高等代數(shù)與解析幾何習(xí)題答案

習(xí)題

習(xí)題設(shè)A是一個"階下三角矩陣。證明：

(1)如果A的對角線元素嗎H勺(門=1,2,.../)，則A必可對角化；

(2)如果A的對角線元素aii=a22=-=aii“f且A不是對角陣，則A不可

對角化。

證明：(1)因?yàn)锳是一個〃階下三角矩陣，所以A的特征多項(xiàng)式為I2E-A

1=(2-!)(2-?22)??(2-6/wj),又因心工勺(/,j=1,2,?.,/?)，所以人有"個不

同的特征值，即4有"個線性無關(guān)的特征向量，以這〃個線性無關(guān)的特征向量為

列構(gòu)成一個可逆陣P,則有廠蟲P為對角陣，故A必可對角化。

(2)假設(shè)A可對角化，即存在對角陣〃=人.，使得A與B

相似，進(jìn)而A與3有相同的特征值人，人,…人。又因?yàn)榫仃嘇的特征多項(xiàng)式為I

xtf—Al=(幾所以，從|([J

/、

如

B=如=如丘，于是對于任意非退化矩陣x，都有

、%>

XBX=X%EX=gE=民而A不是對角陣，必有廠曲=3”,與假設(shè)矛盾，所以A

不可對角化。

習(xí)題設(shè)"維線性空間V的線性變換"有$個不同的特征值入，易，…,入，

匕是人的特征子空間(心1,2，…,s)0證明：

(1)叫+嶺+...+匕是直和；

(2)a可對角化的充要條件是V=%十匕十…十匕。

證明：⑴取嶺+￡+???+匕的零向量0,寫成分解式有

ax+a2+-+a=0,其中qev；J=1,2，…,s0現(xiàn)用6b[...,b

分別作用分解式兩邊，可得

印+色+...+%=0

人?++?,?+AS3S=0

常匕+石么+???+町匕=0

寫成矩陣形式為

工人L

（、1"=（0Q???,0）。

（4S，…心）：

A7

J人

f]人…吊:

4丁……人"越’的行列式不為

由于人，人，…，人是互不相同的，所以矩陣3=1

零，即矩陣B是可逆的，進(jìn)而有

（卬,色,aJBB”=（0,0，…,0）B"=（0,0，…,0）,（a|■勺，…）=（0,0，…,0）o

這說明必+嶺+..?+匕的零向量0的分解式是唯一的，故由定義可得％+/+???

+匕是直和。

（2）（=＞）因匕?，心12...,s都是V的子空間，所以有Un%十匕十…十匕。

又因＜7可對角化，所以曠有川個線性無關(guān)的特征向量，它們定屬于某一特征

值，即它們都屬于K十嶺十…十匕。對任意的a&V,一定可由"個線性無關(guān)的特

征向量線性表示，所以aw%十匕十…十匕，即得VcV,十匕十…十匕成立，故有V

=V,十嶺十…十匕o

(U)因V=V,?V2十…十匕，所以分別取叫(i=1,2，…,f)的基：勺，匕2，…,匕"i=

1,2，…,s,其中/+〃2+...+心=",進(jìn)而得V的基：au,ai2,--/airf|/321/322/----/tZ2<,—/

asl,as2t-taldo又知基向量中的每一個向量都是"的特征向量，故得"有〃個線

性無關(guān)的待征向量，所以"可對角化。

習(xí)題設(shè)D是〃階對角陣，它的特征多項(xiàng)式為

AD(2)=(2一人)C,(2—▲)巾…"一舄戶，

其中人易…’人兩兩不同。設(shè)

V={BeMH(F)\BD=DB],

證明：V是M"(F)的子空間，且

dim1/=c;+c;+...+c:o

證明：對即AD=DAfBD=DB,Pk、leF有

伙/+眼。=(M)D+(IB)D=k(AD)+l(BD)=k(DA)+l(DB)=

D(kA+IB),所以kA+IBA匕即V是M"(F)的子空間。

似t、

設(shè)》=人綸..，則由習(xí)題知與D可交換的矩陣只能是

準(zhǔn)對角矩陣，即3=31.，其中色為q階方陣，心1,2「進(jìn)

、k

飛、

而對VB=81.eV,都可由i行，J?列元素為1,其余元素全為

零的”階方陣

&QGJSC],q+1</,J<q+C2,「(乞c*)+lGfcQ線性表示。顯然

A:-lH

號(lGJSq心+1GJVq+C2，…,(fcQ+1GJSfcQ線性無關(guān),構(gòu)成V的

一組基，所以dimU=+c;+...+。

習(xí)題設(shè)A為準(zhǔn)對角陣，

A=.,

其中4是兒階矩陣，它的最小多項(xiàng)式是/n,(A)。證明：

[2)=["(/[)加2億)")]?

(即A的最小多項(xiàng)式是備得…,A,的最小多項(xiàng)式的最低公倍式。)

證明：令叫(兄)，嗎⑷，…，叫(兄)為對角線上諸塊￡每一4的最小多項(xiàng)式，且〃⑵=

M⑵，加2(刃，…，他(刃1。因?(刃為A的最小多項(xiàng)式，則由mA(A)=0可得〃

仃(A)=0,心1,2，…,s0又因A的最小多項(xiàng)式整除任何以人為根的多項(xiàng)式，所以mf(A)

ImA(A),7=1,2,...2。從而A(2)ImA(A)o

乂由于/H/(/l)I/z(A),i=12而"(A)=0,故〃⑷=0o從而

7(A)、

h(A)=?-=0o

<h(A?

于是又有沖仞,牝又因它們的首項(xiàng)系數(shù)都是1，故

叫⑵=A(A)=[m}(2),相2(九)........./n,(A)]0

習(xí)題求下列矩陣的最小多項(xiàng)式，并判斷它是否可對角化:

qi...p(010人

11...i1010

(1)4=；(2)A=

0101

、11-1,11XU<101°

解:⑴矩陣A的特征多項(xiàng)式為

X—1—1...-1

\AE-A\="A"

=/b-1(2-n)o

-1—1

由命題知，矩陣A的最小多項(xiàng)式為才(幾-仍，其中經(jīng)計(jì)算得

r|1...1、4T1(00-0)

11,?,1-/2...1c...0

A(A-nE)=100n

J1)<11...1_心<00...0,

故矩陣A的最小多項(xiàng)式為2(2-〃)，且無重根，所以A可對角化。

⑵矩陣A的特征多項(xiàng)式為

IA—10—1

u￡,?,=o—J°二才(兄一2)(幾+2)o

-1

|—10—1A

由命題知，矩陣A的最小多項(xiàng)式為Z(2-2)(2+2),其中|vev2o

經(jīng)計(jì)算得

010s,-2101「10n

10101-2101210

A(A-2E)(A+2E)010101-210121

j01：<101-2><1012

(0?C

-00.C

0C1

故矩陣A的最小多項(xiàng)式為2(2-2)(2+2),且無重根，所以A可對角化。

習(xí)題如果〃階方陣A滿足A^+A=2f■，問A可對角化嗎

答：A可對角化。事實(shí)上，由A^+A=2E?IAA^+A-2E=。即得4的零

化多項(xiàng)式/")=才+幾-2,而A的最小多項(xiàng)式可整除A的零化多項(xiàng)式，故A的最小

多項(xiàng)式只可能為幾T,2+2或/⑵=22+A-2=(2-1)(2+2),

無論哪一種，A的最小多項(xiàng)式都無重根，故A可對角化。

習(xí)題證明：

(1)A是幕零陣的充要條件為A的特征值全為零；

⑵”階方陣如果存在正整數(shù)￡伙可能>〃)，使3=0,則必有

A'!=Oo

證明：⑴(一)因?yàn)锳是幕零陣，所以存在正整數(shù)加，使得

由此可得A的零化多項(xiàng)式為/(/I)=Z：由命題知，A的最小多項(xiàng)式，心(兄)是/(2)=

A.K的因式，故有化1(兄)=才，其中|<k<rno又因A的每一個特征值都是最小

多項(xiàng)式的根，而=才只有零根，所以A的特征值全為零。

(二)反證法。設(shè)〃階方陣A不是幕零陣，即對任意正整數(shù)川，都有/TH0。當(dāng)

然也有A”H。?，F(xiàn)有A的零化多項(xiàng)式，即特征多項(xiàng)式為

△A(A)=1|=(2J)c，(2—易嚴(yán)...(久一人)”,

其中q+C2+...+c$=:為A的所有不同的特征值。顯然，

人,…，人不能全為零。否則4(A)=A"H0與4(幾)是A的零化多項(xiàng)式矛盾。另

一方面，人2…蟲不全為零又與題給條件矛盾。故命題得證。

⑵當(dāng)〃時，由卅=0可得=AkAnJ(=QAn~k=0o

當(dāng)〃〉"時，由中=0可得A的一個零化多項(xiàng)式/⑵=/。所以A的最小多項(xiàng)式二其

中I又由于A的零化多項(xiàng)式之一，即特征多項(xiàng)式AA⑵=UE-AI是"次多項(xiàng)式。

所以A的最小多項(xiàng)式的次數(shù)/V"，且有mA(A)=⑷=0，故有4=44'=

OA"J=0。

習(xí)題設(shè)A為”階方陣,多項(xiàng)式/")=才-8/1+15,gS)=F-4幾+3,使/(A)=0,

g(A)=Oo求A的最小多項(xiàng)式。

解:設(shè)h(A)=0v切劃，即得

/z(A)=尤一8A+15—(A-------4/1+3)=—4A+120

因?yàn)?(A)=0,g(A)=0,所以有h(A)=皿加4>=0回力(刃為A的零化多項(xiàng)式。

又知4的最小多項(xiàng)式是其零化多項(xiàng)式的因式，故得A的最小多項(xiàng)式為〃仃

(兄)=2—3O

習(xí)題設(shè)“/倒是數(shù)域尸上”階方陣全體所組成的線性空間。r是M"(F)上的

線性變換：r(A)=0證明：

(1)廠的特征值只可能是1,-1；

⑵：■可否對角化為什么

證明：⑴設(shè)「的特征值為兄，廠的屬于幾的特征向量為A,即有r(A)=AA,

進(jìn)而有r2(A)=叱/,再由題給條件有r(A)=A1，進(jìn)而有r2(A)=r(Ar)=(A>=A,所以

有XE4=A，而A為特征向量，是非零的，定有22=1,所以r的特征值只可能是1,-1。

⑵答：7.可對角化。因?yàn)槿"(F)的一組基：Zx遲，…，E"2,設(shè)廠在此基

2

下的矩陣為M,則有鞏目耳，…，耳2)=(目,丘2,…，島)M,進(jìn)而有r(￡pf2,--,E2)=(￡P(guān)￡2,-

-,E:)M4又由題給條件有

F(E\、EwEQ=(E\fE」EQ,

可得(巴也...,EQW,=(￡屯，…,E"4所以有”=￡，由此可得M的零化多項(xiàng)式為

/(2)=22-1=(2-1)(2+1),而M的最小多項(xiàng)式頌4)又是，(A)的因式，所以一定無重

根，所以M可對角化，進(jìn)而r可以對角化。

習(xí)題設(shè)A是"階復(fù)矩陣，對某個正整數(shù)k,有4"=以證明A可對角化。

證明：因?yàn)閷δ硞€正整數(shù)k,有//=￡所以可得A的零化多項(xiàng)式為

/⑵=-1o現(xiàn)令舄=cos+,/=O,l,...,k—10則有

kk

/(A)=2*-l=(A-1)(2--(2-心o

而A的最小多項(xiàng)式…(刃又是/(刃的因式，所以一定無重根，故A可以對角化。

習(xí)題

(?1\

習(xí)題設(shè)線性變換＜7在，的標(biāo)準(zhǔn)基勺下的矩陣為J,又設(shè)W

是，中由?二所生成的1維子空間，證明：

(0)

⑴w是，的CT-不變子空間；

(2)不存在另一個＜7-不變子空間使R2=WeVT;

(3)總可以找到另一個子空間W“使R2=曄W“。

21、

證明：⑴由題意知，b(q,勺)=(%02)人=(勺，勺)，即6?)=2勺，

2)

所以對VawW,有a=依/,進(jìn)而有

“a)=b伙q)=ka(e?=k(2q)=(2k)e(eW,

故W是，的cr-不變子空間。

(2)假設(shè)存在另一^。?-不變子空間M使/?2=W十且dimF=2,dimW=I,則有

dimW'=lo分別取W與M的基，a,它們構(gòu)成，的基。又因W與財(cái)都是不變子

空間，即cr(cr)=kaeW,＜丁底)=k'a'e仍所以cr在，的基a,刃下的矩陣3

為對角陣，且有A與3相似，而A不可能與對角陣相似，出現(xiàn)矛盾，故命題得

證。

（3）設(shè)w“是川中由勺=（。1所生成的1維子空間，則有/?^wew0

習(xí)題用歸納法證明：

(1)任一復(fù)方陣A必相似于一個上三角陣，且該上三角陣之對角線元

素就是A的全部特征值；

(2)設(shè)A是實(shí)方陣，則存在實(shí)可逆陣P,使為上三角陣的充要條件是A

的特征值全部為實(shí)數(shù)。

證明：(1)對方陣的階數(shù)作數(shù)學(xué)歸納。

當(dāng)"時，結(jié)論當(dāng)然成立。假定對階結(jié)論成立，證明對〃階成立。

設(shè)A為任一”階復(fù)方陣，則A必有待征值人及對應(yīng)的特征向量現(xiàn)

將屈擴(kuò)充為C”的組基久燉，…，幾，則有A0嚴(yán)入仇,

A0產(chǎn)久0+爻且02+...+久屏",其中/=2,-,no故存在可逆方陣

Q=(A,02,「0"),使得

…饑

…b2n

bnl...bnn)

；是八-1階復(fù)方陣，故由歸納法，存在"-1階可逆陣Q2,

bnn)

使得

從而存在可逆方陣2=Q

人如...外"

1n1n4c容包?/>“fl0

護(hù)4。=

Q、oe2>=〔。Qi\'■'■:(OQ/

0...WJ

L

10

從而命題得證。

(2)(=>)設(shè)存在實(shí)可逆陣P，使得PAAP=

10

為A的全部特征值。將上式兩邊取共軌得PAAP=HAP=

又因A與P都是實(shí)矩陣，所以有

a*—

_石

二"，即有&=入，f=12…，故4的特

0

征值全部為實(shí)數(shù)。

(<=)對實(shí)方陣的階數(shù)作數(shù)學(xué)歸納。

當(dāng),2=1時，結(jié)論當(dāng)然成立。假定對H-1階結(jié)論成立，證明對〃階成立。

設(shè)A為畀階實(shí)方陣，且A的特征值全部為實(shí)數(shù)?，F(xiàn)取A的一個實(shí)特征

值人及對應(yīng)的特征向量0「并將A擴(kuò)充為川的一組基久02，…,0",則有

/以二入〃"嚴(yán)饑妙+仇偲+.??+瓦炕，其中/=2、…4故存在實(shí)可逆方陣

0嚴(yán)(久02廠也)，使得

勺2...A"，

er'AQ=0的俎9

3?2...bnn>

色2??勿

于是Ji是川T階實(shí)方陣，其特征多項(xiàng)式是A的特征多項(xiàng)式的

九…)

因式，所以特征值都是實(shí)數(shù)。故由歸納法，存在川-1階實(shí)可逆陣使得

從而存在實(shí)可逆方陣Q=Qx，使得

如…九

C/AC-0、50?勺1°

Q~LAQ-ClAC

C一八

0、

A

QiQ2>

&J

從而命題得證。

習(xí)題如果W是V的1維子空間，b是V的線性變換，則W是C7-子空間

的充要條件是W中任一非零向量都是屬于同一待征值的特征向量。

證明：設(shè)&為w的一組基，即VOeW,都有p=kao

(=>)設(shè)W是<7-子空間，有b(a)eW,即有b(a)=AaeWo對V/7eW,

且OHO,有b(0)=肋<a)=饑加)=/l伙2)=久0,故得W中任一非零向量都是屬于同一

待征值的特征向量。

(U)己知W中任一非零向量都是屬于同一特征值的特征向量。不妨

設(shè)且0工0,有60)=幾0,顯然有0-(/7)=2/7eW，故W是。?-子空

間。

習(xí)題設(shè)V是復(fù)數(shù)域上"維線性空間，6,6是V的線性變換，且56=65。

證明：

(1)如果入是巧的特征值，則入的特征子空間％也是屬的不變子空間；

⑵”,6至少有一個公共特征向量；

⑶如果6有"個不同的特征值，則V內(nèi)必存在一個基，使"，6在這個基

下的矩陣同時為對角陣。

證明：⑴對VaeVA，有"(a)=一人a，則

"(69))=(b]bj(a)=(ayrJS)=b,"?))=6(人(劭=人(6(明,即得a2(a)6,故匕也是

①的不變子空間。

(2)由⑴有比，是q的不變子空間。若記<4)=久，則6在復(fù)數(shù)域上必

有特征值"，并存在aHO,且aeVAU，使得<r0(a)=//<z，因而b2(a)=b()(a)=〃a,

又因<n(iz)=\a，所以a是5與b?的公共特征向量。

⑶設(shè)6的"個不同的特征值為備人，…，人，分別取屬于不同特征值的

特征向量為ag，…,a",即bg)=4y,j=1,2,…昇2O它們構(gòu)成線性空間

V的一個基，且巧在基⑷心，…S下的矩陣為人?…又由⑴

<

知，5的特征值&的特征子空間匕，也是①的不變子空間，且匕，(心12.../)都是一

維子空間，則對基es，…,a",必有6(a)=,i=ZZ-此所以

6在基…，％下的矩陣為*20

習(xí)題V的非平凡線性變換廠滿足r2K，則稱T為V的投影線性變換。

證明：

(1)(￡—r)(v)=Kerr,V=r(V)+Kerr;

(2)如果/是y的線性變換，是V的歷變子空間，且V=W,?%0對任意

v=VV1+W2eV，其中叱<叱(21,2),定義r.(v)=w/z=1,2),則斤七都是V的投影線性

變換,且與?！隹山粨Q。

證明：⑴證明(f-r)(v)=Kerro

由于r2=r，則對任意a-T(a)f有

T(a—r(a))=r(a)—淤(a)=0從□a—r(a)eKerr。

VaeKerr,HPr(a)=0,顯然a=a-r(a)e{a—r(a)Iawll}=(￡—r)(V),因止匕仔-

T)(V)=KerTo

A

再證：V=r(V)+顯然有Vr(V)+Kerro

任取aeV，則有a=r(a)+?包顯然r(a)er(V),且

-r)(a)]=r(a-r(c?))=r(a)-淤(a)=0,gp(￡-r)(a)eKerr。

所以Vcr(V)+KerrWV=r(V)+Kerro

⑵由題意，對任意片=叫i+,其中w「eVV.(j=1,2；/=1,2)；對

任意數(shù)有所以巧是線

k,/wF,r\kvx+/v2)=kwu+lw2i=kn(vi)+/rf(v2)(i=1,2),

性變換。

又對任意V=+W6eI/,其中eW,(i=L2),有r/(v)=w“且有

3=巧網(wǎng)=W.(i=1,2)得T：=r.(/=1,2)。又(眄)(P)=tr(rf.(v))=,

(r.cr)(v)=rr.(cr(v))=F-CcrCw')+cr(w2))=o-(vv)這是因?yàn)閎(叩eVV(/=1,2),得人

=07,,/=l,2o故得斤七都是V的投影線性變換，且與"可交換。

習(xí)題設(shè)2是"階矩陣A的待征值，N=4乂￡如果向量&適合心但

N人HO,則稱&為屬于待征值兄的權(quán)&的根向量，特征向量就是權(quán)為1的根向量。

再令Hk={aeR\Nk(a)=O},

(1)證明乞是F”的子空間，且HvH_,i=12…;

⑵如果存在正整數(shù)7使4=證明對任意正整數(shù)/?>/,有嘰=2；

(3)如果存在可逆陣P=(4，他,...S，使

V1、

P-'AP=。

?.1

<幾J

證明a,{i=1,2,...,//)是A的屬于特征值2的權(quán)II的根向量。

證明：⑴對PagHk,gwF，有N*(Q)=0,N*(0)=O,進(jìn)而

<Nk(ka+ip)=kNk(a)+INk(/?)=o，即ka+勿故乞是嚴(yán)的子空間。

又對Xfae，有心。顯然有M(a)=N(W(a))=N(O)=0，所以得aWd=1,2，…，故有

H—H"\=l,2,...o

(2)己知存在正整數(shù)f使⑥即由7Vf+.(a)=?？傻肕⑶=O,因此對任

意正整數(shù)相>L顯然當(dāng)〃？=r及m=/4-1時，命題成立。假設(shè)初=f+〃是

成立，其中P為大于零的整數(shù)?，F(xiàn)證m=/+/?+1時命題成立。

對VQGQ+T,有N"R(a)=0,進(jìn)而有N"啊(&)=2如(29))=0,由條件可得

NXNP(a))=M(N"(a))=0,即得N"(a)=0,由假設(shè)得M⑶=0,所以ae區(qū)故對

任意正整數(shù)/?>/,有Htn=HtO

(Al

(3)由題意的-2.?,即

1

<嘉

Q1