七年級數(shù)學(xué)（第四章 直線與角）4.5 角的比較與補（余）角（滬科版 學(xué)習(xí)、上課資料）

4.5角的比較與補（余）角第四章直線與角逐點導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升學(xué)習(xí)目標(biāo)課時講解1課時流程2角的大小比較角的和、差角平分線補角和余角余角、補角的性質(zhì)知1－講感悟新知知識點角的大小比較11.度量法用量角器量出角的度數(shù)，然后比較它們的大小.2.疊合法把要比較的兩個角的頂點重合，把它們的一條合在一起，另一邊放在重合邊的同一側(cè)，再通過比較另一條邊的位置來比較兩個角的大小，如圖4.5－1.感悟新知知1－講使用疊合法比較角的大小時要注意兩點：(1)重合，即頂點重合，一條邊重合；(2)同側(cè)，即另一條邊放在重合邊的同一側(cè).感悟新知知1－講特別解讀角的大小可以從數(shù)、形兩個角度進行比較：(1)“數(shù)”的角度：角的大小和角的度數(shù)大小一致，比較其度數(shù)大小可得角的大小.(2)“形”的角度：角的開口越大角越大，可以通過直接觀察比較角的大小，但不夠精準(zhǔn)，一般利用疊合法操作.知1－練感悟新知[月考·河北]如圖4.5-2，∠AOC=90°，比較∠AOB，∠AOC，∠AOD，∠AOE

的大小，并指明其中的銳角、直角、鈍角及平角.例1知1－練感悟新知解題秘方：利用角的大小的兩種比較方法比較角的大小.解：∠AOB<∠AOC<∠AOD<∠AOE.又因為∠AOC=90°，所以∠AOB是銳角，∠AOC

是直角，∠AOD是鈍角，∠AOE

是平角.感悟新知方法點撥角的兩種比較大小的方法：疊合法是比較直觀的方法，可直接從“形”的位置判斷角的大小關(guān)系；度量法具體準(zhǔn)確，若兩個角大小較接近時，則用度量法，從“數(shù)”的大小來比較角的大小.知1－練感悟新知知2－講知識點角的和、差2設(shè)有兩個角∠1和∠2

(∠1>∠2)，如圖4.5－3①.把∠2移到∠1上，使它們的頂點重合，一條邊重合.(1)

兩角的和：當(dāng)∠2在∠1的外部時，它們的另一邊(非重合的邊)所成的角就是它們的和，記作：∠BAC=∠1+∠2，如圖4.5－3②.感悟新知知2－講(2)

兩角的差：當(dāng)∠2在∠1的內(nèi)部時，它們的另一邊(非重合的邊)所成的角就是它們的差，記作：∠GEH=∠1－∠2，如圖4.5－3③.知2－講感悟新知特別提醒1.兩個角的和或差，仍然是一個角，角的和或差的度數(shù)，就是它們度數(shù)的和或差

.2.在計算兩個角的和或差時要將度與度、分與分、秒與秒分別相加或相減，分、秒相加時逢60要進位，相減時要借1當(dāng)60.感悟新知知2－練如圖4.5-4，回答下列問題.(1)

∠AOC

是哪兩個角的和？(2)

∠AOB是哪兩個角的差？(3)

如果∠AOB=∠COD，那么∠AOC與∠DOB相等嗎？例2

感悟新知方法點撥1.在圖形中角與角之間的位置關(guān)系直接反映了它們的數(shù)量關(guān)系.2.表示角的和差關(guān)系時可以用等式的基本性質(zhì)，即相等的角同時加(或減)同一個角，所得的和(或差)仍然相等.知2－練知2－練感悟新知解題秘方：根據(jù)圖中角的位置得到角的和差關(guān)系.解：(1)∠AOC=∠AOB+∠BOC.(2)∠AOB=∠AOD－∠BOD=∠AOC－∠BOC.(3)因為∠AOB=∠COD，所以∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，即∠AOC=∠DOB.感悟新知知2－練

例3感悟新知方法點撥在無圖的題中，畫圖時切記要考慮圖形可能出現(xiàn)的各種情形，分類討論求解.(2)題分OD

在∠AOB內(nèi)部和外部兩種情況.知2－練知2－練感悟新知解題秘方：本題角的計算中，掌握角的特點及比例的意義是解決問題的關(guān)鍵.

知2－練感悟新知

知2－練感悟新知

感悟新知知3－講知識點角平分線31.角的平分線在角的內(nèi)部，以角的頂點為端點的一條射線把這個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線.感悟新知知3－講

感悟新知知3－講2.角的n

等分線類似角的平分線，在角的內(nèi)部，從角的頂點引出的射線，將角分成相等的n

個角，這樣的射線叫做角的n

等分線，例如角的三等分線、四等分線等.知3－講感悟新知特別解讀角平分線的“三要素”：(1)是從角的頂點引出的射線；(2)在角的內(nèi)部；(3)將已知角平分.角的平分線只有一條，而角的n等分線有(n－1)條.感悟新知知3－練已知∠AOB=90°，(1)如圖4.5-9①，OE，OD

分別平分∠AOB

和∠BOC，若∠EOD=64°，則∠BOC=________；(2)如圖4.5-9②，OE，OD

分別平分∠AOC

和∠BOC，若∠BOC=40°，則∠EOD

的度數(shù)是________

.例4

知3－練感悟新知解法提醒1.利用角平分線的定義進行計算時，要靈活運用角平分線的幾種不同的表示方法.2.在計算角的大小時，常常要用到等量代換，用已知角代替與它相等的未知角.感悟新知知3－練解題秘方：根據(jù)角平分線的定義及角的和差關(guān)系求解即可.

知3－練感悟新知

知3－練感悟新知

答案：(1)38°(2)45°感悟新知知3－練如圖4.5-10，O為直線AB

上一點，∠AOC=50°，OD平分∠AOC，∠DOE=90°.(1)

求∠BOD的度數(shù)；(2)

小明發(fā)現(xiàn)OE

平分∠BOC，請你通過計算說明理由.例5感悟新知知3－練解題秘方：(1)利用∠BOD=∠BOC+∠DOC求解即可；(2)分別求出∠COE

和∠BOE的度數(shù)即可.知3－練感悟新知

知3－練感悟新知(2)因為∠DOE=90°，∠DOC=25°，所以∠COE=∠DOE－∠DOC=90°－25°=65°.又因為∠BOE=∠BOD－∠DOE=155°－90°=65°，所以∠COE=∠BOE，即OE

平分∠BOC.知3－練感悟新知

知4－講感悟新知知識點補角和余角41.補角如果兩個角的和等于一個平角，那么我們就稱這兩個角互為補角(簡稱互補)，即其中一個角是另一個角的補角.感悟新知數(shù)學(xué)語言：如果∠3+∠4=180°，就說∠3是∠4的補角，或∠4是∠3的補角，∠3與∠4互為補角，如圖4.5-11.知4－講感悟新知2.余角如果兩個角的和等于一個直角，那么我們就稱這兩個角互為余角(簡稱互余)，即其中一個角是另一個角的余角.數(shù)學(xué)語言：如果∠1+∠2=90°，就說∠1是∠2的余角，或∠2是∠1的余角，∠1與∠2互為余角，如圖4.5-12.知4－講感悟新知3.一個角的余角(或補角)可以有多個，但它們的度數(shù)是相等的，互余、互補是指具有一定數(shù)量關(guān)系的兩個角.知4－講感悟新知知4－講特別解讀1.互余、互補是指兩個角之間的數(shù)量關(guān)系，它們是成對出現(xiàn)的.2.若兩個角互余，則兩個角都是銳角；若兩個角互補，則兩個角可能都是直角，也可能一個角是銳角，另一個角是鈍角.3.互余、互補只與數(shù)量有關(guān)，與位置無關(guān).若將直角分成兩個角，則這兩個角互余；若將平角分成兩個角，則這兩個角互補.感悟新知知4－練[月考·濱州]已知一個角的補角的一半比這個角小30°，求這個角的余角．例6

解題秘方：根據(jù)互補的兩個角的和等于180°，用這個角表示出它的補角，然后根據(jù)題意列出方程求解即可．感悟新知方法點撥互余和互補揭示的是兩個角之間的數(shù)量關(guān)系：一個銳角∠α的余角為(90°－∠α)，補角為(180°－∠α).知4－練知4－練感悟新知

知4－練感悟新知如圖4.5－13，點O為直線AB上一點，∠AOC=∠DOE=90°.例7解題秘方：由已知條件，結(jié)合互為余角、互為補角的定義解答.知4－練感悟新知方法點撥從圖形中找互余或互補的角，可從兩個方面進行：一個方面從角的度數(shù)入手，和為90°互余，和為180°互補；另一個方面從整體入手，直角分成的兩個角互余，平角分成的兩個角互補.知4－練感悟新知(1)圖中互余的角有幾對？各是哪些？解：因為點O

為直線AB上一點，所以∠BOC+∠AOC=180°.因為∠AOC=∠DOE=90°，所以∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，∠1+∠4=180°－∠DOE=90°，∠3+∠4=∠BOC=180°－∠AOC=180°－90°=90°，所以圖中互余的角有4對，分別是∠1和∠2，∠2和∠3，∠3和∠4，∠1和∠4.知4－練感悟新知(2)圖中互補的角有幾對？各是哪些？解：由已知得，∠1+∠BOD=180°，∠4+∠AOE=180°，由(1)可知∠1=∠3，∠2=∠4，所以∠3+∠BOD=180°，∠2+∠AOE=180°.又因為∠AOC+∠BOC=180°，∠AOC+∠DOE=180°，∠DOE+∠BOC=180°，知4－練感悟新知詳解因為∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，所以∠1=90°－∠2，∠3=90°－∠2.所以∠1=∠3.因為∠2+∠3=90°，∠3+∠4=90°，所以∠2=90°－∠3，∠4=90°－∠3.所以∠2=∠4.知4－練感悟新知所以圖中互補的角有7對，分別是∠1和∠BOD，∠4和∠AOE，∠3和∠BOD，∠2和∠AOE，∠AOC和∠BOC，∠AOC和∠DOE，∠DOE

和∠BOC.感悟新知知5－講知識點余角、補角的性質(zhì)51.余角的性質(zhì)(1)同角的余角相等.如果∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°，那么∠2=∠3.(2)等角的余角相等.如果∠1+∠2=90°，∠3+∠4=90°，且∠1=∠3，那么∠2=∠4.感悟新知知5－講2.補角的性質(zhì)(1)同角的補角相等.如果∠1+∠2=180°，∠1+∠3=180°，那么∠2=∠3.(2)等角的補角相等.如果∠1+∠2=180°，∠3+∠4=180°，且∠1=∠3，那么∠2=∠4.知5－講感悟新知特別提醒1.如果互補的兩個角相等，那么這兩個角都是直角.2.“同角”指同一