2019全國(guó)碩士研究生考研數(shù)學(xué)二真題及答案解析

第第頁(yè)2019年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（二）試題及答案解析4321、當(dāng)x0時(shí)，若xtanx與xk是同階無(wú)窮小，則kA. 1. B. C. 3. D. 【答案】Cx3x【解】xtanx~ ，所選C.32、函數(shù)yxsinx2cosx(π x 3π)的點(diǎn)ππA. (,22

2 2B. (0,2).C. (π,2).【答案】C.

D. (3π,3π).2 2yxsinx0xπ3、下列反常積分發(fā)散的是xexdx0xex2dx0arctanxdx x dx0D

1x2

01x2【解析】

x dx22

1ln(x21)1

，其他的都收斂，選D.01x 2 0124aycexyC12A、1,0,1 B、2C、3 D、4【答案】D.

Cx)exex、、c【解析】由通解形式知，1，故特征方程為（22=0，所以1 2π}2a2,b1，又由于yex是y+2yycex的特解，代入得c4.π}2

D{(x,y)|xy

，

D

x2y2dxdy ，I2D

x2y2dxdy，I3(1cos

x2y2IIID1 2 I3I2D1 2 C.I2I1I3

B.I1I2I3x2y2x2y2D.x2y2x2y2【答案】C【解析】在區(qū)域D上0x

2y2

4

,sin

，進(jìn)而I2I1I3.、已知f(xg(x)xalimxa

f(x)g(x)(xa)2

0是曲線yf(x),yg(x)在xa處相切及曲率相等的A.充非要件. B.分要件.C.要充條. D.既充又必條.【答案】A【解析】充分性:利用洛必達(dá)法則,有l(wèi)imf(x)g(x)limf(x)g(x)limf(x)g(x)0.xa

(xa)2

xa

2(x

xa 2從而有f(a)g(a),f(a)g(a),f(a)g(a),即相切,曲率也相等.y反之不成立,這是因?yàn)榍蔏yf(a)g(a);選A.

3(1y2)2

,其分子部分帶有絕對(duì)值,因此f(a)g(a)或7、設(shè)A是階陣，A*是A的隨矩，線方組Ax=0的基礎(chǔ)系有2個(gè)向量則A*的秩（ ）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】A.【解析】由于方程組基礎(chǔ)解系中只有2個(gè)向量，則r(A)2，r(A)3，r(A)0.8、設(shè)A是3階實(shí)對(duì)稱矩陣，E是3階單位矩陣.若A2A2E，且A4，則二次型xTAx規(guī)范形為1 2 1 2 A.y2y2y2. B.y21 2 1 2 1 2 1 2 C.y2y2y2. D.y21 2 1 2 【答案】CA2A2E，可知矩陣的特征值滿足方程2201或2.A4，可知2y2y2y2故答案選C.1 2 3 1 2 3二、填空題：9～14小題，每小題4分，共24分．29.lim(x2x)x.x02 2 xx limln(x2)【解析】im(x2)xex0xx02 x x2x1 x其中l(wèi)im ln(x2)2lim 2lim(12ln2)2(1ln2)x0x

x0 x

x02所以lim(x2x)xe22ln24e2x0xtsint 3

y1t在t2對(duì)點(diǎn)切在y軸的距 .【解析】dydx

sint1cost當(dāng)t3時(shí)，x31,y1,dy12 2 dx所以在t3對(duì)應(yīng)點(diǎn)處切線方程為yx322 2所以切線在y軸上的截距為322y2 z z函數(shù)f(u)可，zyf(x)，則2xxyy.z【解】

y2

y3 y2

( x

x2)

f( )x2 xz y2

y2

2y y2 2

y2f( )y x

( x

)f( )x x

f( )xz z y2所以2xxyyyf(x)ylncosx(0

x )的長(zhǎng)為 .6 1【解】長(zhǎng)s61(y)2dx61tan2xdx6 dx0 0 0cosxln|

1cos

6tanx| 60

1ln3323xsint2 1知數(shù)f(x)x1 t t，則0f(x)x .xsint2 1 1【解】設(shè)F(x)1 t t，則0f(x)x0F(x)x11F(x)dx21[x2F(x)]11

1x2dF(x)20

2 0 2011x2F(x)x11x2snx2x20 20 x11xsinx2dx1cosx2

11(cos11)20

4 0 41 1 0 02 1 1 1已知矩陣A ，A表示|A|中(i,j)元的代數(shù)余子式，則3 2

1 ij 0 0 3 4 .1 1 0

1 0 0 02 1

1

2

1 1【解析】A11A12|A|3

2 2

1

3 1 2 10 0 3 4 0 0 3 41 1 1 1 1 11

1

0 1 040 3 4 0 3 4三、解答題：15～23小題，共94分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．1510x2x,x,已知f(x)ex,x,求

(x)，并求f(x)的極值.解:x0時(shí),f(0)(e2xlnx)e2xlnx(2lnx2);x0時(shí),f(x)(x1)ex; f(x)f(0) e2xlnx1又f(0)limx0

x0

limx0xlim2xlnxlim2lnx,x0

x0所以f(0)不存在,因此

2x2x1n

x0,f(x)(x)ex

x0.令f(x)0,得駐點(diǎn)x1,x1;另外f(x)還有一個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn)x0;1 3 e 2又(,1)為單調(diào)遞減區(qū)間,(1,0)為單調(diào)遞增區(qū)間,(0,1)為單調(diào)遞減區(qū)間,(1,)為單e e1 1 2調(diào)遞區(qū);因有小值f1 和極值f()ee,極值f(0)1.e e16103x6求不定積分(x1)2(x2x1)dx.3x6 2 3 2x1解:(x1)2(x2x1)dx[x1(x1)2x2x

]dx1e11710e1

2lnx1

3x

ln(x2x1)C2xyy(xy2x

x2e2滿足 的解.y(x)；Dx,y}|1

2,

yy(x)}，求D繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.x2x解(1)y(x)exdx[exdx1e2dxC]x121x2e2(

x2dxC)e2

xC);x2xe又由y(0) 得C0,2xe(2)所求體積

y(x)

x2xe2.2Vπ(2

x2xe2)2xπ2ex2x1 2πex21 22 1

π(e4e).218Dx

y,(x2y2)3

y4，求

xy

x2y2x2y2D解:由x y可知區(qū)域D關(guān)于y軸對(duì)稱,在極坐標(biāo)系中,π D

3π;將xrcos,yrsin代入(x2y2)3由奇偶對(duì)稱性,有

4 4sin2y4得r sin2πxy y π sin2rsinπx2yx2y2x2y2

dxdy

D

dxdy

2d04

rdrrπππ ππ

4322sin5d2(1cos2)2dcos

1204 4n19、設(shè)nSyexsinnn求limS.nn

xnπxSn解:設(shè)在區(qū)間[kπ,(k1)π](k0,1,2,L

,n1)上所圍的面積記為uk,則uk

(kπex|sinx|dxkπ

(k1)πexsinxdx;kπ記Iexinx,則Iexdsx(exsxsex)exsxexdinxexsx(exinxinex)ex(cosxsinx)I,所以I1ex(cosxsinx)C;2因此uk

(1)k

1)ek(cosxsin2

(kkπ

1(e(k1)πekπ);2(這里需要注意coskπ(1)k)因此n1

n kπ

1 eπe(n1)πSnuk2e 2

1eπ ;k0 k1 eπe(n1)

1 eπ 1 1limSn lim

π

π πn

2 n

1e 2 1e 2 e120、已知函數(shù)u(x,y)滿足2

2ux2

2u2y2

3x

3y

0，求a,b的值，使得在變換u(x,y)v(x,y)eaxby下，上述等式可化為v(x,y)不含一階偏導(dǎo)數(shù)的等式.解:uveaxbyvaeaxby,x2u

xaxby

axby

axby

axbyx2

vxxe

vxae

vxaevaexx veaxby2aveaxbya2veaxxx

axby axby

2u

axby

axby

2 axby同理,可得yvyebve

,y2vyye2bvye

bve ;將所求偏導(dǎo)數(shù)代入原方程,有eaxby[2v

2v

(4a3)v(34b)v(2a22b23a3b)v]0,xx yy x y從而4a3034b0,因此a3b3.4 412f(x,y)在[,]f(),f),0fxx1（1）存在(0,1f0；（2）存在(0,1f2.11,存在c(,),使得0fxx1)f(c),即f(c)1.1因此f(c)f(1)1,由羅爾定理知存在(c,1)((0,1)),使得f()0.(2)設(shè)F(x)f(x)x2,則有F(0)0,F(c)1c2,F(1)2;由拉格朗日中值定理可得:存在(0,c),使得F(

F(c)F(0)c211 1

c0 c ;存在

(c,1,

F(1)F(c)1c22 2

1

1

1c;對(duì)于函數(shù)F(x),由拉格朗然中值定理同樣可得,存在(1,2((0,1)),使得c21 1F)F

(c1) 1c cF() 2 1 0,21 21 21即f()20;結(jié)論得證. 1 1 22.（Ⅰ）

=，α=0,α= 2 ，1 4

2 4

3 a21 0 1 （Ⅱ）β1,β2,β 3 ，若向量組（Ⅰ）和向量組（Ⅱ）等價(jià)，1

3 a3 1a a23求a的取值，并將β3用α1,α2,α3線性表示.AαααBβββA1a2B2(a2.1 2 3 1 2 3因向量組I與II等價(jià)，故r(A)r(B)r(A,B)，對(duì)矩陣(A,B)作初等行變換.因?yàn)? 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 (B)1 0 2 1 2 3

1 1 0 2 2 . 4 4 a23 a31a a23 0 0 a21 a11a a21 a1時(shí)，rAr(BrB2a1時(shí)，rAr(B2rB3；a1rAr(B)rB3.綜上，只需a1即可.因?yàn)閷?duì)列向量組構(gòu)成的矩陣作初等行變換，不改變線性關(guān)系.1 0 2 3①當(dāng)a1時(shí)，(α,α,α,β)0 1 1 2故βxαxαxα的等價(jià)程1 2 3

0 0 0 0

3 11 22 3332x3組為

故β3k)α(2k)αα（k；x2x.

3 1 2 32 31 0 0 1②當(dāng)a1時(shí)，(α,α,α,β)0 1 0 1，所以

αα

α.1 2 3

0 0 1 1

3 1 2 32

2 1

2 1 023.知陣A2 x 2與B0 1 0相， （Ⅰ）xy

0 0 2 0 0 y（Ⅱ）求可逆矩陣P使得P1AP=B2x221y,1因此有AB,又A2(42x),B2y,所以x3,y2.(2)易知B的特征值為2,1,2;因此2 1 0A2E0 0 1,取