高考數(shù)學(xué)模擬檢測試卷例題（新編）

高考數(shù)學(xué)一模試卷

一、選擇題(在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項)

1.如果A={xdR|x>0},B={0,1,2,3),那么集合AAB=()

A.空集B.{0}C.{0,1}D.{1,2,3}

2.某高校共有學(xué)生3000人，新進大一學(xué)生有800人.現(xiàn)對大學(xué)生社團活動情況

進行抽樣調(diào)查，用分層抽樣方法在全校抽取300人，那么應(yīng)在大一抽取的人數(shù)為

()

A.200B.100C.80D.75

3.如果a=log41,b=log23,c=log2n,那么三個數(shù)的大小關(guān)系是()

A.c>b>aB.a>c>bC.a>b>cD.b>c>a

4.如果過原點的直線I與圓x2+(y-4)2=4切于第二象限，那么直線I的方程是

()

A.B.C.y=2xD.y=-2x

5.設(shè)函數(shù)若f(a)>1,則實數(shù)a的取值范圍是()

A.(0,2)B.(0,+8)C.(2,+8)D.(…，0)u(2,+8)

6.“sina+cosa=0"是"cos2a=0"的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分且必要條件D.既不充分也不必要條件

7.如果某四棱錐的三視圖如圖所示，那么該四棱錐的四個側(cè)面中是直角三角形

的有()

A.1B.2C.3D.4

8.如果函數(shù)y=f(x)在定義域內(nèi)存在區(qū)間［a,b］,使f(x)在［a,b］上的值域

是［2a,2b］,那么稱f(x)為"倍增函數(shù)若函數(shù)f(x)=ln(ex+m)為“倍增函

數(shù)"，則實數(shù)m的取值范圍是()

A.B.C.(-1,0)D.

9.設(shè)集合A={x|lVxV3},集合B={X|X2>4},則集合ACB等于()

A.{x2<x<3}B.{x|x>l}C.{xl<x<2}D.{x|x>2}

10.圓心為(0,1)且與直線y=2相切的圓的方程為()

A.(x-1)2+y2=lB.(x+1)2+y2=lC.x2+(y-1)2=1D.x2+(y+1)2=1

11.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的x的值為()

A.4B.3C.2D.1

12.若實數(shù)a,b滿足a>0,b>0,貝是k+1血>6+|[113"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

13.某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐中最長棱的長度為（）

A.B.C.D.3

14.在aABC上，點D滿足，則（）

A.點D不在直線BC上B.點D在BC的延長線上

C.點D在線段BC上D.點D在CB的延長線上

15.若函數(shù)的值域為[-1,1],則實數(shù)a的取值范圍是（）

A.[1,+8）B.（-8,-1]C.（0,1]D.（-1,0）

如圖，在公路兩側(cè)分別有七個工廠，各工廠與公路

16.MNAi，A2,A7MN

（圖中粗線）之間有小公路連接.現(xiàn)在需要在公路MN上設(shè)置一個車站，選擇站

址的標準是"使各工廠到車站的距離之和越小越好則下面結(jié)論中正確的是

（）

①車站的位置設(shè)在C點好于B點；

②車站的位置設(shè)在B點與C點之間公路上任何一點效果一樣；

③車站位置的設(shè)置與各段小公路的長度無關(guān).

A.①B.②C.①③D.②③

二、填空題（將答案填在答題紙上）

1.已知復(fù)數(shù)z=a（1+i）-2為純虛數(shù)，則實數(shù)a=.

已知等比數(shù)列｛中，則公比,其前項和

2.aja2a4=a5，a4=8,q=4

$4=.

3.若拋物線y2=2px的準線經(jīng)過雙曲線的左焦點，則實數(shù)p=.

4.若x,y滿足則的最大值是—.

5.已知函數(shù)f(x)=sinu)x(u)>0),若函數(shù)y=f(x+a)(a>0)的部分圖象如圖

所示，則3=,a的最小值是.

6.閱讀下列材料，回答后面問題：

在2014年12月30日CCTV13播出的“新聞直播間”節(jié)目中，主持人說："…加入

此次亞航失聯(lián)航班QZ8501被證實失事的話，2014年航空事故死亡人數(shù)將達到

1320人.盡管如此，航空安全專家還是提醒：飛機仍是相對安全的交通工具.①

世界衛(wèi)生組織去年公布的數(shù)據(jù)顯示，每年大約有124萬人死于車禍，而即使在航

空事故死亡人數(shù)最多的一年，也就是1972年，其死亡數(shù)字也僅為3346人;②截

至2014年9月，每百萬架次中有2.1次(指飛機失事)，乘坐汽車的百萬人中其

死亡人數(shù)在100人左右.“

對上述航空專家給出的①、②兩段表述(劃線部分)，你認為不能夠支持"飛機仍

是相對安全的交通工具”的所有表述序號為—，你的理由是—.

7.已知復(fù)數(shù)z=a(1+i)-2為純虛數(shù)，則實數(shù)a=.

已知等比數(shù)列｛中，則公比,其前項和

8.aja2a4=a5,a4=8,q=4

$4=.

9.若拋物線y2=2px的準線經(jīng)過雙曲線的左焦點，則實數(shù)p=—.

10.若x,y滿足則的最大值是—.

11.已知函數(shù)f(x)=sincox(u)>0),若函數(shù)y=f(x+a)(a>0)的部分圖象如圖

所示，則3=,a的最小值是.

12.閱讀下列材料，回答后面問題：

在2014年12月30日CCTV13播出的“新聞直播間”節(jié)目中，主持人說："…加入

此次亞航失聯(lián)航班QZ8501被證實失事的話，2014年航空事故死亡人數(shù)將達到

1320人.盡管如此，航空安全專家還是提醒：飛機仍是相對安全的交通工具.①

世界衛(wèi)生組織去年公布的數(shù)據(jù)顯示，每年大約有124萬人死于車禍，而即使在航

空事故死亡人數(shù)最多的一年，也就是1972年，其死亡數(shù)字也僅為3346人;②截

至2014年9月，每百萬架次中有2.1次(指飛機失事)，乘坐汽車的百萬人中其

死亡人數(shù)在100人左右.”

對上述航空專家給出的①、②兩段表述(劃線部分)，你認為不能夠支持"飛機仍

是相對安全的交通工具”的所有表述序號為，你的理由是.

13.如果(x2-1)+(x-1)i是純虛數(shù)，那么實數(shù)*=.

14.如果執(zhí)行如圖所示的程序框圖，那么輸出的k=.

15.如果直線I：y=kx-1(k>0)與雙曲線的一條漸近線平行，那么

k=.

16.“墨子號"是由我國完全自主研制的世界上第一顆空間量子科學(xué)實驗衛(wèi)星，于

2016年8月16日發(fā)射升空.“墨子號”的主要應(yīng)用目標是通過衛(wèi)星中轉(zhuǎn)實現(xiàn)可覆

蓋全球的量子保密通信.量子通信是通過光子的偏振狀態(tài)，使用二進制編碼，比

如，碼元0對應(yīng)光子偏振方向為水平或斜向下45度，碼元1對應(yīng)光子偏振方向

為垂直或斜向上45度.如圖所示

編碼方式1編碼方式2

碼元0

碼元1

信號發(fā)出后，我們在接收端將隨機選擇兩種編碼方式中的一種來解碼，比如，信

號發(fā)送端如果按編碼方式1發(fā)送，同時接收端按編碼方式1進行解碼，這時能夠

完美解碼；信號發(fā)送端如果按編碼方式工發(fā)送，同時接收端按編碼方式2進行解

碼，這時無法獲取信息.如果發(fā)送端發(fā)送一個碼元，那么接收端能夠完美解碼的

概率是—;如果發(fā)送端發(fā)送3個碼元，那么恰有兩個碼元無法獲取信息的概率

是—.

17.已知AABC中，ZA=120°,且AB=AC=2,那么BC=,=.

18.已知甲、乙、丙三人組成考察小組，每個組員最多可以攜帶供本人在沙漠中

生存36天的水和食物，且計劃每天向沙漠深處走30公里，每個人都可以在沙漠

中將部分水和食物交給其他人然后獨自返回.若組員甲與其他兩個人合作，且要

求三個人都能夠安全返回，則甲最遠能深入沙漠公里.

三、解答題(共6小題，共80分.答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程)

1.已知點(,1)在函數(shù)f(x)=2asinxcosx+cos2x的圖象上.

(工)求a的值和f(x)最小正周期；

(H)求函數(shù)f(x)在(0,71)上的單調(diào)減區(qū)間.

已知數(shù)列｝是等差數(shù)列，前項和為若

2.anSn，aI=9,S3=21.

(I)求數(shù)列｛aj的通項公式;

若成等比數(shù)列，求的值.

(II)as,a8,Skk

3.如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是平行四邊形，AD1BD且AD=BD,

ACABD=O,PO_L平面ABCD.

(I)E為棱PC的中點，求證：OE〃平面PAB；

(II)求證：平面PAD_L平面PBD；

(III)若PDJ_PB,AD=2求四棱錐P-ABCD體積.

4.某校學(xué)生在進行“南水北調(diào)工程對北京市民的影響”的項目式學(xué)習(xí)活動中，對

某居民小區(qū)進行用水情況隨機抽樣調(diào)查，獲得了該小區(qū)400位居民某月的用水量

數(shù)據(jù)(單位：立方米)，整理得到如下數(shù)據(jù)分組及頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖

(圖1)：

組號分組頻數(shù)

1[0,5,1)20

2[1,1.5)40

3[1.5,2)80

4[2,2.5)120

5[2.5,3)60

6[3,3.5)40

7[3.5,4)20

8[4,4.5）20

（工）求a,b的值；

（II）從該小區(qū)隨機選取一名住戶，試估計這名住戶一個月用水量小于3立方米

的概率；

（m）若小區(qū)人均月用水量低于某一標準，則稱該小區(qū)為"節(jié)水小區(qū)”.假設(shè)同組

中的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的右端點值代替，經(jīng)過估算，該小區(qū)未達到“節(jié)水小區(qū)"

標準，而且該小區(qū)居民月用水量不高于這一標準的比例為65%,經(jīng)過同學(xué)們的節(jié)

水宣傳，三個月后，又進行一次同等規(guī)模的隨機抽樣調(diào)查，數(shù)據(jù)如圖2所示，估

計這時小區(qū)是否達到"節(jié)水小區(qū)"的標準？并說明理由.

5.已知橢圓W：=1（a>b>0）的左右兩個焦點為Fi，F(xiàn)2,M|FIF2|=2,

橢圓上一動點P滿足|PFI|+|PF2]=2.

（I）求橢圓W的標準方程及離心率；

（□）如圖，過點F1作直線11與橢圓W交于點A,C,過點F2作直線l2_Ui，且

L與橢圓w交于點B,D,11與b交于點E,試求四邊形ABCD面積的最大值.

6.設(shè)函數(shù)，a￡R.

（工）若x=2是f（x）的極值點，求a的值，并討論f（x）的單調(diào)性；

（口）已知函數(shù)，若g（x）在區(qū)間（0,1）內(nèi)有零點，求a

的取值范圍；

（IH）設(shè)f（X）有兩個極值點X1，X2，試討論過兩點（X1，f（X1））,（X2，f（X2））

的直線能否過點（1,1）,若能，求a的值；若不能，說明理由.

15.已知等差數(shù)列⑸｝滿足ai+a2=6,a2+a3=10.

（I）求數(shù)列｛aj的通項公式；

（口）求數(shù)列｛an+az｝的前n項和.

7.某地區(qū)以“綠色出行”為宗旨開展"共享單車"業(yè)務(wù).該地有a,b兩種“共享單車"

（以下簡稱a型車，b型車）.某學(xué)習(xí)小組7名同學(xué)調(diào)查了該地區(qū)共享單車的使

用情況.

（I）某日該學(xué)習(xí)小組進行一次市場體驗，其中4人租到a型車，3人租到b型

車.如果從組內(nèi)隨機抽取2人，求抽取的2人中至少有一人在市場體驗過程中租

到a型車的概率；

(II)根據(jù)已公布的2016年該地區(qū)全年市場調(diào)查報告，小組同學(xué)發(fā)現(xiàn)3月，4

月的用戶租車情況城現(xiàn)如表使用規(guī)律.例如，第3個月租a型車的用戶中，在第

4個月有60%的用戶仍租a型車.

租用a型車租用b型車

第3個月

第4個月

租用a型車60%50%

租用b型車40%50%

若認為2017年該地區(qū)租用單車情況與2016年大致相同.已知2017年3月該地

區(qū)租用a,b兩種車型的用戶比例為1：1,根據(jù)表格提供的信息，估計2017年4

月該地區(qū)租用兩種車型的用戶比例.

8.在ZXABC中,A=2B.

(I)求證：a=2bcosB；

(II)若b=2,c=4,求B的值.

9.在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，PA_L平面ABCD,PA=AB=2,E,

F分別是PB,PD的中點.

(I)求證：PB〃平面FAC；

(口)求三棱錐P-EAD的體積；

(DI)求證：平面EAD_L平面FAC.

10.已知橢圓C：=1(a>b>0)的左、右頂點分別為A,B,且|AB=4,

離心率為.

(I)求橢圓C的方程；

(口)設(shè)點Q(4,0),若點P在直線x=4上，直線BP與橢圓交于另一點M.判

斷是否存在點P，使得四邊形APQM為梯形？若存在，求出點P的坐標；若不存

在，說明理由.

11.已知函數(shù)f(x)=ex-x2+ax,曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線與x

軸平行.

(工)求a的值；

(II)若g(x)=ex-2x-1,求函數(shù)g(x)的最小值;

(HI)求證：存在cVO,當(dāng)x>c時，f(x)>0.

高考數(shù)學(xué)一模試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題(共8小題，每小題5分，共40分.在每小題列出的四個選項中，

選出符合題目要求的一項)

1.如果A={xdR|x>0},B={0,1,2,3},那么集合ACB=()

A.空集B.{0}C.{0,1}D.{1,2,3}

【考點】交集及其運算.

【分析】利用交集定義直接求解.

【解答】解：???A={x￡R|x>0},B={0,1,2,3),

集合AAB={1,2,3).

故選：D.

2.某高校共有學(xué)生3000人，新進大一學(xué)生有800人.現(xiàn)對大學(xué)生社團活動情況

進行抽樣調(diào)查，用分層抽樣方法在全校抽取300人，那么應(yīng)在大一抽取的人數(shù)為

()

A.200B.100C.80D.75

【考點】分層抽樣方法.

【分析】根據(jù)分層抽樣的定義建立比例關(guān)系即可得到結(jié)論.

【解答】解：設(shè)大一抽取的人數(shù)為n人，則用分層抽樣的方法可得=,

x=80.

故選：C.

如果那么三個數(shù)的大小關(guān)系是()

3.a=log41,b=log23,c=log2n,

A.c>b>aB.a>c>bC.a>b>cD.b>c>a

【考點】對數(shù)值大小的比較.

【分析】利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出.

【解答】解：

r=10841=0,l<b=log23<c=log2n,

/.c>b>a.

故選：A.

4.如果過原點的直線I與圓x2+(y-4)2=4切于第二象限，那么直線I的方程是

()

A.B.C.y=2xD.y=-2x

【考點】直線與圓的位置關(guān)系.

【分析】由已知得圓心坐標為(0,4),半徑長為2.因為直線斜率存在.設(shè)直

線方程為y=kx,根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑，確定k的值，從而求出直線

方程

【解答】解：圓心坐標為(0,4),半徑長為2.

由直線過原點，當(dāng)直線斜率不存在時，不合題意，

設(shè)直線方程為;y=kx,即kx-y=0.

則圓心到直線的距離d==r=2

化簡得:k2=3

又?.?切點在第二象限，

直線方程為；y=-x

故選:B.

5.設(shè)函數(shù)若f(a)>1,則實數(shù)a的取值范圍是()

A.(0,2)B.(0,+8)C.(2,+8)D.(-8,0)u(2,+8)

【考點】函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明.

【分析】分別討論2a-3>1,與>1,求出a的范圍即可.

【解答】解：若2a-3>1,解得：a>2,與a<0矛盾，

若>1,解得：a>0,

故a的范圍是(0,+8),

故選:B.

6.“sina+cosa=0"是"cos2a=0"的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分且必要條件D.既不充分也不必要條件

【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷.

【分析】cos2a=0=(cosa+sina)(cosa-sina)=0o(cosa+sina)=0或(cosa

-sina)=0,即可判斷出結(jié)論.

【解答】解：cos2a=00(cosa+sina)(cosa-sina)=0=(cosa+sina)=0或(cosa

-sina)=0,

..."sina+cosa=0"是"cos2a=0"的充分不必要條件.

故選：A.

7.如果某四棱錐的三視圖如圖所示，那么該四棱錐的四個側(cè)面中是直角三角形

的有()

A.1B.2C.3D.4

【考點】由三視圖求面積、體積.

【分析】由三視圖，可得直觀圖是四棱錐，底面是正方形，有一側(cè)棱垂直于底面，

即可得出結(jié)論.

【解答】解：由三視圖，可得直觀圖是四棱錐，底面是正方形，

有一側(cè)棱垂直于底面，則四棱錐的四個側(cè)面都是直角三角形，

故選D.

8.如果函數(shù)y=f(x)在定義域內(nèi)存在區(qū)間［a,b］,使f(x)在［a,b］上的值

域是［2a,2b］,那么稱f(x)為“倍增函數(shù)若函數(shù)f(x)=ln域+m)為“倍增

函數(shù)"，則實數(shù)m的取值范圍是()

A.B.C.(-1,0)D.

【考點】函數(shù)的值.

【分析】由題意，函數(shù)f(x)在［a,b］上的值域且是增函數(shù)；可得，

可以轉(zhuǎn)化為方程e2x-ex-m=0有兩個不等的實根，且兩根都大于0的問題，從

而求出t的范圍.

【解答】解：???函數(shù)f(x)=ln(ex+m)為“倍增函數(shù)"，

且滿足存在［a,b］,使f(x)在［a,b］上的值域是［2a,2b］,

Af(x)在［a,b］上是增函數(shù)；

,即

方程e2x-ex-m=0可化為

y2-y-m=0(其中y=ex),

...該方程有兩個不等的實根，且兩根都大于0;

即，

解得-VmVO；

滿足條件的m的范圍是(-,0)；

故選：D.

一、選擇題：本大題共8個小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選

項中，只有一項是符合題目要求的.

1.設(shè)集合A={x|lVxV3},集合B={X|X2>4},則集合AAB等于()

A.{x2<x<3}B.{x|x>l}C.{x|l<x<2}D.{x|x>2)

【考點】交集及其運算.

【分析】解不等式求出集合B,根據(jù)交集的定義寫出AAB.

【解答】解:集合A={x|lVxV3},

集合B={X|X2>4}={X|X<-2或x>2},

則集合AAB={x|2VxV3}.

故選:A.

2.圓心為(0,1)且與直線y=2相切的圓的方程為()

A.(x-1)2+y2=lB.(x+1)2+y2=lC.x2+(y-1)2=1D.x2+(y+1)2=1

【考點】直線與圓的位置關(guān)系.

【分析】根據(jù)題意設(shè)圓方程為x2+(y-1)2=r2,由圓心到直線的距離得到半徑r,

代入即可得到所求圓的方程

【解答】解：設(shè)圓方程為x2+(y-1)2K2,?.?直線y=2與圓相切，.?.圓心到直線

的距離等于半徑r,.1=1

2

故圓的方程為：x+(y-1)2=1,故選：C

3.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的x的值為()

A.4B.3C.2D.1

【考點】程序框圖.

【分析】由已知中的程序語句可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計算并輸出變

量x的值，模擬程序的運行過程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案.

【解答】解：模擬程序的運行，可得

x=0,y=5

不滿足條件=，執(zhí)行循環(huán)體，x=l,y=4

不滿足條件=,執(zhí)行循環(huán)體，x=2,y=2

滿足條件=,退出循環(huán)，輸出x的值為2.

故選：C.

4.若實數(shù)a,b滿足a>0,b>0,則"a>b"是"a+lna>b+lnb"的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷.

【分析】據(jù)a,b的范圍結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性確定充分條件，還是必要條件即可.

【解答】解：設(shè)f(x)=x+lnx,顯然f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

Va>b,

Af(a)>f(b),

/.a+lna>b+lnb,

故充分性成立，

Va+lna>b+lnbw,

Af(a)>f(b),

a>b,

故必要性成立，

故"a>b"是"a+lna>b+lnb"的充要條件,

故選：C

5.某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐中最長棱的長度為（）

A.B.C.D.3

【考點】由三視圖求面積、體積.

【分析】將該幾何體放入在長方體中，且長、寬、高為2、1、1,該三棱錐中最

長棱為長方體的一條對角線，即可得出結(jié)論.

【解答】解：將該幾何體放入在長方體中，且長、寬、高為2、1、1,

該三棱錐中最長棱為長方體的一條對角線，長度為=,

故選B.

6.在△ABC上，點D滿足，則（）

A.點D不在直線BC上B.點D在BC的延長線上

C.點D在線段BC上D.點D在CB的延長線上

【考點】向量的三角形法則.

【分析】據(jù)條件，容易得出，可作出圖形，并作，并連接AD-

這樣便可說明點D和點D，重合，從而得出點D在CB的延長線上.

【解答】解:

如圖，

作，連接AD，，則:

二.

.3和D重合；

.?.點D在CB的延長線上.

故選D.

7.若函數(shù)的值域為［-1，1］，則實數(shù)a的取值范圍是（）

A.[1,+8)B.(-8,-1]c.(0,1]D.(-1,0)

【考點】分段函數(shù)的應(yīng)用.

【分析】根據(jù)函數(shù)f(x)的解析式，討論xWa和x>a時，f(x)1],

即可求出a的取值范圍.

【解答】解：函數(shù)的值域為[-1,1],

當(dāng)xWa時，f(x)=cosxG[-1,1],滿足題意；

當(dāng)x>a時，f(x)=e[-l,1],

應(yīng)滿足0<W1,解得xel；

...a的取值范圍是[1,+8).

故選：A.

8.如圖，在公路MN兩側(cè)分別有Ai,A2,...?A7七個工廠，各工廠與公路MN

(圖中粗線)之間有小公路連接.現(xiàn)在需要在公路MN上設(shè)置一個車站，選擇站

址的標準是“使各工廠到車站的距離之和越小越好則下面結(jié)論中正確的是

()

①車站的位置設(shè)在C點好于B點；

②車站的位置設(shè)在B點與C點之間公路上任何一點效果一樣；

③車站位置的設(shè)置與各段小公路的長度無關(guān).

A.①B.②C.①③D.②③

【考點】進行簡單的合情推理.

【分析】根據(jù)最優(yōu)化問題，即可判斷出正確答案.

【解答】解：因為A、D、E點各有一個工廠相連，B,C,各有兩個工廠相連，

把工廠看作“人

可簡化為"A,B,C,D,E處分別站著1,2,2,1,1個人(如圖)，求一點，使

所有人走到這一點的距離和最小”.把人盡量靠攏，顯然把人聚到B、C最合適，

靠攏完的結(jié)果變成了B=4,C=3,最好是移動3個人而不要移動4個人.

所以車站設(shè)在C點，且與各段小公路的長度無關(guān)

故選c.

二、填空題(共6小題，每小題5分，共30分)

9.如果(x2-1)+(x-1)i是純虛數(shù)，那么實數(shù)*=-1.

【考點】復(fù)數(shù)的基本概念.

【分析】直接由實部為0且虛部不為0列式求解.

【解答】解：(x2-1)+(x-1)i是純虛數(shù)，

，解得：x=-1.

故答案為：-1.

10.如果執(zhí)行如圖所示的程序框圖，那么輸出的k=5.

【考點】程序框圖.

【分析】由程序框圖，運行操作，直到條件滿足為止，即可得出結(jié)論.

【解答】解：由程序框圖知第一次運行k=2,m=；

第二次運行k=3,m=；

第三次運行k=4,m=；

第四次運行k=5,m=；

退出循環(huán).

故答案為：5.

11.如果直線I：y=kx-1(k>0)與雙曲線的一條漸近線平行，那么

k=.

【考點】雙曲線的簡單性質(zhì).

【分析】求出雙曲線的漸近線方程，由兩直線平行的條件：斜率相等，即可得到

所求k的值.

【解答】解：雙曲線的漸近線方程為y=±x,

由直線I：y=kx-1(k>0)與雙曲線的一條漸近線平行，

可得k=.

故答案為：.

12."墨子號"是由我國完全自主研制的世界上第一顆空間量子科學(xué)實驗衛(wèi)星，于

2016年8月16日發(fā)射升空.“墨子號”的主要應(yīng)用目標是通過衛(wèi)星中轉(zhuǎn)實現(xiàn)可覆

蓋全球的量子保密通信.量子通信是通過光子的偏振狀態(tài)，使用二進制編碼，比

如，碼元0對應(yīng)光子偏振方向為水平或斜向下45度，碼元1對應(yīng)光子偏振方向

為垂直或斜向上45度.如圖所示

編碼方式1編碼方式2

碼元0

碼元1

信號發(fā)出后，我們在接收端將隨機選擇兩種編碼方式中的一種來解碼，比如，信

號發(fā)送端如果按編碼方式1發(fā)送，同時接收端按編碼方式1進行解碼，這時能夠

完美解碼；信號發(fā)送端如果按編碼方式1發(fā)送，同時接收端按編碼方式2進行解

碼，這時無法獲取信息.如果發(fā)送端發(fā)送一個碼元，那么接收端能夠完美解碼的

概率是;如果發(fā)送端發(fā)送3個碼元，那么恰有兩個碼元無法獲取信息的概

率是.

【考點】列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率.

【分析】發(fā)送端發(fā)送一個碼元，基本事件總數(shù)n=2,接收端能夠完美解碼包含的

基本事件個數(shù)m=l,由此能求出發(fā)送端發(fā)送一個碼元，那么接收端能夠完美解碼

的概率;進而利用n次獨立重復(fù)試驗中事件A恰好發(fā)生k次的概率計算公式能求

出發(fā)送端發(fā)送3個碼元，恰有兩個碼元無法獲取信息的概率.

【解答】解：發(fā)送端發(fā)送一個碼元，基本事件總數(shù)n=2,

接收端能夠完美解碼包含的基本事件個數(shù)m=l,

.?.發(fā)送端發(fā)送一個碼元，那么接收端能夠完美解碼的概率p產(chǎn)=.

發(fā)送端發(fā)送3個碼元，

恰有兩個碼元無法獲取信息的概率p2==.

故答案為：，.

13.已知aABC中，ZA=120°,且AB=AC=2,那么BC=2=-6.

【考點】平面向量數(shù)量積的運算.

【分析】利用余弦定理求出BC的值，根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義求出的

值.

【解答】解:△ABC中，ZA=120",且AB=AC=2,

由余弦定理得

BC2=AB2+AC2-2AB?AC?cosNA

=22+22-2X2X2Xcosl20°

=12,

BC=2,

=(-)?(-)

=-+?

=-22+2X2XCOS120°

=-6.

故答案為：2,-6.

14.已知甲、乙、丙三人組成考察小組，每個組員最多可以攜帶供本人在沙漠中

生存36天的水和食物，且計劃每天向沙漠深處走30公里，每個人都可以在沙漠

中將部分水和食物交給其他人然后獨自返回.若組員甲與其他兩個人合作，且要

求三個人都能夠安全返回，則甲最遠能深入沙漠900公里.

【考點】進行簡單的合情推理.

【分析】因為要求最遠，所以3人同去耗食物，即只一人去，另2人中途返回，

3人一起出發(fā).12天后兩人都只剩24天的食物.乙、丙分給甲12+12=24天的食

物后獨自帶12天的食物返回；甲獨自前進18天后返回，甲一共走了30天，他

們每天向沙漠深處走30千米，據(jù)此解答即可.

【解答】解：因為要求最遠，所以3人同去耗水和食物，即只一人去，

3人一起出發(fā).12天后兩人都只剩24天的食物.

乙、丙分給甲12+12=24天的食物后獨自帶12天的水和食物返回.

則甲有的食物：36-12+12+12=48(天)

甲再走：(48-12)4-2=18(天)

30X(12+18)=900公里.

故答案為900.

9.已知復(fù)數(shù)z=a(1+i)-2為純虛數(shù)，則實數(shù)a=2.

【考點】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算.

【分析】利用純虛數(shù)的定義即可得出.

【解答】解：復(fù)數(shù)z=a(1+i)-2=a-2+ai為純虛數(shù)，

Aa-2=0,aWO,

則實數(shù)a=2

故答案為：2.

10.已知等比數(shù)列國｝中，a2a4=a5,a4=8,則公比q=2,其前4項和S4=15.

【考點】等比數(shù)列的前n項和；等比數(shù)列的通項公式.

23

【分析】設(shè)等比數(shù)列｛an｝的公比為q,由a2a4=a5,a4=8,可得q=a2q,=8,

解得a2,q,利用求和公式即可得出.

【解答】解:設(shè)等比數(shù)列屈｝的公比為q,2a4=a5,a4=8,

q2=a2q3?=8,解得az=q=2.

/.3i=l.

其前4項和S4==15.

故答案為：2,15.

11.若拋物線y2=2px的準線經(jīng)過雙曲線的左焦點，則實數(shù)P=4.

【考點】拋物線的簡單性質(zhì).

【分析】求出拋物線的準線x=-經(jīng)過雙曲線的右焦點(-2,0),即可求出p.

【解答】解：因為拋物線y2=2px的準線經(jīng)過雙曲線的左焦點，...p〉。,

所以拋物線的準線為x=-,

依題意，直線x=-經(jīng)過雙曲線的右焦點(-2,0),

所以p=4

故答案為：4.

12.若x,y滿足則的最大值是.

【考點】簡單線性規(guī)劃.

【分析】根據(jù)已知的約束條件畫出滿足約束條件的可行域，再用角點法，求出目

標函數(shù)的最大值.

【解答】解：滿足約束條件的可行域如下圖中陰影部分所示：

則的幾何意義表示平面區(qū)域內(nèi)的點

與點(0,0)的斜率的最大值，由

解得A(1,)

顯然過A時，斜率最大，最大值是，

故答案為：.

13.已知函數(shù)f(x)=sinwx(3>0),若函數(shù)y=f(x+a)(a>0)的部分圖象如圖

所示，則3=2,a的最小值是.

【考點】由y=Asin(u)x+(t>)的部分圖象確定其解析式.

【分析】首先由圖象最高點橫坐標與零點的距離求函數(shù)的周期，從而由周期公式

求3,然后由圖象過的已知點求出a.

【解答】解：由已知函數(shù)圖象得到TI,所以T=n,所以=2,

又y=f(x+a))=sinu)(x+a)且(，1)在圖象上，

所以sin2(+a)=1,所以+2a=2kn,ke乙

所以k取0時a的最小值為；

故答案為：2；.

14.閱讀下列材料，回答后面問題：

在2014年12月30日CCTV13播出的“新聞直播間”節(jié)目中，主持人說："…加入

此次亞航失聯(lián)航班QZ8501被證實失事的話，2014年航空事故死亡人數(shù)將達到

1320人.盡管如此，航空安全專家還是提醒：飛機仍是相對安全的交通工具.①

世界衛(wèi)生組織去年公布的數(shù)據(jù)顯示，每年大約有124萬人死于車禍，而即使在航

空事故死亡人數(shù)最多的一年，也就是1972年，其死亡數(shù)字也僅為3346人;②截

至2014年9月，每百萬架次中有2.1次(指飛機失事)，乘坐汽車的百萬人中其

死亡人數(shù)在100人左右.”

對上述航空專家給出的①、②兩段表述(劃線部分)，你認為不能夠支持"飛機仍

是相對安全的交通工具”的所有表述序號為你的理由是數(shù)據(jù)①雖是同

類數(shù)據(jù)，但反映不出乘車出行和乘飛機出行的總?cè)藬?shù)的關(guān)系；

數(shù)據(jù)②兩個數(shù)據(jù)不是同一類數(shù)據(jù)，這與每架次飛機的乘機人數(shù)有關(guān)；但是可以做

如下大致估算，考慮平均每架次飛機的乘機人數(shù)為x,這樣每百萬人乘機死亡人

數(shù)2.1人，要遠遠少于乘車每百萬人中死亡人數(shù).

【考點】收集數(shù)據(jù)的方法.

【分析】根據(jù)題意，利用數(shù)據(jù)的收集，分類，歸納，分析可得結(jié)論

【解答】解：選①，理由為：數(shù)據(jù)①雖是同類數(shù)據(jù)，但反映不出乘車出行和乘飛

機出行的總?cè)藬?shù)的關(guān)系；

數(shù)據(jù)②兩個數(shù)據(jù)不是同一類數(shù)據(jù)，這與每架次飛機的乘機人數(shù)有關(guān)；但是可以

做如下大致估算，考慮平均每架次飛機的乘機人數(shù)為X,這樣每百萬人乘機死亡

人數(shù)2.1人，要遠遠少于乘車每百萬人中死亡人數(shù).

故答案為：①；數(shù)據(jù)①雖是同類數(shù)據(jù)，但反映不出乘車出行和乘飛機出行的總?cè)?/p>

數(shù)的關(guān)系;

數(shù)據(jù)②兩個數(shù)據(jù)不是同一類數(shù)據(jù)，這與每架次飛機的乘機人數(shù)有關(guān)；但是可以

做如下大致估算，考慮平均每架次飛機的乘機人數(shù)為X,這樣每百萬人乘機死亡

人數(shù)2.1人，要遠遠少于乘車每百萬人中死亡人數(shù)

三、解答題（共6小題，共80分.答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程）

15.已知點（,1）在函數(shù)f（x）=2asinxcosx+cos2x的圖象上.

（工）求a的值和f（x）最小正周期；

（口）求函數(shù)f（x）在（0,n）上的單調(diào)減區(qū)間.

【考點】三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；正弦函數(shù)的圖象.

【分析】（I）利用二倍角以及輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin（3X+6）

的形式，圖象過點（，1）,可得a的值.利用周期公式求函數(shù)的最小正周期.

（口）將內(nèi)層函數(shù)看作整體，放到正弦函數(shù)的減區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調(diào)

遞減區(qū)間；根據(jù)k的取值，即可得x在（0,n）的減區(qū)間.

【解答】解：（I）函數(shù)f（x）=2asinxcosx+cos2x.

化解可得：f（x）=asin2x+cos2x.

?.?圖象過點（，1）,

即l=asin+cos

可得：a=l.

/.f（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+）

...函數(shù)的最小正周期丁=

（II）由2kn+2x+,kGZ.

可得：Wx<,kez.

函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為[,],kez.

XG（0,R）.

當(dāng)k=0時，可得單調(diào)減區(qū)間為[,].

函數(shù)f(x)在(0,n)上的單調(diào)減區(qū)間為［].

16.已知數(shù)列⑸｝是等差數(shù)列，前n項和為Sn,若a】=9,S3=21.

(I)求數(shù)列｛an｝的通項公式；

(II)若a5,a8,Sk成等比數(shù)列，求k的值.

【考點】等比數(shù)列的通項公式；數(shù)列遞推式.

【分析】(I)利用等差數(shù)列前n項和公式求出d=-2,由此能求出數(shù)列｛aj的

通項公式.

(口)由as，a8,Sk成等比數(shù)列，得，由此能求出k.

【解答】解:(I)二?數(shù)列屈｝是等差數(shù)列，前n項和為Sn,a】=9,S3=21.

解得d=-2,

；.an=9+(n-1)X(-2)=-2n+ll.

(H)Va5,a8,Sk成等比數(shù)列，

??，

即(-2X8+11)2=(-2X5+11)*[9k+],

解得k=5.

17.如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是平行四邊形，AD±BD且AD=BD,

ACABD=O,PO_L平面ABCD.

(I)E為棱PC的中點，求證：OE〃平面PAB；

(II)求證：平面PAD_L平面PBD；

(III)若PD_LPB,AD=2求四棱錐P-ABCD體積.

【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積；平面與平面垂直的判定.

【分析】(I)由四邊形ABCD是平行四邊形，可得。為AC中點，又E為PC中

點，由三角形中位線定理可得OE〃PA,再由線面平行的判定可得0E〃平面PAB；

(II)由PO_L平面ABCD,得POLAD,再由AD，BD,可得AD_L平面PBD,進

一步得到平面PAD，平面PBD；

（DI）由已知求出平行四邊形ABCD的面積，進一步求出高P。，再由體積公式

得答案.

【解答】（I）證明：?.?四邊形ABCD是平行四邊形，

為AC中點，又E為PC中點，...0E是△PAC的中位線.

，0E〃PA,而0EQ平面PAB,PAc平面PAB,

，0E〃平面PAB；

（口）證明：?..P0_L平面ABCD,...POLAD,

又AD_LBD,且BDAPO=O,

，AD_L平面PBD,而ADu平面PBD,

,平面PAD,平面PBD；

（HI）由AD_LBD,且AD=BD,AD=2,，S四邊形ABCD=2X2=4,

又PDLPB,P01BD,可得P0=，

18.某校學(xué)生在進行“南水北調(diào)工程對北京市民的影響”的項目式學(xué)習(xí)活動中，對

某居民小區(qū)進行用水情況隨機抽樣調(diào)查，獲得了該小區(qū)400位居民某月的用水量

數(shù)據(jù)（單位：立方米），整理得到如下數(shù)據(jù)分組及頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖

（圖1）：

組號分組頻數(shù)

1[0.5,1)20

2[1,1.5)40

3[1.5,2)80

4[2,2.5)120

5[2.5,3)60

6[3,3.5)40

7[3.5,4)20

8[4,4.5)20

（工）求a,b的值；

（口）從該小區(qū)隨機選取一名住戶，試估計這名住戶一個月用水量小于3立方米

的概率；

（ni）若小區(qū)人均月用水量低于某一標準，則稱該小區(qū)為“節(jié)水小區(qū)”.假設(shè)同組

中的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的右端點值代替，經(jīng)過估算，該小區(qū)未達到"節(jié)水小區(qū)”

標準，而且該小區(qū)居民月用水量不高于這一標準的比例為65%,經(jīng)過同學(xué)們的節(jié)

水宣傳，三個月后，又進行一次同等規(guī)模的隨機抽樣調(diào)查，數(shù)據(jù)如圖2所示，估

計這時小區(qū)是否達到"節(jié)水小區(qū)"的標準？并說明理由.

【考點】頻率分布直方圖；列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率.

【分析】（I）由數(shù)據(jù)分組及頻數(shù)分布表能求出a,b的值.

（口）設(shè)這名住戶一個月用水量小于3立方米為事件A,利用等可能事件概率計

算公式能求出這名住戶一個月用水量小于3立方米的概率.

（0）由圖可知小區(qū)人均月用水量低于2.5立方米，則稱為“節(jié)水小區(qū)〃，由圖求

出三個月后的該小區(qū)人均用水量，由此得到三個月后，估計小區(qū)能達到“節(jié)水小

區(qū)”的標準.

【解答】解：（I）由數(shù)據(jù)分組及頻數(shù)分布表知：

a==0.2,b==0.6.

（口）設(shè)這名住戶一個月用水量小于3立方米為事件A,

則這名住戶一個月用水量小于3立方米的概率P（A）==0.8.

（m）???該小區(qū)居民月用水量低于這一標準的比例為30%,

,由圖可知小區(qū)人均月用水量低于2.5立方米，則稱為“節(jié)水小區(qū)"，

由圖可知，三個月后的該小區(qū)人均用水量為：

1X0.1+1.5X0.15+2X0.25+2.5X0.3+3X0.1+3.5X0.05+4X0.05=2.25<2,5,

三個月后，估計小區(qū)能達到“節(jié)水小區(qū)”的標準.

19.已知橢圓W：=1（a>b>0）的左右兩個焦點為Fi，F(xiàn)2,且忤而|=2,

橢圓上一動點P滿足|PF1|+|PF21=2.

（I）求橢圓W的標準方程及離心率；

（口）如圖，過點F1作直線11與橢圓W交于點A,C,過點F2作直線12,11，且

b與橢圓W交于點B,D,li與b交于點E,試求四邊形ABCD面積的最大值.

【考點】直線與橢圓的位置關(guān)系.

【分析】（I）由橢圓的定義及焦距|FF2|=2C=2,求得a和c的值，則b2=a2-c2=2,

即可求得橢圓的方程及離心率.

（II）當(dāng)直線的斜率不存在時，由$=IAC|?|BD|=4,當(dāng)直線斜率存在時,

設(shè)直線方程，代入橢圓方程，由韋達定理及弦長公式分別求得IAC|,|BD

I根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求得四邊形ABCD面積的最大值.

【解答】解：（]）由題意可知：|FF2|=2C=2,c=l,2a=|PF/+|PF21=2,a=,

b2=a2-c2=2,離心率e==,

...橢圓的標準方程為：；

（II）當(dāng)直線L，li，當(dāng)斜率不存在時，EFI±EF2,此時求得|EO|=|FF2

I=1-

.?.E點軌跡為以原點為圓心，半徑為1的圓，顯然點E在橢圓W上內(nèi)部，

二四邊形ABCD面積S=SAABC+SMDC=IAC|?IBE|+IAC|?IDE|=|

AC|?[BD|,

將x=-l代入橢圓方程，求得y=±,此時|BD|=,IAC|=2,

則四邊形ABCD面積S=|AC|?|BD|=4,

當(dāng)直線I2，li都存在時，設(shè)直線k，x=my-1,（m#0）,

設(shè)A（xi,yi）,B（X2>yz）,

,整理得：（2rr）2+3）y2-4my-4=0,

則yi+y2=,yiyz=-,則IACI=?=,

同理直線li，x=-x+1,同理求得IBDI=,

，四邊形ABCD面積S=IACI?IBDI=XX,

==4X

=4(1-)V4,

綜上可知四邊形ABCD面積的最大值4,此時直線上11一條為橢圓的長軸，一條

與x軸垂直.

20.設(shè)函數(shù),a￡R.

(工)若x=2是f(x)的極值點，求a的值，并討論f(x)的單調(diào)性；

(口)已知函數(shù)，若g(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有零點，求a

的取值范圍；

(IH)設(shè)f(X)有兩個極值點X1，X2，試討論過兩點(X1，f(X1)),(X2，f(X2))

的直線能否過點(L1),若能，求a的值；若不能，說明理由.

【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.

【分析】⑴f'(x)=x2-x+a,由x=2是f(x)的極值點，可得f'(2)=0,解得

2=-2.代入73)進而得出單調(diào)性.

(II)=-+ax+,g'(x)=x2-(1+a)x+a=

(x-1)(x-a).對a與1的大小關(guān)系分類討論

可得a的取值范圍.

(III)不能，原因如下：設(shè)f(X)有兩個極值點X1，X2，則f，(x)=x2-x+a有兩

個不同的零點.△>()，解得a<,且Xi,X2,為方程x2-x+a=0的兩根.則

-xi+a=0,可得=xi-a,可得f(xi)=xi+a,同理可得：f(X2)

=X2+a.由此可得：過兩點(Xl，f(Xl)),(X2,f(X2))的直線方程為：

y=x+a.進而判斷出結(jié)論.

【解答】解：(I),aER.f(x)=x2-x+a,

?.?x=2是f(x)的極值點，.?4'(2)=4-2+a=0,解得a=-2.

代入f'(x)=x2-x-2=(x+1)(x-2),令f'(x)=0,解得x=-1,或x=2.

令「(x)>0,解得x>2或xV-1,

：.f(x)在x￡(-8,-i),(2,+oo)時單調(diào)遞增；令f(x)<0,解得-1

<x<2,

.,.f(x)在xe(-1,2)時單調(diào)遞減.

(II)=+ax+,g'(x)=x2-(1+a)x+a=

(x-1)(x-a).

①當(dāng)a21時，xG(0,1)時，

g'(x)>0恒成立，g(x)單調(diào)遞增，又g(0)=>0,

因此此時函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)沒有零點.

②當(dāng)0<aVl時，xE(0,a)時，gz(x)>0