2024屆浙江省之江教育評(píng)價(jià)高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末監(jiān)測(cè)模擬試題含解析

2024屆浙江省之江教育評(píng)價(jià)高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末監(jiān)測(cè)模擬試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．若實(shí)數(shù)，滿足約束條件則的取值范圍為()A． B． C． D．2．某公司在甲、乙、丙、丁四個(gè)地區(qū)分別有150，120，180，150個(gè)銷(xiāo)售點(diǎn)．公司為了調(diào)查產(chǎn)品銷(xiāo)售情況，需從這600個(gè)銷(xiāo)售點(diǎn)中抽取一個(gè)容量為100的樣本．記這項(xiàng)調(diào)查為①；在丙地區(qū)有20個(gè)大型銷(xiāo)售點(diǎn)，要從中抽取7個(gè)調(diào)查其銷(xiāo)售收入和售后服務(wù)等情況，記這項(xiàng)調(diào)查為②，則完成①，②這兩項(xiàng)調(diào)查宜采用的抽樣方法依次是()A．分層抽樣法，系統(tǒng)抽樣法 B．分層抽樣法，簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法C．系統(tǒng)抽樣法，分層抽樣法 D．簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法，分層抽樣法3．在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊，b＝c，且滿足＝，若點(diǎn)O是△ABC外一點(diǎn)，∠AOB＝θ(0<θ<π)，OA＝2OB＝2，則平面四邊形OACB面積的最大值是()A． B． C．3 D．4．在學(xué)習(xí)等差數(shù)列時(shí)，我們由，，，，得到等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是，象這樣由特殊到一般的推理方法叫做（）A．不完全歸納法 B．?dāng)?shù)學(xué)歸納法 C．綜合法 D．分析法5．點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．6．若，則在中，正數(shù)的個(gè)數(shù)是（）A．16 B．72 C．86 D．1007．某型號(hào)汽車(chē)使用年限與年維修費(fèi)（單位：萬(wàn)元）的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表，由最小二乘法求得回歸方程．現(xiàn)發(fā)現(xiàn)表中有一個(gè)數(shù)據(jù)看不清，推測(cè)該數(shù)據(jù)的值為（）使用年限維修費(fèi)A． B．C． D．8．在三棱錐中，，，則三棱錐外接球的體積是（）A． B． C． D．9．下列說(shuō)法正確的是（）A．若，則 B．若，，則C．若，則 D．若，，則10．下列函數(shù)中最小值為4的是()A． B．C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若數(shù)列滿足，，，則______.12．_________.13．已知扇形的半徑為6，圓心角為，則扇形的弧長(zhǎng)為_(kāi)_____.14．設(shè)，過(guò)定點(diǎn)A的動(dòng)直線和過(guò)定點(diǎn)B的動(dòng)直線交于點(diǎn)，則的最大值是．15．已知向量（1，x2），（﹣2，y2﹣2），若向量，共線，則xy的最大值為_(kāi)____．16．函數(shù)可由y=sin2x向左平移___________個(gè)單位得到．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．在等差數(shù)列中，，（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求的前n項(xiàng)和18．已知兩點(diǎn)，.（1）求直線AB的方程；（2）直線l經(jīng)過(guò)，且傾斜角為，求直線l與AB的交點(diǎn)坐標(biāo).19．等差數(shù)列中，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè),求數(shù)列的前n項(xiàng)和.20．已知向量．(1)求與的夾角的余弦值；(2)若向量與垂直，求的值．21．設(shè)全集為實(shí)數(shù)集，，，.（1）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解題分析】

的幾何意義為點(diǎn)與點(diǎn)所在直線的斜率，根據(jù)不等式表示的可行域，可得出取值范圍.【題目詳解】的幾何意義為點(diǎn)與點(diǎn)所在直線的斜率．畫(huà)出如圖的可行域，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，；當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，．的取值范圍為,故選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查了不等式表示的可行域的畫(huà)法，以及目標(biāo)函數(shù)為分式時(shí)求取值范圍的方法.2、B【解題分析】

此題為抽樣方法的選取問(wèn)題．當(dāng)總體中個(gè)體較少時(shí)宜采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法；當(dāng)總體中的個(gè)體差異較大時(shí)，宜采用分層抽樣；當(dāng)總體中個(gè)體較多時(shí)，宜采用系統(tǒng)抽樣．【題目詳解】依據(jù)題意，第①項(xiàng)調(diào)查中，總體中的個(gè)體差異較大，應(yīng)采用分層抽樣法；第②項(xiàng)調(diào)查總體中個(gè)體較少，應(yīng)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法．

故選B．【題目點(diǎn)撥】本題考查隨機(jī)抽樣知識(shí)，屬基本題型、基本概念的考查．3、A【解題分析】

根據(jù)正弦和角公式化簡(jiǎn)得是正三角形，再將平面四邊形OACB面積表示成的三角函數(shù)，利用三角函數(shù)求得最值.【題目詳解】由已知得：即所以即又因?yàn)樗运杂忠驗(yàn)樗允堑冗吶切?所以在中，由余弦定理得且因?yàn)槠矫嫠倪呅蜲ACB面積為當(dāng)時(shí)，有最大值，此時(shí)平面四邊形OACB面積有最大值，故選A.【題目點(diǎn)撥】本題關(guān)鍵在于把所求面積表示成角的三角函數(shù)，屬于難度題.4、A【解題分析】

根據(jù)題干中的推理由特殊到一般的推理屬于歸納推理，但又不是數(shù)學(xué)歸納法，從而可得出結(jié)果.【題目詳解】本題由前三項(xiàng)的規(guī)律猜想出一般項(xiàng)的特點(diǎn)屬于歸納法，但本題并不是數(shù)學(xué)歸納法，因此，本題中的推理方法是不完全歸納法，故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題考查歸納法的特點(diǎn)，判斷時(shí)要區(qū)別數(shù)學(xué)歸納法與不完全歸納法，考查對(duì)概念的理解，屬于基礎(chǔ)題.5、D【解題分析】令，設(shè)對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，可得的中點(diǎn)在直線上，故可得①，又可得的斜率，由垂直關(guān)系可得②，聯(lián)立①②解得，即對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，故選D.點(diǎn)睛：本題考查對(duì)稱問(wèn)題，得出中點(diǎn)在直線且連線與已知直線垂直是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬中檔題；點(diǎn)關(guān)于直線成軸對(duì)稱問(wèn)題，由軸對(duì)稱定義知，對(duì)稱軸即為兩對(duì)稱點(diǎn)連線的“垂直平分線”，利用“垂直”即斜率關(guān)系，“平分”即中點(diǎn)在直線上這兩個(gè)條件建立方程組，就可求出對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)．6、C【解題分析】

令，則，當(dāng)1≤n≤14時(shí)，畫(huà)出角序列終邊如圖，其終邊兩兩關(guān)于x軸對(duì)稱，故有均為正數(shù)，而，由周期性可知，當(dāng)14k-13≤n≤14k時(shí)，Sn>0，而，其中k=1,2,…,7，所以在中有14個(gè)為0，其余都是正數(shù)，即正數(shù)共有100－14＝86個(gè)，故選C.7、C【解題分析】

設(shè)所求數(shù)據(jù)為，計(jì)算出和，然后將點(diǎn)代入回歸直線方程可求出的值.【題目詳解】設(shè)所求數(shù)據(jù)為，則，，由于回歸直線過(guò)樣本的中心點(diǎn)，則有，解得，故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用回歸直線計(jì)算原始數(shù)據(jù)，解題時(shí)要充分利用“回歸直線過(guò)樣本中心點(diǎn)”這一結(jié)論的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.8、B【解題分析】

三棱錐是正三棱錐，取為外接圓的圓心，連結(jié)，則平面，設(shè)為三棱錐外接球的球心，外接球的半徑為，可求出，然后由可求出半徑，進(jìn)而求出外接球的體積.【題目詳解】由題意，易知三棱錐是正三棱錐，取為外接圓的圓心，連結(jié)，則平面，設(shè)為三棱錐外接球的球心.因?yàn)?，所?因?yàn)椋?設(shè)三棱錐外接球的半徑為，則，解得，故三棱錐外接球的體積是.故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查了三棱錐的外接球體積的求法，考查了學(xué)生的空間想象能力與計(jì)算求解能力，屬于中檔題.9、D【解題分析】

利用不等式的性質(zhì)或舉反例的方法來(lái)判斷各選項(xiàng)中不等式的正誤.【題目詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，若且，則，該選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，取，，，，則，均滿足，但，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，取，，則滿足，但，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，由不等式的性質(zhì)可知該選項(xiàng)正確，故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查不等式正誤的判斷，常用不等式的性質(zhì)以及舉反例的方法來(lái)進(jìn)行驗(yàn)證，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題.10、C【解題分析】

對(duì)于A和D選項(xiàng)不能保證基本不等式中的“正數(shù)”要求，對(duì)于B選項(xiàng)不能保證基本不等式中的“相等”要求，即可選出答案.【題目詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，顯然不滿足題意，故A錯(cuò)誤.對(duì)于B，，，.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最小值.但無(wú)解，故B錯(cuò)誤.對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，顯然不滿足題意，故D錯(cuò)誤.對(duì)于C，，，.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最小值，故C正確.故選：C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查基本不等式，熟練掌握基本不等式的步驟為解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

由，化簡(jiǎn)得，則為等差數(shù)列，結(jié)合已知條件得.【題目詳解】由，化簡(jiǎn)得，且，，得，所以是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，所以，即故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查了數(shù)列的遞推式，考查了判斷數(shù)列是等差數(shù)列的方法，屬于中檔題.12、【解題分析】

根據(jù)誘導(dǎo)公式和特殊角的三角函數(shù)值可計(jì)算出結(jié)果.【題目詳解】由題意可得，原式.故答案為.【題目點(diǎn)撥】本題考查誘導(dǎo)公式和特殊三角函數(shù)值的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.13、【解題分析】

先將角度化為弧度，再根據(jù)弧長(zhǎng)公式求解.【題目詳解】因?yàn)閳A心角，所以弧長(zhǎng).故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查了角度和弧度的互化以及弧長(zhǎng)公式的應(yīng)用問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題．14、5【解題分析】試題分析：易得.設(shè)，則消去得：，所以點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上，，所以，.法二、因?yàn)閮芍本€的斜率互為負(fù)倒數(shù)，所以，點(diǎn)P的軌跡是以AB為直徑的圓.以下同法一.【考點(diǎn)定位】1、直線與圓；2、重要不等式.15、【解題分析】

由題意利用兩個(gè)向量共線的性質(zhì)，兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算，可得，再利用基本不等式，求得的最大值．【題目詳解】向量，，若向量，共線，則，，即，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，取等號(hào)．故的最大值為，故答案為：．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查兩個(gè)向量共線的性質(zhì)，考查兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算和基本不等式，屬于基礎(chǔ)題．16、【解題分析】

將轉(zhuǎn)化為，再利用平移公式得到答案.【題目詳解】向左平移故答案為【題目點(diǎn)撥】本題考查三角函數(shù)圖像的平移，將正弦函數(shù)化為余弦函數(shù)是解題的關(guān)鍵，也可以將余弦函數(shù)化為正弦函數(shù)求解.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）【解題分析】試題分析：（1）根據(jù)已知數(shù)列為等差數(shù)列，結(jié)合數(shù)列的性質(zhì)可知：前3項(xiàng)和，所以，又因?yàn)?，所以公差，再根?jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式，可以求得．本問(wèn)考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的考查，為容易題，要求學(xué)生必須掌握．（2）由于為等差數(shù)列，所以可以根據(jù)重要結(jié)論得知：數(shù)列為等比數(shù)列，可以根據(jù)等比數(shù)列的定義進(jìn)行證明，即，符合等比數(shù)列定義，因此數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為2，所以問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，根據(jù)公式有．本問(wèn)考查等比數(shù)列定義及前n項(xiàng)和公式．屬于對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的考查．試題解析：（1）又（2）由（1）知得：是以4為首項(xiàng)2為公比的等比數(shù)列考點(diǎn)：1.等差數(shù)列；2.等比數(shù)列．18、（1）；（2）.【解題分析】

（1）根據(jù)、兩點(diǎn)的坐標(biāo)，得到斜率，再由點(diǎn)斜式得到直線方程；（2）根據(jù)的傾斜角和過(guò)點(diǎn)，得到的方程，再與直線聯(lián)立，得到交點(diǎn)坐標(biāo).【題目詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)，，所以，所以方程為，整理得；（2）因?yàn)橹本€l經(jīng)過(guò)，且傾斜角為，所以直線的斜率為，所以的方程為，整理得，所以直線與直線的交點(diǎn)為，解得，所以交點(diǎn)坐標(biāo)為.【題目點(diǎn)撥】本題考查點(diǎn)斜式求直線方程，求直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，屬于簡(jiǎn)單題.19、(1)；（2）.【解題分析】

(1)根據(jù)等差數(shù)列公式得到方程組，計(jì)算得到答案.(2)先求出，再利用裂項(xiàng)求和求得.【題目詳解】(1)等差數(shù)列中，，解得：(2)數(shù)列的前n項(xiàng)和.【題目點(diǎn)撥】本題考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式，裂項(xiàng)求和，意在考查學(xué)生對(duì)于數(shù)列公式的靈活運(yùn)用及計(jì)算能力.20、（1）；（2）【解題分析】

（1）分別求出，，，再代入公式求余弦值；（2）由向量互