2023屆內(nèi)蒙古包頭市高三二模數(shù)學(xué)試題（文）（解析版）

高級(jí)中學(xué)精品試卷PAGEPAGE1內(nèi)蒙古包頭市2023屆高三二模數(shù)學(xué)試題（文）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若，則（）A. B.2 C. D.3〖答案〗B〖解析〗由.故選：B.2.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由得，所以，故選：C.3.已知為拋物線(xiàn)上第一象限的一點(diǎn)，以點(diǎn)B為圓心且半徑為12的圓經(jīng)過(guò)C的焦點(diǎn)F，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意可得：拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)，準(zhǔn)線(xiàn)，則，解得.故選：D.4.正多面體共有5種，統(tǒng)稱(chēng)為柏拉圖體，它們分別是正四面體、正六面體（即正方體）、正八面體、正十二面體、正二十面體．若連接某正方體的相鄰面的中心，就可以得到一個(gè)正八面體，已知該正八面體的體積為36，則生成它的正方體的棱長(zhǎng)為（）A.8 B.6 C.4 D.3〖答案〗B〖解析〗設(shè)正方體棱長(zhǎng)為，可得正八面體是由兩個(gè)四棱錐構(gòu)成，四棱錐的底面為邊長(zhǎng)為的正方形，高為，則正八面體體積為，解得，∴.故選：B.5設(shè)，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，，，故.故選：C.6.函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由，則，而，所以點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，即.故選：A7.已知，且，則＝（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，所以或，又，故.故選：B8.若函數(shù)在的大致圖象如下圖，則（）A. B. C. D.1〖答案〗A〖解析〗設(shè)函數(shù)的最小正周期為，由圖象可得：，即，可得，解得，則，所以.故選：A.9.若是奇函數(shù)，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意得，解得，則的定義域?yàn)椋譃槠婧瘮?shù)，所以，可得，當(dāng)時(shí)，，其定義域?yàn)?，，所以是奇函?shù)，故.故選：A.10.小王家訂了一份報(bào)紙，送報(bào)人可能在早上之間把報(bào)送到小王家，小王離開(kāi)家去工作的時(shí)間在早上之間．用A表示事件：“小王在離開(kāi)家前能得到報(bào)紙”，設(shè)送報(bào)人到達(dá)的時(shí)間為x，小王離開(kāi)家的時(shí)間為y，看成平面中的點(diǎn)，則用幾何概型的公式得到事件A的概率P（A）等于（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗根據(jù)題意作出圖形如圖所示，基本事件位于矩形內(nèi)及邊界，事件發(fā)生，則，即事件A應(yīng)位于五邊形BCDEF內(nèi)及邊界，則.故選：A.11.某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐中最長(zhǎng)的棱的長(zhǎng)度為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由三視圖，幾何體如下圖示，且面，而面，故，所以，顯然為最長(zhǎng)棱.故選：C12.已知A，B，C為球O的球面上的三個(gè)點(diǎn)，為△ABC的外接圓，若的面積為12π，，則當(dāng)△ABC的面積最大時(shí)，球O的表面積為（）A.84π B.96π C.180π D.192π〖答案〗D〖解析〗設(shè)的半徑為，球的半徑為，則，所以.由正弦定理可得，，，因?yàn)?，所以，所以，設(shè)，，則，因?yàn)?，由可得，，由可得，，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，在上單調(diào)遞增；由可得，，由，可知，所以，所以，在上單調(diào)遞減.所以，當(dāng)時(shí)，取得唯一極大值，也是最大值，此時(shí)，為等邊三角形，且，所以，，由圖象可得，在中，有，，所以，，即，所以，球的表面積為.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.若x，y滿(mǎn)足約束條件則的最小值為_(kāi)_____．〖答案〗1〖解析〗由題設(shè)可得如下可行域，要使最小，即直線(xiàn)上下平移過(guò)程中，與可行域有交點(diǎn)情況下截距最小，所以，當(dāng)過(guò)與的交點(diǎn)時(shí)有最小值，故.故〖答案〗為：114.已知，，與的夾角為θ，且，則θ＝______．〖答案〗〖解析〗由，即，所以，又，則.故〖答案〗為：15.已知圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，且圓心在直線(xiàn)上，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_________．〖答案〗〖解析〗因?yàn)椋?，所以直線(xiàn)的斜率為，線(xiàn)段中點(diǎn)為，所以中垂線(xiàn)方程為，即，聯(lián)立，解得，所以圓心的坐標(biāo)為.根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，得半徑，因此，所求的圓的方程為.故〖答案〗為：.16.雙曲線(xiàn)C：（，）的兩個(gè)焦點(diǎn)為，，以C的虛軸為直徑的圓記為D，過(guò)作D的切線(xiàn)與C的漸近線(xiàn)交于點(diǎn)H，若的面積為，則C的離心率為_(kāi)_____．〖答案〗〖解析〗設(shè)直線(xiàn)與圓相切于,由題意可知,，所以，所以,所以直線(xiàn)方程為，聯(lián)立和得，故因此，故，因此，故，故〖答案〗為：三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，．（1）若，且等比數(shù)列的公比大于0，求和的通項(xiàng)公式；（2）若，求．解：（1）設(shè)的公差為d，的公比為q，，則，．聯(lián)立，即，因?yàn)?，解得，所以?（2）設(shè)的公差為d，的公比為q.當(dāng)時(shí)，，不滿(mǎn)足題意，所以.所以，，整理可得，解得，或.當(dāng)時(shí)，，由，得，所以，故；當(dāng)時(shí)，，由，得，所以，故.18.某學(xué)校為了解高三學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)變化情況，隨機(jī)調(diào)查了100名學(xué)生，得到這些學(xué)生一輪復(fù)習(xí)結(jié)束相對(duì)于高二期末學(xué)習(xí)成績(jī)?cè)鲩L(zhǎng)率的頻數(shù)分布表.的分組學(xué)生數(shù)16243012108（1）估計(jì)這個(gè)學(xué)校的高三學(xué)生中，學(xué)習(xí)成績(jī)?cè)鲩L(zhǎng)率不低于的學(xué)生比例；（2）求這個(gè)學(xué)校的高三學(xué)生學(xué)習(xí)成績(jī)?cè)鲩L(zhǎng)率的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）（精確到）附：.解：（1）根據(jù)學(xué)習(xí)成績(jī)?cè)鲩L(zhǎng)率頻數(shù)分布表得，所調(diào)查的名學(xué)生中，學(xué)習(xí)成績(jī)?cè)鲩L(zhǎng)率不低于的學(xué)生有人，所以學(xué)習(xí)成績(jī)?cè)鲩L(zhǎng)率不低于學(xué)生頻率為，用樣本頻率分布估計(jì)總體分布得這個(gè)學(xué)校高三學(xué)生成績(jī)?cè)鲩L(zhǎng)率不低于的學(xué)生比例為（2）.19.如圖，四棱錐S—ABCD中，側(cè)面底面ABCD，，，，，E，F(xiàn)分別是SC和AB的中點(diǎn)，．（1）證明：平面SAD；（2）點(diǎn)P在棱SA上，當(dāng)時(shí)，求四棱錐P—AFCD的體積．（1）證明：設(shè)M為SD的中點(diǎn)，連接ME，MA，因?yàn)镸E是的中位線(xiàn)，所以，又且，所以底面ABCD為平行四邊形，所以，又且，故且，所以四邊形是平行四邊形，則，又平面，平面，所以平面（2）解：由，，即，故，所以△為等腰直角三角形，若為中點(diǎn)，連接，所以，，又，，即△為等邊三角形，所以，因?yàn)槊婷鍭BCD，面底面ABCD，，面，所以面ABCD，面ABCD，故，在△中，，即，若為中點(diǎn)，則，故，在△中，，則，又，P在棱SA上，且，易知：△△，所以，又，由（1）M為SD的中點(diǎn)，故為中點(diǎn)，所以到面距離等于到面距離的一半，又面ABCD，即，由，則四棱錐P—AFCD的體積.20.設(shè)函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)，，求a的取值范圍．解：（1）∵，∴，當(dāng)時(shí)，∴，定義域?yàn)镽，則，∴，，∴的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）∵有兩個(gè)極值點(diǎn)，（），∴，是的兩個(gè)不同的根.即：，是的兩個(gè)不同的根.∴令，則，是與的兩個(gè)不同的交點(diǎn).∴，∴，，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又∵，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴圖象如圖所示，所以，所以，即：a的取值范圍為.21.已知定點(diǎn)，及動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)R是直線(xiàn)MQ上的動(dòng)點(diǎn)，且．（1）求點(diǎn)R的軌跡C的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與曲線(xiàn)C交于點(diǎn)A，B，試探究：的面積是否存在最大值，若存在，請(qǐng)求出最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由已知，，，因?yàn)辄c(diǎn)R是直線(xiàn)MQ上，所以，因?yàn)椋?，即，所以化?jiǎn)得，．因?yàn)椋?，故點(diǎn)R的軌跡C的方程為．（2）過(guò)點(diǎn)的斜率為的直線(xiàn)與曲線(xiàn)沒(méi)交點(diǎn)，不滿(mǎn)足要求，故設(shè)直線(xiàn)AB的方程為，由，消去x并整理，得，方程的判別式，設(shè)，則，所以，的面積，設(shè)，則，設(shè)，則，在是增函數(shù)，故，即，有，因此，當(dāng)，即時(shí)，S存在最大值為．（二）選考題：共10分．請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．〖選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程〗22.在直角坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)C的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．（1）寫(xiě)出C的普通方程；（2）若A，B是C上異于坐標(biāo)原點(diǎn)O的兩動(dòng)點(diǎn)，且，，并與線(xiàn)段AB相交于點(diǎn)P，求點(diǎn)P軌跡的極坐標(biāo)方程．解：（1）由C的參數(shù)方程消去參數(shù)t，得C的普通方程為．（2）根據(jù)（1），設(shè)，（，且），則，因?yàn)?，所以，得，又，因?yàn)?，所以，即，因?yàn)锳，P，B三點(diǎn)共線(xiàn)，所以，即，整理得，把和，代入上式，得，故點(diǎn)P軌跡的極坐標(biāo)方程為．〖選修4-5：不等式選講〗23.已知函數(shù)．（1）畫(huà)出和的圖象；（2）若，求a的值．解：（1）由已知得，，和的圖象如圖所示．（2）的圖象是由函數(shù)的圖象向左平移a（）個(gè)單位長(zhǎng)度，或向右平移（）個(gè)單位長(zhǎng)度得到，根據(jù)圖象，可知把函數(shù)的圖象向右平移不符合題意，只能向左平移．當(dāng)向左平移使的圖象的右支經(jīng)過(guò)的圖象上的點(diǎn)時(shí)為臨界狀態(tài)，如圖所示，此時(shí)的圖象的右支對(duì)應(yīng)的函數(shù)〖解析〗式為，的圖象的左支與的圖象的一部分重合，代入點(diǎn)的坐標(biāo)，則，解得．因?yàn)椋?，故a的值為6內(nèi)蒙古包頭市2023屆高三二模數(shù)學(xué)試題（文）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若，則（）A. B.2 C. D.3〖答案〗B〖解析〗由.故選：B.2.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由得，所以，故選：C.3.已知為拋物線(xiàn)上第一象限的一點(diǎn)，以點(diǎn)B為圓心且半徑為12的圓經(jīng)過(guò)C的焦點(diǎn)F，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意可得：拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)，準(zhǔn)線(xiàn)，則，解得.故選：D.4.正多面體共有5種，統(tǒng)稱(chēng)為柏拉圖體，它們分別是正四面體、正六面體（即正方體）、正八面體、正十二面體、正二十面體．若連接某正方體的相鄰面的中心，就可以得到一個(gè)正八面體，已知該正八面體的體積為36，則生成它的正方體的棱長(zhǎng)為（）A.8 B.6 C.4 D.3〖答案〗B〖解析〗設(shè)正方體棱長(zhǎng)為，可得正八面體是由兩個(gè)四棱錐構(gòu)成，四棱錐的底面為邊長(zhǎng)為的正方形，高為，則正八面體體積為，解得，∴.故選：B.5設(shè)，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，，，故.故選：C.6.函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由，則，而，所以點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，即.故選：A7.已知，且，則＝（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，所以或，又，故.故選：B8.若函數(shù)在的大致圖象如下圖，則（）A. B. C. D.1〖答案〗A〖解析〗設(shè)函數(shù)的最小正周期為，由圖象可得：，即，可得，解得，則，所以.故選：A.9.若是奇函數(shù)，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意得，解得，則的定義域?yàn)?，又為奇函?shù)，所以，可得，當(dāng)時(shí)，，其定義域?yàn)?，，所以是奇函?shù)，故.故選：A.10.小王家訂了一份報(bào)紙，送報(bào)人可能在早上之間把報(bào)送到小王家，小王離開(kāi)家去工作的時(shí)間在早上之間．用A表示事件：“小王在離開(kāi)家前能得到報(bào)紙”，設(shè)送報(bào)人到達(dá)的時(shí)間為x，小王離開(kāi)家的時(shí)間為y，看成平面中的點(diǎn)，則用幾何概型的公式得到事件A的概率P（A）等于（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗根據(jù)題意作出圖形如圖所示，基本事件位于矩形內(nèi)及邊界，事件發(fā)生，則，即事件A應(yīng)位于五邊形BCDEF內(nèi)及邊界，則.故選：A.11.某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐中最長(zhǎng)的棱的長(zhǎng)度為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由三視圖，幾何體如下圖示，且面，而面，故，所以，顯然為最長(zhǎng)棱.故選：C12.已知A，B，C為球O的球面上的三個(gè)點(diǎn)，為△ABC的外接圓，若的面積為12π，，則當(dāng)△ABC的面積最大時(shí)，球O的表面積為（）A.84π B.96π C.180π D.192π〖答案〗D〖解析〗設(shè)的半徑為，球的半徑為，則，所以.由正弦定理可得，，，因?yàn)椋?，所以，設(shè)，，則，因?yàn)椋煽傻?，，由可得，，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，在上單調(diào)遞增；由可得，，由，可知，所以，所以，在上單調(diào)遞減.所以，當(dāng)時(shí)，取得唯一極大值，也是最大值，此時(shí)，為等邊三角形，且，所以，，由圖象可得，在中，有，，所以，，即，所以，球的表面積為.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.若x，y滿(mǎn)足約束條件則的最小值為_(kāi)_____．〖答案〗1〖解析〗由題設(shè)可得如下可行域，要使最小，即直線(xiàn)上下平移過(guò)程中，與可行域有交點(diǎn)情況下截距最小，所以，當(dāng)過(guò)與的交點(diǎn)時(shí)有最小值，故.故〖答案〗為：114.已知，，與的夾角為θ，且，則θ＝______．〖答案〗〖解析〗由，即，所以，又，則.故〖答案〗為：15.已知圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，且圓心在直線(xiàn)上，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_________．〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，，所以直線(xiàn)的斜率為，線(xiàn)段中點(diǎn)為，所以中垂線(xiàn)方程為，即，聯(lián)立，解得，所以圓心的坐標(biāo)為.根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，得半徑，因此，所求的圓的方程為.故〖答案〗為：.16.雙曲線(xiàn)C：（，）的兩個(gè)焦點(diǎn)為，，以C的虛軸為直徑的圓記為D，過(guò)作D的切線(xiàn)與C的漸近線(xiàn)交于點(diǎn)H，若的面積為，則C的離心率為_(kāi)_____．〖答案〗〖解析〗設(shè)直線(xiàn)與圓相切于,由題意可知,，所以，所以,所以直線(xiàn)方程為，聯(lián)立和得，故因此，故，因此，故，故〖答案〗為：三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，．（1）若，且等比數(shù)列的公比大于0，求和的通項(xiàng)公式；（2）若，求．解：（1）設(shè)的公差為d，的公比為q，，則，．聯(lián)立，即，因?yàn)?，解得，所以?（2）設(shè)的公差為d，的公比為q.當(dāng)時(shí)，，不滿(mǎn)足題意，所以.所以，，整理可得，解得，或.當(dāng)時(shí)，，由，得，所以，故；當(dāng)時(shí)，，由，得，所以，故.18.某學(xué)校為了解高三學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)變化情況，隨機(jī)調(diào)查了100名學(xué)生，得到這些學(xué)生一輪復(fù)習(xí)結(jié)束相對(duì)于高二期末學(xué)習(xí)成績(jī)?cè)鲩L(zhǎng)率的頻數(shù)分布表.的分組學(xué)生數(shù)16243012108（1）估計(jì)這個(gè)學(xué)校的高三學(xué)生中，學(xué)習(xí)成績(jī)?cè)鲩L(zhǎng)率不低于的學(xué)生比例；（2）求這個(gè)學(xué)校的高三學(xué)生學(xué)習(xí)成績(jī)?cè)鲩L(zhǎng)率的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）（精確到）附：.解：（1）根據(jù)學(xué)習(xí)成績(jī)?cè)鲩L(zhǎng)率頻數(shù)分布表得，所調(diào)查的名學(xué)生中，學(xué)習(xí)成績(jī)?cè)鲩L(zhǎng)率不低于的學(xué)生有人，所以學(xué)習(xí)成績(jī)?cè)鲩L(zhǎng)率不低于學(xué)生頻率為，用樣本頻率分布估計(jì)總體分布得這個(gè)學(xué)校高三學(xué)生成績(jī)?cè)鲩L(zhǎng)率不低于的學(xué)生比例為（2）.19.如圖，四棱錐S—ABCD中，側(cè)面底面ABCD，，，，，E，F(xiàn)分別是SC和AB的中點(diǎn)，．（1）證明：平面SAD；（2）點(diǎn)P在棱SA上，當(dāng)時(shí)，求四棱錐P—AFCD的體積．（1）證明：設(shè)M為SD的中點(diǎn)，連接ME，MA，因?yàn)镸E是的中位線(xiàn)，所以，又且，所以底面ABCD為平行四邊形，所以，又且，故且，所以四邊形是平行四邊形，則，又平面，平面，所以平面（2）解：由，，即，故，所以△為等腰直角三角形，若為中點(diǎn)，連接，所以，，又，，即△為等邊三角形，所以，因?yàn)槊婷鍭BCD，面底面ABCD，，面，所以面ABCD，面ABCD，故，在△中，，即，若為中點(diǎn)，則，故，在△中，，則，又，P在棱SA上，且，易知：△△，所以，又，由（1）M為SD的中點(diǎn)，故為中點(diǎn)，所以到面距離等于到面距離的一半，又面ABCD，即，由，則四棱錐P—AFCD的體積.20.設(shè)函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)，，求a的取值范圍．解：（1）∵，∴，當(dāng)時(shí)，∴，定義域?yàn)镽，則，∴，，∴的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）∵有兩個(gè)極值點(diǎn)，（），∴，是的兩個(gè)不同的根.即：，是的兩個(gè)不同的根.∴令，則，是與的兩個(gè)不同的交點(diǎn).∴，∴，，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又∵，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴圖象如圖所示，所以，所以，即：a的取值范圍為.21.已知定點(diǎn)，及動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)R是直線(xiàn)MQ上的動(dòng)點(diǎn)，且．（1）求點(diǎn)R的軌跡C的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與曲線(xiàn)C交于點(diǎn)A，B，試探究：