商丘永城市2023-2024學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)達(dá)標(biāo)卷(含答案)

絕密★啟用前商丘永城市2023-2024學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)達(dá)標(biāo)卷考試范圍：八年級(jí)上冊(cè)(人教版)；考試時(shí)間：120分鐘注意事項(xiàng)：1、答題前填寫好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息2、請(qǐng)將答案正確填寫在答題卡上評(píng)卷人得分一、選擇題（共10題）1.（2022年春?宜昌月考）x為何值時(shí)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義（）A.x＞1B.x≥1C.x≠1D.x≤02.下列各式中，是完全平方式的有（）①a2-a+；②x2+xy+y；③m2+m+9；④x2-xy+y2；⑤m2+4n2+4mn；⑥a2b2+ab+1．A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)3.（浙江省金華市湯溪二中八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷）下列各組數(shù)，不可能是一個(gè)三角形的邊長的是（）A.3，4，5B.1，2，3C.4，4，6D.5，12，134.（河南省安陽市安陽縣白璧鎮(zhèn)二中八年級(jí)（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷）如圖，△ABC外角∠CBD，∠BCE的平分線BF、CF相交于點(diǎn)F，則下列結(jié)論成立的是（）A.AF平分BCB.AF⊥BCC.AF平分∠BACD.AF平分∠BFC5.（廣西來賓市八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷）如圖，以BC為邊的三角形有（）個(gè)．A.3個(gè)B.4個(gè)C.5個(gè)D.6個(gè)6.（江蘇省鎮(zhèn)江市丹陽市里莊初級(jí)中學(xué)八年級(jí)（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷）下列說法中，正確的是（）A.一個(gè)軸對(duì)稱圖形一定只有一條對(duì)稱軸B.全等三角形一定是關(guān)于某直線對(duì)稱的C.兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，則這兩個(gè)圖形一定分別位于這條直線的兩側(cè)D.兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，則這兩個(gè)圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段一定被這條直線垂直平分7.（《第7章分式》2022年單元測試卷（2））下列方程①+=；②=2-（ab≠0）；③-=；④=2+；⑤+5=x中，分式方程有（）A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)8.（江蘇省無錫市江陰市徐霞客中學(xué)八年級(jí)（下）月考數(shù)學(xué)試卷（3月份））一個(gè)正方形繞著它的中心旋轉(zhuǎn)一定角度后，就能與它自身重合，這個(gè)角度至少為（）A.45°B.60°C.90°D.180°9.（甘肅省天水市甘谷縣八年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷）下列圖形中是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形的有（）①正三角形②正方形③三角形④圓⑤線段．A.5個(gè)B.4個(gè)C.3個(gè)D.2個(gè)10.（2021?宜昌模擬）如圖，以?ΔABC??的頂點(diǎn)?B??為圓心，?BA??的長為半徑畫弧，交?BC??邊于點(diǎn)?D??，連接?AD??．若?∠B=50°??，?∠C=35°??，則?∠DAC??的度數(shù)是?(???)??A.?15°??B.?30°??C.?50°??D.?65°??評(píng)卷人得分二、填空題（共10題）11.（2021?郴州）一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角都等于?60°??，則這個(gè)多邊形的內(nèi)角和為______度．12.（2020年秋?太倉市期中）（2020年秋?太倉市期中）如圖，若△ABE≌△ACF，AB=4，AE=2，則EC的長為．13.已知多項(xiàng)式（x-3）乘以另一個(gè)多項(xiàng)式，結(jié)果為2x2+mx+n（m，n為常數(shù)），則3m+n=．14.已知正方形的面積為9x2+6x+1（x＞0），利用因式分解，該正方形的邊長可用代數(shù)式表示為，正方形的周長為．15.（2016?德惠市一模）（2016?德惠市一模）如圖，AB與⊙O相切于點(diǎn)C，∠A=∠B，⊙O的半徑為6，AB=16，則OA的長為．16.（2021?鐵西區(qū)二模）如圖，在正方形?ABCD??中，?AB=6??，點(diǎn)?P??在邊?BC??上，連接?DP??，作?AM⊥DP??于點(diǎn)?M??，?CN⊥DP??于點(diǎn)?N??，點(diǎn)?P??從點(diǎn)?B??沿?BC??邊運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)?C??停止，這個(gè)過程中，點(diǎn)?M??，?N??所經(jīng)過的路徑與邊?CD??圍成的圖形的周長為______．17.（江蘇省徐州市睢寧縣古邳中學(xué)八年級(jí)（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷）成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形．18.（2022年河北省秦皇島七中中考數(shù)學(xué)模擬試卷（二））已知△ABC是等邊三角形，O為△ABC的三條中線的交點(diǎn)，△ABC以O(shè)為旋轉(zhuǎn)中心，按順時(shí)針方向至少旋轉(zhuǎn)與原來的三角形重合．19.（2022年四川省成都市成華區(qū)中考數(shù)學(xué)二診試卷）有六張正面分別標(biāo)有數(shù)字-2，-1，0，2，3，4的不透明卡片，它們除數(shù)字不同外其余均相同．現(xiàn)將它們背面朝上，洗勻后從中任取一張，將該卡片上的數(shù)字記為m，則使關(guān)于x的分式方程-1=有正整數(shù)解的概率為．20.P為四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，如果△PAB和△PCD都是以AB，CD為底的等腰直角三角形，則該四邊形稱為“對(duì)底四邊形”，AB，CD叫底．（1）對(duì)底四邊形中，以下結(jié)論：①對(duì)角線相等；②對(duì)角線互相垂直；③對(duì)邊的平方和相等；④有一對(duì)三角形面積相等，正確的是；（2）若對(duì)底四邊形的底為m，n，面積為S，則S的取值范圍是．評(píng)卷人得分三、解答題（共7題）21.（2022年人教版八年級(jí)下第十六章第三節(jié)分式方程（4）練習(xí)卷（））由甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)承包某校校園綠化工程，甲、乙兩隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程所需時(shí)間比是3︰2，兩隊(duì)合做6天可以完成．（1）求兩隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程各需多少天?（2）此項(xiàng)工程由甲、乙兩隊(duì)合做6天完成任務(wù)后，學(xué)校付給他們20000元報(bào)酬，若按各自完成的工程量分配這筆錢，問甲、乙兩隊(duì)各得到多少元?22.（廣東省肇慶市封開縣八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷）如圖，OM與OB是兩坐標(biāo)軸夾角的三等分線，點(diǎn)E是OM上一點(diǎn)，EC⊥x軸于C點(diǎn)，ED⊥OB于D點(diǎn)，OD=8，OE=10（1）求證：∠ECD=∠EDC；（2）求證：OC=OD；（3）試判斷OE與線段CD的位置關(guān)系，并說明理由．23.（2021?江津區(qū)模擬）（1）計(jì)算：?(?（2）解方程組??24.（2021?思明區(qū)校級(jí)二模）如圖①，線段?AB??，?CD??交于點(diǎn)?O??，若?∠A??與?∠B??，?∠C??與?∠D??中有一組內(nèi)錯(cuò)角成兩倍關(guān)系，則稱?ΔAOC??與?ΔBOD??為倍優(yōu)三角形，其中成兩倍關(guān)系的內(nèi)錯(cuò)角中，較大的角稱為倍優(yōu)角．（1）如圖②，在四邊形?ABCD??中，對(duì)角線?AC??，?BD??交于點(diǎn)?O??，已知?AB⊥BD??，?ΔCOD??為等邊三角形．求證：?ΔAOB??，?ΔCOD??為倍優(yōu)三角形．（2）如圖③，正方形?ABCD??的邊長為2，點(diǎn)?P??為邊?CD??上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)?C??，?D??重合），連接?AP??和?BP??，對(duì)角線?AC??和?BP??交于點(diǎn)?O??，當(dāng)?ΔAOP??和?ΔBOC??為倍優(yōu)三角形時(shí)，求?∠DAP??的正切值．25.（江蘇省南京師大附中樹人學(xué)校八年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷）如圖，△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，利用網(wǎng)格線在圖中找一點(diǎn)O，使得OA=OB=OC．26.如圖，點(diǎn)D、E三等分△ABC的BC邊，求怔：AB+AC＞AD+AE．27.（河南省漯河市召陵區(qū)八年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷）用乘法公式計(jì)算：（1）（2-3x）2-（3x+2）2（2）（2x+y+z）（2x-y-z）參考答案及解析一、選擇題1.【答案】【解答】解：依據(jù)分式有意義的條件可知：x-1≠0，解得：x≠1．故選：C．【解析】【分析】根據(jù)分式有意義的條件是分母不等于零列出不等式，解不等式即可．2.【答案】【解答】解：①a2-a+是完全平方公式；②x2+xy+y不是完全平方公式；③m2+m+9不是完全平方公式；④x2-xy+y2是完全平方公式；⑤m2+4n2+4mn是完全平方公式；⑥a2b2+ab+1是完全平方公式．共4個(gè)，故選：C．【解析】【分析】完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．最后一項(xiàng)為乘積項(xiàng)除以2，除以第一個(gè)底數(shù)的結(jié)果的平方．3.【答案】【解答】解：A、3+4＞5，能構(gòu)成三角形；B、1+2=3，不能構(gòu)成三角形；C、4+4＞6，能構(gòu)成三角形；D、12+5＞13，能構(gòu)成三角形．故選B．【解析】【分析】看哪個(gè)選項(xiàng)中兩條較小的邊的和不大于最大的邊即可．4.【答案】【解答】解：作FP⊥AE于P，F(xiàn)G⊥BC于G，F(xiàn)H⊥AD于H，∵CF是∠BCE的平分線，∴FP=FG，∵BF是∠CBD的平分線，∴FH=FG，∴FP=FH，又FP⊥AE，F(xiàn)H⊥AD，∴AF平分∠BAC，故選：C．【解析】【分析】作FP⊥AE于P，F(xiàn)G⊥BC于G，F(xiàn)H⊥AD于H，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到FP=FH，根據(jù)角平分線的判定定理判斷即可．5.【答案】【解答】解：以BC為邊的三角形有△BCN，△BCO，△BMC，△ABC，故選B【解析】【分析】根據(jù)三角形的定義（由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形）找出圖中的三角形．6.【答案】【解答】解：A、一個(gè)軸對(duì)稱圖形一定只有一條對(duì)稱軸，圓有無數(shù)條對(duì)稱軸，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、全等三角形是關(guān)于某直線對(duì)稱的錯(cuò)誤，例如圖一，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，則這兩個(gè)圖形一定分別位于這條直線的兩側(cè)錯(cuò)誤，例如圖二：，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，則這兩個(gè)圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段一定被這條直線垂直平分，此選項(xiàng)正確．故選：D．【解析】【分析】根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，對(duì)題中條件進(jìn)行一一分析，得到正確選項(xiàng)．7.【答案】【解答】解：②中的分母中不含表示未知數(shù)的字母；③⑤中的方程分母中不含未知數(shù)，故不是分式方程；①④的方程分母中含未知數(shù)x，所以是分式方程．故選B．【解析】【分析】根據(jù)分式方程的定義-----分母里含有字母的方程叫做分式方程判斷．8.【答案】【解答】解：∵正方形的對(duì)角線把正方形分成四個(gè)全等的直角三角形，∴頂點(diǎn)處的周角被分成四個(gè)相等的角，360°÷4=90°，∴這個(gè)正方形繞著它的中心旋轉(zhuǎn)90°的整數(shù)倍后，就能與它自身重合，因此，這個(gè)角度至少是90度．故選：C．【解析】【分析】根據(jù)正方形的對(duì)角線把正方形分成四個(gè)全等的直角三角形與旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形的性質(zhì)解答．9.【答案】【解答】解：①繞中心旋轉(zhuǎn)120°后與原圖重合，是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形；②繞中心旋轉(zhuǎn)90°后與原圖重合，是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形；③不是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形；④繞中心旋轉(zhuǎn)任何角度都與原圖重合，是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形；⑤繞中心旋轉(zhuǎn)180°后與原圖重合，是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形．故選：B．【解析】【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形的定義作答．10.【答案】解：?∠B=50°??，?∠C=35°??，?∴∠BAC=180°-∠B-∠C=95°??，?∵AB=BD??，?∴∠BAD=∠ADB=(180°-∠B)÷2=65°??，?∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=95°-65°=30°??，故選：?B??．【解析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和得出?∠BAC=180°-∠B-∠C??，根據(jù)等腰三角形兩底角相等得出?∠BAD=∠ADB=(180°-∠B)÷2??，進(jìn)而根據(jù)角的和差得出?∠DAC=∠BAC-∠BAD=30??．本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，掌握等邊對(duì)等角是解題的關(guān)鍵．二、填空題11.【答案】解：?∵?多邊形的每一個(gè)外角都等于?60°??，?∴??它的邊數(shù)為：?360°÷60°=6??，?∴??它的內(nèi)角和：?180°×(6-2)=720°??，故答案為：720．【解析】首先根據(jù)外角和與外角的度數(shù)可得多邊形的邊數(shù)，再根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式?180(n-2)??計(jì)算出答案．此題主要考查了多邊形的內(nèi)角與外角，關(guān)鍵是正確計(jì)算出多邊形的邊數(shù)．12.【答案】【解答】解：∵△ABE≌△ACF，∴AC=AB=4，∴EC=AC-AE=2，故答案為：2．【解析】【分析】根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等求出AC的長，結(jié)合圖形計(jì)算即可．13.【答案】【解答】解：因?yàn)槎囗?xiàng)式（x-3）乘以另一個(gè)多項(xiàng)式，結(jié)果為2x2+mx+n（m，n為常數(shù)），可得：2x2+mx+n=（x-3）（2x-1）=2x2-7x+3，可得：m=-7，n=3，所以3m+n=-21+3=-19，故答案為：-19．【解析】【分析】根據(jù)因式分解與整式的乘法互為逆運(yùn)算，把2x2+mx+n利用因式分解變形，再展開，即可求出m，n的值．14.【答案】【解答】解：∵9x2+6x+1=（3x+1）2，∴該正方形的邊長為（3x+1），周長為4（3x+1）．故答案為：（3x+1），4（3x+1）．【解析】【分析】將已知正方形的面積利用完全平方公式分解因式后，即可表示出正方形的邊長和周長．15.【答案】【解答】解：連接OC，∵AB與⊙O相切于點(diǎn)C，∴OC⊥AB，∴∠ACO=90°，∵∠A=∠B，∴OA=OB，∴AC=BC=AB=×16=8，∵OC=6，∴由勾股定理得：OA===10，故答案為：10．【解析】【分析】連接OC，根據(jù)切線的性質(zhì)得出OC⊥AB，求出AC，根據(jù)勾股定理求出即可．16.【答案】解：?∵AM⊥DP??，?CN⊥DP??，?∴∠AMD=∠CND=90°??，?∴??點(diǎn)?M??的軌跡是以?AD??為直徑，圓心角為?90°??的圓?。稽c(diǎn)?N??的軌跡是以?CD??為直徑，圓心角為?90°??的圓弧；?∵?四邊形?ABCD??是正方形，?∴r=1?∴??周長?=180π×3故答案為：?3π+6??．【解析】根據(jù)?90°??的圓周角所對(duì)的弦是直徑，得到點(diǎn)?M??，?N??的軌跡，利用弧長公式計(jì)算即可．本題考查了軌跡，圓周角定理的推論，弧長公式，正確理解點(diǎn)?M??，?N??的經(jīng)過的路線是解題的關(guān)鍵．17.【答案】【解答】解：成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形全等．故答案為：全等．【解析】【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)分別填空得出即可．18.【答案】【解答】解：∵O為△ABC的三條中線的交點(diǎn)，∴點(diǎn)O是△ABC的中心，∵360°÷3=120°，∴△ABC以O(shè)為旋轉(zhuǎn)中心，按順時(shí)針方向至少旋轉(zhuǎn)120°與原來的三角形重合．故答案為：120°．【解析】【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得點(diǎn)O是等邊三角形的中心，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形的性質(zhì)，用360°除以3計(jì)算即可得解．19.【答案】【解答】解：方程兩邊同乘以1-x，1-mx-（1-x）=-（m2-1），∴x==m+1，∵有正整數(shù)解，∴m+1≠1且m+1＞0，∴m＞-1且m≠0，∴使關(guān)于x的分式方程-1=有正整數(shù)解的有：2，3，4，∴使關(guān)于x的分式方程-1=有正整數(shù)解的概率為：=．故答案為：．【解析】【分析】由使關(guān)于x的分式方程-1=有正整數(shù)解，可求得m的值，然后利用概率公式求解即可求得答案．20.【答案】【解答】解：（1）連接AC、BD，如圖1，∵△PAB和△PCD都是以AB，CD為底的等腰直角三角形，∴PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD=90°，∴∠BPD=∠APC．在△BPD和△APC中，，∴△BPD≌△APC，∴AC=BD，∠PBD=∠PAC，∴∠AOB=∠APB=90°，∴AC⊥BD，∴AB2=AO2+BO2，DC2=DO2+OC2，AD2=OA2+OD2，BC2=OB2+OC2，∴AB2+CD2=AD2+BC2．過點(diǎn)C作CF⊥BP，交BP的延長線于F，過點(diǎn)D作DE⊥AP于E，如圖2，不妨設(shè)AB=m，CD=n，∠APD=α，則有∠FPC=90°-∠DPF=∠APD=α，∴DE=DPsinα=nsinα，CF=CPsinα=nsinα，∴S△APD=AP?DE=?m?nsinα=mnsinα，S△BPC=BP?CF=?m?nsinα=mnsinα，∴S△APD=S△BPC．綜上所述：①②③④正確．故答案為①②③④；（2）S=S△ABP+S△CPD+S△APD+S△BPC=m?m+n?n+mnsinα+mnsinα=m2+n2+mnsinα．∵0＜sinα≤1，∴m2+n2＜S≤m2+n2+mn．故答案為m2+n2＜S≤m2+n2+mn．【解析】【分析】（1）連接AC、BD，如圖1，由△PAB和△PCD都是等腰直角三角形，可證得△BPD≌△APC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AC=BD，∠PBD=∠PAC，從而可得∠AOB=∠APB=90°，然后運(yùn)用勾股定理就可證得AB2+CD2=AD2+BC2．過點(diǎn)C作CF⊥BP，交BP的延長線于F，過點(diǎn)D作DE⊥AP于E，如圖2，不妨設(shè)AB=m，CD=n，∠APD=α，根據(jù)同角的余角相等可得∠FPC=∠APD=α，然后運(yùn)用三角函數(shù)表示出△APD和△BPC的高，就可得到△APD和△BPC的面積相等；（2）利用（1）中的結(jié)論，可得S=m2+n2+mnsinα，然后借助于sinα的取值范圍，就可得到S的范圍．三、解答題21.【答案】【答案】（1）甲隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程需15天，乙隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程需10天（2）甲隊(duì)所得報(bào)酬8000元，乙隊(duì)所得報(bào)酬12000元【解析】本題主要考查了分式方程的應(yīng)用.（1）求工效，時(shí)間明顯，一定是根據(jù)工作總量來列等量關(guān)系的．等量關(guān)系為：甲6天的工作總量+乙6天的工作總量=1；（2）讓20000×各自的工作量即可【解析】（1）設(shè)甲隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程需x天，由題意得解之得x=15經(jīng)檢驗(yàn)，x=15是原方程的解．答：甲隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程需15天，乙隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程需15×=10（天）（2）甲隊(duì)所得報(bào)酬：20000××6=8000（元）乙隊(duì)所得報(bào)酬：20000××6=12000（元）22.【答案】【解答】（1）證明：∵EC⊥x軸于C點(diǎn)，ED⊥OB于D點(diǎn)，OE平分∠DOC，∴DE=EC，∴∠ECD=∠EDC；（2）解：在Rt△ODE和Rt△OCE中∴Rt△ODE≌Rt△OCE（HL），∴OC=OD；（3）OE垂直平分CD．理由如下：證明：∵OE為∠COD的平分線，且OC=OD∴OE垂直平分CD．【解析】【分析】（1）要證∠ECD=∠EDC，只需證DE=EC，由角平分線的性質(zhì)可知：DE=EC是成立的；（2）證明Rt△ODE≌Rt△OCE全等即可；（3）由OD=OC，ED=EC可知OE垂直平分CD．23.【答案】解：（1）原式?=9-1+23?=6+3（2）??②?-??①得：?3x=-9??，解得：?x=-3??，把?x=-3??代入①得：?-3+y=1??，解得：?y=4??，則方程組的解為??【解析】（1）原式利用零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪法則，絕對(duì)值的代數(shù)意義，以及特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算即可求出值；（2）方程組利用加減消元法求出解即可．此題考查了解二元一次方程組，以及實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．24.【答案】（1）證明：?∵ΔCOD??是等邊三角形，?∴∠COD=∠OCD=60°??，?∴∠AOB=∠COD=60°??，又?∵AB⊥BD??，?∴∠BAO=30°??，?∴∠OCD=2∠BAO??，?∴ΔAOB??與?ΔCOD??為倍優(yōu)三角形．（2）由題意，?∠BCO>∠PAO??，?∠APO>∠CBO??．①若?∠BCO=2∠PAO??，如圖③?-1??，過點(diǎn)?P??作?PH⊥AC??于?H??，則?∠DAO=2∠PAO??，?∴AP??平分?∠DAC??，又?PH⊥AC??，?∠D=90°??，?∴PD=PH??，不妨設(shè)?PD=PH=m??，則?PC=2-m??．則?PC=2?∴2-m=2?∴m=22?∴tan∠DAP=DP②若?∠APO=2∠CBO??，如圖③?-2??，過點(diǎn)?P??作?PI//BC??交?AB??于?I??，則?∠BPI=∠CBO??．又?∵∠APO=2