北京市人大學(xué)附屬中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高一下期末復(fù)習(xí)檢測模擬試題含解析

北京市人大學(xué)附屬中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高一下期末復(fù)習(xí)檢測模擬試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知向量滿足.為坐標原點，.曲線，區(qū)域.若是兩段分離的曲線，則()A． B． C． D．2．在中，,則=（）A． B． C． D．3．中，則A． B． C． D．4．若a=(3,2)，bA．（3，－4） B．（－3，4） C．（3，4） D．（－3，－4）5．在下列區(qū)間中，函數(shù)的零點所在的區(qū)間為（）A． B． C． D．6．已知數(shù)列滿足若，則數(shù)列的第2018項為（）A． B． C． D．7．下列結(jié)論正確的是（）A． B．若，則C．當(dāng)且時， D．8．設(shè)點是函數(shù)圖象上的任意一點，點滿足，則的最小值為（）A． B． C． D．9．已知數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，若，則（）A． B． C． D．10．若tan（）＝2，則sin2α＝（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．如圖，在四面體A－BCD中，已知棱AC的長為，其余各棱長都為1，則二面角A－CD－B的平面角的余弦值為________.12．走時精確的鐘表，中午時，分針與時針重合于表面上的位置，則當(dāng)下一次分針與時針重合時，時針轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)的絕對值等于_______.13．已知為銳角，，則________．14．設(shè)，，，，則數(shù)列的通項公式=．15．在中，角的對邊分別為.若，則的值為__________.16．函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數(shù)，其中．（1）當(dāng)時，求的最小值；（2）設(shè)函數(shù)恰有兩個零點，且，求的取值范圍．18．如圖，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點．（1）證明：MN∥平面C1DE；（2）求二面角A-MA1-N的正弦值．19．在城市舊城改造中，某小區(qū)為了升級居住環(huán)境，擬在小區(qū)的閑置地中規(guī)劃一個面積為的矩形區(qū)域（如圖所示），按規(guī)劃要求：在矩形內(nèi)的四周安排寬的綠化，綠化造價為200元/，中間區(qū)域地面硬化以方便后期放置各類健身器材，硬化造價為100元/.設(shè)矩形的長為.（1）設(shè)總造價（元）表示為長度的函數(shù)；（2）當(dāng)取何值時，總造價最低，并求出最低總造價.20．已知，其中，求：（1）；；（2）與的夾角的余弦值．21．在平面直角坐標系xOy中，已知圓，三個點，B、C均在圓上，（1）求該圓的圓心的坐標；（2）若，求直線BC的方程；（3）設(shè)點滿足四邊形TABC是平行四邊形，求實數(shù)t的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解題分析】

不妨設(shè)，由得出點的坐標，根據(jù)題意得出曲線表示一個以為圓心，為半徑的圓，區(qū)域表示以為圓心，內(nèi)徑為，外徑為的圓環(huán)，再由是兩段分離的曲線，結(jié)合圓與圓的位置關(guān)系得出的取值.【題目詳解】不妨設(shè)則，所以，則曲線表示一個以為圓心，為半徑的圓因為區(qū)域，所以區(qū)域表示以為圓心，內(nèi)徑為，外徑為的圓環(huán)由于是兩段分離的曲線，則該兩段曲線分別為上圖中的要使得是分離的曲線，則所在的圓與圓相交于不同的兩點所以，即故選：A【題目點撥】本題主要考查了集合的應(yīng)用以及由圓與圓的位置關(guān)系確定參數(shù)的范圍，屬于中檔題.2、C【解題分析】

解：因為由正弦定理，所以又ｃ＜ａ所以，所以3、B【解題分析】試題分析：由余弦定理，故選擇B考點：余弦定理4、D【解題分析】

直接利用向量的坐標運算法則化簡求解即可．【題目詳解】解：向量a=（3，2），b則向量2b-故選D．【題目點撥】本題考查向量的坐標運算，考查計算能力．5、B【解題分析】

由函數(shù)的解析式，再根據(jù)函數(shù)零點的存在定理可得函數(shù)的零點所在的區(qū)間．【題目詳解】函數(shù)的零點所在的區(qū)間即函數(shù)與的交點所在區(qū)間.由函數(shù)與在定義域上只有一個交點，如圖.函數(shù)在定義域上只有一個零點.又，所以.所以的零點在上故選：B【題目點撥】本題主要考查求函數(shù)的零點所在區(qū)間，函數(shù)零點的存在定理，屬于基礎(chǔ)題．6、A【解題分析】

利用數(shù)列遞推式求出前幾項，可得數(shù)列是以4為周期的周期數(shù)列，即可得出答案.【題目詳解】，，，數(shù)列是以4為周期的周期數(shù)列，則.故選A.【題目點撥】本題考查數(shù)列的遞推公式和周期數(shù)列的應(yīng)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題.7、D【解題分析】

利用不等式的性質(zhì)進行分析，對錯誤的命題可以舉反例說明．【題目詳解】當(dāng)時，A不正確；，則，B錯誤；當(dāng)時，，，C錯誤；由不等式的性質(zhì)正確．故選：D.【題目點撥】本題考查不等式的性質(zhì)，掌握不等式性質(zhì)是解題關(guān)鍵．可通過反例說明命題錯誤．8、B【解題分析】

函數(shù)表示圓位于x軸下面的部分．利用點到直線的距離公式，求出最小值．【題目詳解】函數(shù)化簡得．圓心坐標,半徑為2.所以【題目點撥】本題考查點到直線的距離公式，屬于基礎(chǔ)題．9、C【解題分析】

本題首先可根據(jù)首項為以及公差為求出數(shù)列的通項公式，然后根據(jù)以及數(shù)列的通項公式即可求出答案．【題目詳解】因為數(shù)列為首項，公差的等差數(shù)列，所以，因為所以，，故選C．【題目點撥】本題考查如何判斷實數(shù)為數(shù)列中的哪一項，主要考查等差數(shù)列的通項公式的求法，等差數(shù)列的通項公式為，考查計算能力，是簡單題．10、B【解題分析】

由兩角差的正切得tan，化sin2α為tan的齊次式求解【題目詳解】tan（）＝2，則則sin2α＝故選：B【題目點撥】本題考查兩角差的正切公式，考查二倍角公式及齊次式求值，意在考查公式的靈活運用，是基礎(chǔ)題二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】如圖，取中點，中點，連接，由題可知，邊長均為1，則，中，，則，得，所以二面角的平面角即，在中，，則，所以．點睛：本題采用幾何法去找二面角，再進行求解．利用二面角的定義：公共邊上任取一點，在兩個面內(nèi)分別作公共邊的垂線，兩垂線的夾角就是二面角的平面角，找到二面角的平面角，再求出對應(yīng)三角形的三邊，利用余弦定理求解（本題中剛好為直角三角形）．12、.【解題分析】

設(shè)時針轉(zhuǎn)過的角的弧度數(shù)為，可知分針轉(zhuǎn)過的角為，于此得出，由此可計算出的值，從而可得出時針轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)的絕對值的值.【題目詳解】設(shè)時針轉(zhuǎn)過的角的弧度數(shù)的絕對值為，由分針的角速度是時針角速度的倍，知分針轉(zhuǎn)過的角的弧度數(shù)的絕對值為，由題意可知，，解得，因此，時針轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)的絕對值等于，故答案為.【題目點撥】本題考查弧度制的應(yīng)用，主要是要弄清楚時針與分針旋轉(zhuǎn)的角之間的等量關(guān)系，考查分析問題和計算能力，屬于中等題.13、【解題分析】

利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，并利用二倍角正切公式計算出的值，再利用兩角和的正切公式求出的值.【題目詳解】為銳角，則，，由二倍角正切公式得，因此，，故答案為.【題目點撥】本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求值、二倍角正切公式和兩角和的正切公式求值，解題的關(guān)鍵就是靈活利用這些公式進行計算，考查運算求解能力，屬于中等題.14、2n+1【解題分析】由條件得，且，所以數(shù)列是首項為4，公比為2的等比數(shù)列，則．15、1009【解題分析】

利用余弦定理化簡所給等式，再利用正弦定理將邊化的關(guān)系為角的關(guān)系，變形化簡即可得出目標比值．【題目詳解】由得，即，所以，故．【題目點撥】本題綜合考查正余弦定理解三角形，屬于中檔題．16、，【解題分析】

先利用誘導(dǎo)公式化簡，即可由正弦函數(shù)的單調(diào)性求出。【題目詳解】因為，所以的單調(diào)增區(qū)間是，?！绢}目點撥】本題主要考查誘導(dǎo)公式以及正弦函數(shù)的性質(zhì)——單調(diào)性的應(yīng)用。三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)；(2)【解題分析】

（1）當(dāng)時，利用指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，得到函數(shù)的單調(diào)性，即可求得函數(shù)的最小值；（2）分段討論討論函數(shù)在相應(yīng)的區(qū)間內(nèi)的根的個數(shù)，函數(shù)在時，至多有一個零點，函數(shù)在時，可能僅有一個零點，可能有兩個零點，分別求出的取值范圍，可得解．【題目詳解】（1）當(dāng)時，函數(shù)，當(dāng)時，，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)在上為增函數(shù)，且；當(dāng)時，，由二次函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，又由函數(shù)，當(dāng)時，函數(shù)取得最小值為；故當(dāng)時，最小值為．（2）因為函數(shù)恰有兩個零點，所以（?。┊?dāng)時，函數(shù)有一個零點，令得，因為時，，所以時，函數(shù)有一個零點，設(shè)零點為且，此時需函數(shù)在時也恰有一個零點，令，即，得，令，設(shè)，，因為，所以，，，當(dāng)時，，所以，即，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，所以，即，所以在上單調(diào)遞減；而當(dāng)時，，又時，，所以要使在時恰有一個零點，則需，要使函數(shù)恰有兩個零點，且，設(shè)在時的零點為，則需，而當(dāng)時，，所以當(dāng)時，函數(shù)恰有兩個零點，并且滿足；（ⅱ）若當(dāng)時，函數(shù)沒有零點，函數(shù)在恰有兩個零點，且滿足，也符合題意，而由（?。┛傻茫巩?dāng)時，函數(shù)沒有零點，則，要使函數(shù)在恰有兩個零點，則，但不能滿足，所以沒有的范圍滿足當(dāng)時，函數(shù)沒有零點，函數(shù)在恰有兩個零點，且滿足，綜上可得：實數(shù)的取值范圍為．故得解.【題目點撥】本題主要考查了指數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，以及函數(shù)與方程，函數(shù)的零點問題的綜合應(yīng)用，屬于難度題，關(guān)鍵在于分析分段函數(shù)在相應(yīng)的區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性，以及其圖像趨勢，可運用數(shù)形結(jié)合方便求解，注意在討論二次函數(shù)的根的情況時的定義域?qū)ζ涞挠绊懀?8、（1）見解析；（2）.【解題分析】

（1）利用三角形中位線和可證得，證得四邊形為平行四邊形，進而證得，根據(jù)線面平行判定定理可證得結(jié)論；（2）以菱形對角線交點為原點可建立空間直角坐標系，通過取中點，可證得平面，得到平面的法向量；再通過向量法求得平面的法向量，利用向量夾角公式求得兩個法向量夾角的余弦值，進而可求得所求二面角的正弦值.【題目詳解】（1）連接，，分別為，中點為的中位線且又為中點，且且四邊形為平行四邊形，又平面，平面平面（2）設(shè)，由直四棱柱性質(zhì)可知：平面四邊形為菱形則以為原點，可建立如下圖所示的空間直角坐標系：則：，，，D（0，-1,0）取中點，連接，則四邊形為菱形且為等邊三角形又平面，平面平面，即平面為平面的一個法向量，且設(shè)平面的法向量，又，，令，則，二面角的正弦值為：【題目點撥】本題考查線面平行關(guān)系的證明、空間向量法求解二面角的問題.求解二面角的關(guān)鍵是能夠利用垂直關(guān)系建立空間直角坐標系，從而通過求解法向量夾角的余弦值來得到二面角的正弦值，屬于常規(guī)題型.19、（1），（2）當(dāng)時，總造價最低為元【解題分析】

（1）根據(jù)題意得矩形的長為，則矩形的寬為，中間區(qū)域的長為，寬為列出函數(shù)即可．（2）根據(jù)（1）的結(jié)果利用基本不等式即可．【題目詳解】（1）由矩形的長為，則矩形的寬為，則中間區(qū)域的長為，寬為，則定義域為則整理得，（2）當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即所以當(dāng)時，總造價最低為元【題目點撥】本題主要考查了函數(shù)的表示方法，以及基本不等式的應(yīng)用．在利用基本不等式時保證一正二定三相等，屬于中等題．20、（1）10；（2）【解題分析】試題分析：（1）本題考察的是平面向量的數(shù)量積和向量的模．先根據(jù)是相互垂直的單位向量表示出要用的兩個向量，然后根據(jù)向量的數(shù)量積運算和向量模的運算即可求出答案．（2）本題考察的是平面向量的夾角余弦值，可以通過向量的數(shù)量積公式表示出夾角的余弦值．先求出向量的模長，然后根據(jù)（1）求出的的數(shù)量積代入公式，即可求出答案．試題解析：（1），．∴|．（2）考點：平面向量數(shù)量積的坐標表示、模和夾角．21、（1）（2）或（3），【解題分析】

（1）將點代入圓的方程可得的值，繼而求出半徑和圓心（2）可設(shè)直線方程為：，可得圓心到直線的距離，結(jié)合弦心距定理可得的值，求出直線