高中數(shù)學(xué)必修二第八章第4節(jié)《空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系》解答題 (十四)(含解析)

第八章第4節(jié)《空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系》解答題(14)

1.如圖所示的三棱柱4BC-aBiCi，請用兩個平面把它分成三部

分，并使每一部分都是三棱錐.

2.已知正方體ABCD-&B1GD1中，E,尸分別為DiG，C/i的中點,ACnBD=P,41clClEF=Q.

(1)求證：D,B,F,E四點共面.

(2)求證：若&C交平面O8FE于R點，則P,Q,R三點共線.

3.已知在空間幾何體ABCDE中，AABC.ABCD.ZECD都是邊長為2的正三角形，平面CDE_L平

面BCD,平面4BC平面BCD.

D'B

(1)/1,E、B、。四點是否共面？說明理由；

(2)求二面角B-4E—C的平面角的余弦值.

4.邊長為2的正方體48以(一月1816。1中，M、N、Q、P分別是A8、BC、

CC1、CW1的中點.

(1)證明：M、N、Q、尸四點共面；

(2)作出平面MNQP截正方體表面的截面(不需要證明)，并求截面面積；

(3)求由點加、P、B、當(dāng)、G、C所圍成的多面體的體積.

5.如圖，四邊形ABC。是平行四邊形，點E,F,G分別為線段BC,PB,AO的中點.

(1)證明E/V/平面PAC.

(2)若4ECi8D=N,PGC8D=M證明：FN//PM

6.如圖，在四棱錐P—ABC。中，已知PA1平面ABCD,AB//CD,AB1BC,CD=2AB=4,BC=

2V2.

p

(1)求證：PCLBD;

(2)若直線AB與平面尸8D所成的角為也求PA的長.

7.如下圖，E、尸為三棱錐P-ABC棱PA、PC的中點.

(1)求證：EF〃平面ABC；

(2)若PZ=PC=AC=2,PB=AB=BC=五,求三棱錐P-ABC的表面積.

8.如圖,在三棱柱力BC-A/iG中,E、F、G、H分別是48,4&4/1，4停1、的中點.

(1)求證:四點共面;

(2)求證：平面EFA\jI平面BCHG；

(3)若分別為B[Ci，BC的中點，求證：平面小3。1〃平面AC1。.

9.己知(1。(2=力，l2C\l3=B,hCb=C,如圖所示.求證：直

線%,%，，3在同一平面內(nèi).

10.如圖，已知四棱錐P-4BCC中，AB//DC,ADLAB,CD=2AB,E,F分別為PC,P￡>的中

點.

(1)證明：點A在平面8EF內(nèi)；

(2)若平面PADJL平面ABCD,△PAD為等邊三角形，且4。=48,求平面8E尸和平面8c。所

成銳二面角的大小.

11.如圖所示，A8為圓錐S-4BC底面圓的直徑，點C為底面半圓弧AB上不與A,8重合的一點,

設(shè)點。為劣弧BC的中點.

s

(1)求證：BC1SD-,

(2)設(shè)4B=2,且圓錐的高為亨，當(dāng)NB4C=60。時，求點A到平面S8C的距離.

12.如圖,正方體4BC。一A'B'C'D'中,P,Q,R分別在棱AB,BB',CC'

上，且OP,RQ相交于點0,求證：DP,RQ,3c三線共點.

13.如圖，直角梯形ABDC中，AB//CD,AB>CD,S是直角梯形ABAC所

在平面外一點，畫出平面SB。和平面SAC的交線，并說明理由.

14.如圖，在正方體4BCD-&B1GD1中，哪些棱所在的直線與直線

是異面直線?

B

15.如圖所示，用符號分別表示下列圖形①②中點、直線、平面之間的位置關(guān)系.

圖①圖②

16.如圖,空間四邊形ABC。中，E,G,，分別是A8,BC,CD,AD上異于端點的點.

A

C

圖1

(1)如圖1,若E〃與FG相交于點K,求證：EH,BD,FG三條直線相交于同一點;

(2)如圖2,若EH〃FG,求證：EH,BD,FG三條直線互相平行.

17.如圖，在四棱錐P-48CD中，平面PBD_L平面ABCD,AB//DC,AB=2CD=4，AD=BC=V10,

AP=2V3.PB=2.

p

c

B

(1)證明：PBJ.71C；

(2)求BD與平面PBC所成角的正弦值.

18.如圖，正方體的棱長為1,點F在棱CQ上，過B,01(尸三點的正方體的截

面a與直線441交于點E.

(1)找到點E的位置，作出截面a(保留作圖痕跡)，并說明理由;

(2)已知CF=a,求a將正方體分割所成的上半部分的體積匕與下半部分的體積外之比.

19.如圖，四棱錐S—48C。的底面是正方形，SDABCD,SD=2a,4D=&a,點E是S￡>

上的點，且DE=4a(0<4S2).

(1)求證：對任意的；le(0,2],都有AC1BE.

(2)設(shè)二面角C—4E—0的大小為0,直線BE與平面A8C。所成的角為w，若tan。?tanp=1,

求；I的值。

20.如圖，在三棱錐P-4BC中，PAIAB,PA1BC,AB_LBC,PA=AB=BC=2,。為線段

AC的中點，E為線段PC上一點.

(1)求證：PA±BD;

(2)求證：平面BDE_L平面PAC；

(3)當(dāng)P4〃平面8DE時，求三棱錐E-BCD的體積.

【答案與解析】

1.答案：解：如圖，用過B,Ci點的平面先把三棱柱分成兩部分,

其中上面的部分為三棱錐B-

剩下的部分用過B,C三點的平面再分成兩部分，

則下面的部分為三棱錐&一4BC,剩下的部分為三棱錐兒-BCG

（答案不唯一）

|\

解析：本題考查棱柱和棱錐的幾何特征，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)棱臺和棱錐的幾何特征，過4、B、C三點作一個平面，再過久、B、Q作一個平面，就把三棱

臺力8C—占B1G分成三部分，每一部分都是一個三棱錐.

2.答案：證明：（1）：E、尸分別為G5,BiG的中點，

??.E/是△&GD1的中位線，

???ABCD-AiBiCiA是正方體，

???BB1//DD1>BBi=DD],

???BBi。]。是平行四邊形，

ADB“D[B\,又：EF//D、Bi，

EF//DB,

：.D、B、F、E共面.

(2)???ACCiBD=P,41clnEF=Q,

PQ是平面441CiC和平面DBFE的交線，

?：AC交平面DBFE于R點,41c在平面力AiGC內(nèi)，

R是平面441cle和平面O8FE的一個公共點，

???兩相交平面的所有公共點都在這兩平面的交線上，

??.P、。、R三點共線.

解析：本題考查四點共面的證明，考查三點共線的證明，是中檔題，解題時要注意空間思維能力的

培養(yǎng).

(1)由已知得E/7/D/i，BB\〃DD［、BBLDDi，從而⑶口山山是平行四邊形，從而EF〃DB,由此

能證明。、B、F、E共面；

(2)由已知得PQ是平面441GC和平面O8FE的交線，R是平面44GC和平面O8FE的一個公共點，

由此能證明P、Q、R三點共線.

3.答案：解：(1)4E、B、。四點共面，證明如下：

取CD、BC的中點M、N,連接EM、AN,MN,則MN〃BD,EM=AN=遍；

EM1平面BCD,同理可得：AN1平面BCD

???EM//AN,且EM=AN=取，：.四邊形AEMN是平行四邊形???AE//MN

?：BD//MN：.AE//BD

.-.A,￡1,B、。四點共面.

(2)取CO的中點M,連接EM、BM,由題可知MB、MC、ME兩兩垂直,

分別以MB、MC、ME為x、y,z軸建立空間直角坐標系，

那么8(百,0,0),C(0,l,0),F(0,0,V3),4弓4,魂)，

設(shè)平面ABE的法向量為記=(x,y,z),

則［沆?，4"+《=。,取沅=(1,_但1)

m?EB=V3%—V3z=0

同理可得平面ACE的法向量為五=(一1,b,1)

???cos,<―>m,n、>=mn3

|叫|n|5

???二面角B-AE-C的平面角的余弦值為|.

解析：本題考查四點共面的證法，以及利用空間向量解決空間角的問題，屬于中檔題.

(1)欲證人E、B、。四點共面，只需證明AE和80平行即可；

(2)根據(jù)條件建立空間直角坐標系，把二面角問題轉(zhuǎn)化為空間向量的夾角問題解決.

4.答案：(1)證明：連接BCi，因為Q、P分別是CC】、GDI的中點，所以NQ〃BG且NQ

因為何、尸分別是AB、Ci/的中點，所以PC"/MB且PC】=MB,

所以四邊形BQPM為平行四邊形，

所以BCJ/PM且BG=PM,

所以NQ〃PM且NQ=^MP,故M、N、。、P四點共面；

(2)解：根據(jù)題意補充截面為MNQPFE,E、F分別為441，&Di的中點，

因為正方體棱長為2,所以NQ=&,

所以截面為一個邊長為近的正六邊形，

所以截面面積為6xixV2xV2x—=3y/3;

22

(3)解：設(shè)BCiCBiC=。，

V=%-MBCiP+01-MBCiP=]S矩形MBC1P,co+5s矩形河隧/。當(dāng)。=矩形時也記.當(dāng)。=鼠2y[2?

2夜=|.

解析：(1)連接BG，可得四邊形BGPM為平行四邊形，從而可得以NQ〃PM且NQ=：MP,即可得

到結(jié)論；

(2)補充截面為MNQPFE,可得截面為一個邊長為近的正六邊形，即可求出其面積；

(3)根據(jù)U=VM-B1C1CB+VM-PB1C1，然后利用三棱錐的體積公式進行求解即可.

本題主要考查了四點共面的證明，以及截面面積以及多面體的體積，同時考查了空間想象能力和運

算求解的能力，屬于中檔題.

5.答案：(1)證明：丫9、尸分別是8C,BP中點，

EF=-PC<

2

PCU平面PAC,EFC平面PAC,

：.EF〃平面PAC.

(2)

因為ABC。為平行四邊形，

E,G為BC,AO的中點，

所以EC=AG'

所以4ECG為平行四邊形，AE&CG，

又4EC面PCG,CGu面PCG,

所以4E〃面PCG,

由(1)得EF〃PC,

EFPCG,PCu面PCG,

所以EF〃面PCG,

AE,EFu面AEF并交于點E,

所以面AEF〃面尸CG,

面P8Dn面4EF=FN,

面PBDn面PCG=PM,

所以尸N〃PM,

解析：本題考查線面平行，面面平行的判定，考查空間想象能力.

(1)利用線面平行的判斷定理證明即可；

(2)由題可利用線面平行和面面平行的判定以及性質(zhì)解得.

6.答案：解：(1)連接AC,在AABC中，因為AB_LBC,AB=2,BC=2^2,

所以tan/ACB=—=—.

BC2

因為4B〃CD,AB1BC,所以CD_LBC.

在RtABCD中，因為CD=4,所以tan/BOC=^=立，

CD2

所以tanzJlCB=tan/BDC,

所以=乙BDC.

因為Z71CB+N4CD=會所以4BDC+4ACD=會所以BD1AC.

因為P4JL平面ABCD,BDu平面ABCD,所以P41BD.

又24u平面PAC,ACu平面PAC,PAfyAC=A,所以BD_L平面PAC.

因為PCu平面PAC,所以PC1BD.

(2)解法一:如圖，

D

設(shè)PA=3AC與B。交于點M,連接尸M,過點A作4,1PM于點”，連接BH.

由(1)知，BO1平面PAC,又AHu平面PAC,所以BO14H.

因為4HJ.PM,「時二平面/^。，BDu平面尸2￡>,PMCtBD=M,

所以AHJL平面PBD,

所以N4B”為直線A8與平面PHD所成的角.

在Rt△ABC,因為4B=2,BC=2或,

所以4c=^JAB*2+BC2=2V3.

所以4M=第2\f3

3

.,?,PAAMPAAM

在中，易知4rr

RtAPAM\/PA2+AM2

因為直線AB與平面PB。所成的角為士所以乙4BH=3

OO

-

所%山絲

B”1

AB22

所以t=2,

所以PA的長為2.

解法二：取CD的中點E,連接AE,

因為A8〃C。，CD=2AB=4,所以4B〃CE且48=CE,

所以四邊形A8CE是平行四邊形，所以BC〃4E.

因為力BJLBC,所以ABJL4E.

又「4_L平面A3C。，所以P4_L48,PALAE,

故AE,AB,AP兩兩垂直,

故以A為坐標原點，AE,AB,AP所在直線分別為x,y,z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系,

設(shè)P4=3因為CD=2AB=4,

所以4(0,0,0),8(0,2,0),P(0,0,t),D(272,-2,0),

所以荏=(0,2,0),BP=(0,-2,t)?RD=(2V2,-4,0).

設(shè)平面尸的法向量為元=(x,y,z),貝

［元?麗=0,即(一2y+tz=0,

令x=夜，則y=l,z=I，故記=(企」，令為平面尸8。的一個法向量.

因為直線AB與平面PBD所成的角為?

所以sin^=Icos<n,AB>\=回烈=,————=-

所以6I1|n||4B|限X22，

所以t=2,

所以PA的長為2.

解析：本題主要考查空間中線面位置關(guān)系、線線垂直的證明、線面角，考查考生的空間想象能力、

推理論證能力和運算求解能力，體現(xiàn)直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng).

(1)先根據(jù)給出的線面位置關(guān)系和長度關(guān)系求得tan/ACB和tan/BDC,即可得至此力CB=NBDC,進

而得到8。1AC,再根據(jù)線面垂直的判定定理證得BD，平面PAC,最后根據(jù)線面垂直的性質(zhì)得到線

線垂直即可；

(2)解法一：先設(shè)24=3作輔助線，通過線面位置關(guān)系的證明找到所求的線面角，然后根據(jù)直線

A8與平面PBO所成的角為?列出關(guān)于f的方程，解方程即可得到/的值，即得到AP的長.

解法二：建立空間直角坐標系，利用向量法進行求解.

7.答案：解：(1)證明：???E尸是APAC的中位線，.'EF〃/1C,

又...EF仁平面A8C,ACu平面ABC,

EF〃平面ABC.

(2)PA=PC=AC=2,且PB=AB=BC=V2,

.-.AB2+PB2=AP2,BC2+BP2=PC2,AB2+BC2=AC2,

ABLPB,BC1PB,AB1BC,

故三棱錐P-ABC的表面積為

...............................5(閥2

S=S"AC+SAP4B+SWBC+S^AHC=丁x4+i―g—x3=v3+3(

.??三棱錐P-4BC的表面積為3+V3.

解析：本題考查線面平行的證明，考查推理能力以及三棱錐表面積的計算，屬基礎(chǔ)題.

(1)直接利用線面平行的判定定理證明即可；

(2)利用P4=PC=力。=2,且PB=4B=BC=&得到各邊之間的關(guān)系，然后根據(jù)勾股定理的逆定

理得到4B1PB,BCLPB,ABVBC,得到三角形的底跟高進行計算即可.

8.答案：證明：(1)???(；＞，分別是41cl的中點，

在三棱柱ABC-4當(dāng)?shù)闹校?耳〃CQ且BBi=CG，則四邊形BBi^C為平行四邊形,

3Q〃"，

GH//BC,

因此，B、C、H、G四點共面；

(2)???E,尸分別為4B、4C的中點，

EF//BC,

■■■EFC平面BCHG,BCu平面BCHG,

：.EF//平面BCHG.

在三棱柱ABC—4B1G中，且4&=8當(dāng)，則四邊形為平行四邊形,

?:E、G分別為A3、4a的中點，

./G〃BE且4G=BE,

二四邊形&EBG是平行四邊形，則小E〃BG,

???&E仁平面BCHG,BGu平面BCHG,

,AiE〃平面8cHG.

：.AXEC\EF=E,且&Eu平面EF4,EFu平面EF&,

平面EF.li//平面BCHG-,

(3)如圖所示，連接&C,設(shè)41c與4cl的交點為M,連接OM,

B

???四邊形4遇AG是平行四邊形，

??.M是&C的中點，

???￡>為8c的中點，

???OMC平面&Bu平面人映，

，。八/〃平面418。1.

由(1)知，四邊形BBiGC為平行四邊形，則3C7/31C且BC=&Ci，

?：D、5分別為BC、BQ的中點，

.：皿/C0且BD=。也，

???四邊形BDCWi為平行四邊形，

:.C\D//BD\,

又。G<t平面48D1，BQu平面4BD1，

，?！?〃平面4BD].

XDCxODM=D,。。1<Z平面4。1。，OMu平面4CW，

平面/平面AC]。.

解析：本題考查平面的基本性質(zhì)，考查面面平行，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題.

(1)證明出即可證明出B、C、H、G四點共面;

(2)證明E尸〃可得EF〃平面BC”G,證明四邊形4EBG是平行四邊形，可得出

可證明出aE〃平面8CHG,再利用面面平行的判定定理可證明出結(jié)論；

(3)連接&C交4cl于點M,可得出〃/八田，可證明出DV〃平面證明出四邊形8。6劣

為平行四邊形，可得出可得出GO〃平面&BDi，然后利用面面平行的判定定理可證

明出結(jié)論.

9.答案：證明：方法一(納入平面法)；110/2=4：/1和，2確定一個平面戊.

???。n6=B,Bel2.

又八2u?>>'-BGa.同理可得CGa.

BEl3,Cel3,l3ua.

二直線"，l2>b在同一平面內(nèi).

方法二(輔助平面法)%n%=A，］。和，2確定一個平面a-

?.”2nb=B,*，2和，3確定一個平面

???A%ua,Aea.

vA6l2,l2uB,：.AWB.

同理可得B€a,B€B，Cea,C6/7,

???不共線的三個點4,B,C既在平面a內(nèi)，又在平面。內(nèi).

二平面a和夕重合，即直線，1，%，G在同一平面內(nèi).

解析：本題考查證明線共面或點共面的常用方法，考查空間中的基本公理，屬于中檔題.

(1)直接法：證明直線平行或相交，從而證明線共面.

(2)納入平面法：先確定一個平面，再證明有關(guān)點、線在此平面內(nèi).

(3)輔助平面法：先證明有關(guān)的點、線確定平面a,再證明其余元素確定平面6,最后證明平面a,0重

合.

10.答案：(1)證明:連接AF,由已知得EF〃CD,

V.AB//CD,所以EF〃AB.

所以A8和E尸確定一個平面，

故點A在平面BEF內(nèi);

(2)解：取4。的中點。，連接P0,

因為△PAD為等邊三角形，貝IJP01AD,

又因為平面PAD1平面ABC。，A。為交線，

所以POJ■平面ABCQ,作Oy〃/1B,

如圖建立空間直角坐標系。-xyz,

設(shè)AB=4,則4(2,0,0),B(2,4,0),F(-l,0,回

所以方=(-3,0,V3),AB=(0,4,0).

設(shè)平面BEF的法向量為沅=(x,y,z),

則14E'記=°-g|jf-3x+Wz=0,

{AB-m=0,'Uy=0,

取平面BEF的一個法向量為沆=(1,0,V3),平面BCD的一個法向量為記=(0,0,1).

設(shè)平面BEF與平面88所成銳二面角為0,

則cos?！獆cos<m,n>\—甘叱——.

所以平面BEF和平面BC/)所成銳二面角的大小為30。.

解析：本題考查了平面的基本性質(zhì)和利用空間向量求面面的夾角，是中檔題.

(1)連接AF,由已知得EF〃CD,所以EF〃48.所以AB和EF確定一個平面，從而得證；

(2)建立空間直角坐標系，平面8E尸的法向量和平面88的一個法向量，由空間向量求解即可.

11.答案：解：(1)證明：取的中點。，連接SO,OD,

則S。_L平面ABC,且OD垂直平分BC,

所以SO_LBC,BC10D,

又因為SOD。。=。，SOu平面SODODu平面SOO,

所以BC_L平面SOD,

因為SDu平面SOD,

所以BC_LSO.

s

(2)設(shè)點A到平面SBC的距離為h,

X

由%-4HC=匕-SBC，得X手=ISASBC怔

所以九=國蝮，

2sASBC

當(dāng)4B=2,圓錐的高為叵，且4BAC=60。時，AC=1,BC=6，OE=^,SE=VSO*23+0E2=

2，

厝)2+g2=2,

所以S38C=：x1x=容S&SBC=-x2xV3=V3,

224

所以h=竺裳=叵.

2x64

解析：本題考查線線垂直和點到面的距離，三棱錐的體積公式，屬于中檔題.

(1)取4B的中點O,連接SO,0D,貝達。_1平面ABC,且。。垂直平分BC,所以S01BC,利用線

面垂直的判定可得BC1平面SOD,即可得證；

(2)設(shè)點A到平面SBC的距離為/?,由%YBC=%-SBC，得二S.ABC乂正=5S.SBC*八，所以八=等生,

32313sBe

可得出點A到平面SBC的距離.

12.答案：證明：因為DPfiRQ=。，

所以。GDP,0GRQ,

又DPu平面ABCD,RQu平面B'C'CB,

所以06平面ABC。，06平面B'C'CB,

因為平面ABCDn平面B'C'CB=BC,

所以。在3c上,

所以。P,RQ,8C三線共點.

解析：本題考查空間中點、直線與平面的位置關(guān)系，考查空間想象能力與思維能力，為基礎(chǔ)題.

由題意利用基本事實3,即可證明。尸，RQ,8C三線共點；

13.答案：解：很明顯，點S是平面SB。和平面SAC的一個公共點，

即點S在交線上，由于4B>CD,

則分別延長AC和8。交于點E,如圖所示：

EGAC,ACu平面SAC,■■■E€平面SAC.

同理，可證EC平面S8D

.?.點E在平面SBD和平面SAC的交線上，

連接SE,直線SE是平面SBO和平面SAC的交線.

解析：本題考查了點，線，面之間的關(guān)系，考查了面面交線的畫法，是一道基礎(chǔ)題.

先根據(jù)題意畫出圖象，說明時可根據(jù)點E在平面S3。上和平面SAC上，從而得出SE是交線.

14.答案：解：在正方體ABCD—4B1QD1中，所在的直線與是異面直線的棱有：AD,B1c°CD,

Ci。1，DDi，CG.

解析：本題考查異面直線，屬于基礎(chǔ)題.

由異面直線的定義即可求解.

15.答案：解析：圖①中：aCB=l，

mc:a,nu氏

Ir\n=P.

圖②中：aC0=a,

any=b,

夕ny=c,

aC\b=OtbC\c=0,ar\c=0.

解析：解析：

本題考查了用符號語言表示點、直線、平面之間的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

由題意，將點與線的關(guān)系、線與面的關(guān)系以及面與面關(guān)系用符號語言表示即可.

16.答案：解：(1)因為KCEH,￡“<3平面48。，

所以Ke平面ABD,同理K6平面CBD,

而平面ABDn平面CBD=BD,因此K￡BD,

所以EH,BD,FG三條直線相交于同一點.

(2)因為EH〃FG,FGu平面BCD,EHBCD,

所以EH〃平面BCD,

而EHu平面ABD,平面AB。n平面BCD=BD,

所以EH〃BD,

所以BD〃FG,

所以EHI/FG11BD.

解析：本題考查空間中直線與直線的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題，

⑴通過證明Ke平面A8D,Ke平面CB。，且&在平面ABO與平面CB。的交線上來證明,

(2)根據(jù)平面的基本性質(zhì)證明即可.

17.答案：(1)證明如圖所示，

設(shè)AC與BO的交點為0,

ABHCD,AB=2CD=4,AD=BC=V10,

???四邊形ABC。為等腰梯形,

易得BD=3V2,

又...空=工

0B2’

DO=V2，OB=2V2,

同理可得，CO=V2,0A=2V2.

vDO2+OC2=CD2,

：.AC1BD,

又...平面PB。1平面ABCD,且平面PBDn平面4BCD=BD,ACu平面ABCD,

：.AC_L平面PBD,

又PBu平面PBD,

AC1PB.

(2)解取08,A8的中點E,F,連接PE,EF,P0,

由⑴知AC_L平面PBD,辦。_LP0,

PO=y/AP2-A02=V12-8=2,

vOP=PB=2,

PE1.DB,且平面PBDJ?平面ABO,平面PBDC平面ABD=BD,

PE，平面ADB,且PE=yJOP2-OE2=V4^2=V2.

XvE,F為OB,A8的中點，

???^FEB=AAOB=90°,

建立空間直角坐標系如圖所示,

A

???B(0,V2,0).。(0,-2遮,0),P(0,0,V2).C(-V2,-V2,0),

設(shè)平面PBC的一個法向量為五=(x,y,z),BD=(0,-372,0)，PB=(0,V2,-V2)，PC=

(—V2,—V2,—V2),

［而.n=0,(y-z=0,

說.元=0,"&+y+z=0,

取x=-2,.?.元=(-2,1,1),

設(shè)8。與平面P8C所成角為仇

$山。=際而,n)|=|箭|=吊

BD與平面PBC所成角的正弦值為立.

6

解析：本題考查平面與平面垂直的判定，考查空間想象能力與思維能力，訓(xùn)練了利用空間向量求解

空間角，是中檔題.

(1)由已知求解三角形證明AC1BD,再由平面PBD1平面ABC。的性質(zhì)，得4C，平面PBO,利用直

線與平面垂直的性質(zhì)AC1PB.

(2)取03,AB的中點E,F,連接PE,EF,PO,由求解三角形PE1DB,且平面PB。1平面AB。，

可得PEJ■平面AD8,所以4FEB=4AOB=90。，以E為坐標原點，分別以EF,EB,EP所在直線

為x,y,z軸建立空間直角坐標系，分別求出平面PBC的一個法向量，由線面角的公式可求得8。

與平面PBC所成角的正弦值.

18.答案：解：(1)作法1：在正方形CDDiG中，過尸作FG〃DC,且交棱。久于點G.

連接4G,在正方形4。。送1內(nèi)過名作DiE〃4G,且交棱44］于點E.

連接EB,ED］，則四邊形8ED1F就是要作的截面a.

理由：由題意，平面an平面=D1E,

&。平面8。1=8/，平面4D]〃平面BCi，應(yīng)有D]E〃BF.

同理，BE〃FC1.所以四邊形BED#應(yīng)是平行四邊形.

由作圖過程，F(xiàn)G//DC,FG=DC.又AB〃DC,AB=DC,

所以4B〃FG,AB=FG.所以四邊形AB尸G是平行四邊形.所以4G〃BF,AG=BF.

由作圖過程，D、E〃AG.又EA〃D0,

所以四邊形E4G2是平行四邊形，所以。出〃/1G,DXE=AG.

又AG"BF,AG=BF,所以￡)iE〃BF,且=BF.

所以BEDiF是平行四邊形.四邊形BE名尸就是要作的截面.

作法2：(1)在正方形CD2G中，過尸作FG〃DC,且交棱。為于點G.

連接AG,在正方形力DD1&內(nèi)過Di作DiE〃/1G,且交棱4必于點E.

連接EB,ED]，則四邊形BED/就是要作的截面a.

理由：由題意，an平面4。1=。速，

a=BF,平面g〃平面Bq,所以D】E〃BF.

因為兩平行直線確定一個平面，則平面8ED】F就是平面a.

由作圖過程，F(xiàn)G//DC,FG=DC.

5LAB11DC,AB=DC,所以AB〃FG,AB=FG.

所以四邊形ABFG是平行四邊形.所以4G〃BE

由作圖過程，。送〃4；.所以。*//3尸.

四邊形BED】F就是要作的截面a.

作法3：在棱A①上取點E,使得&E=CF.

連接E8,則四邊形BEQF就是要作的截面a.

理由：由題意，平面an平面ZD1=D]E,

an平面BCi=BF,平面AD"/平面BQ,所以AE〃BF.

同理可證BE//FDr所以四邊形BEQF應(yīng)是平行四邊形.

應(yīng)有DiE=BF.又因為△。遇北和4BCF均為直角三角形，且&Di=BC,

由勾股定理得&E=/?；?-I禺=y]BF2-BC2=CF.

由E的取點過程，知四邊形BE/F就是要作的截面a.

作法4：在棱441上取點E,使得&E=CF.

連接EB,ED]，則四邊形8ED1F就是要作的截面a.

理由：由題意，an平面4Di=DiE,。0平面8的=8尸，

平面4D1〃平面Bq,所以AE〃BF.

同理BE〃FDr所以四邊形BEDiF是平行四邊形.

下證所取的點E使得BE/F是平行四邊形：

在正方體4BCD-AiBiCWi中，D^A[=CB.

因為&E=CF,ArE//FC,所以乖=定.

所以DiE=DM1+&E=CB+FC=FB.

所以〃尸B,且D[E=F8,所以BE。/是平行四邊形.

四邊形8EQF就是要作的截面.

作法5：因為DiCBF,所以。1，B,尸三點確定的平面就是平面a.

在平面a內(nèi)過5作[E//BF,且交棱441于點E.

連接EB,EDi，則四邊形BEQF就是要作的截面a.

理由：由題意，an平面4。1=。速，an平面BG=BF,平面4%〃平面

所以。出〃BF.

根據(jù)作圖過程，D.E//BF.

四邊形BE。1F就是要作的截面.

(2)解法1：由題意，CF=a(O<a<l).

由(1)的證明過程，可得41E=a.

連接Di4,則平面a將正方體分割所成的上半部分的幾何體可視為四棱錐Di-&EBB1與四棱錐Di-

BiBFCi的組合體.

,,,,,,,1(a+l)xl.,1,[(l-a)+l]xl?1

=X

匕=+KDLBIBFQ3\乂1+5X-X1=-.

而該正方體的體積V=l,%=U—匕=1一]=*所以匕：V2=1.

解法2：由題意，CF=a(O<a<l).

由(1)的證明過程，可得4E=a.

由(1)的作法1,可知平面a將正方體分割所成的下半部分的幾何體可視為三棱柱4DG-BCF與三棱

柱E4B-01GF的組合體，

111

%=VADG-BCF+^EAB-D1GF=(/X1Xa)X1+與X1X(1-Cl)[X1=]

而該正方體的體積V=1,匕=U-瞑=1.所以匕：彩=L

解析：本題考查正方體的截面、線面平行的性質(zhì)、棱柱棱錐的體積，屬中檔題.

(1)作法1：過F作FG〃DC,且交棱。％于點G,四邊形EAGDi是平行四邊形，即可得BED#是平

行四邊形.四邊形BECiF就是要作的截面.

作法2：過尸作FG〃DC,且交棱DDi于點G,過?！孔?。送〃力G,且交棱441于點E,因為兩平行

直線確定一個平面，四邊形BEDiF就是要作的截面a.

作法3：在棱上取點E,使得&E=CF,四邊形BED/就是要作的截面a.

作法4：在棱？Mi上取點E,使得&E=CF,可證得四邊形是平行四邊形，四邊形BEQF就是

要作的截面.

作法5：因為Di￡BF,所以5,B,F三點確定的平面就是平面a,過久作D]E〃BF,且交棱A%于

點E,四邊形BE。/就是要作的截面a.

(2)解法1：CF=a(O<a<1),由(1)可得為E=a,連接則平面a將正方體分割所成的上半

部分的幾何體可視為四棱錐Di-4EBB1與四棱錐5-B/FG的組合體，根據(jù)棱錐的體積公式求解.

解法2：CF=a(O<a<1),可得&E=a,可知平面a將正方體分割所成的下半部分的幾何體可視

為三棱柱40G-8CF與三棱柱E4B-0透尸的組合體，根據(jù)棱柱的體積公式求解.

19.答案：解：(I)證法1：如圖1,連接BE、BD,由地面A8CD是正方形可得"_LBD.

vSD_L平面ABCD,BD是8E在平面ABCD上的射影，；.AC1BE

(口)解法1：如圖1,由SDJ■平面A8C。知，乙DBE=(p,

SDJL平面ABCD,CDu平面ABCD,SD1CD.

又底面ABC。是正方形，CD14D,而SDCiAD=O,CD_L平面SAD.

連接AE、CE,過點。在平面必。內(nèi)作DFLAE于F,連接C凡貝IJCF1AE,

故4CFD是二面角C-AE-0的平面角，即“FO=0.

在Rt△BDE中，???BD=2a,DE=Aa:，tancp=-=-

BD2

在Rt△/DE中，???4。=yj2a^DE=Xa.??AE=aVA24-2

從而DF=絲絲=等

AEVX^+2

在RMCDF中，tand=—=

DFA

由tan。?tans=1,得四^=i即+2=2,所以；l?=2.

A2

由0<2W2,