.85,cos58°=0.53,tan58°=1.60.

根據(jù)上述方案及數(shù)據(jù)，請(qǐng)你完成求解過(guò)程.

【答案】33.4m

【解析】

【分析】設(shè)CO=xm，再利用銳角三角函數(shù)用含x的代數(shù)式表示A。,再列方程，解方程可得答案.

【詳解】解：QCD1AB,設(shè)C￡>=xm，

CDXX

在心八4?！辏┲?，An->

tanZCADtan42°0.9

CDXX

在心△C5O中，BD=-,

-tanZCBD-tan58°1.6

AD+BD=AB,

.-.125x=4176,

解得，x?33.4.

答：寶塔的高度約為33.4m.

【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，掌握利用直角三角形中的銳角三角函數(shù)建立邊與邊之間的關(guān)

系是解題的關(guān)鍵.

23.一個(gè)不透明的箱子里裝有3個(gè)紅色小球和若干個(gè)白色小球，每個(gè)小球除顏色外其他完全相同，每次把箱

子里的小球搖勻后隨機(jī)摸出一個(gè)小球，記下顏色后再放回箱子里，通過(guò)大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)后，發(fā)現(xiàn)摸到紅色小

球的頻率穩(wěn)定于0.75左右.

（1）請(qǐng)你估計(jì)箱子里白色小球的個(gè)數(shù)；

（2）現(xiàn)從該箱子里摸出1個(gè)小球，記下顏色后放回箱子里，搖勻后，再摸出1個(gè)小球，求兩次摸出的小球

顏色恰好不同的概率（用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表的方法）.

【答案】（1）1個(gè)；（2）:

【解析】

【分析】（1）先利用頻率估計(jì)概率，得到摸到紅球的概率為0.75,再利用概率公式列方程，解方程可得答

案；

（2）利用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法得到所有的等可能的結(jié)果數(shù)，得到符合條件的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式計(jì)

算即可得到答案.

【詳解】解：（1）I?通過(guò)多次摸球試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率穩(wěn)定在0.75左右，

.?.估計(jì)摸到紅球的概率為0.75,

3

設(shè)白球有x個(gè)，依題意得——=0.75

3+x

解得，x=l.

經(jīng)檢驗(yàn)：X=1是原方程的解，且符合題意，

所以箱子里可能有1個(gè)白球；

（2）列表如下:

紅1紅2紅3白

紅1（紅1,紅1）（紅1，紅2）（紅1，紅）（紅1,白）

紅2（紅2，紅1）（紅2，紅2）（紅2，紅）（紅2，白）

紅3（紅3，紅1）（紅3，紅2）（紅3，紅3）（紅3，白）

白（白，紅Q（白，紅2）（白，紅）（白，白）

或畫(huà)樹(shù)狀圖如下:

開(kāi)始

第一次

第二次紅3白

?.?一共有16種等可能的結(jié)果，兩次摸出的小球顏色恰好不同的有：

（紅一白）、（紅2，白）、（紅3，白）、（白，紅I）、（白，紅2）、（白，紅3）共6種.

,兩次摸出的小球恰好顏色不同的概率三=1.

【點(diǎn)睛】本題考查的是利用頻率估計(jì)概率，利用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法求解等可能事件的概率，掌握實(shí)

驗(yàn)次數(shù)足夠多的情況下，頻率會(huì)穩(wěn)定在某個(gè)數(shù)值附近，這個(gè)常數(shù)視為概率，以及掌握列表與畫(huà)樹(shù)狀圖的方

法是解題的關(guān)鍵.

四、解答題：本大題共5小題，共40分.解答時(shí)，應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算

步驟.

24.為慶祝中國(guó)共產(chǎn)黨建黨100周年，某校開(kāi)展了以“學(xué)習(xí)百年黨史，匯聚團(tuán)結(jié)偉力”為主題的知識(shí)競(jìng)賽,

競(jìng)賽結(jié)束后隨機(jī)抽取了部分學(xué)生成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，按成績(jī)分成AB,C,D,E五個(gè)等級(jí)，并繪制了如下不完整

的統(tǒng)計(jì)圖.請(qǐng)結(jié)合統(tǒng)計(jì)圖，解答下列問(wèn)題:

等級(jí)成績(jī)

A50<x<60

B60<x<70

C70<x<80

D80<x<90

E90<x<100

(1)本次調(diào)查一共隨機(jī)抽取了名學(xué)生的成績(jī)，頻數(shù)分布直方圖中加=

(2)補(bǔ)全學(xué)生成績(jī)頻數(shù)分布直方圖：

(3)所抽取學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)落在_______等級(jí)；

(4)若成績(jī)?cè)?0分及以上為優(yōu)秀，全校共有2000名學(xué)生，估計(jì)成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生有多少人？

【答案】(1)200,16；(2)見(jiàn)解析；(3)C；(4)940人

【解析】

【分析】(1)8等級(jí)人數(shù)40人+B等級(jí)的百分比為20%,利用抽查人數(shù)-其它各組人數(shù)即可；

(2)C等級(jí)200x25%=50人，〃?=16即可補(bǔ)全頻率分布直方圖：

(3)根據(jù)中位數(shù)定義即可求即；

(4)成績(jī)80分以上的在。、E兩等級(jí)中人數(shù)占抽樣的百分比47%乘以學(xué)生總數(shù)即可.

【詳解】解：(1)B等級(jí)人數(shù)40人，由扇形圖可知B等級(jí)百分比為20%,

本次調(diào)查一共隨機(jī)抽取了40?20%=200名學(xué)生的成績(jī)，C等級(jí)200x25%=50人

.?.優(yōu)=200-40-50-70-24=16

故答案為：200,16；

(2)C等級(jí)200x25%=50人，%=16

補(bǔ)全頻率分布直方圖如圖所示:

學(xué)生成績(jī)頻數(shù)分布直方圖

(3)頻率分布直方圖已將數(shù)據(jù)從小到大排序，一共抽查200個(gè)數(shù)據(jù)，根據(jù)中位數(shù)定義中位數(shù)位于第100,

101兩位置上成績(jī)的平均數(shù)，16+40=56<100,16+40+50=106>101,

.?.中位數(shù)在C等級(jí)內(nèi)；

故答案為：C

(4)成績(jī)80分以上的在。、E兩等級(jí)中人數(shù)為：70+24=94人，占抽樣的百分比為94-200x100%=47%,

全校共有2000名學(xué)生，成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生有2000x47%=940(人).

答：全校2000名學(xué)生中，估計(jì)成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生有940人.

【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖和扇形圖獲取信息，樣本容量，補(bǔ)畫(huà)頻率分布直方圖，中位數(shù)，用樣本

的百分比含量估計(jì)總體中的數(shù)目等知識(shí)，熟練掌握上述知識(shí)是關(guān)鍵.

25.如圖1,小剛家，學(xué)校、圖書(shū)館在同一條直線上，小剛騎自行車(chē)勻速?gòu)膶W(xué)校到圖書(shū)館，到達(dá)圖書(shū)館還完

書(shū)后，再以相同的速度原路返回家中(上、下車(chē)時(shí)間忽略不計(jì)).小剛離家的距離y(m)與他所用的時(shí)間

x(min)的函數(shù)關(guān)系如圖2所示.

(1)小剛家與學(xué)校的距離為m,小剛騎自行車(chē)的速度為m/min；

(2)求小剛從圖書(shū)館返回家的過(guò)程中，y與x的函數(shù)表達(dá)式；

(3)小剛出發(fā)35分鐘時(shí)，他離家有多遠(yuǎn)？

【答案】(1)3000,200；(2)=-200x4-9000(20<x<45)；(3)20(X)m

【解析】

【分析】(1)從起點(diǎn)處為學(xué)校出發(fā)去處為圖書(shū)館，可求小剛家與學(xué)校的距離為3000m,小剛騎自行車(chē)勻速

行駛10分鐘，從3000m走到5000m可求騎自行車(chē)的速度即可；

(2)求出從圖書(shū)館出發(fā)時(shí)的時(shí)間與路程和回到家是的時(shí)間與路程，利用待定系數(shù)法求解析式即可；

(3)小剛出發(fā)35分鐘，在返回家的時(shí)間內(nèi)，利用函數(shù)解析式求出當(dāng)x=35時(shí)，函數(shù)值即可.

【詳解】解：(1)小剛騎自行車(chē)勻速?gòu)膶W(xué)校到圖書(shū)館，從起點(diǎn)3000m處為學(xué)校出發(fā)去5000m處為圖書(shū)館，

小剛家與學(xué)校的距離為3000m,

小剛騎自行車(chē)勻速行駛10分鐘，從3000m走到5000m,

行駛的路程為5000-3000=2000m,

騎自行車(chē)的速度為200070=200m/min,

故答案為:3000,200；

(2)小剛從圖書(shū)館返回家的時(shí)間：5000+200=25(min).

總時(shí)間：25+20=45（min）.

設(shè)返回時(shí)丁與x的函數(shù)表達(dá)式為丫=丘+〃,

20%+0=5000

把(20,5000),(45,0)代入得：，

45k+b=0

k=-200

解得,1=9000

y=—200x+9000(20<x<45).

(3)小剛出發(fā)35分鐘，即當(dāng)x=35時(shí)，

y=-200x35+9000=2000,

答：此時(shí)他離家2000m.

【點(diǎn)睛】本題考查從函數(shù)圖像中獲取信息，求距離，自行車(chē)行駛速度，利用待定系數(shù)法求返回時(shí)解析式，

用行駛的具體時(shí)間確定函數(shù)值解決問(wèn)題，掌握從函數(shù)圖像中獲取信息，求距離，自行車(chē)行駛速度，利用待

定系數(shù)法求返回時(shí)解析式，用行駛的具體時(shí)間確定函數(shù)值解決問(wèn)題是解題關(guān)鍵.

26.如圖，AA6c內(nèi)接于是。。的直徑43的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，NOC5=NQ4C.過(guò)圓心。作

的平行線交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

(1)求證：8是0。的切線；

(2)若CD=4,CE=6,求的半徑及tanN0C3的值;

【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)半徑為3,tanZOCB=2

【解析】

【分析】(I)證明0C是。。的半徑，即證明NOCD=90°,結(jié)合直徑所對(duì)圓周角是90°、等腰△O4C和

已知NQ4C=NOC4即可求解；

EC

(2)由(1)中結(jié)論和BC〃。石可知，tanNOCB=tan/EOC=——，再由CD、CE和平行線分線段成

OC

比例，即可找到8。、OB、BC、OE的關(guān)系，最后利用心△OCD三邊的勾股定理即可求解.

【詳解】(1)證明：如圖，---OA=OC,

:.ZOAC=ZOCA,

???NDCB=NOAC,

：.ZOCA=ZDCB,

QA8是OO的直徑，

:.ZACB=90°,

：.AOCA+ZOCB=90°,

：.ADCB+NOCB=90°,即/OCD=90°,

:.OCLDC,

又是oo的半徑，

.?.8是。。的切線.

(2)BC//OE,

BDCDBD42

---------,即an-------...,

OBCE0863

設(shè)BD=2x,則OB=OC=3x,OD=OB+BD=5x,

-.OC±DC,

:.OC2+CD2=OD-

??.(3x)2+42=(5x)2,解得，％=1,

..OC=3x=3.即。。的半徑為3,

?：BC//OE,

ZOCB=ZEOC,

EC6

在Rt^OCE中，tanZ.EOC==—=2,

OC3

tanZOCB-tanZEOC=2.

【點(diǎn)睛】本題考查圓切線的證明、平行線分線段成比例、勾股定理和銳角三角函數(shù)，屬于中檔幾何綜合題,

解題的關(guān)鍵在于直徑所對(duì)圓周角是直角和方程思想.

27.問(wèn)題解決：如圖1,在矩形A6CD中，點(diǎn)分別在邊上，OE=AF,OE_LAF于點(diǎn)G.

圖1圖2

（1）求證：四邊形A3C。是正方形;

（2）延長(zhǎng)CB到點(diǎn)”，使得BH=AE,判斷八4/7/形狀，并說(shuō)明理由.

類(lèi)比遷移：如圖2,在菱形ABC。中，點(diǎn)￡尸分別在A3,邊上，OE與A/相交于點(diǎn)G,

DE—AF,ZAED—60°,AE—6,BF—2,求。石的長(zhǎng).

【答案】問(wèn)題解決：（1）見(jiàn)解析；（2）等腰三角形，理由見(jiàn)解析；類(lèi)比遷移：8

【解析】

【分析】問(wèn)題解決：（1）證明矩形ABCD是正方形，則只需證明一組鄰邊相等即可.結(jié)合DELA廠和

〃4￡=90°可知ZBAE=NAZ）G,再利用矩形的邊角性質(zhì)即可證明AABF名△"￡，即Afi=AD，即

可求解；

（2）由（1）中結(jié)論可知=再結(jié)合已知=即可證明人鉆〃四△ZM￡，從而求得

是等腰三角形；

類(lèi)比遷移：由前面問(wèn)題的結(jié)論想到延長(zhǎng)CB到點(diǎn)H,使得5"=AE=6,結(jié)合菱形的性質(zhì)，可以得到

再結(jié)合已知NA￡?=60°可得等邊△A//F'，最后利用線段8尸長(zhǎng)度即可求解.

【詳解】解：?jiǎn)栴}解決：

（1）證明：如圖1,?.?四邊形ABCO是矩形，

:.ZABC=ZDAB=9Q°.

：.ZBAF+ZGAD=90°.

DE±AF,：.ZADG+ZGAD=90.

4BAF=ZADG.

圖1

又???AF=DE,：AABF\DAE,：.AB^AD.

，矩形ABC。是正方形.

（2）八4/7/是等腰三角形.理由如下：

AB=AD,ZABH=ZDAE=90°,BH=AE,

,'.^ABH=^DAE,AH=DE.

又?.?OE=A￡.〔AH=A/,即"http:///是等腰三角形.

類(lèi)比遷移：

如圖2,延長(zhǎng)CB到點(diǎn)H,使得BH=AE=6,連接A4.

?.?四邊形ABCO是菱形，

AD//BC,AB=AD,ZABH=/BAD.

BH=AE,：.^ABHWDAE.

：.AH=DE,NAHB=ZDEA=60°.

圖2

》DE=AF,：.AH=AF.

ZAHB=60°,，AAHF是等邊三角形,

:.AH=HF,

：.DE=AH=HF=HB+BF=6+2=8.

【點(diǎn)睛】本題考查正方形的證明、菱形的性質(zhì)、三角形全等的判斷與性質(zhì)等問(wèn)題，屬于中檔難度的幾何綜

合題.理解題意并靈活運(yùn)用，做出輔助線構(gòu)造三角形全等是解題的關(guān)鍵.

28.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線丁=(/+&+。與坐標(biāo)軸交于4(0,—2),3(4,0)兩點(diǎn)，直線

8C:y=-2x+8交》軸于點(diǎn)C.點(diǎn)。為直線43下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作x軸的垂線，垂足為

G,DG分別交直線BC,AB于點(diǎn)E,尸.

(1)求拋物線y=+笈+。的表達(dá)式；

(2)當(dāng)GF=,，連接30,求△班將'的面積；

2

(3)①”是＞軸上一點(diǎn)，當(dāng)四邊形BE"是矩形時(shí)，求點(diǎn)〃的坐標(biāo)；

②在①的條件下，第一象限有一動(dòng)點(diǎn)P,滿(mǎn)足PH=PC+2,求汨周長(zhǎng)的最小值.

【答案】(I)y=—x~——x—2；(2)—；(3)①“(0,3)；②4y+7

【解析】

【分析】(1)直接利用待定系數(shù)法即可求出答案.

(2)由題意可求出QB=4,04=2.利用三角函數(shù)可知在和尸中，

QAGF

tan/AB0=——=—,由此即可求出GB=1,從而可求出0G=3.即可求出。點(diǎn)坐標(biāo)，繼而求出

OBGB

GD=2.再根據(jù)Gb=,，即可求出尸。的長(zhǎng)，最后利用三角形面積公式即可求出最后答案.

2

(3)①連接8"，交EF于點(diǎn)、N.根據(jù)矩形的性質(zhì)可知BN=N”=gB"=g