二元一次方程組2023年中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)微

考向2.2二元一次方程組

例1.已知關(guān)于“的二元一次方程組｛仁;二工滿足…雙則。的取值范圍

是—.

初J2x+3y=5。①

解：jx+4y=2a+3②

①-②，得x-y=3a-3

***x-y〉0

，3。一3>0,

解得。>1,

故答案為：a>l.

1、解二元一次方程組方法有：代入水消元法、加減消元法；

2、解二元一次方程組時(shí)先觀察，充分利用整體思想進(jìn)行解題；

3、為了提高解題的準(zhǔn)確率，讓學(xué)生養(yǎng)成檢驗(yàn)的習(xí)慣。

【知識(shí)拓展】

二元一次方程組有解、無解、無數(shù)解的條件：

對(duì)于方程組,"外』解的情況：

[a2x+b2y=c2

如果aH2?時(shí)，方程組有唯一解；幾何意義：兩直線相交，不平行，有唯一交點(diǎn);

a2b2

如果幺=2。旦時(shí)，方程組無解；幾何意義：兩直線平行，沒有交點(diǎn)；

a24c2

如果幺=4=2時(shí)，方程組有無數(shù)個(gè)解；幾何意義：兩直線重合，有無數(shù)個(gè)交點(diǎn)。

a,b2c2

例2、（2020?江蘇揚(yáng)州?中考真題）閱讀感悟：

有些關(guān)于方程組的問題，欲求的結(jié)果不是每一個(gè)未知數(shù)的值，而是關(guān)于未知數(shù)的代數(shù)

式的值，如以下問題：

已知實(shí)數(shù)x、y滿足3x-y=5①，2x+3y=7②，求x-4.y和7x+5.y的值.

本題常規(guī)思路是將①②兩式聯(lián)立組成方程組，解得x、y的值再代入欲求值的代數(shù)式得

到答案，常規(guī)思路運(yùn)算量比較大.其實(shí)，仔細(xì)觀察兩個(gè)方程未知數(shù)的系數(shù)之間的關(guān)系，本

題還可以通過適當(dāng)變形整體求得代數(shù)式的值，如由①-②可得x-4y=-2,由①+②x2可

得7x+5y=19.這樣的解題思想就是通常所說的“整體思想”.

解決問題:

2x+y-7,

(1)已知二元一次方程組.i8'則x+y=

(2)某班級(jí)組織活動(dòng)購(gòu)買小獎(jiǎng)品，買20支鉛筆、3塊橡皮、2本日記本共需32元，

買39支鉛筆、5塊橡皮、3本日記本共需58元，則購(gòu)買5支鉛筆、5塊橡皮、5本日記本

共需多少元?

(3)對(duì)于實(shí)數(shù)x、y,定義新運(yùn)算：x^y^ax+by+c,其中a、b、c是常數(shù)，等式右

邊是通常的加法和乘法運(yùn)算.已知3*5=15,4*7=28,那么1*1=.

2x+y=7①

解:

x+2y=8②

①-②，得x-y=-l

①+②，得3x+3y=15

x+y=5

故答案為：-1,5

(2)設(shè)每支鉛筆x元，每塊橡皮y元，每本日記本z元，則

[20x+3y+2z=32①

139x+5y+3z=58②

①x2,得40x+6y+4z=64③

③-②，得x+y+z=6

5(x+y+z)=30

二購(gòu)買5支鉛筆、5塊橡皮、5本日記本共需30元

答：購(gòu)買5支鉛筆、5塊橡皮、5本日記本共需30元

(3)Vx*y=ax+by+c

3*5=3a+5b+c=15①，4*7=4“+76+c=28②，l*l=a+b+c

.?.②-①，得a+2b=13③

，5a+106=65④

①+②，得7a+12b+2c=43⑤

⑤-④，得2a+27?+勿=-22

??6Z+Z?+C=-11

故答案為：-11

求解一元二次方程時(shí)，用代入消元法或是加減消元法,將二元消元為一元。在運(yùn)用消元法時(shí)，對(duì)于有些

問題，不是從局部著手，而是從大處著眼，從整體上觀察,探求解題途徑，這種數(shù)學(xué)思想方法叫整體探求思想,

在《二元一次方程組》中，體現(xiàn)這種思想方法的地方很多.在平常遇到方程組求解時(shí)，先從全局觀察,再動(dòng)手

求解,可以在一定程度上訓(xùn)練我們“大處著眼，小處著手”的戰(zhàn)略眼光，對(duì)今后高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí),以至工作中都

會(huì)有所幫助。

例3、（2021?湖南湘潭?中考真題）2020年12月30日，中共湘潭市委創(chuàng)造性地提出了

深化“六個(gè)湘潭”（實(shí)力湘潭、創(chuàng)新湘潭、文化湘潭、幸福湘潭、美麗湘潭、平安湘潭）建

設(shè)的發(fā)展目標(biāo).為響應(yīng)政府號(hào)召，湘潭縣湘蓮種植戶借助電商平臺(tái)，在線下批發(fā)的基礎(chǔ)上

同步在電商平臺(tái)“拼多多”上零售湘蓮.已知線上零售40kg、線下批發(fā)80kg湘蓮共獲得4000

元；線上零售60kg和線下批發(fā)80kg湘蓮銷售額相同.

（1）求線上零售和線下批發(fā)湘蓮的單價(jià)分別為每千克多少元？

（2）該產(chǎn)地某種植大戶某月線上零售和線下批發(fā)共銷售湘蓮2000kg,設(shè)線上零售xkg,

獲得的總銷售額為y元；

①請(qǐng)寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；

②若總銷售額不低于70000元，則線上零售量至少應(yīng)達(dá)到多少千克？

解：（1）設(shè)線上零售湘蓮的單價(jià)為每千克。元，線下批發(fā)湘蓮的單價(jià)為每F克8元,

40a+80/?=4000

由題意得:

60a=806

a=40

解得:

b=30

答：線上零售湘蓮的單價(jià)為每千克40元，線下批發(fā)湘蓮的單價(jià)為每千克30元;

（2）①由題意得：y=40x+30（2000-x）=101+60000,

即y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y-10.r+600（）0；

②由①得：10.t+60000>70000,

解得:―1000,

答：線上零售量至少應(yīng)達(dá)到1000千克.

本題考查了一元一次不等式的應(yīng)用、二元一次方程組的應(yīng)用等知識(shí)，解題的關(guān)犍是：（1）找準(zhǔn)

等量關(guān)系，列出二元一次方程組；（2）①找出數(shù)量關(guān)系，求出），與x的函數(shù)關(guān)系式；②列出一元一次

不等式.

經(jīng)典變式練

一、單選題

2x+y=10

1.（2021.遼寧錦州.中考真題）二元一次方程組的解是（）

x=2y

x=2x=lx=4x=2

A.B.C.D.

y=ly=2y=2y=4

和

2.（2021?湖南益陽(yáng)?中考真題）解方程組若將①-②可得（）

2x-3y=4②

A.-2y=-lB.-2y=]C.4y=1D.4y=-l

3.（2021?江蘇蘇州?中考真題）某公司上半年生產(chǎn)甲，乙兩種型號(hào)的無人機(jī)若干架.已

知甲種型號(hào)無人機(jī)架數(shù)比總架數(shù)的一半多11架，乙種型號(hào)無人機(jī)架數(shù)比總架數(shù)的三分之一

少2架.設(shè)甲種型號(hào)無人機(jī)x架，乙種型號(hào)無人機(jī)y架.根據(jù)題意可列出的方程組是（）

x=#+y）+u

B.

）

y=5（x+y）+2y=*+y-

x=*+y）+u,

c.、D.

y=i#/+y）\-2c

\x+y=2

4.（2021?天津?中考真題）方程組，?，的解是（）

[3x4-y=4

[x=0fx=1fx=2[x=3

A.B.C.D.

[y=02[y=l[y=~2[y=-3

5.（2021.四川德陽(yáng)?中考真題）關(guān)于x,y的方程組也+3；=女+1的解為k?！?/p>

點(diǎn)尸（“，b）總在直線y=x上方，那么%的取值范圍是（）

A.k>\B.k>-\C.k<\D.k<-1

6.（2021.江蘇淮安?中考真題）《九章算術(shù)》是古代中國(guó)第一部自成體系的數(shù)學(xué)專著,

其中《卷第八方程》記載：“今有甲乙二人持錢不知其數(shù)，甲得乙半而錢五十，乙得甲太半

而亦錢五十，問甲、乙持錢各幾何？'‘譯文是：今有甲、乙兩人持錢不知道各有多少，甲若

得到乙所有錢的則甲有50錢，乙若得到甲所有錢的g,則乙也有50錢.問甲、乙各持

錢多少？設(shè)甲持錢數(shù)為x錢，乙持錢數(shù)為y錢，列出關(guān)于x、y的二元一次方程組是（）

1“

x+2y=50x+-y=50x+—y=50x+-y=50

223

A.〈3B.4c.D.

—x+y=5021

,2—x+y=50-x+y=50—x+y=50

3,2

7.（2021?黑龍江齊齊哈爾?中考真題）周末，小明的媽媽讓他到藥店購(gòu)買口罩和消精

濕巾，己知口罩每包3元，酒精濕巾每包2元，共用了30元錢（兩種物品都買），小明的

購(gòu)買方案共有（）

A.3種B.4種C.5利?D.6種

8.（2021?江蘇無錫?中考真題）方程組的解是（)

x-y=3

x=2,x-3,x-4,x=1,

A.B.C.D.<

j=3.y=2.y=l.y=4.

9.（2021.湖南永州?中考真題）中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)重要著作《九章算術(shù)》中記載：今有共

買物，人出八，盈三；人出七，不足四，問人數(shù)、物價(jià)各幾何？據(jù)此設(shè)計(jì)一類似問題：今有

人組團(tuán)購(gòu)一物，如果每人出9元，則多了4元；如果每人出6元，則少了5元，問組團(tuán)人數(shù)

和物價(jià)各是多少？若設(shè)x人參與組團(tuán)，物價(jià)為y元，則以下列出的方程組正確的是（）

9x-y=49x-y=4y-9x=4y-9x=4

A.C.D.

y-6x=56x-y=5y-6x=56x-y=5

二、填空題

4x+3y=-1

10.（2021.山東棗莊?中考真題）已知X,y滿足方程組2x+y=3'則中的值為

x+2y；=-2的解為一.

11.（2021?廣東?中考真題）二元一次方程組2x+=2

x=2

12.（2021?浙江金華?中考真題）已知是方程3x+2y=10的一個(gè)解，則機(jī)的值

y=m

是.

x+2y=2

13.（2021.貴州遵義?中考真題）已知x,y滿足的方程組是2x+3尸7,則%的值

為_.

14.（2021?北京?中考真題）某企業(yè)有AB兩條加工相同原材料的生產(chǎn)線.在一天內(nèi),

A生產(chǎn)線共加工4噸原材料，加工時(shí)間為（4a+l）小時(shí)：在一天內(nèi)，5生產(chǎn)線共加工6噸原材

料，加工時(shí)間為（處+3）小時(shí).第一天，該企業(yè)將5噸原材料分配到A8兩條生產(chǎn)線，兩條

生產(chǎn)線都在一天內(nèi)完成了加工，且加工時(shí)間相同，則分配到A生產(chǎn)線的噸數(shù)與分配到B生產(chǎn)

線的噸數(shù)的比為.第二天開工前，該企業(yè)按第一天的分配結(jié)果分配了5噸原

材料后，又給A生產(chǎn)線分配了加噸原材料，給8生產(chǎn)線分配了〃噸原材料.若兩條生產(chǎn)線都

能在一天內(nèi)加工完各自分配到的所有原材料，且加工時(shí)間相同，則竺ni的值為

⑸（2021?四川廣安?中考真題）若X、y滿足的；=3,則代數(shù)式"獷的值為

fx=1

16.（2021?四川涼山?中考真題）已知是方程ox+y=2的解，則。的值為

（7=3

17.（2021?浙江嘉興?中考真題）已知二元一次方程x+3y=14,請(qǐng)寫出該方程的一組整

數(shù)解.

18.（2021?山東泰安.中考真題）《九章算術(shù)》中記載：“今有甲乙二人持錢不知其數(shù),

甲得乙半而錢五十，乙得甲太半而錢亦五十，問甲、乙持錢各幾何？”譯文：”假設(shè)有甲乙二

人，不知其錢包里有多少錢，若乙把自己一半的錢給甲，則甲的錢數(shù)為50；而甲把自己:的

錢給乙，則乙的錢數(shù)也能為50.問甲、乙各有多少錢？”設(shè)甲持錢數(shù)為x,乙持錢數(shù)為y,

可列方程組為.

三、解答題

19.（2021?內(nèi)蒙古呼和浩特?中考真題）計(jì)算求解

（1）計(jì)算（廂-而）+指+Qtan30。（2）解方程組

J1.5（20x+10y）=15000

.2（110x+120y）=97200

f2x+y—7

20.（2021?江蘇揚(yáng)州?中考真題）已知方程組■；的解也是關(guān)于x、y的方程5+產(chǎn)4

[x=y-i

的一個(gè)解，求。的值.

3x-2y+20=0

21.（2021?四川眉山?中考真題）解方程組

2x+15y-3=0

22.（2021?江蘇鎮(zhèn)江?中考真題）《九章算術(shù)》被歷代數(shù)學(xué)家尊為“算經(jīng)之首下面是

其卷中記載的關(guān)于“盈不足”的一個(gè)問題：今有共買金，人出四百，盈三千四百；人出三百，

盈一百.問人數(shù)、金價(jià)各幾何？這段話的意思是：今有人合伙買金，每人出400錢，會(huì)剩余

3400錢；每人出300錢，會(huì)剩余100錢.合伙人數(shù)、金價(jià)各是多少？請(qǐng)解決上述問題.

23.（2021?江蘇泰州?中考真題）甲、乙兩工程隊(duì)共同修建150km的公路，原計(jì)劃30

個(gè)月完工.實(shí)際施工時(shí)，甲隊(duì)通過技術(shù)創(chuàng)新，施工效率提高了50%,乙隊(duì)施工效率不變，

結(jié)果提前5個(gè)月完工.甲、乙兩工程隊(duì)原計(jì)劃平均每月分別修建多長(zhǎng)？

24.（2021?遼寧本溪?中考真題）某班計(jì)劃購(gòu)買兩種畢業(yè)紀(jì)念冊(cè)，已知購(gòu)買1本手繪紀(jì)

念冊(cè)和4本圖片紀(jì)念冊(cè)共需135元，購(gòu)買5本手繪紀(jì)念冊(cè)和2本圖片紀(jì)念冊(cè)共需225元.

（1）求每本手繪紀(jì)念冊(cè)和每本圖片紀(jì)念冊(cè)的價(jià)格分別為多少元？

（2）該班計(jì)劃購(gòu)買手繪紀(jì)念冊(cè)和圖片紀(jì)念冊(cè)共40本，總費(fèi)用不超過1100元，那么最

多能購(gòu)買手繪紀(jì)念冊(cè)多少本？

一、單選題

[3x+y=—1

1.方程組/4的解是（）

[y-2x=4

[x=-lfx=2fx=lx=0

A.[y=2B-=C.=D.

y=4

4x+y=3m+3

2.若滿足方程組c,的X與y互為相反數(shù)，則，”的值為（）

2x—y=m—l

A.2B.-2C.11D.-11

3.利用兩塊完全一樣的長(zhǎng)方體木塊測(cè)量一張桌子的高度，首先按圖①所示的方式放置,

再交換兩木塊的位置，按圖②所示的方式放置.測(cè)量的數(shù)據(jù)如圖，則桌子的高度等于（）

D.75cm

4.一道來自課本的習(xí)題:

從甲地到乙地有一段上坡與一段平路.如果保持上坡每小時(shí)走3km,平路每小時(shí)走4km,下

坡每小時(shí)走5km,那么從甲地到乙地需54min,從乙地到甲地需42min.甲地到乙地全程是

多少？

若設(shè)坡路長(zhǎng)xkm,平路長(zhǎng)ykm,根據(jù)題意可列方程組（）

.xy42xy42xy54xy54

-1-=--—1—=——1—=—-1—二—

5460n3460》4560r3460

-C.D.

一B.xy54xy42xy42

2+2=四—I—=—

〔3460[5460[3460【4560

|x=2\ax+hy=l

5.已知[是二元一次方程組/?的解，則5。-3匕的值為（）

[y=\[ax-by=l

A.-1B.1C.2D.3

f2x+v=4

6.已知方程組/,則丁的值為（）

[x+2y=5

A.-1B.0C.2D.-3

7.從一4,-3,2,3,4這五個(gè)數(shù)中，隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，記為機(jī)，若加使得關(guān)于x,y

的二元一次方程組廣：=2有解，且使關(guān)于x的分式方程上:一1=」-有正數(shù)解，那

[nvc-2y=-3x-\\-x

么這五個(gè)數(shù)中所有滿足條件的m的值之和是（）

A.1B.2C.-1D.-2

二、填空題

]x+2y=4攵

8.已知。.力/且工一丫二0,則左的值為___.

[2尤+y=22+1

9.方程組[：-2了=：的解是.

10.如圖，在長(zhǎng)方形438中，放入6個(gè)形狀、大小都相同的長(zhǎng)方形，所標(biāo)尺寸如圖所

示，則圖中陰影部分面積是,若平移這六個(gè)長(zhǎng)方形，則圖中剩余的陰影部分面

積是否改變？（填“變”或“不變”）.

方程組L[3x+-23y；$=76的解是一

12.已知關(guān)于x,V的二元一次方程依-y=Z-l.

⑴當(dāng)I和&=2時(shí)，所得兩個(gè)方程組成的方程組是Ix匕-,y=]0，這個(gè)方程組的解是

[—x—y=~2

(2)當(dāng)&=-1和％=-2時(shí)，所得兩個(gè)方程組成的方程組是「這個(gè)方程組

[-n2x-y=-3

的解是;

(3)猜想：無論左取何值時(shí)，關(guān)于x,y的方程履-y=2k-3一定有一個(gè)解是.

13.中國(guó)古代數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》“方程”一章記載用算籌(方陣)表示二元一次方程

組的方法，發(fā)展到現(xiàn)代就是用矩陣式來表示二元一次方程組

1%b2)\y)

[a,x+by=c.

)l,而該方程組的解就是對(duì)應(yīng)兩直線(不平行)+=q與。2工+匕2y=&的

[a2x+b2y=c2

(-iVxAe

交點(diǎn)坐標(biāo)尸(x,y).據(jù)此，則矩陣式[_43J=所對(duì)應(yīng)兩直線交點(diǎn)坐標(biāo)是

14-已知是關(guān)于孫，的二元一次方程組]：：：：；：；的解?，則小的值是

三、解答題

15.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的經(jīng)典著作，書中有一個(gè)問題：“今有黃金九枚，白

銀一十一枚，稱之重適等，交易其一，金輕十二兩，問金、銀一枚各重幾何？”意思是：甲

袋中裝有黃金9枚(每枚黃金重量相同)，乙袋中裝有白銀11枚(每枚白銀重量相同)，

稱重兩袋相等，兩袋互相交換1枚后，甲袋比乙袋輕了12兩(袋子重量忽略不計(jì)).

問：(1)黃金、白銀每枚各重多少兩？

(2)現(xiàn)有一袋黃金和白銀共重759兩，總數(shù)不超過25枚.請(qǐng)你算算黃金、白銀各有多

少枚？

16.某電器超市銷售每臺(tái)進(jìn)價(jià)分別為210元、180元的A、8兩種型號(hào)的電風(fēng)扇，下表是近

兩周的銷售情況：

銷售數(shù)量

銷售時(shí)段銷售收入

A種型號(hào)8種型號(hào)

第一周3臺(tái)5臺(tái)2150元

第二周4臺(tái)10臺(tái)3700元

（進(jìn)價(jià)、售價(jià)均保持不變，利潤(rùn)=銷售收入一進(jìn)貨成本）

（1）求A,B兩種型號(hào)的電風(fēng)扇的銷售單價(jià)；

（2）若超市準(zhǔn)備用不多于7650元的金額再采購(gòu)這兩種型號(hào)的電風(fēng)扇共40臺(tái)，求全部

銷售后獲得最大利潤(rùn)是多少元？

一、單選題

1.（2021?青海?中考真題）已知。，6是等腰三角形的兩邊長(zhǎng)，且。，b滿足

J2。一3弘+5+（2a+3弘一13）2=0,則此等腰三角形的周長(zhǎng)為（）.

A.8B.6或8C.7D.7或8

2.（2021.湖北宜昌.中考真題）我國(guó)古代數(shù)學(xué)經(jīng)典著作《九章算術(shù)》中有這樣一題，

原文是：“今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四.問人數(shù)、物價(jià)各幾何？”意思是：

今有人合伙購(gòu)物，每人出八錢，會(huì)多三錢；每人出七錢，又差四錢.問人數(shù)、物價(jià)各多少？

設(shè)人數(shù)為x人，物價(jià)為y錢，下列方程組正確的是（）

A.p,=8x-3B.p'=8x+3cb'=8x-3D.b-8x+3

[y=7x+4[y=7x+4[^=7x-4[y=7x-4

3.（2021?湖北武漢?中考真題）一輛快車和一輛慢車將一批物資從甲地運(yùn)往乙地，其

中快車送達(dá)后立即沿原路返同，且往返速度的大小不變，兩車離甲地的距離y（單位：km）

與慢車行駛時(shí)間，（單位：h）的函數(shù)關(guān)系如圖，則兩車先后兩次相遇的間隔時(shí)間是（）

5374

A.-hB.—hC.一hD.-h

3253

4.（2021.廣東深圳?中考真題）《九章算術(shù)》中有問題：1畝好田是300元，7畝壞田

是500元，一人買了好田壞田一共是100畝,花費(fèi)了10000元，問他買了多少畝好田和壞田？

設(shè)一畝好田為x元，一畝壞田為y元，根據(jù)題意列方程組得（）

x+y=100y=100

A.7B.<

300x+—y=10000300x+—y=10000

I500?7

x+y=100x+y=100

D.50()

c—x+300y=10000寧x+300y=10000

-1[500

5.（2021?浙江寧波?中考真題）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《張邱建算經(jīng)》中記載：“今有清灑

一斗直粟十斗，醋酒一斗直粟三斗.今持粟三斛，得酒五斗，問清、醋酒各幾何？”意思是:

現(xiàn)在一斗清酒價(jià)值10斗谷子，一斗醋酒價(jià)值3斗谷子，現(xiàn)在拿30斗谷子，共換了5斗酒，

問清酒、醋酒各幾斗？如果設(shè)清酒工斗，酷酒y斗，那么可列方程組為（）

（（fx+y=30

\x+y=5c\x+y=5cIz

A，[10x+3y=30[3x+10y=30。1-j^+y=5

x+y=30

D.

2+上=5

310

6.（2021?湖北荊門?中考真題）我國(guó)古代數(shù)學(xué)古典名著《孫子算經(jīng)》中記載：“今有木,

不知長(zhǎng)短，引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺，木長(zhǎng)幾何？”其大意是：用一

根繩子去量一根長(zhǎng)木，繩子還剩余4.5尺；將繩子對(duì)折再量，木條還剩余1尺；問長(zhǎng)木多少

尺？如果設(shè)木條長(zhǎng)為x尺，繩子長(zhǎng)為y尺，則下面所列方程組正確的是（）

y=x+4.5y-x-4.5

A.]1B.1

-y=x-\—y=x+\

[2[2

]y=x+4.5Jy=x-4.5

，\2y=x-\，[2y=x+l

2x—y=5

7.（2021.湖南郴州.中考真題）已知二元一次方程組（/?,則的值為（）

x-2y=i

A.2B.6C.-2D,-6

8.（2020?湖南益陽(yáng)?中考真題）同時(shí)滿足二元一次方程犬-y=9和4x+3y=l的孫y的

值為（）

[x=4（x=-4[x=-2\x=3

A.\B.<C.\D.\

[y=-5[y=5[y=31y=-6

9.（2020?黑龍江穆棱?中考真題）若：是二元一次方程組=5的解，則X

也=1[ax-by=2

+2》的算術(shù)平方根為（）

A.3B.3,—3C.6D.石，一G

二、填空題

10：（2021.內(nèi)蒙古通遼.中考真題）我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《增刪算法統(tǒng)宗》記載“繩索量

竿''問題："一條竿子一條索，索比竿子長(zhǎng)一托.折回索子卻量竿，卻比竿子短一托其大意為：

現(xiàn)有一根竿和一條繩索，用繩索去量竿，繩索比竿長(zhǎng)5尺；如果將繩索對(duì)半折后再去量竿，

就比竿短5尺.設(shè)繩索長(zhǎng)x尺，竿長(zhǎng)y尺，則符合題意的方程組是

11.（2021?黑龍江綏化?中考真題）某學(xué)校計(jì)劃為“建黨百年，銘記黨史”演講比賽購(gòu)買

獎(jiǎng)品.已知購(gòu)買2個(gè)A種獎(jiǎng)品和4個(gè)8種獎(jiǎng)品共需100元；購(gòu)買5個(gè)A種獎(jiǎng)品和2個(gè)5種獎(jiǎng)

品共需130元.學(xué)校準(zhǔn)備購(gòu)買AB兩種獎(jiǎng)品共20個(gè)，且A種獎(jiǎng)品的數(shù)量不小于5種獎(jiǎng)品數(shù)

2

量的二，則在購(gòu)買方案中最少費(fèi)用是元.

12.（2021.重慶?中考真題）盲盒為消費(fèi)市場(chǎng)注入了活力，既能夠營(yíng)造消費(fèi)者購(gòu)物過程

中的趣味體驗(yàn)，也為商家實(shí)現(xiàn)銷售額提升拓展了途徑.某商家將藍(lán)牙耳機(jī)、多接口優(yōu)盤、迷

你音箱共22個(gè)，搭配為A,B,C三種盲盒各一個(gè)，其中A盒中有2個(gè)藍(lán)牙耳機(jī)，3個(gè)多接

口優(yōu)盤，1個(gè)迷你音箱；8盒中藍(lán)牙耳機(jī)與迷你音箱的數(shù)量之和等于多接口優(yōu)盤的數(shù)量，藍(lán)

牙耳機(jī)與迷你音箱的數(shù)量之比為3：2；C盒中有1個(gè)藍(lán)牙耳機(jī)，3個(gè)多接口優(yōu)盤，2個(gè)迷你

音箱.經(jīng)核算，4盒的成本為145元，8盒的成本為245元（每種盲盒的成本為該盒中藍(lán)牙

耳機(jī)、多接口優(yōu)盤、迷你音箱的成本之和），則C盒的成本為元.

13.（2020?甘肅天水?中考真題）己矢口a+25=￥，3a+4b=與，貝I」a+6的值為.

fx+y=2fx=1

14.（2020?浙江紹興?中考真題）若關(guān)于的二元一次方程組1,八的解為《,

則多項(xiàng)式A可以是（寫出一個(gè)即可）.

X4-y=5

15.（2020?遼寧沈陽(yáng)?中考真題）二元一次方程組｛.?的解是______________.

2x-y=i

三、解答題

16.（2020?黑龍江大慶?中考真題）期中考試后，某班班主任對(duì)在期中考試中取得優(yōu)異

成績(jī)的同學(xué)進(jìn)行表彰.她到商場(chǎng)購(gòu)買了甲、乙兩種筆記本作為獎(jiǎng)品，購(gòu)買甲種筆記本15個(gè)，

乙種筆記本20個(gè)，共花費(fèi)250元.已知購(gòu)買一個(gè)甲種筆記本比購(gòu)買一個(gè)乙種筆記本多花費(fèi)

5元.

（1）求購(gòu)買一個(gè)甲種、一個(gè)乙種筆記本各需多少元？

（2）兩種筆記本均受到了獲獎(jiǎng)同學(xué)的喜愛，班主任決定在期末考試后再次購(gòu)買兩種筆

記本共35個(gè)，正好趕上商場(chǎng)對(duì)商品價(jià)格進(jìn)行調(diào)整，甲種筆記本售價(jià)比上一次購(gòu)買時(shí)減價(jià)2

元，乙種筆記本按上一次購(gòu)買時(shí)售價(jià)的8折出售.如果班主任此次購(gòu)買甲、乙兩種筆記本的

總費(fèi)用不超過上一次總費(fèi)用的90%?至多需要購(gòu)買多少個(gè)甲種筆記本？并求購(gòu)買兩種筆記

本總費(fèi)用的最大值.

17.(2020.寧夏?中考真題)在“抗擊疫情”期間，某學(xué)校工會(huì)號(hào)召?gòu)V大教師積極開展了

“獻(xiàn)愛心捐款”活動(dòng)，學(xué)校擬用這筆捐款購(gòu)買A、8兩種防疫物品.如果購(gòu)買A種物品60件,

B種物品45件，共需1140元；如果購(gòu)買A種物品45件，8種物品30件，共需840元.

(1)求A、B兩種防疫物品每件各多少元；

(2)現(xiàn)要購(gòu)買A、B兩種防疫物品共600件，總費(fèi)用不超過7000元，那么A種防疫物

品最多購(gòu)買多少件？

18.(2020.湖北荊州?中考真題)為了抗擊新冠疫情，我市甲乙兩廠積極生產(chǎn)了某種防

疫物資共500噸，乙廠的生產(chǎn)量是甲廠的2倍少100噸，這批防疫物資將運(yùn)往A地240噸,

B地260噸，運(yùn)費(fèi)如下：(單位：噸)

的地

生產(chǎn)方AB

甲2025

乙1524

(1)求甲乙兩廠各生產(chǎn)了這批防疫多少噸？

(2)設(shè)這批物資從乙廠運(yùn)往A地x噸，全部運(yùn)往A,B兩地的總運(yùn)費(fèi)為y元，求y與

x之間的函數(shù)關(guān)系式，并設(shè)計(jì)使總運(yùn)費(fèi)最少的調(diào)運(yùn)方案；

(3)當(dāng)每噸運(yùn)費(fèi)降低m元，(0<m415且m為整數(shù))，按(2)中設(shè)計(jì)的調(diào)運(yùn)方案運(yùn)

輸，總運(yùn)費(fèi)不超過5200元，求m的最小值.

參考答案

1.C

【分析】

方程組利用代入消元法求出解即可.

【詳解】

伍，j2x+〉=10①

解：［x=2砥，

把②代入①得：4y+y=10,

解得：y=2,

把y=2代入②得：x=4,

x=4

則方程組的解集為

y=2

故選：C.

【點(diǎn)撥】此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元

法與加減消元法.

2.D

【分析】

根據(jù)加減消元法即可得.

【詳解】

解：①-②得：2x+y-(2x—3y)=3—4,

即4y=-l,

故選：D.

【點(diǎn)撥】本題考查了加減消元法，熟練掌握加減消元法是解題關(guān)鍵.

3.D

【分析】

分析題意，找到兩個(gè)等量關(guān)系，分別列出方程，聯(lián)立即可.

【詳解】

設(shè)甲種型號(hào)無人機(jī)x架，乙種型號(hào)無人機(jī)了架

???甲種型號(hào)無人機(jī)架數(shù)比總架數(shù)的一半多11架,

?■x=](x+y)+ll

???乙種型號(hào)無人機(jī)架數(shù)比總架數(shù)的三分之一少2架

y=；(x+y)-2

x=—(x+y)4-ll

聯(lián)立可得：

l、八

y=-[zx+y)-2

故選：D.

【點(diǎn)撥】本題考查實(shí)際問題與二元一次方程組.關(guān)鍵在于找到題中所對(duì)應(yīng)的等量關(guān)系式.

4.B

【分析】

直接利用加減消元法解該二元一次方程組即可.

【詳解】

x+y=2①

<3x+y=4②，

②-①得：3x+y—x—y=2,B|J2x=2,

：.x=\.

將X=1代入①得：1+）=2,

Jy=L

[x=\

故原二元一次方程組的解為

[y=l

故選B.

【點(diǎn)撥】本題考查解二元一次方程組.掌握解二元一次方程組的方法和步驟是解答本題

的關(guān)鍵.

5.B

【分析】

將無看作常數(shù)，解方程組得到X,），的值，根據(jù)尸在直線上方可得到列出不等式

求解即可.

【詳解】

3x+2y=k-\

解：解方程組可得,

2x+3y=3Z+1

x=--k-\

5

7,?

y=—k+\

5

?.?點(diǎn)尸（a,b）總在直線尸上方,

解得Q-l,

故選:B.

【點(diǎn)撥】本題考查了解二元一次方程組，一次函數(shù)上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解本題的關(guān)鍵是將

女看作常數(shù)，根據(jù)點(diǎn)在一次函數(shù)上方列出不等式求解.

6.B

【分析】

設(shè)甲、乙的持錢數(shù)分別為X,y,根據(jù)“甲若得到乙所有錢的則甲有50錢，乙若得

2

到甲所有錢的§，則乙也有50錢”，列出二元一次方程組解答即可.

【詳解】

解：設(shè)甲、乙的持錢數(shù)分別為X,y,

1

x+—y=50

根據(jù)題意可得：

-x+y=50

3

故選B.

【點(diǎn)撥】本題主要考查了二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于能夠準(zhǔn)確找到等

量關(guān)系列出方程.

7.B

【分析】

設(shè)購(gòu)買口罩X包，酒精濕巾y包，根據(jù)總價(jià)=單價(jià)X數(shù)量，即可列出關(guān)于的二元一

次方程，結(jié)合x，y均為正整數(shù)，即可得出購(gòu)買方案的個(gè)數(shù).

【詳解】

解：設(shè)購(gòu)買口罩x包，酒精濕巾y包，

依據(jù)題意得：3x+2y=3O

2

.■.x=10--y

-均為正整數(shù)，

x=Sp=6(x=4\x=2

y=3或1y=6或1y=9或1y=12

二小明共有4種購(gòu)買方案.

故選：B.

【點(diǎn)撥】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組

是解題關(guān)鍵.

8.C

【分析】

根據(jù)加減消元法，即可求解.

【詳解】

x+y=5?

解：

x-y=3?

①+②，得：2x=8,解得：x=4,

①-②，得：2尸2,解得：產(chǎn)1,

.??方程組的解為：［=

(7=1

故選c.

【點(diǎn)撥】本題主要考查解二元一次方程組，熟練掌握加減消元法，是解題的關(guān)鍵.

9.A

【分析】

設(shè)組團(tuán)人數(shù)為x人，物價(jià)為y元，根據(jù)等量關(guān)系“每人出9元，則多了4元；每人出6

元，則少了5元”列出方程組即可.

【詳解】

設(shè)組團(tuán)人數(shù)為x人，物價(jià)為y元，由題意可得，

=4

[y-6x=5

故選A.

【點(diǎn)撥】此題考查了由實(shí)際問題抽象出二元一次方程組，根據(jù)物價(jià)得到等量關(guān)系是解決

本題的關(guān)鍵.

10.-2

【分析】

將方程組中的兩個(gè)方程相減即可得.

【詳解】

解：Qx+y=3②，

由①一②得：2x+2y=-4,

則x+y=-2,

故答案為：-2.

【點(diǎn)撥】本題考查了解二元一次方程，熟練掌握方程組的解法是解題關(guān)鍵.

【分析】

由加減消元法或代入消元法都可求解.

【詳解】

解：Jfx++2yL=-2②①>

由①式得：X=-2—2y,代入②式，

得：2(-2-2y)+y=2,

解得y=-2,

再將y=-2代入①式，

X-2?2-2,

解得x=2,

.??尸,

[y=-2

fx=2

故填：丁

[y=-2

【點(diǎn)撥】本題考查的是二元一次方程組的基本解法，本題屬于基礎(chǔ)題，比較簡(jiǎn)單.

12.2

【分析】

把解代入方程，得6+2.=10,轉(zhuǎn)化為關(guān)于〃，的一元一次方程，求解即可.

【詳解】

（x=2

V是方程3X+2），=10的一個(gè)解，

[y=m

/.6+2m=10,

解得ni=2,

故答案為：2.

【點(diǎn)撥】本題考查了二元一次方程的解，一元一次方程的解法，靈活運(yùn)用方程的解的定

義，轉(zhuǎn)化為一元一次方程求解是解題的關(guān)鍵.

13.5.

【分析】

將方程組中的兩個(gè)方程直接相減即可求解.

【詳解】

解：[2x+3y=7?

用②-①得：x+y=5,

故答案為：5.

【點(diǎn)撥】本題考查二元一次方程組的解，熟練掌握二元一次方程組的解法，通過觀察方

程組中兩個(gè)方程的特點(diǎn)，靈活計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

14.2：3y

【分析】

設(shè)分配到A牛產(chǎn)線的噸數(shù)為x噸，則分配到8生產(chǎn)線的噸數(shù)為（5-x）噸，依題意可得

4x+l=2（5-x）+3,然后求解即可，由題意可得第二天開工時(shí)，由上一問可得方程為

4（2+m）+l=2（3+n）+3,進(jìn)而求解即可得出答案.

【詳解】

解：設(shè)分配到A生產(chǎn)線的噸數(shù)為x噸，則分配到8生產(chǎn)線的噸數(shù)為（5-x）噸，依題意

可得：

4x+l=2（5-x）+3,解得：x—2,

.??分配到B生產(chǎn)線的噸數(shù)為5-2=3（噸），

，分配到A生產(chǎn)線的噸數(shù)與