2024屆吉林省白城市通渭縣三校數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末綜合測試試題含解析

2024屆吉林省白城市通渭縣三校數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末綜合測試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．下列四個函數(shù)中,以為最小正周期,且在區(qū)間上為減函數(shù)的是()A． B． C． D．2．下列結(jié)論正確的是（）A．空間中不同三點確定一個平面B．空間中兩兩相交的三條直線確定一個平面C．一條直線和一個點能確定一個平面D．梯形一定是平面圖形3．在中，，則的形狀為（）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．鈍角三角形 D．正三角形4．為了解某地區(qū)的中小學(xué)生視力情況，擬從該地區(qū)的中小學(xué)生中抽取部分學(xué)生進行調(diào)查，事先已了解到該地區(qū)小學(xué)、初中、高中三個學(xué)段學(xué)生的視力情況有較大差異，而男女生視力情況差異不大，在下面的抽樣方法中，最合理的抽樣方法是()A．簡單隨機抽樣 B．按性別分層抽樣C．按學(xué)段分層抽樣 D．系統(tǒng)抽樣5．如圖，這是某校高一年級一名學(xué)生七次月考數(shù)學(xué)成績（滿分100分）的莖葉圖去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別是()A．87,9.6 B．85,9.6 C．87,5,6 D．85,5.66．下列函數(shù)中，在區(qū)間上為減函數(shù)的是A． B． C． D．7．中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)綜》中有這樣一個問題：“三百七十八里關(guān)，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公仔細算相還”.其大意為：“有一個人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地”，則該人第五天走的路程為（）A．48里 B．24里 C．12里 D．6里8．圓心為且過原點的圓的一般方程是A． B．C． D．9．已知向量,滿足,和的夾角為,則()A． B． C． D．110．若等差數(shù)列和的公差均為，則下列數(shù)列中不為等差數(shù)列的是（）A．（為常數(shù)） B．C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知滿足約束條件，則的最大值為__12．定義在上的函數(shù)，對任意的正整數(shù)，都有，且，若對任意的正整數(shù)，有，則___________.13．已知算式，在方框中填入兩個正整數(shù)，使它們的乘積最大，則這兩個正整數(shù)之和是___.14．已知中內(nèi)角的對邊分別是，，，，則為_____．15．某中學(xué)為了了解全校學(xué)生的閱讀情況，在全校采用隨機抽樣的方法抽取一個樣本進行問卷調(diào)查，并將他們在一個月內(nèi)去圖書館的次數(shù)進行了統(tǒng)計，將學(xué)生去圖書館的次數(shù)分為5組：制作了如圖所示的頻率分布表，則抽樣總?cè)藬?shù)為_______．16．已知,且關(guān)于的方程有實數(shù)根，則與的夾角的取值范圍是______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知向量（），向量，，且.（Ⅰ）求向量；（Ⅱ）若，，求.18．已知向量，，.（1）求（2）若與垂直，求實數(shù)的值.19．已知數(shù)列的各項均不為零．設(shè)數(shù)列的前項和為，數(shù)列的前項和為，且，．（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項公式；（Ⅲ）證明：.20．已知函數(shù)，作如下變換：.（1）分別求出函數(shù)的對稱中心和單調(diào)增區(qū)間；（2）寫出函數(shù)的解析式、值域和最小正周期.21．已知函數(shù)（1）求函數(shù)的最大值，以及取到最大值時所對應(yīng)的的集合；（2）在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解題分析】

由條件利用三角函數(shù)的周期性和單調(diào)性,判斷各個選項是否正確,即可求得答案.【題目詳解】對于A,因為的周期為,故A錯誤;對于B,因為|以為最小正周期,且在區(qū)間上為減函數(shù),故B正確;對于C,因為的周期為,故C錯誤;對于D,因為區(qū)間上為增函數(shù),故D錯誤.故選:B.【題目點撥】本題主要考查了判斷三角函數(shù)的周期和在指定區(qū)間上的單調(diào)性,解題關(guān)鍵是掌握三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識和函數(shù)圖象,考查了分析能力,屬于基礎(chǔ)題.2、D【解題分析】空間中不共線三點確定一個平面，空間中兩兩相交的三條直線確定一個或三個平面，一條直線和一個直線外一點能確定一個平面，梯形有兩對邊相互平行，所以梯形一定是平面圖形，因此選D.3、A【解題分析】

在中，由，變形為，再利用內(nèi)角和轉(zhuǎn)化為，通過兩角和的正弦展開判斷.【題目詳解】在中，因為，所以，所以，所以，所以，所以直角三角形.故選：A【題目點撥】本題主要考查了利用三角恒等變換判斷三角形的形狀，還考查了運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.4、C【解題分析】試題分析：符合分層抽樣法的定義，故選C.考點：分層抽樣．5、D【解題分析】

去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數(shù)據(jù)為82，84，84，86，89，由此能求出所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差．【題目詳解】平均數(shù)，方差，選D.【題目點撥】本題考查所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差的求法，考查莖葉圖、平均數(shù)、方差的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．6、D【解題分析】試題分析：在區(qū)間上為增函數(shù)；在區(qū)間上先增后減；在區(qū)間上為增函數(shù)；在區(qū)間上為減函數(shù)，選D.考點：函數(shù)增減性7、C【解題分析】

根據(jù)等比數(shù)列前項和公式列方程，求得首項的值，進而求得的值.【題目詳解】設(shè)第一天走，公比，所以，解得，所以.故選C.【題目點撥】本小題主要考查等比數(shù)列前項和的基本量計算，考查等比數(shù)列的通項公式，考查中國古典數(shù)學(xué)文化，屬于基礎(chǔ)題.8、D【解題分析】

根據(jù)題意，求出圓的半徑，即可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，變形可得其一般方程。【題目詳解】根據(jù)題意，要求圓的圓心為，且過原點，且其半徑，則其標(biāo)準(zhǔn)方程為，變形可得其一般方程是，故選．【題目點撥】本題主要考查圓的方程求法，以及標(biāo)準(zhǔn)方程化成一般方程。9、B【解題分析】

由平面向量的數(shù)量積公式，即可得到本題答案.【題目詳解】由題意可得.故選：B.【題目點撥】本題主要考查平面向量的數(shù)量積公式，屬基礎(chǔ)題.10、D【解題分析】

利用等差數(shù)列的定義對選項逐一進行判斷，可得出正確的選項.【題目詳解】數(shù)列和是公差均為的等差數(shù)列，則，，.對于A選項，，數(shù)列（為常數(shù)）是等差數(shù)列；對于B選項，，數(shù)列是等差數(shù)列；對于C選項，，所以，數(shù)列是等差數(shù)列；對于D選項，，不是常數(shù)，所以，數(shù)列不是等差數(shù)列.故選：D.【題目點撥】本題考查等差數(shù)列的定義和通項公式，注意等差數(shù)列定義的應(yīng)用，考查推理能力，屬于中等題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得答案．【題目詳解】由約束條件作出可行域，如圖所示，化目標(biāo)函數(shù)為，由圖可得，當(dāng)直線過時，直線在軸上的截距最大，所以有最大值為．故答案為1．【題目點撥】本題主要考查簡單線性規(guī)劃求解目標(biāo)函數(shù)的最值問題．其中解答中正確畫出不等式組表示的可行域，利用“一畫、二移、三求”，確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解是解答的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，及推理與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．12、【解題分析】

根據(jù)條件求出的表達式，利用等比數(shù)列的定義即可證明為等比數(shù)列，即可求出通項公式．【題目詳解】令，得，則，，令，得，則，，令，得，即，則，即所以，數(shù)列是等比數(shù)列，公比，首項．所以，故答案為：【題目點撥】本題主要考查等比數(shù)列的判斷和證明，綜合性較強，考查學(xué)生的計算能力，屬于難題．13、.【解題分析】

設(shè)填入的數(shù)從左到右依次為，則，利用基本不等式可求得的最大值及此時的和.【題目詳解】設(shè)在方框中填入的兩個正整數(shù)從左到右依次為，則，于是，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，此時.故答案為：15【題目點撥】本題考查基本不等式成立的條件，屬于基礎(chǔ)題.14、【解題分析】

根據(jù)正弦定理即可．【題目詳解】因為，，；所以，由正弦定理可得【題目點撥】本題主要考查了正弦定理：,屬于基礎(chǔ)題．15、20【解題分析】

總體人數(shù)占的概率是1，也可以理解成每個人在整體占的比重一樣，所以三組的頻率為：，共有14人，即14人占了整體的0.7，那么整體共有人?！绢}目詳解】前三組，即三組的頻率為：，，解得：【題目點撥】此題考查概率，通過部分占總體的概率即可計算出總體的樣本值，屬于簡單題目。16、【解題分析】

先由得出，再根據(jù)即可求出與的夾角的取值范圍.【題目詳解】因為關(guān)于的方程有實數(shù)根，所以，即，設(shè)與的夾角為，所以，因為，所以，即與的夾角的取值范圍是【題目點撥】本題主要考查平面向量的夾角公式的應(yīng)用等，屬基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解題分析】

（Ⅰ）∵,，∵，∴，即，①又，②由①②聯(lián)立方程解得，，．∴；（Ⅱ）∵，即，，∴，，又∵，，∴.18、(1)-44；(2)【解題分析】

（1）利用已知條件求出，然后由向量的數(shù)量積坐標(biāo)表示即可求出．（2）利用向量的垂直數(shù)量積為0，列出方程，求解即可．【題目詳解】（1）由題意得：，；（2）由與垂直得：，即，即，解得：.【題目點撥】本題主要考查向量的數(shù)量積的求法與應(yīng)用．19、（Ⅰ）2，4；（Ⅱ）證明見解析，；（Ⅲ）證明見解析.【解題分析】

（Ⅰ）直接給n賦值求出，的值；（Ⅱ）利用項和公式化簡，再利用定義法證明數(shù)列是等比數(shù)列，即得等比數(shù)列的通項公式；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，再利用等比數(shù)列求和證明不等式.【題目詳解】（Ⅰ），令，得，，；令，得，即，，．證明：（Ⅱ），①，②②①得：，，，從而當(dāng)時，，④③④得：，即，，．又由（Ⅰ）知，，，．?dāng)?shù)列是以2為首項，以為公比的等比數(shù)列，則.（Ⅲ）由（Ⅱ）知，因為當(dāng)時，，所以.于是.【題目點撥】本題主要考查等比數(shù)列性質(zhì)的證明和通項的求法，考查等比數(shù)列求和和放縮法證明不等式，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.20、（1），；（2），，.