北京首都師范大學(xué)第二附屬中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高一下期末考試試題含解析

北京首都師范大學(xué)第二附屬中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高一下期末考試試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知全集，則集合A． B． C． D．2．已知某線路公交車從6:30首發(fā)，每5分鐘一班，甲、乙兩同學(xué)都從起點站坐車去學(xué)校，若甲每天到起點站的時間是在6:30~7:00任意時刻隨機到達，乙每天到起點站的時間是在6:45~7:15任意時刻隨機到達，那么甲、乙兩人搭乘同一輛公交車的概率是（）A． B． C． D．3．在空間直角坐標(biāo)系中，點關(guān)于平面對稱的點的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．4．總體由編號為01，02，…，60的60個個體組成，利用下面的隨機數(shù)表選取5個個體，選取方法是從隨機數(shù)表第1行的第8列和第9列數(shù)字開始由左至右選取兩個數(shù)字，則選出的第5個個體的編號為()5044664429670658036980342718836146422391674325745883110330208353122847736305A．42 B．36 C．22 D．145．設(shè)等差數(shù)列的前項和為，，，則（）A． B． C． D．6．設(shè)等比數(shù)列的公比為,其前項的積為,并且滿足條件：；給出下列論:①；②；③值是中最大值；④使成立的最大自然數(shù)等于198.其中正確的結(jié)論是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④7．在一段時間內(nèi)，某種商品的價格（元）和銷售量（件）之間的一組數(shù)據(jù)如下表：價格（元）4681012銷售量（件）358910若與呈線性相關(guān)關(guān)系，且解得回歸直線的斜率，則的值為（）A．0.2 B．-0.7 C．-0.2 D．0.78．下面一段程序執(zhí)行后的結(jié)果是（）A．6 B．4 C．8 D．109．運行如圖程序，若輸入的是，則輸出的結(jié)果是（）A．3 B．9 C．0 D．10．在正三棱錐中，，則側(cè)棱與底面所成角的正弦值為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．經(jīng)過點且在x軸上的截距等于在y軸上的截距的直線方程是________.12．某單位為了了解用電量度與氣溫之間的關(guān)系，隨機統(tǒng)計了某天的用電量與當(dāng)天氣溫.氣溫（℃）141286用電量（度）22263438由表中數(shù)據(jù)得回歸直線方程中，據(jù)此預(yù)測當(dāng)氣溫為5℃時，用電量的度數(shù)約為____.13．如圖，在圓心角為直角的扇形OAB中，分別以O(shè)A，OB為直徑作兩個半圓，設(shè)，則陰影部分的面積是__________.14．已知數(shù)列的前項和為，則其通項公式__________．15．把數(shù)列的各項排成如圖所示三角形狀，記表示第m行、第n個數(shù)的位置，則在圖中的位置可記為____________．16．已知正實數(shù)x，y滿足2x+y=2，則xy的最大值為______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．從代號為A、B、C、D、E的5個人中任選2人（1）列出所有可能的結(jié)果；（2）若A、B、C三人為男性，D、E兩人為女性，求選出的2人中不全為男性的概率.18．已知是等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列的前n項和為，且，，又，.（1）求和的通項公式；（2）令，求的前n項和.19．近年來，某地大力發(fā)展文化旅游創(chuàng)意產(chǎn)業(yè)，創(chuàng)意維護一處古寨，幾年來，經(jīng)統(tǒng)計，古寨的使用年限x（年）和所支出的維護費用y（萬元）的相關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示，根據(jù)以往資料顯示y對x呈線性相關(guān)關(guān)系.（1）求出y關(guān)于x的回歸直線方程；（2）試根據(jù)（1）中求出的回歸方程，預(yù)測使用年限至少為幾年時，維護費用將超過10萬元？參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸方程的斜率和截距的最小二乘估計分別為.20．給定常數(shù)，定義函數(shù)，數(shù)列滿足.（1）若，求及；（2）求證：對任意，；（3）是否存在，使得成等差數(shù)列？若存在，求出所有這樣的，若不存在，說明理由.21．設(shè)向量、滿足，，.（1）求的值；（2）若，求實數(shù)的值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解題分析】

直接利用集合補集的定義求解即可.【題目詳解】因為全集，所以0，2屬于全集且不屬于集合A,所以集合，故選：C.【題目點撥】本題主要考查集合補集的定義，屬于基礎(chǔ)題.2、D【解題分析】

根據(jù)甲、乙的到達時間，作出可行域，然后考慮甲、乙能同乘一輛公交車對應(yīng)的區(qū)域面積，根據(jù)幾何概型的概率求解方法即可求解出對應(yīng)概率.【題目詳解】設(shè)甲到起點站的時間為：時分，乙到起點站的時間為時分，所以，記事件為甲乙搭乘同一輛公交車，所以，作出可行域以及目標(biāo)區(qū)域如圖所示：由幾何概型的概率計算可知：.故選：D.【題目點撥】本題考查利用線性規(guī)劃的可行域解決幾何概型中的面積模型問題，對于分析和轉(zhuǎn)化的能力要求較高，注意幾何概型中面積模型的概率計算方法，難度較難.3、C【解題分析】

縱豎坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)橄喾磾?shù)．【題目詳解】點關(guān)于平面對稱的點的坐標(biāo)為．故選C．【題目點撥】本題考查空間直角坐標(biāo)系，屬于基礎(chǔ)題．4、C【解題分析】

通過隨機數(shù)表的相關(guān)運算即可得到答案.【題目詳解】隨機數(shù)表第1行的第8列和第9列數(shù)字為42，由左至右選取兩個數(shù)字依次為42，36，03，14，22，選出的第5個個體的編號為22，故選C.【題目點撥】本題主要考查隨機數(shù)法，按照規(guī)則進行即可，難度較小.5、A【解題分析】

利用等差數(shù)列的基本量解決問題.【題目詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，首項為，因為，，故有，解得，，故選A.【題目點撥】本題考查了等差數(shù)列的通項公式與前項和公式，解決問題的關(guān)鍵是熟練運用基本量法.6、B【解題分析】

利用等比數(shù)列的性質(zhì)及等比數(shù)列的通項公式判斷①正確；利用等比數(shù)列的性質(zhì)及不等式的性質(zhì)判斷②錯誤；利用等比數(shù)列的性質(zhì)判斷③錯誤；利用等比數(shù)列的性質(zhì)判斷④正確，，從而得出結(jié)論.【題目詳解】解：由可得又即由，即,結(jié)合，所以，，即，，即，即①正確；又，所以，即，即②錯誤；因為，即值是中最大值，即③錯誤；由，即，即，又，即，即④正確，綜上可得正確的結(jié)論是①④，故選：B.【題目點撥】本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)及不等式的性質(zhì)，重點考查了運算能力，屬中檔題.7、C【解題分析】

由題意利用線性回歸方程的性質(zhì)計算可得的值.【題目詳解】由于，，由于線性回歸方程過樣本中心點，故：，據(jù)此可得：.故選C.【題目點撥】本題主要考查線性回歸方程的性質(zhì)及其應(yīng)用，屬于中等題.8、A【解題分析】

根據(jù)題中的程序語句，直接按照順序結(jié)構(gòu)的功能即可求出。【題目詳解】由題意可得：，，，所以輸出為6，故選A.【題目點撥】本題主要考查順序結(jié)構(gòu)的程序框圖的理解，理解語句的含義是解題關(guān)鍵。9、B【解題分析】分析：首先根據(jù)框圖中的條件，判斷-2與1的大小，從而確定出代入哪個解析式，從而求得最后的結(jié)果，得到輸出的值.詳解：首先判斷成立，代入中，得到，從而輸出的結(jié)果為9，故選B.點睛：該題考查的是有關(guān)程序框圖的問題，在解題的過程中，需要注意的是要明確自變量的范圍，對應(yīng)的函數(shù)解析式應(yīng)該代入哪個，從而求得最后的結(jié)果，屬于簡單題目.10、B【解題分析】

利用正三棱錐的性質(zhì)，作出側(cè)棱與底面所成角，利用直角三角形進行計算.【題目詳解】連接P與底面正△ABC的中心O，因為是正三棱錐，所以面，所以為側(cè)棱與底面所成角，因為，所以，所以，故選B.【題目點撥】本題考查線面角的計算，考查空間想象能力、邏輯推理能力及計算求解能力，屬于中檔題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、或【解題分析】

當(dāng)直線不過原點時，設(shè)直線的方程為，把點代入求得的值，即可求得直線方程，當(dāng)直線過原點時，直線的方程為，綜合可得答案.【題目詳解】當(dāng)直線不過原點時，設(shè)直線的方程為，把點代入可得：，即此時直線的方程為：當(dāng)直線過原點時，直線的方程為，即綜上可得：滿足條件的直線方程為：或故答案為：或【題目點撥】過原點的直線橫縱截距都為0，在解題的時候容易漏掉.12、1【解題分析】

由表格得，即樣本中心點的坐標(biāo)為，又因為樣本中心點在回歸方程上且，解得：，當(dāng)時，，故答案為1．考點：回歸方程【名師點睛】本題考查線性回歸方程，屬容易題.兩個變量之間的關(guān)系，除了函數(shù)關(guān)系，還存在相關(guān)關(guān)系，通過建立回歸直線方程，就可以根據(jù)其部分觀測值，獲得對這兩個變量之間整體關(guān)系的了解．解題時根據(jù)所給的表格做出本組數(shù)據(jù)的樣本中心點，根據(jù)樣本中心點在線性回歸直線上，利用待定系數(shù)法做出的值，現(xiàn)在方程是一個確定的方程，根據(jù)所給的的值，代入線性回歸方程，預(yù)報要銷售的件數(shù)．13、【解題分析】

：設(shè)兩個半圓交于點,連接,可得直角扇形的面積等于以為直徑的兩個半圓的面積之和，平分,可得陰影部分的面積.【題目詳解】解：設(shè)兩個半圓交于點，連接,,∴直角扇形的面積等于以為直徑的兩個半圓的面積之和，由對稱性可得：平分,故陰影部分的面積是：.故答案為：.【題目點撥】本題主要考查扇形的計算公式，相對不難.14、【解題分析】分析：先根據(jù)和項與通項關(guān)系得當(dāng)時，，再檢驗，時，不滿足上述式子，所以結(jié)果用分段函數(shù)表示.詳解：∵已知數(shù)列的前項和，∴當(dāng)時，，當(dāng)時，，經(jīng)檢驗，時，不滿足上述式子，故數(shù)列的通項公式．點睛：給出與的遞推關(guān)系求，常用思路是：一是利用轉(zhuǎn)化為的遞推關(guān)系，再求其通項公式；二是轉(zhuǎn)化為的遞推關(guān)系，先求出與之間的關(guān)系，再求.應(yīng)用關(guān)系式時，一定要注意分兩種情況，在求出結(jié)果后，看看這兩種情況能否整合在一起.15、【解題分析】

利用第m行共有個數(shù)，前m行共有個數(shù)，得的位置即可求解【題目詳解】因為第m行共有個數(shù)，前m行共有個數(shù)，所以應(yīng)該在第11行倒數(shù)第二個數(shù)，所以的位置為.故答案為：【題目點撥】本題考查等差數(shù)列的通項和求和公式，發(fā)現(xiàn)每行個數(shù)成等差是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題16、【解題分析】

由基本不等式可得，可求出xy的最大值.【題目詳解】因為，所以，故，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號.故答案為.【題目點撥】利用基本不等式求最值必須具備三個條件：①各項都是正數(shù)；②和（或積）為定值；③等號取得的條件.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）0.7【解題分析】

（1）從代號為、、、、的5個人中任選2人，利用列舉法能求出所有可能的結(jié)果．（2）、、三人為男性，、兩人為女性，利用列舉法求出選出的2人中不全為男性包含的基本事件有7種，由此能求出選出的2人中不全為男性的概率．【題目詳解】（1）從代號為、、、、的5個人中任選2人．所有可能的結(jié)果有10種，分別為：，，，，，，，，，．（2）、、三人為男性，、兩人為女性，選出的2人中不全為男性包含的基本事件有7種，分別為：，，，，，，．選出的2人中不全為男性的概率．【題目點撥】本題考查概率的求法，考查古典概型、列舉法等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．18、（1），（2）【解題分析】

（1）運用數(shù)列的遞推式，以及等比數(shù)列的通項公式可得，是等差數(shù)列，運用等差數(shù)列的通項公式可得首項和公差，可得所求通項公式；（2）求得，由數(shù)列的錯位相減法求和，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，即可得到所求和.【題目詳解】（1）當(dāng)時，；當(dāng)時，，且相減可得：故：是公差為d的等差數(shù)列，，即為：.（2），前n項和：兩式相減可得：化簡可得：【題目點撥】本題考查了數(shù)列綜合問題，考查了等差等比數(shù)列的通項公式，項和轉(zhuǎn)化，乘公比錯位相減等知識點，屬于較難題.19、（1）（2）使用年限至少為14年時，維護費用將超過10萬元【解題分析】

（1）由已知圖形中的數(shù)據(jù)求得與的值，則線性回歸方程可求；（2）直接由求得的范圍得答案．【題目詳解】（1），，，．故線性回歸方程為；（2）由，解得．故使用年限至少為14年時，維護費用將超過10萬元．【題目點撥】本題考查線性回歸方程的求法，考查計算能力，是基礎(chǔ)題．20、見解析【解題分析】（1）因為，，故，（2）要證明原命題，只需證明對任意都成立，即只需證明若，顯然有成立；若，則顯然成立綜上，恒成立，即對任意的，（3）由（2）知，若為等差數(shù)列，則公差，故n無限增大