《大學(xué)概率期末復(fù)習(xí)》課件

大學(xué)概率期末復(fù)習(xí)概率論基礎(chǔ)隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)過程與馬爾科夫鏈大數(shù)定律與中心極限定理參數(shù)估計與假設(shè)檢驗貝葉斯統(tǒng)計推斷contents目錄概率論基礎(chǔ)01概率的定義與性質(zhì)總結(jié)詞理解概率的基本定義和性質(zhì)是學(xué)習(xí)概率論的基礎(chǔ)。詳細(xì)描述概率是描述隨機(jī)事件發(fā)生可能性的數(shù)學(xué)工具，其值在0到1之間。概率的性質(zhì)包括概率的規(guī)范性、概率的可加性和概率的可乘性等。理解條件概率和獨立性的概念對于解決概率問題至關(guān)重要?？偨Y(jié)詞條件概率是指在某個已知條件下，某個事件發(fā)生的概率。獨立性是指兩個事件之間沒有相互影響，一個事件的發(fā)生不會影響另一個事件發(fā)生的概率。詳細(xì)描述條件概率與獨立性總結(jié)詞貝葉斯定理是概率論中的一個重要定理，用于計算在已知某些證據(jù)的情況下，某個事件發(fā)生的概率。詳細(xì)描述貝葉斯定理提供了一種方法，可以將先驗概率、似然函數(shù)和證據(jù)結(jié)合起來，計算出后驗概率。這對于決策制定和推理具有重要意義。貝葉斯定理隨機(jī)變量及其分布02離散隨機(jī)變量二項式隨機(jī)變量、泊松隨機(jī)變量等。常見的離散隨機(jī)變量離散隨機(jī)變量是在一定范圍內(nèi)可以一一列舉出來的隨機(jī)變量，其取值范圍稱為樣本空間，樣本空間中的每一個元素稱為樣本點。離散隨機(jī)變量定義離散隨機(jī)變量的概率分布是指每個樣本點的概率，這些概率滿足非負(fù)性、規(guī)范性、完備性。離散隨機(jī)變量的概率分布連續(xù)隨機(jī)變量的概率分布連續(xù)隨機(jī)變量的概率分布可以用概率密度函數(shù)表示，概率密度函數(shù)滿足非負(fù)性、規(guī)范性、完備性。常見的連續(xù)隨機(jī)變量正態(tài)隨機(jī)變量、指數(shù)隨機(jī)變量等。連續(xù)隨機(jī)變量定義連續(xù)隨機(jī)變量是在一定區(qū)間內(nèi)可以連續(xù)取值的隨機(jī)變量，其取值范圍稱為連續(xù)樣本空間。連續(xù)隨機(jī)變量函數(shù)變換的定義對于一個隨機(jī)變量X，如果存在一個函數(shù)f(X)，使得f(X)也是一個隨機(jī)變量，那么稱f(X)為X的函數(shù)變換。函數(shù)變換的性質(zhì)函數(shù)變換后的隨機(jī)變量與原隨機(jī)變量具有相同的概率分布或不同的概率分布，取決于函數(shù)的形式。常見的函數(shù)變換線性變換、指數(shù)變換、對數(shù)變換等。隨機(jī)變量的函數(shù)變換方差方差是描述隨機(jī)變量取值分散程度的數(shù)字特征，其計算公式為D(X)=E[(X?E(X))^2]=∑x^2p(x)?[E(X)]^2。協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)協(xié)方差是描述兩個隨機(jī)變量共同變動的數(shù)字特征，相關(guān)系數(shù)是協(xié)方差的歸一化形式。數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望是描述隨機(jī)變量取值的平均水平的數(shù)字特征，其計算公式為E(X)=∑xp(x)。隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)過程與馬爾科夫鏈03隨機(jī)過程隨機(jī)過程是一系列隨機(jī)變量的集合，每個隨機(jī)變量對應(yīng)一個時間點或狀態(tài)。隨機(jī)過程的分類根據(jù)不同特性，隨機(jī)過程可分為離散隨機(jī)過程和連續(xù)隨機(jī)過程。隨機(jī)過程的數(shù)學(xué)描述通過概率分布函數(shù)、概率密度函數(shù)等數(shù)學(xué)工具描述隨機(jī)過程的統(tǒng)計特性。隨機(jī)過程的基本概念馬爾科夫鏈?zhǔn)且环N特殊的隨機(jī)過程，其未來狀態(tài)只取決于當(dāng)前狀態(tài)，與過去狀態(tài)無關(guān)。馬爾科夫鏈定義馬爾科夫鏈具有無后效性、可預(yù)測性和平穩(wěn)性等特性。馬爾科夫鏈的性質(zhì)馬爾科夫鏈在經(jīng)濟(jì)學(xué)、社會學(xué)、生物學(xué)等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用。馬爾科夫鏈的應(yīng)用馬爾科夫鏈如果一個馬爾科夫鏈的任意狀態(tài)經(jīng)過足夠長時間后將以概率1訪問，則稱該馬爾科夫鏈具有遍歷性。遍歷性在遍歷性的條件下，如果一個馬爾科夫鏈存在一個概率分布，使得在每一步轉(zhuǎn)移中，該分布保持不變，則稱該分布為平穩(wěn)分布。平穩(wěn)分布遍歷性是平穩(wěn)分布存在的必要條件，但不是充分條件。遍歷性與平穩(wěn)分布的關(guān)系遍歷性與平穩(wěn)分布大數(shù)定律與中心極限定理04大數(shù)定律定義伯努利大數(shù)定律辛欽大數(shù)定律大數(shù)定律大數(shù)定律是指在大量重復(fù)實驗中，某一事件發(fā)生的頻率將趨近于該事件發(fā)生的概率。在n次獨立重復(fù)實驗中，某一事件A發(fā)生的頻率趨近于該事件發(fā)生的概率p，即lim(n->∞)(n/nA)=p，其中nA表示事件A發(fā)生的次數(shù)。設(shè)X1,X2,...Xn為相互獨立同分布的隨機(jī)變量序列，且數(shù)學(xué)期望E(Xk)=μ，方差D(Xk)=σ^2<∞(k=1,2,...,n)，則lim(n->∞)(1/n)∑(k=1->n)(Xk-μ)=0。中心極限定理定義01中心極限定理是指在大量獨立同分布的隨機(jī)變量中，不論這些隨機(jī)變量的分布是什么，它們的平均值的分布都趨近于正態(tài)分布。棣莫佛-拉普拉斯中心極限定理02設(shè)X1,X2,...Xn為相互獨立同分布的隨機(jī)變量序列，且數(shù)學(xué)期望E(Xk)=μ，方差D(Xk)=σ^2<∞(k=1,2,...,n)，則lim(n->∞)(1/√n)∑(k=1->n)(Xk-μ)=N(0,σ^2)。李雅普諾夫中心極限定理03設(shè)fn(x)為n個相互獨立同分布的隨機(jī)變量函數(shù)X1,X2,...Xn的概率函數(shù)，則對于任意x，lim(n->∞)fn(x)=f(x)，其中f(x)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率函數(shù)。中心極限定理VS對于任意的隨機(jī)變量X，有P(|X-E(X)|≥kσ(X))≤1/k^2，其中E(X)為數(shù)學(xué)期望，σ(X)為標(biāo)準(zhǔn)差。弱大數(shù)定律設(shè)X1,X2,...Xn為相互獨立同分布的隨機(jī)變量序列，且數(shù)學(xué)期望E(Xk)=μ，方差D(Xk)=σ^2<∞(k=1,2,...,n)，則lim(n->∞)(1/n)∑(k=1->n)(Xk-μ)^2=σ^2。切比雪夫不等式切比雪夫不等式與弱大數(shù)定律參數(shù)估計與假設(shè)檢驗05點估計用樣本統(tǒng)計量（如樣本均值、樣本比例等）作為總體參數(shù)的估計值。區(qū)間估計根據(jù)樣本信息，給出總體參數(shù)可能存在的區(qū)間范圍。置信區(qū)間在一定置信水平下，估計參數(shù)所在的區(qū)間范圍。誤差限區(qū)間估計的精度，即區(qū)間寬度。點估計與區(qū)間估計假設(shè)檢驗假設(shè)檢驗中的兩種假設(shè)，其中零假設(shè)通常為無差異或無關(guān)系。零假設(shè)與對立假設(shè)顯著性水平拒絕域與接受域01020403根據(jù)顯著性水平確定的判斷差異是否顯著的區(qū)域。根據(jù)樣本信息，對總體參數(shù)或分布形式做出推斷。假設(shè)檢驗中判斷差異是否顯著的臨界值。假設(shè)檢驗的基本概念只考慮參數(shù)大于或小于某個值的檢驗。單側(cè)檢驗只包含一個方向的差異的區(qū)域。單側(cè)檢驗的拒絕域如檢驗平均值是否顯著大于某個值，或比例是否顯著大于或小于某個值。單側(cè)檢驗的應(yīng)用場景單側(cè)假設(shè)檢驗雙側(cè)檢驗同時考慮參數(shù)大于和小于某個值的檢驗。雙側(cè)檢驗的拒絕域包含兩個方向的差異的區(qū)域。雙側(cè)檢驗的應(yīng)用場景如檢驗平均值是否顯著不等于某個值，或比例是否顯著不等于某個值。雙側(cè)假設(shè)檢驗030201貝葉斯統(tǒng)計推斷06貝葉斯推斷基于貝葉斯定理，利用已知信息更新概率的過程。先驗概率在觀察數(shù)據(jù)之前，對事件發(fā)生的概率的主觀估計。后驗概率在觀察數(shù)據(jù)后，根據(jù)先驗信息和數(shù)據(jù)更新后的概率估計。似然函數(shù)描述數(shù)據(jù)與參數(shù)之間的關(guān)系，用于評估參數(shù)的取值可能性。貝葉斯推斷的基本概念貝葉斯推斷的步驟與實例設(shè)定先驗分布、計算似然函數(shù)、更新先驗分布得到后驗分布、進(jìn)行決策。步驟假設(shè)某事件A發(fā)生的概率為P(A)，通過觀察n次獨立重復(fù)試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，利用貝葉斯定理更