2023屆上海市靜安區(qū)高三二模數(shù)學試題（解析版）

高級中學精品試卷PAGEPAGE1上海市靜安區(qū)2023屆高三二模數(shù)學試題一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，其中1~6題每題4分，7~12題每題5分）1.若集合，，且，則___________.〖答案〗〖解析〗因為，，且，所以且，顯然，所以且，所以，所以，，所以.故〖答案〗為：2.已知{}是公比為q等比數(shù)列，且、、成等差數(shù)列，則=___________.〖答案〗1〖解析〗在等比數(shù)列中，成等差數(shù)列，則，即，而，整理得，得，所以.故〖答案〗為：.3.若復數(shù)（為虛數(shù)單位），則___________.〖答案〗〖解析〗，所以.故〖答案〗為：.4.已知，兩點在對稱軸為坐標軸的橢圓上，則橢圓的標準方程為___________.〖答案〗〖解析〗當焦點在軸上時，設橢圓的標準方程為，又因，在橢圓上，所以，解得，，此時，，故舍棄.當焦點在軸上時，設橢圓的標準方程為，又因，在橢圓上，所以，解得，，所以橢圓的標準方程為.故〖答案〗為：.5.已知，且，則________．〖答案〗〖解析〗由，得，即，解得或，因為，，所以.故〖答案〗為：6.已知中，，且，則面積的最大值為___________.〖答案〗3〖解析〗因為，且，由正弦定理得：，所，故〖答案〗為：3.7.已知函數(shù)為偶函數(shù)，則函數(shù)的值域為___________.〖答案〗〖解析〗函數(shù)（）是偶函數(shù)，，，易得，設，則，當且僅當即時，等號成立，所以，所以函數(shù)的值域為．故〖答案〗為：．8.已知向量，且，的夾角為，，則在方向上的投影向量等于___________.〖答案〗〖解析〗，，，，在方向上的投影向量為.故〖答案〗為：9.某運動生理學家在一項健身活動中選擇了10名男性參與者，以他們的皮下脂肪厚度來估計身體的脂肪含量，其中脂肪含量以占體重（單位：kg）的百分比表示.得到脂肪含量和體重的數(shù)據(jù)如下個體編號體重x（kg）脂肪含量y（%）1892828827366244592359329673257822987725910030106723建立男性體重與脂肪含量的回歸方程為：___________.（結果中回歸系數(shù)保留三位小數(shù)）〖答案〗〖解析〗由表格數(shù)據(jù)可得：，，，，設回歸直線方程為，其斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，，所以，，故回歸方程為.故〖答案〗為：.10.如圖，正方體中，為中點，為正方形的中心，則直線與側面所成角的正切值是___________.〖答案〗〖解析〗如圖所示，連接，在正方體中，可得平面，所以即為與平面所成的角，設正方體的棱長為，則，在直角中，.故〖答案〗為：.11.今年是農(nóng)歷癸卯兔年，一種以兔子形象命名的牛奶糖深受顧客歡迎.標識質量為500g的這種袋裝奶糖的質量指標X是服從正態(tài)分布的隨機變量.若質量指標介于495g（含）至505g（含）之間的產(chǎn)品包裝為合格包裝，則隨意買一包這種袋裝奶糖，是合格包裝的可能性大小為_________%（結果保留一位小數(shù)）（已知表示標準正態(tài)分布的密度函數(shù)從-∞到x的累計面積）〖答案〗95.4（或95.5都對）〖解析〗因為X是服從正態(tài)分布，所以，則或.故〖答案〗為：95.4或95.5.12.若，其中，則的最小值為___________.〖答案〗〖解析〗可知，.則.設，則，令在上單調遞增，在上單調遞減.故，即的最小值為.故〖答案〗為：二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，其中13~14題每題4分，15~16題每題5分）13.若直線的方向向量為，平面的法向量為，則能使∥的是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由∥，則直線的方向向量為與平面的法向量為互相垂直，選項A：，故選項A不正確；選項B：，故選項B不正確；選項C：，故選項C正確；選項D：，故選項D不正確；故選：C.14.摩天輪常被當作一個城市的地標性建筑，如靜安大悅城的“SkyRing”摩天輪是上海首個懸臂式屋頂摩天輪.摩天輪最高點離地面高度106米，轉盤直徑56米，輪上設置30個極具時尚感的4人轎艙，擁有360度的絕佳視野.游客從離樓頂屋面最近的平臺位置進入轎艙，開啟后按逆時針勻速旋轉t分鐘后，游客距離地面的高度為h米，.若在，時刻，游客距離地面的高度相等，則的最小值為（）A.6 B.12 C.18 D.24〖答案〗B〖解析〗由可知，當時，，當時，，若在，時刻，游客距離地面的高度相等，則由對稱性可知此時的最小值為.故選：B.15.設直線與關于直線對稱，則直線的方程是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗聯(lián)立，得，取直線上一點，設點關于直線的對稱點為，則，解得：，直線的斜率，所以直線的方程為，整理為：.故選：A16.函數(shù)（）A.嚴格增函數(shù)B.在上是嚴格增函數(shù)，在上是嚴格減函數(shù)C.嚴格減函數(shù)D.在上是嚴格減函數(shù)，在上是嚴格增函數(shù)〖答案〗D〖解析〗已知，，則，令，即，解得，當時，，所以在上是嚴格減函數(shù)，當時，，所以在上是嚴格增函數(shù)，故選：D三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）〖解答下列各題必須在答題紙相應編號的規(guī)定區(qū)域內寫出必要的步驟.〗17.已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{}滿足（正整數(shù)（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列{}的前n項和.（1）證明：已知遞推公式，兩邊同時加上3，得：，因為，所以，又，所以數(shù)列是以為首項、以2為公比的等比數(shù)列.（2）解：由（1），則，所以.18.如圖，在五面體ABCDEF中，F(xiàn)A⊥平面ABCD，，若.（1）求五面體ABCDEF的體積；（2）若M為EC的中點，求證：平面平面AMD.（1）解：因為，取AD中點N，連接EN，，因為，所以，又FA⊥平面ABCD，平面ABCD，，所以EN⊥平面ABCD，又因為，即，，平面，所以平面，所以為底面是等腰直角三角形的直棱柱，高等于1，三棱錐是高等于1底面是等腰直角三角形.五面體的體積棱柱的體積棱錐的體積.即：（2）證明：證法1：以A為坐標原點，以，，為軸正半軸建立空間直角坐標系.點，，，，所以得到：所以，，平面AMD，所以CE⊥平面AMD，又CE平面CDE，所以平面平面AMD.證法2：因為，所以為等腰三角形，M為EC的中點，所以；同理在中，，（N為AD中點）又AM、MN平面AMD，，所以CE⊥平面AMD，又CE平面CDE，平面⊥平面AMD.19.已知雙曲線Γ：（其中）的左、右焦點分別為（c，0）、（c，0）（其中）.（1）若雙曲線Γ過點（2，1）且一條漸近線方程為；直線l的傾斜角為，在y軸上的截距為.直線l與該雙曲線Γ交于兩點A、B，M為線段AB的中點，求△的面積；（2）以坐標原點O為圓心，c為半徑作圓，該圓與雙曲線Γ在第一象限的交點為P.過P作圓的切線，若切線的斜率為，求雙曲線Γ的離心率.解：（1）雙曲線Γ：漸近線方程為，已知一條漸近線方程為，所以，雙曲線Γ經(jīng)過點（2，1），所以，解得.所以雙曲線Γ：.直線l的傾斜角為，則斜率為1，又l在y軸上的截距為，則l方程為：，代入雙曲線方程得：，設兩點A、B坐標分別為（，）、（，），M（x，y），則.又，則的面積.（2）方法一：由題可知圓方程為：，將其與雙曲線方程聯(lián)立：，即，又切線斜率為，則，解得，所以雙曲線Γ的離心率為；方法二：設切線與x軸交于E點，因切線斜率為，可知，又，則.注意到，則在中，由余弦定理，，在中，由余弦定理，.則.20.概率統(tǒng)計在生產(chǎn)實踐和科學實驗中應用廣泛.請解決下列兩個問題.（1）隨著中小學“雙減”政策的深入人心，體育教學和各項體育鍛煉迎來時間充沛的春天.某初中學校學生籃球隊從開學第二周開始每周進行訓練，第一次訓練前共有6個籃球，其中3個是新球（即沒有用過的球），3個是舊球（即至少用過一次的球）.每次訓練，都是從中不放回任意取出2個籃球，訓練結束后放回原處.設第一次訓練時取到的新球個數(shù)為ξ，求隨機變量ξ的分布和期望.（2）由于手機用微波頻率信號傳遞信息，那么長時間使用手機是否會增加得腦瘤的概率？研究者針對這個問題，對腦瘤病人進行問卷調查，詢問他們是否總是習慣在固定的一側接聽電話？如果是，是哪邊？結果有88人喜歡用固定的一側接電話.其中腦瘤部位在左側的病人習慣固定在左側接聽電話的有14人，習慣固定在右側接聽電話的有28人；腦瘤部位在右側的病人習慣固定在左側接聽電話的有19人，習慣固定在右側接聽電話的有27人.根據(jù)上述信息寫出下面這張列聯(lián)表中字母所表示的數(shù)據(jù)，并對患腦瘤在左右側的部位是否與習慣在該側接聽手機電話相關進行獨立性檢驗.（顯著性水平習慣固定在左側接聽電話習慣固定在右側接聽電話總計腦瘤部位在左側的病人ab42腦瘤部位在右側的病人cd46總計a+cb+d88參考公式及數(shù)據(jù)：，其中，解：（1）第一次訓練時所取的球是從6個球（3新，3舊）中不放回取出2個球，所以可取的值為0，1，2..則分布列如下012則期望為；（2）由題目條件可得列聯(lián)表如下：習慣固定在左側接聽電話習慣固定在右側接聽電話總計腦瘤部位在左側的病人142842腦瘤部位在右側的病人192746總計335588則=，故長時間使用手機與是否得腦瘤沒有顯著關系.21.已知函數(shù).（其中為常數(shù)）（1）若，求曲線在點處的切線方程；（2）當時，求函數(shù)的最小值；（3）當時，試討論函數(shù)的零點個數(shù)，并說明理由.（1）解：當時，可得，可得，所以且，所以切線方程為，即，即曲線所以曲線在點處的切線方程為.（2）解：由函數(shù)，可得函數(shù)的定義域為，又由，令，解得，，當時，與在區(qū)間的情況如下表：極小值↗所以函數(shù)的極小值為，也是函數(shù)的最小值，所以當時，函數(shù)的最小值為（3）解：當時，，令，解得（舍去）所以函數(shù)在上有一個零點；當時，與在區(qū)間的情況如下表：00↗極大值極小值↗所以函數(shù)單調遞增，在上單調遞減，此時函數(shù)的極大值為，所以函數(shù)在上沒有零點；又由且函數(shù)在上單調遞增，且當時，，所以函數(shù)在上只有一個零點，綜上可得，當時，在上有一個零點.上海市靜安區(qū)2023屆高三二模數(shù)學試題一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，其中1~6題每題4分，7~12題每題5分）1.若集合，，且，則___________.〖答案〗〖解析〗因為，，且，所以且，顯然，所以且，所以，所以，，所以.故〖答案〗為：2.已知{}是公比為q等比數(shù)列，且、、成等差數(shù)列，則=___________.〖答案〗1〖解析〗在等比數(shù)列中，成等差數(shù)列，則，即，而，整理得，得，所以.故〖答案〗為：.3.若復數(shù)（為虛數(shù)單位），則___________.〖答案〗〖解析〗，所以.故〖答案〗為：.4.已知，兩點在對稱軸為坐標軸的橢圓上，則橢圓的標準方程為___________.〖答案〗〖解析〗當焦點在軸上時，設橢圓的標準方程為，又因，在橢圓上，所以，解得，，此時，，故舍棄.當焦點在軸上時，設橢圓的標準方程為，又因，在橢圓上，所以，解得，，所以橢圓的標準方程為.故〖答案〗為：.5.已知，且，則________．〖答案〗〖解析〗由，得，即，解得或，因為，，所以.故〖答案〗為：6.已知中，，且，則面積的最大值為___________.〖答案〗3〖解析〗因為，且，由正弦定理得：，所，故〖答案〗為：3.7.已知函數(shù)為偶函數(shù)，則函數(shù)的值域為___________.〖答案〗〖解析〗函數(shù)（）是偶函數(shù)，，，易得，設，則，當且僅當即時，等號成立，所以，所以函數(shù)的值域為．故〖答案〗為：．8.已知向量，且，的夾角為，，則在方向上的投影向量等于___________.〖答案〗〖解析〗，，，，在方向上的投影向量為.故〖答案〗為：9.某運動生理學家在一項健身活動中選擇了10名男性參與者，以他們的皮下脂肪厚度來估計身體的脂肪含量，其中脂肪含量以占體重（單位：kg）的百分比表示.得到脂肪含量和體重的數(shù)據(jù)如下個體編號體重x（kg）脂肪含量y（%）1892828827366244592359329673257822987725910030106723建立男性體重與脂肪含量的回歸方程為：___________.（結果中回歸系數(shù)保留三位小數(shù)）〖答案〗〖解析〗由表格數(shù)據(jù)可得：，，，，設回歸直線方程為，其斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，，所以，，故回歸方程為.故〖答案〗為：.10.如圖，正方體中，為中點，為正方形的中心，則直線與側面所成角的正切值是___________.〖答案〗〖解析〗如圖所示，連接，在正方體中，可得平面，所以即為與平面所成的角，設正方體的棱長為，則，在直角中，.故〖答案〗為：.11.今年是農(nóng)歷癸卯兔年，一種以兔子形象命名的牛奶糖深受顧客歡迎.標識質量為500g的這種袋裝奶糖的質量指標X是服從正態(tài)分布的隨機變量.若質量指標介于495g（含）至505g（含）之間的產(chǎn)品包裝為合格包裝，則隨意買一包這種袋裝奶糖，是合格包裝的可能性大小為_________%（結果保留一位小數(shù)）（已知表示標準正態(tài)分布的密度函數(shù)從-∞到x的累計面積）〖答案〗95.4（或95.5都對）〖解析〗因為X是服從正態(tài)分布，所以，則或.故〖答案〗為：95.4或95.5.12.若，其中，則的最小值為___________.〖答案〗〖解析〗可知，.則.設，則，令在上單調遞增，在上單調遞減.故，即的最小值為.故〖答案〗為：二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，其中13~14題每題4分，15~16題每題5分）13.若直線的方向向量為，平面的法向量為，則能使∥的是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由∥，則直線的方向向量為與平面的法向量為互相垂直，選項A：，故選項A不正確；選項B：，故選項B不正確；選項C：，故選項C正確；選項D：，故選項D不正確；故選：C.14.摩天輪常被當作一個城市的地標性建筑，如靜安大悅城的“SkyRing”摩天輪是上海首個懸臂式屋頂摩天輪.摩天輪最高點離地面高度106米，轉盤直徑56米，輪上設置30個極具時尚感的4人轎艙，擁有360度的絕佳視野.游客從離樓頂屋面最近的平臺位置進入轎艙，開啟后按逆時針勻速旋轉t分鐘后，游客距離地面的高度為h米，.若在，時刻，游客距離地面的高度相等，則的最小值為（）A.6 B.12 C.18 D.24〖答案〗B〖解析〗由可知，當時，，當時，，若在，時刻，游客距離地面的高度相等，則由對稱性可知此時的最小值為.故選：B.15.設直線與關于直線對稱，則直線的方程是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗聯(lián)立，得，取直線上一點，設點關于直線的對稱點為，則，解得：，直線的斜率，所以直線的方程為，整理為：.故選：A16.函數(shù)（）A.嚴格增函數(shù)B.在上是嚴格增函數(shù)，在上是嚴格減函數(shù)C.嚴格減函數(shù)D.在上是嚴格減函數(shù)，在上是嚴格增函數(shù)〖答案〗D〖解析〗已知，，則，令，即，解得，當時，，所以在上是嚴格減函數(shù)，當時，，所以在上是嚴格增函數(shù)，故選：D三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）〖解答下列各題必須在答題紙相應編號的規(guī)定區(qū)域內寫出必要的步驟.〗17.已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{}滿足（正整數(shù)（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列{}的前n項和.（1）證明：已知遞推公式，兩邊同時加上3，得：，因為，所以，又，所以數(shù)列是以為首項、以2為公比的等比數(shù)列.（2）解：由（1），則，所以.18.如圖，在五面體ABCDEF中，F(xiàn)A⊥平面ABCD，，若.（1）求五面體ABCDEF的體積；（2）若M為EC的中點，求證：平面平面AMD.（1）解：因為，取AD中點N，連接EN，，因為，所以，又FA⊥平面ABCD，平面ABCD，，所以EN⊥平面ABCD，又因為，即，，平面，所以平面，所以為底面是等腰直角三角形的直棱柱，高等于1，三棱錐是高等于1底面是等腰直角三角形.五面體的體積棱柱的體積棱錐的體積.即：（2）證明：證法1：以A為坐標原點，以，，為軸正半軸建立空間直角坐標系.點，，，，所以得到：所以，，平面AMD，所以CE⊥平面AMD，又CE平面CDE，所以平面平面AMD.證法2：因為，所以為等腰三角形，M為EC的中點，所以；同理在中，，（N為AD中點）又AM、MN平面AMD，，所以CE⊥平面AMD，又CE平面CDE，平面⊥平面AMD.19.已知雙曲線Γ：（其中）的左、右焦點分別為（c，0）、（c，0）（其中）.（1）若雙曲線Γ過點（2，1）且一條漸近線方程為；直線l的傾斜角為，在y軸上的截距為.直線l與該雙曲線Γ交于兩點A、B，M為線段AB的中點，求△的面積；（2）以坐標原點O為圓心，c為半徑作圓，該圓與雙曲線Γ在第一象限的交點為P.過P作圓的切線，若切線的斜率為，求雙曲線Γ的離心率.解：（1）雙曲線Γ：漸近線方程為，已知一條漸近線方程為，所以，雙曲線Γ經(jīng)過點（2，1），所以，解得.所以雙曲線Γ：.直線l的傾斜角為，則斜率為1，又l在y軸上的截距為，則l方程為：，代入雙曲線方程得：，設兩點A、B坐標分別為（，）、（，），M（x，y），則.又，則的面積.（2）方法一：由題可知圓方程為：，將其與雙曲線方程聯(lián)立：，即，又切線斜率為，則，解得，所以雙曲線Γ的離心率為；方法二：設切線與x軸交于E點，因切線斜率為，可知，又，則.注意到，則在中，由余弦定理，，在中，由余弦定理，.則.20.概率統(tǒng)計在生產(chǎn)實踐和科學實驗中應用廣泛.請解決下列兩個問題.（1）隨著中小學“雙減”政策的深入人心，體育教學和各項體育鍛煉迎來時間充沛的春天.某初中學校學生籃球隊從開學第二周開始每周進行訓練，第一次訓練前共有6個籃球，其中3個是新球（即沒有用過的球），3個是舊球（即至少用過一次的球）.每次訓練，都是從中不放回任意取出2個籃球，訓練結束后放回原處.設第一次訓練時取到的新球個數(shù)為ξ，求隨機變量ξ的分布和期望.（2）由于手機用微波頻率信號傳