2020-2021學年天津市和平區(qū)九年級(上)期末數(shù)學試卷-(解析版)

2020-2021學年天津市和平區(qū)九年級第一學期期末數(shù)學試卷一、選擇題（共12小題）.1．下列圖形中，可以看作是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．下列命題中，是真命題的是（）A．直角三角形都相似 B．等腰三角形都相似 C．矩形都相似 D．正方形都相似3．二次函數(shù)y＝ax2+bx+c圖象上部分點的坐標如下表所示，則該函數(shù)圖象的頂點坐標為（）x…﹣1012…y…0343…A．（﹣1，0） B．（0，3） C．（1，4） D．（2，3）4．如圖，一個油桶靠在直立的墻邊，量得WY＝0.5m，并且XY⊥WY，則這個油桶的底面半徑是（）A．0.25m B．0.5m C．0.75m D．1m5．一個僅裝有球的不透明布袋里共有4個球（只有編號不同），編號為1，2，3，5．從中任意摸出一個球，記下編號后放回，攪勻，再任意摸出一個球，則兩次摸出的球的編號之和為偶數(shù)的概率是（）A． B． C． D．6．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，E是邊AC上一點，AE＝5，ED⊥AB，垂足為點D，則AD的長是（）A．16 B． C．6 D．47．在如圖所示的網格中，以點O為位似中心，四邊形ABCD的位似圖形是（）A．四邊形NPMQ B．四邊形NPMR C．四邊形NHMQ D．四邊形NHMR8．如圖，在?OABC中，∠A＝60°，將?OABC繞點O逆時針旋轉得到?OA′B'C′，且∠A'OC＝90°，設旋轉角為α（0°＜α＜90°），則α的大小為（）A．30° B．45° C．60° D．75°9．設函數(shù)y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是實數(shù)，a≠0），當x＝1時，y＝1；當x＝8時，y＝8，（）A．若h＝4，則a＜0 B．若h＝5，則a＞0 C．若h＝6，則a＜0 D．若h＝7，則a＞010．如圖是拋物線形拱橋，當拱頂高離水面2m時，水面寬4m．水面下降2.5m，水面寬度增加（）A．1m B．2m C．3m D．6m11．如圖，已知BC是⊙O的直徑，半徑OA⊥BC，點D在劣弧AC上（不與點A，點C重合），BD與OA交于點E．設∠AED＝α，∠AOD＝β，則（）A．3α+β＝180° B．2α+β＝180° C．3α﹣β＝90° D．2α﹣β＝90°12．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c的頂點坐標為（1，﹣4a），點A（4，y1）是該拋物線上一點，若點B（x2，y2）是該拋物線上任意一點，有下列結論：①4a﹣2b+c＞0；②拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點（﹣1，0），（3，0）；③若y2＞y1，則x2＞4；④若0≤x2≤4，則﹣3a≤y2≤5a．其中，正確結論的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空題（共6小題）.13．一只螞蟻在如圖所示的樹枝上尋覓食物，假定螞蟻在岔路口隨機選擇一條路徑，它獲得食物的概率是．14．已知正六邊形的半徑是3，則這個正六邊形的邊長是．15．如圖，在△ABC中，點D，E在AC邊上，且AE＝ED＝DC．點F，M在AB邊上，且FE∥MD∥BC，延長FD交BC的延長線于點N，則的值＝．16．已知圓錐的底面半徑為40cm，母線長為90cm，則它的側面展開圖的圓心角為度．17．對于一個函數(shù)，自變量x取a時，函數(shù)值y也等于a，我們稱a為這個函數(shù)的不動點．如果二次函數(shù)y＝x2+2x+c有兩個相異的不動點x1，x2，且x1＜1＜x2，則c的取值范圍是．18．已知正方形ABCD的邊長為6，O是BC邊的中點．（1）如圖①，連接AO，則AO的長為；（2）如圖②，點E是正方形內一動點，OE＝2，連接DE，將線段DE繞點D逆時針旋轉90°得DF，則線段OF長的最小值為．三、解答題（共7小題，共66分.）19．已知2是方程x2﹣c＝0的一個根，求常數(shù)c的值及該方程的另一根．20．已知，⊙O中，＝，D是⊙O上的點，OC⊥BD．（1）如圖①，求證＝；（2）如圖②，連接AB，BC，CD，DA，若∠A＝70°，求∠BCD，∠ADB的大?。?1．已知⊙O的直徑AB＝4，C為⊙O上一點，AC＝2．（1）如圖①，點P是上一點，求∠APC的大??；（2）如圖②，過點C作⊙O的切線MC，過點B作BD⊥MC于點D，BD與⊙O交于點E，求∠DCE的大小及CD的長．22．一個直角三角形的兩條直角邊的和是7cm，面積是6cm2，求兩條直角邊的長．23．如圖，已知矩形ABCD的周長為36cm，矩形繞它的一條邊CD旋轉形成一個圓柱．設矩形的一邊AB的長為xcm（x＞0），旋轉形成的圓柱的側面積為Scm2．（1）用含x的式子表示：矩形的另一邊BC的長為cm，旋轉形成的圓柱的底面圓的周長為cm；（2）求S關于x的函數(shù)解析式及自變量x的取值范圍；（3）求當x取何值時，矩形旋轉形成的圓柱的側面積最大；（4）若矩形旋轉形成的圓柱的側面積等于18πcm2，則矩形的長是cm，寬是cm．24．在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝2，點P是邊AB的中點，連接CP．（1）如圖①，∠B的大小＝（度），AB的長＝，CP的長＝；（2）延長BC至點O，使OC＝2BC，將△ABC繞點O逆時針旋轉α（0°＜α＜180°）得到△A'B'C'，點A，B，C，P的對應點分別為A'，B'，C'，P'．①圖②，當α＝30°時，求點C′到直線OB的距離及點C'到直線AB的距離；②當C′P'與△ABC的一條邊平行時，求點P'到直線AC的距離（直接寫出結果即可）．25．如圖，點A，B，C都在拋物線y＝ax2﹣2amx+am2+2m﹣5（其中﹣＜a＜0）上，AB∥x軸，∠ABC＝135°，且AB＝4．（1）當m＝1時，求拋物線的頂點坐標；（2）求點C到直線AB的距離（用含a的式子表示）；（3）若點C到直線AB的距離為1，當2m﹣5≤x≤2m﹣2時，y的最大值為2，求m的值．

參考答案一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．下列圖形中，可以看作是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．解：A、不是中心對稱圖形，因為找不到任何這樣的一點，旋轉180度后它的兩部分能夠重合；即不滿足中心對稱圖形的定義，故此選項錯誤；B、是中心對稱圖形，故此選項正確；C、不是中心對稱圖形，因為找不到任何這樣的一點，旋轉180度后它的兩部分能夠重合；即不滿足中心對稱圖形的定義，故此選項錯誤；D、不是中心對稱圖形，因為找不到任何這樣的一點，旋轉180度后它的兩部分能夠重合；即不滿足中心對稱圖形的定義，故此選項錯誤．故選：B．2．下列命題中，是真命題的是（）A．直角三角形都相似 B．等腰三角形都相似 C．矩形都相似 D．正方形都相似解：A、直角三角形都相似，錯誤，是假命題；B、等腰三角形不一定相似，故錯誤，是假命題；C、矩形都相似，錯誤，是假命題；D、正方形都相似，正確，是真命題，故選：D．3．二次函數(shù)y＝ax2+bx+c圖象上部分點的坐標如下表所示，則該函數(shù)圖象的頂點坐標為（）x…﹣1012…y…0343…A．（﹣1，0） B．（0，3） C．（1，4） D．（2，3）解：∵x＝0、x＝2時的函數(shù)值都是3，∴函數(shù)圖象的對稱軸為直線x＝＝1，∴頂點坐標為（1，4）．故選：C．4．如圖，一個油桶靠在直立的墻邊，量得WY＝0.5m，并且XY⊥WY，則這個油桶的底面半徑是（）A．0.25m B．0.5m C．0.75m D．1m解：過X點作AX⊥XY，過W點作BW⊥YW，AX與BW相交于O點，如圖，∵油桶與墻相切，∴O點為油桶的底面圓的圓心，∵∠OXY＝∠OWY＝∠XYW＝90°，∴四邊形OXYW為矩形，∵OX＝OW，∴矩形OXYW為正方形，∴OW＝WY＝0.5m，即這個油桶的底面半徑是0.5m．故選：B．5．一個僅裝有球的不透明布袋里共有4個球（只有編號不同），編號為1，2，3，5．從中任意摸出一個球，記下編號后放回，攪勻，再任意摸出一個球，則兩次摸出的球的編號之和為偶數(shù)的概率是（）A． B． C． D．解：根據(jù)題意畫圖如下：共有16種等情況數(shù)，其中兩次摸出的球的編號之和為偶數(shù)的有10種，則兩次摸出的球的編號之和為偶數(shù)的概率是＝．故選：A．6．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，E是邊AC上一點，AE＝5，ED⊥AB，垂足為點D，則AD的長是（）A．16 B． C．6 D．4解：∵ED⊥AB，∴∠ADE＝90°，∵∠C＝90°，∴∠ADE＝∠C，又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB，∴AD：AC＝AE：AB，∵AB＝10，AC＝8，AE＝5，∴AD：8＝5：10，∴AD＝4．故選：D．7．在如圖所示的網格中，以點O為位似中心，四邊形ABCD的位似圖形是（）A．四邊形NPMQ B．四邊形NPMR C．四邊形NHMQ D．四邊形NHMR解：∵以點O為位似中心，∴點C對應點M，設網格中每個小方格的邊長為1，則OC＝＝，OM＝＝2，OD＝，OB＝＝，OA＝＝，OR＝＝，OQ＝2，OP＝＝2，OH＝＝3，ON＝＝2，∵＝＝2，∴點D對應點Q，點B對應點P，點A對應點N，∴以點O為位似中心，四邊形ABCD的位似圖形是四邊形NPMQ，故選：A．8．如圖，在?OABC中，∠A＝60°，將?OABC繞點O逆時針旋轉得到?OA′B'C′，且∠A'OC＝90°，設旋轉角為α（0°＜α＜90°），則α的大小為（）A．30° B．45° C．60° D．75°解：設A′O與AB相交于點D，∵四邊形OABC是平行四邊形，∴AB∥OC，∴∠ODA＝∠A′OC＝90°，∵∠A＝60°，∴∠A′OA＝90°﹣60°＝30°，∴旋轉角為α＝30°，故選：A．9．設函數(shù)y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是實數(shù)，a≠0），當x＝1時，y＝1；當x＝8時，y＝8，（）A．若h＝4，則a＜0 B．若h＝5，則a＞0 C．若h＝6，則a＜0 D．若h＝7，則a＞0解：當x＝1時，y＝1；當x＝8時，y＝8；代入函數(shù)式得：，∴a（8﹣h）2﹣a（1﹣h）2＝7，整理得：a（9﹣2h）＝1，若h＝4，則a＝1，故A錯誤；若h＝5，則a＝﹣1，故B錯誤；若h＝6，則a＝﹣，故C正確；若h＝7，則a＝﹣，故D錯誤；故選：C．10．如圖是拋物線形拱橋，當拱頂高離水面2m時，水面寬4m．水面下降2.5m，水面寬度增加（）A．1m B．2m C．3m D．6m解：如右圖建立平面直角坐標系，設拋物線的解析式為y＝ax2，由已知可得，點（2，﹣2）在此拋物線上，則﹣2＝a×22，解得a＝，∴y＝，當y＝﹣4.5時，﹣4.5＝，解得，x1＝﹣3，x2＝3，∴此時水面的寬度為：3﹣（﹣3）＝6，∴6﹣4＝2，即水面的寬度增加2m，故選：B．11．如圖，已知BC是⊙O的直徑，半徑OA⊥BC，點D在劣弧AC上（不與點A，點C重合），BD與OA交于點E．設∠AED＝α，∠AOD＝β，則（）A．3α+β＝180° B．2α+β＝180° C．3α﹣β＝90° D．2α﹣β＝90°解：∵OA⊥BC，∴∠AOB＝∠AOC＝90°，∴∠DBC＝90°﹣∠BEO＝90°﹣∠AED＝90°﹣α，∴∠COD＝2∠DBC＝180°﹣2α，∵∠AOD+∠COD＝90°，∴β+180°﹣2α＝90°，∴2α﹣β＝90°，故選：D．12．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c的頂點坐標為（1，﹣4a），點A（4，y1）是該拋物線上一點，若點B（x2，y2）是該拋物線上任意一點，有下列結論：①4a﹣2b+c＞0；②拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點（﹣1，0），（3，0）；③若y2＞y1，則x2＞4；④若0≤x2≤4，則﹣3a≤y2≤5a．其中，正確結論的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3解：①∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致圖象如圖所示，頂點坐標為（1，﹣4a），∴x＝﹣＝1，且﹣4a＝a+b+c，∴b＝﹣2a，c＝﹣3a，∴4a﹣2b+c＝4a+4a﹣3a＝5a＞0（∵拋物線開口向上，則a＞0），結論①正確；②∵b＝﹣2a，c＝﹣3a，∴y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣3）（x+1），∴拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點（﹣1，0），（3，0）結論②正確；③∵點A（4，y1）關于直線x＝1的對稱點為（﹣2，y1），∴當y2＞y1，則x2＞4或x2＜﹣2，結論③錯誤；④當x＝4時，y1＝16a+4b+c＝16a﹣8a﹣3c＝5a，∴當0≤x2≤4，則﹣4a≤y2≤5a，結論④錯誤．故選：C．二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）13．一只螞蟻在如圖所示的樹枝上尋覓食物，假定螞蟻在岔路口隨機選擇一條路徑，它獲得食物的概率是．解：螞蟻獲得食物的概率＝．故答案為．14．已知正六邊形的半徑是3，則這個正六邊形的邊長是3．解：如圖所示，連接OB、OC，∵此六邊形是正六邊形，∴∠BOC＝＝60°，∵OB＝OC＝3，∴△BOC是等邊三角形，∴OB＝OC＝BC＝3，故答案為：3．15．如圖，在△ABC中，點D，E在AC邊上，且AE＝ED＝DC．點F，M在AB邊上，且FE∥MD∥BC，延長FD交BC的延長線于點N，則的值＝．解：∵EF∥DM∥BC，AE＝DE＝CD，∴，在△EFD與△CND中，，∴△EFD≌△CND（AAS），∴EF＝CN，∵CN：BC＝1：3，∴CN：BN＝1：4，∴，故答案為．16．已知圓錐的底面半徑為40cm，母線長為90cm，則它的側面展開圖的圓心角為160度．解：根據(jù)弧長的公式l＝得到：80π＝，解得n＝160度．側面展開圖的圓心角為160度．17．對于一個函數(shù)，自變量x取a時，函數(shù)值y也等于a，我們稱a為這個函數(shù)的不動點．如果二次函數(shù)y＝x2+2x+c有兩個相異的不動點x1，x2，且x1＜1＜x2，則c的取值范圍是c＜﹣2．解：由題意知二次函數(shù)y＝x2+2x+c的兩個相異的不動點x1、x2是方程x2+2x+c＝x的兩個不相等實數(shù)根，且x1＜1＜x2，整理，得：x2+x+c＝0，由x2+x+c＝0有兩個不相等的實數(shù)根，且x1＜1＜x2，知△＞0，令y＝x2+x+c，畫出該二次函數(shù)的草圖如下：則，解得c＜﹣2，故答案為c＜﹣2．18．已知正方形ABCD的邊長為6，O是BC邊的中點．（1）如圖①，連接AO，則AO的長為3；（2）如圖②，點E是正方形內一動點，OE＝2，連接DE，將線段DE繞點D逆時針旋轉90°得DF，則線段OF長的最小值為3﹣2．解：（1）∵正方形ABCD的邊長為6，O是BC邊的中點，∴OB＝BC＝3，∠B＝90°，∴AO＝＝＝3，故答案為：3．（2）如圖②，連接DO，將線段DO繞點D逆時針旋轉90°得DM，連接FM，OM，∵∠EDF＝∠ODM＝90°，∴∠EDO＝∠FDM，∵DE＝DF，DO＝DM，∴△EDO≌△FDM（SAS），∴FM＝OE＝2，由（1）可知OA＝OD＝3，∴OM＝＝＝3，∵OF+MF≥OM，∴OF≥3﹣2，∴線段OF長的最小值為3﹣2．故答案為：3﹣2．三、解答題（本大題共7小題，共66分.解答應寫出文字說明、演算步驟或推理過程）19．已知2是方程x2﹣c＝0的一個根，求常數(shù)c的值及該方程的另一根．解：將x＝2代入x2﹣c＝0，得：4﹣c＝0，解得c＝4，所以方程為x2﹣4＝0，則x2＝4，∴x1＝2，x2＝﹣2．所以c＝4，另一個根為x＝﹣2．20．已知，⊙O中，＝，D是⊙O上的點，OC⊥BD．（1）如圖①，求證＝；（2）如圖②，連接AB，BC，CD，DA，若∠A＝70°，求∠BCD，∠ADB的大?。窘獯稹浚?）證明：∵OC⊥BD，OC過O，∴＝，∵＝，∴＝；（2）解：∵四邊形ABD是圓內接四邊形，∴∠A+∠BCD＝180°，∵∠A＝70°，∴∠BCD＝110°，∵＝，∴∠CBD＝∠CDB＝（180°﹣∠BCD）＝35°，∵＝，∴∠ADB＝∠CDB＝35°．21．已知⊙O的直徑AB＝4，C為⊙O上一點，AC＝2．（1）如圖①，點P是上一點，求∠APC的大??；（2）如圖②，過點C作⊙O的切線MC，過點B作BD⊥MC于點D，BD與⊙O交于點E，求∠DCE的大小及CD的長．解：（1）連接OC，∵AB為⊙O的直徑，AB＝2AC，∴OA＝OC＝AC，∴△AOC是等邊三角形，∴∠AOC＝60°，∴∠APC＝AOC＝30°；（2）連接OE，OC，∵MC是⊙O的切線，∴MC⊥OC，∵BD⊥MC，∴∠MCO＝∠CDB＝90°，∴BD∥OC，∴∠B＝∠AOC＝60°，∵OB＝OE，∴△EOB是等邊三角形，∴∠EOB＝60°，∴∠COE＝180°﹣∠EOB﹣∠AOC＝60°，∵OC＝OE，∴△OCE是等邊三角形，∴CE＝OC＝2，∠EOC＝60°，∴∠DCE＝90°﹣∠ECO＝30°，在Rt△COE中，CE＝2，∴DE＝CE＝1，∴CD＝＝＝．22．一個直角三角形的兩條直角邊的和是7cm，面積是6cm2，求兩條直角邊的長．解：設其中一條直角邊的長為xcm，則另一條直角邊的長為（7﹣x）cm，依題意得：x（7﹣x）＝6，整理得：x2﹣7x+12＝0，解得：x1＝3，x2＝4．當x＝3時，7﹣x＝4；當x＝4時，7﹣x＝3．答：兩條直角邊的長分別為3cm，4cm．23．如圖，已知矩形ABCD的周長為36cm，矩形繞它的一條邊CD旋轉形成一個圓柱．設矩形的一邊AB的長為xcm（x＞0），旋轉形成的圓柱的側面積為Scm2．（1）用含x的式子表示：矩形的另一邊BC的長為（18﹣x）cm，旋轉形成的圓柱的底面圓的周長為2π（18﹣x）cm；（2）求S關于x的函數(shù)解析式及自變量x的取值范圍；（3）求當x取何值時，矩形旋轉形成的圓柱的側面積最大；（4）若矩形旋轉形成的圓柱的側面積等于18πcm2，則矩形的長是（9+6）cm，寬是（9﹣6）cm．解：（1）BC＝（36﹣2x）＝（18﹣x）cm，旋轉形成的圓柱的底面圓的周長為2π（18﹣x）cm．故答案為：（18﹣x），2π（18﹣x）．（2）S＝2π（18﹣x）?x＝﹣2πx2+36πx（0＜x＜18）．（3）∵S＝﹣2πx2+36πx＝﹣2π（x﹣9）2+162π，又∵﹣2π＜0，∴x＝9時，S有最大值．（4）由題意：﹣2πx2+36πx＝18π，∴x2﹣18x+9＝0，解得x＝9+6或9﹣6（舍棄），∴矩形的長是（9+6）cm，寬是（9﹣6）cm．故答案為：（9+6），（9﹣6）．24．在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝2，點P是邊AB的中點，連接CP．（1）如圖①，∠B的大?。?5（度），AB的長＝2，CP的長＝；（2）延長BC至點O，使OC＝2BC，將△ABC繞點O逆時針旋轉α（0°＜α＜180°）得到△A'B'C'，點A，B，C，P的對應點分別為A'，B'，C'，P'．①圖②，當α＝30°時，求點C′到直線OB的距離及點C'到直線AB的距離；②當C′P'與△ABC的一條邊平行時，求點P'到直線AC的距離（直接寫出結果即可）．解：（1）在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝2，∴∠B＝∠A＝45°，∵sinB＝＝，∴AB＝2，∵點P是邊AB的中點，∴CP＝＝，故答案為45，2，．（2）①過點C′作C′D⊥OB，垂足為點D，過點C′作C′E⊥AB，交BA的延長線于點E，連接AC′，∵將△ABC繞點O逆時針旋轉a得到△A′B′C′，∴OC′＝OC＝2BC＝2×2＝4，在R△OC′D中，∠O＝30°，∴C′D＝OC′＝×4＝2，∴點C′到直線OB的距離為2，OD＝＝＝2；∵C′D⊥OB，∠ACB＝90°，∴∠C′DB＝∠ACB＝90°，∴AC∥C′D，∵C′D＝2，AC＝2，C′D＝AC，∴四邊形C′DCA是平行四邊形，∴C′A＝DC＝OC﹣OD＝4﹣2，C′A∥DC，∴∠EAC'＝∠B＝45°，∠EC′A＝90°﹣∠EAC′＝90°﹣45°＝45°，∴∠EAC′＝∠EC′A∴C′E＝AE，在Rt△AC′E中，∵C′E2+AE2＝C′A2，∴C′E2＝，∴C′E＝C′A＝（4﹣2）＝2﹣．∴點C′到直線AB的距離為2﹣；②如圖③﹣1中，當P′C′∥AC時，延長P′C′交OB于H．∵P′H∥AC，∴∠OHC′＝∠ACO＝90°，∵∠OC′H＝∠B′C′P′＝45°，∴OH＝OC′?cos45°＝2，∴CH＝OC﹣OH＝4﹣2．∴點P'到直線AC的距離為4﹣2．如圖③﹣2中，如圖當P′C′∥AB時，過點P′作P′H⊥OB交BO的延長線于H，交A′C′于T．由題意四邊形OHTC′是矩形，OH＝C′T＝1，∴CH＝