河南省新鄉(xiāng)許昌平頂山2021-2022學(xué)年高考沖刺數(shù)學(xué)模擬試題含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類(lèi)型（B）

填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"o

2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先

劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。

4.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.如圖，正四面體產(chǎn)一ABC的體積為V,底面積為S,。是高產(chǎn)”的中點(diǎn)，過(guò)0的平面。與棱24、PB、PC分

別交于。、E、F,設(shè)三棱錐P—O防的體積為％，截面三角形。石下的面積為工），則（）

A.VW8%,4soB.SN4so

C.KN8%,SK4soD.V>8V^,SN4so

2.已知加，〃是兩條不重合的直線，％夕是兩個(gè)不重合的平面，下列命題正確的是（）

A.若機(jī)力，n//a,n//[3,則a||月

B.若m〃n,mVa,nLp,則a||夕

C.若加_L〃，mua,nu/3,則a_L/?

D.若加_L〃，m\\a,nl/3,則

3.設(shè)復(fù)數(shù)二滿足匚=l+i,貝!Jz=（）

z

11.11.11.11.

A.一十—2B.——十—iC.-----1D.------1

22222222

4.已知點(diǎn)P不在直線/、，"上，貝！J“過(guò)點(diǎn)P可以作無(wú)數(shù)個(gè)平面，使得直線/、”都與這些平面平行''是"直線，、相互相

平行”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

5.一個(gè)組合體的三視圖如圖所示(圖中網(wǎng)格小正方形的邊長(zhǎng)為1),則該幾何體的體積是()

.2TT—1C.171-1D.2〃-4

2

6.若函數(shù)f(x)=3cosx+4sinx在x=6時(shí)取得最小值，貝11cos。=()

3443

A.-B.——D.--

5555

JT17

7.設(shè)函數(shù)/（X）=2COS2x+2V3sinxcosx+/n,當(dāng)0,y時(shí)，/（A,）e,則m=（）

2

137

A.-B.-C.1D.-

222

8.己知拋物線C:y2=2Px(p>0)的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為I,同M,N分別在拋物線C上，且訴+3標(biāo)=。，直線MN

交/于點(diǎn)尸，NN'±l,垂足為N',若AMN'P的面積為246，則尸至!|/的距離為(

A.12B.10C.8D.6

9.盒中有6個(gè)小球，其中4個(gè)白球，2個(gè)黑球,從中任取，。=1,2)個(gè)球，在取出的球中，黑球放回，白球則涂黑后

放回，此時(shí)盒中黑球的個(gè)數(shù)X,(i=l,2),貝|(）

EX＞EX

A.P（X1=3）＞P（X2=3）＞EXX＞EX2B.P（X[=3）＜P（X2=3）,}2

C.P（X1=3）＞P（X2=3）,EX,＜EX2D.P（X}=3）＜P（X2=3）,EX}＜EX2

10.已知雙曲線E:。=l(a>Q,b>0)滿足以下條件：①雙曲線E的右焦點(diǎn)與拋物線丁=4x的焦點(diǎn)F重合;

a"

②雙曲線E與過(guò)點(diǎn)P(4,2)的惠函數(shù)f(x)=的圖象交于點(diǎn)Q,且該幕函數(shù)在點(diǎn)Q處的切線過(guò)點(diǎn)F關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)

點(diǎn).則雙曲線的離心率是(

A.NA/5+12

D.-------D.V5+1

222

11.設(shè)X、y、Z是空間中不同的直線或平面，對(duì)下列四種情形：①X、Kz均為直線；②X、y是直線，z是平面；③z

是直線，x、y是平面；④x、y、z均為平面.其中使“x_Lz且y，2=》〃丁”為真命題的是()

A.③④B.①③C.②③D.①②

12.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()

俯視圖

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

Y

13.已知函數(shù)f(x)=2^(e)lnx-一，則函數(shù)了。)的極大值為.

e

14.已知向量3，5滿足,|=2,忖=1,卜=G,則向量￡在B的夾角為.

15.已知在等差數(shù)列｛4｝中，%=17,4+%+%=15,前"項(xiàng)和為S”，則$6=.

16.已知點(diǎn)M是曲線y=2比x+d-3x上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)曲線在M處的切線斜率取得最小值時(shí)，該切線的方程為

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

1

x=a+—t

2

17.(12分)在平面直角坐標(biāo)系X。)，中，直線/的參數(shù)方程為｛LQ為參數(shù)，aeR).在以坐標(biāo)原點(diǎn)為

極點(diǎn)、x軸的非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C的極坐標(biāo)方程為3夕2cos26+4加sir?6=3.

(1)若點(diǎn)A(2,0)在直線/上，求直線/的極坐標(biāo)方程；

(2)已知。＞0,若點(diǎn)P在直線/上，點(diǎn)。在曲線C上，且IPQI的最小值為逅，求。的值.

2

18.(12分)已知橢圓七：三+上=1,過(guò)Q(-4,0)的直線/與橢圓E相交于A,8兩點(diǎn)，且與丁軸相交于P點(diǎn).

62

一3一

(1)若PA=^AQ,求直線/的方程；

(2)設(shè)A關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為C,證明：直線BC過(guò)％軸上的定點(diǎn).

19.(12分)如圖1,在等腰放A48C中，ZC=90°,D,E分別為AC,AB的中點(diǎn)，尸為8的中點(diǎn)，G在線

段上，且BG=3CG。將AADE沿￡>E折起，使點(diǎn)A到A的位置(如圖2所示)，且

(1)證明：BE//平面A/G；

(2)求平面A/G與平面ABE所成銳二面角的余弦值

Inx

20.(12分)已知函數(shù)/'(x)=xe*,g(x)=-

x

(1)求函數(shù)/(x)的極值；

(2)當(dāng)尤X)時(shí)，求證：f(x)>g(x).

1,

21.(12分)已知函數(shù)=砧+Ex.

(1)若函數(shù)/(x)不存在單調(diào)遞減區(qū)間，求實(shí)數(shù)加的取值范圍；

(2)若函數(shù)y=/(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)為斗與(看<w)，加4一￥，求/(%)一/(工2)的最小值.

22.(10分)如圖，AABC內(nèi)接于圓O,A3是圓。的直徑，四邊形。CBE為平行四邊形，平面ABC,A6=4,

EB=273.

(1)求證：￡坦_￡平面4。。；

⑵設(shè)AC=x,V(x)表示三棱錐氏ACE的體積，求函數(shù)V")的解析式及最大值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.A

【解析】

設(shè)A3=2,取EF與8c重合時(shí)的情況，計(jì)算出5°以及%的值，利用排除法可得出正確選項(xiàng).

【詳解】

如圖所示，利用排除法，取E尸與重合時(shí)的情況.

不妨設(shè)43=2,延長(zhǎng)到N,使得PN//AM.

PD1

?:PO=OH,:.PN=MH,'.AH=2MH,..AM=3MW=3PN,則一=一，

AD3

由余弦定理得BO?=AB2+AC>2-2A8?ADCOS^=22+（3）-2x2x-xl=—,

3⑶224

Q1O□

DM=ylBD2-BM2=-,S=-x2x-=-,

2°0222

又S=￥x2?=6,.,?辛■=+>1,

當(dāng)平面。瓦7/平面ABC時(shí)，S=4S0,.?.S<4S0,排除B、D選項(xiàng);

E且PD1“1?a.8%c,

因?yàn)?..——t.".V——IV7,此時(shí)，....-2>1,

AD3o4V

當(dāng)平面OEF〃平面ABC時(shí)，8%=V,.?.8%?V,排除C選項(xiàng).

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查平行線分線段成比例定理、余弦定理、勾股定理、三棱錐的體積計(jì)算公式、排除法，考查了空間想象能力、

推理能力與計(jì)算能力，屬于難題.

2.B

【解析】

根據(jù)空間中線線、線面位置關(guān)系，逐項(xiàng)判斷即可得出結(jié)果.

【詳解】

A選項(xiàng)，若加||a,加||4，n//a,n///3,則。||尸或a與夕相交；故A錯(cuò)；

B選項(xiàng)，若加〃“，m±a,則又〃_L尸，a,夕是兩個(gè)不重合的平面，則口||萬(wàn)，故B正確；

C選項(xiàng)，若加_(_〃，mua,則wua或“〃0或〃與a相交，又nu/3,a,6是兩個(gè)不重合的平面，則。||力或a

與月相交；故C錯(cuò);

D選項(xiàng)，若加，〃，m\\a,則〃ua或〃〃?；颉ㄅca相交，又"_L〃，a,夕是兩個(gè)不重合的平面，則二||，或a與

夕相交；故D錯(cuò)；

故選B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查與線面、線線相關(guān)的命題，熟記線線、線面位置關(guān)系，即可求解，屬于?？碱}型.

3.D

【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算，即可容易求得結(jié)果.

【詳解】

F-i(l-i)-l-i11.

z—------------------------------1.

1+/(1+z)(l-D222

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.

4.C

【解析】

根據(jù)直線和平面平行的性質(zhì)，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可.

【詳解】

?.?點(diǎn)產(chǎn)不在直線/、旭上，

???若直線/、，〃互相平行，則過(guò)點(diǎn)P可以作無(wú)數(shù)個(gè)平面，使得直線/、〃?都與這些平面平行，即必要性成立，

若過(guò)點(diǎn)P可以作無(wú)數(shù)個(gè)平面，使得直線/、機(jī)都與這些平面平行，則直線/、"2互相平行成立，反證法證明如下：

若直線/、機(jī)互相不平行，則/,優(yōu)異面或相交，則過(guò)點(diǎn)尸只能作一個(gè)平面同時(shí)和兩條直線平行，則與條件矛盾，即

充分性成立

則“過(guò)點(diǎn)P可以作無(wú)數(shù)個(gè)平面，使得直線/、陽(yáng)都與這些平面平行”是“直線/、〃?互相平行”的充要條件，

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結(jié)合空間直線和平面平行的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.

5.C

【解析】

根據(jù)組合幾何體的三視圖還原出幾何體，幾何體是圓柱中挖去一個(gè)三棱柱，從而解得幾何體的體積.

【詳解】

由幾何體的三視圖可得，

幾何體的結(jié)構(gòu)是在一個(gè)底面半徑為1的圓、高為2的圓柱中挖去一個(gè)底面腰長(zhǎng)為0的等腰直角三角形、高為2的棱

柱，

故此幾何體的體積為圓柱的體積減去三棱柱的體積，

即1/=萬(wàn)?12?2—一?拉?拉?2=2萬(wàn)一2,

2

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了幾何體的三視圖問(wèn)題、組合幾何體的體積問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是要能由三視圖還原出組合幾何體，然后根據(jù)

幾何體的結(jié)構(gòu)求出其體積.

6.D

【解析】

利用輔助角公式化簡(jiǎn)f(x)的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的最值，求得f(x)在x=e函數(shù)取得最小值時(shí)cos。的值.

【詳解】

(34)34

解：/(x)=3cosx+4sinx=5l—cosx+—sinxl=5sin(x+a),其中，sina=,cosa=—

55

故當(dāng)6+a=2A萬(wàn)一1(ZeZ),即e=2jbr-]-a(A：wZ)時(shí)，函數(shù)取最小值/(8)=—5,

JIJI3

所以cos0=cos(2k萬(wàn)----a)=cos(----a)=-sina=——，

225

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查輔助角公式，正弦函數(shù)的最值的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

7.A

【解析】

由降暮公式，兩角和的正弦公式化函數(shù)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)形式，然后由正弦函數(shù)性質(zhì)求得參數(shù)值.

【詳解】

/'(X)=2cos2x+2gsinxcosx+根=1+cos2x+-j3sin2x+m=2sin(2x+—)+/n+l,

6

T[jr7TH7T7T!

xe0,—時(shí)，2x+—e[—,一],sin(2x+—)e[——,1],/./(x)G[m,m+3],

_2J66662

171

由題意[〃],加+3]=[-,—],Z71=—.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查二倍角公式，考查兩角和的正弦公式，考查正弦函數(shù)性質(zhì)，掌握正弦函數(shù)性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

8.D

【解析】

作MW/,垂足為M',過(guò)點(diǎn)N作垂足為G,設(shè)|=m(〃?>0),貝!=3加，結(jié)合圖形可

得|MG|=2/n,|MN|=4加，從而可求出NNMG=60°,進(jìn)而可求得|心|=6加，|N'P|=gm,由AMN'P的面

積5讖心=；?|""卜加'?|=24百即可求出加，再結(jié)合/為線段的中點(diǎn)，即可求出產(chǎn)至11/的距離?

【詳解】

如圖所示,

作垂足為“，設(shè)|NE卜限"7>0）,由麗^+3標(biāo)=0，#|MF\=3m,則|MW[=3根，|MV'|=〃?.

過(guò)點(diǎn)代作收上河"，垂足為G,則|"G|=m,|MG|=2,〃,

所以在R/AMVG中，|MG|=2〃Z,|A/N|=4機(jī)，所以cosNGMN==I，

11|MN|21??!

所以NNMG=60°,在用APM"中，|MM'l=3/〃，所以|=網(wǎng)上=6/〃,

所以|NP|=2m，|N'P|=?2,

zf

所以S^MN，P=?|MM|-17VP|=1.3m?=2473.解得m=4,

因?yàn)閨FP|=|FN\+\NP\^3m=\FM\,所以尸為線段MP的中點(diǎn)，

?-,、，k，45Lf、，IMM'|3m/

所以/到/的距離為P=---=—=6.

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查拋物線的幾何性質(zhì)及平面幾何的有關(guān)知識(shí)，屬于中檔題.

9.C

【解析】

根據(jù)古典概型概率計(jì)算公式，計(jì)算出概率并求得數(shù)學(xué)期望，由此判斷出正確選項(xiàng).

【詳解】

2C11

X1=3表示取出的為一個(gè)白球，所以P（X1=3）=才=..屈=2表示取出一個(gè)黑球，P（X,=2）=-^-=-,所以

71Q

￡（X,）=3x-+2x-=1.

Q

X?=3表示取出兩個(gè)球，其中一黑一白，P（X2=3）=-^=—,X?=2表示取出兩個(gè)球?yàn)楹谇?

C26

乂2=4表示取出兩個(gè)球?yàn)榘浊?所以

P（X2=4）=^-=—,

E（X2）=3x：+2x：+4x*9所以尸（又=3）>P（X=3）,

2EXX<EX2.

故選：c

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查離散型隨機(jī)變量分布列和數(shù)學(xué)期望的計(jì)算，屬于中檔題.

10.B

【解析】

由已知可求出焦點(diǎn)坐標(biāo)為（i,o），（-i,o）,可求得嘉函數(shù)為f（x）=6，設(shè)出切點(diǎn)通過(guò)導(dǎo)數(shù)求出切線方程的斜率，利用斜率

相等列出方程，即可求出切點(diǎn)坐標(biāo)，然后求解雙曲線的離心率.

【詳解】

依題意可得，拋物線.F=4x的焦點(diǎn)為尸（1,0）,尸關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)（一1,0）；2=4%a=；，所以/（幻=尤；=6，

尸（勸=擊，設(shè)。（％,后），貝！1^^=生，解得Z=1,???Q（1,D,可得，一）=1,又c=l,+凡

/7_ic=1=逐+1

可解得4=火二，故雙曲線的離心率是％—7Q——萬(wàn)一.

一2

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查雙曲線的性質(zhì),已知拋物線方程求焦點(diǎn)坐標(biāo)，求幕函數(shù)解析式，直線的斜率公式及導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查了學(xué)生分

析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，難度一般.

11.C

【解析】

①舉反例，如直線X、y、z位于正方體的三條共點(diǎn)棱時(shí)②用垂直于同一平面的兩直線平行判斷.③用垂直于同一直線的

兩平面平行判斷.④舉例，如X、y、Z位于正方體的三個(gè)共點(diǎn)側(cè)面時(shí).

【詳解】

①當(dāng)直線X、八Z位于正方體的三條共點(diǎn)棱時(shí)，不正確；

②因?yàn)榇怪庇谕黄矫娴膬芍本€平行,正確；

③因?yàn)榇怪庇谕恢本€的兩平面平行,正確；

④如x、y、Z位于正方體的三個(gè)共點(diǎn)側(cè)面時(shí)，不正確.

故選:C.

【點(diǎn)睛】

此題考查立體幾何中線面關(guān)系，選擇題一般可通過(guò)特殊值法進(jìn)行排除，屬于簡(jiǎn)單題目.

12.A

【解析】

利用已知條件畫(huà)出幾何體的直觀圖，然后求解幾何體的體積.

【詳解】

幾何體的三視圖的直觀圖如圖所示，

則該幾何體的體積為：^xlxlx2=|.

33

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查三視圖求解幾何體的體積，判斷幾何體的形狀是解題的關(guān)鍵.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.21n2

【解析】

對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，通過(guò)賦值，求得r(e),再對(duì)函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行分析，求得極大值.

【詳解】

小)=故八上至⑷」

xeee

IY?1

解得/'e)=_,f(x)=2Inx—,/'(x)=——

eexe

令/'(x)=0,解得x=2e

函數(shù)在(O,2e)單調(diào)遞增，在(2e,+o>)單調(diào)遞減,

故/(x)的極大值為f(2e)=2/〃2e-2=21n2

故答案為：2歷2.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)極值的求解，難點(diǎn)是要通過(guò)賦值，求出未知量/'(e).

14.-

3

【解析】

把%-q=6平方利用數(shù)量積的運(yùn)算化簡(jiǎn)即得解.

【詳解】

因?yàn)?《=2,w=i,,_q=G,

所以。2—+B=391=1，

Acos^=—,因?yàn)椤?/p>

2

所以。=工TT.

3

故答案為：—

【點(diǎn)睛】

本題主要考查平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則，考查向量的夾角的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.

15.39

【解析】

設(shè)等差數(shù)列公差為&首項(xiàng)為，再利用基本量法列式求解公差與首項(xiàng)，進(jìn)而求得56即可.

【詳解】

出=。|+6d=17fa=-1

設(shè)等差數(shù)列公差為4首項(xiàng)為外,根據(jù)題意可得?c,解得?c，所以

q+q+2d+q+4d=15[d=3

Sfi=-lx6+—x6x5x3=39.

62

故答案為：39

【點(diǎn)睛】

本題考查等差數(shù)列的基本量計(jì)算以及前〃項(xiàng)和的公式,屬于基礎(chǔ)題.

16.y=x-3

【解析】

先求導(dǎo)數(shù)可得切線斜率，利用基本不等式可得切點(diǎn)橫坐標(biāo)，從而可得切線方程.

【詳解】

2

y'^-+2x-3,

x

，2cc

%=——+2XM—3,x,w=l時(shí)有最小值1,此時(shí)M(L-2),

XM

故切線方程為：y+2=x-l,即y=x-3.

故答案為：y=x-3.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值等于切線的斜率是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(1)6pcose+/?sin。-25A=0

(2)a-V2

【解析】

(1)利用消參法以及點(diǎn)A(2,0)求解出/的普通方程，根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化求解出直線/的極坐標(biāo)方程；

(2)將。的坐標(biāo)設(shè)為(cosd百sina),利用點(diǎn)到直線的距離公式結(jié)合三角函數(shù)的有界性，求解出|PQ|取最小值時(shí)

對(duì)應(yīng)。的值.

【詳解】

(1)消去參數(shù)/得/普通方程為百x+y-26a=0,

將A(2,0)代入，可得。=1,即瓜+>-26=()

所以/的極坐標(biāo)方程為00cose+x?sine-23=()

2

(2)C的直角坐標(biāo)方程為f+匕=1

3

直線/的直角坐標(biāo)方程6x+y-26a=0(a>0)

設(shè)Q的直角坐標(biāo)為(cosa,百sina)

VP在直線上，，IPQI的最小值為。到直線/的距離d(a)的最小值

sinIoc+I_2y/3a

d(a)=-------———......

2

.?.當(dāng)a=￥,sin(a+f]=l時(shí)|尸。|取得最小值在

4V4；2

即函-28al=避,:“近

22

【點(diǎn)睛】

本題考查直線的參數(shù)方程、普通方程、極坐標(biāo)方程的互化以及根據(jù)曲線上一點(diǎn)到直線距離的最值求參數(shù)，難度一般.

(1)直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)的互化公式：Qcose=x,psine=y；(2)求解曲線上一點(diǎn)到直線的距離的最值，可優(yōu)先考

慮將點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)為參數(shù)方程的形式，然后再去求解.

18.(1)>=也%+變或>=一也》一①；(2)見(jiàn)解析

8282

【解析】

(1)由已知條件利用點(diǎn)斜式設(shè)出直線/的方程，則可表示出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再由PA=：AQ的關(guān)系表示出點(diǎn)A的坐標(biāo),

而點(diǎn)A在橢圓上，將其坐標(biāo)代入橢圓方程中可求出直線的斜率；

(2)設(shè)出A8兩點(diǎn)的坐標(biāo)，則點(diǎn)C的坐標(biāo)可以表示出，然后直線A3的方程與橢圓方程聯(lián)立成方程，消元后得到關(guān)

于x的一元二次方程，再利用根與系數(shù)的關(guān)系，再結(jié)合直線8C的方程，化簡(jiǎn)可得結(jié)果.

【詳解】

(1)由條件可知直線/的斜率存在，則

可設(shè)直線/的方程為y=R(x—4),則P(0,4Z),

__3__3

由序=不入0,有區(qū)，力一46=1(一4一%,一力)，

上,“12Sk

所以4=一二，力=彳,

(1284f_i2?(甌丫

由A在橢圓E上，貝以一二JyI，解得4=±在，此時(shí)尸0,士一在橢圓E內(nèi)部，所以滿足

155；k3J^_2_i8I2I

6+2=v7

直線/與橢圓相交，

故所求直線/方程為丫=也無(wú)+變或y=-也x-也.

■8282

（也可聯(lián)立直線/與橢圓方程，由/＞0驗(yàn)證）

（2）設(shè)4（罰，/）,5區(qū)，必），則C（x”-x）,

直線8C的方程為（X+%）%+（西一工2）丁一（工2弘+工1%）=。?

y-k（x+4）....，

由122，得（l+3/）d+24/x+48公-6=0,

x+3y=6

由△=（24k2）2-4（1+3k2）（48攵2-6）＞0,

解得公＜L

5

24k248&2-6

當(dāng)1y=0時(shí),

_xy+玉丁2_工24（玉+4）+X/（%2+4）_2點(diǎn)1%2+4&（石+x）

X=2t=-2

y{+y2k{x[+x2+8）k{x^+x2+8）

?48k2-6/，-24k2

不記+用記=2（48公一6）-96抬=_3

【點(diǎn)睛】

此題考查的是直線與橢圓的位置關(guān)系中的過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，計(jì)算過(guò)程較復(fù)雜，屬于難題.

19.(1)證明見(jiàn)解析

(2)叵

5

【解析】

(D要證明線面平行，需證明線線平行，取8C的中點(diǎn)M,連接DM，根據(jù)條件證明。M//BE,OM//FG,即

BE//FG；

(2)以尸為原點(diǎn)，F(xiàn)C所在直線為X軸，過(guò)下作平行于CB的直線為y軸，F(xiàn)A所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)

系產(chǎn)-"Z,求兩個(gè)平面的法向量，利用法向量求二面角的余弦值.

【詳解】

(1)證明：取8c的中點(diǎn)連接DM.

???BG=3CG,，G為CM的中點(diǎn).

又F為CD的中或，；.FG//DM.

依題意可知。E2BM,則四邊形血仍E為平行四邊形，

ABE//DM,從而8E//FG.

又RSu平面AFG,BE.平面A/G,

:.BE//平面AFG.

(2);DE±AD[,DE上DC,且

.?.Z)E_L平面AOC,4Fu平面A。。，

:.DELA}F,

■.■\FVDC,且DEcDC=D,

4尸_1_平面BCDE,

???以/為原點(diǎn)，F(xiàn)C所在直線為X軸，過(guò)尸作平行于C8的直線為y軸，F(xiàn)4所在直線為Z軸，建立空間直角坐標(biāo)系

F—xyz,不妨設(shè)C￡>=2,

則網(wǎng)0,0,0),A(0,0,碼，5(1,4,0),￡(-1,2,0),G(l,l,o),

圍=倒,0,6),吊=(1,1,0),4E=(-1,2,-73),麗=(2,2,0).

設(shè)平面4FG的法向量為*=(5，x，zj,

無(wú)私=00

則----,即

n-FG=0=0,

令芭=1,得3=(1,—1,0).

設(shè)平面A0E的法向量為云=(%,%，Z2)，

m-AE=0—%2+2%-0

則_2L，即

in?EB=0

2X2+2y2=0

令％2=1，得/〃=(1,一1,一6).

從而COSV就IAU-^M叵,

V2XV55

故平面AtFG與平面ABE所成銳二面角的余弦值為叵.

5

【點(diǎn)睛】

本題考查線面平行的證明和空間坐標(biāo)法解決二面角的問(wèn)題，意在考查空間想象能力，推理證明和計(jì)算能力，屬于中檔

題型，證明線面平行，或證明面面平行時(shí)，關(guān)鍵是證明線線平行，所以做輔助線或證明時(shí)，需考慮構(gòu)造中位線或平行

四邊形，這些都是證明線線平行的常方法.

20.(1)/(%)的極小值為/(-I)=無(wú)極大值.(2)見(jiàn)解析.

e

【解析】

(1)對(duì)/(x)=xe‘求導(dǎo)，確定函數(shù)單調(diào)性，得到函數(shù)極值.

InX

(2)構(gòu)造函數(shù)E(x)=d—lnx(x>0),證明/。)>0恒成立，得到一^<1，

*Inx2Inx-

c>-廠nxe~>---得證.

xx9

【詳解】

(1)由題意知，f(x)=xex+ex=(x+Y)ex,

令f(x)>0,得x>-l,令/'(x)<0,得尤<T.

則f(X)在(F,-l)上單調(diào)遞減，在(-1,+W)上單調(diào)遞增，

所以/(X)的極小值為/(-1)=-！，無(wú)極大值.

e

InY

(2)當(dāng)xX)時(shí)，要證/(x)>g(x),即證爐>丁.

廠

令F(x)=x2-Inx(x>0),則F(x)=2x—(x>0),

x

令尸(x)>0,得》〉也，令尸(x)<0,得o<x<走,

22

則方(x)在°'T上單調(diào)遞減,

\/

g1V2

所以當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>F――=--In-->0,

<7

Inr

所以x2Alnx,即一丁<1.因?yàn)閤>0時(shí)，ex>e()=1,

x

所以當(dāng)xX)時(shí)，ex>=>xe2>—,

rX

所以當(dāng)xX)時(shí)，不等式/(x)>g(x)成立.

【點(diǎn)睛】

本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，極值，不等式的證明，構(gòu)造函數(shù)歹(幻=/一111%。>0)是解題的關(guān)鍵.

3

21.(1)[-2,+oo)(2)——In2

【解析】

分析：(1)先求導(dǎo)，再令/'(￡)20在(0,+8)上恒成立，得到x+』N-m在(0,+“)上恒成立，利用基本不等式得到

X

m的取值范圍.(2)先由/'(x)=x+g+機(jī)=廠+：+1=0得到

X]+工2=一加,玉工2=]，再求得.一〃6曦患常,再構(gòu)造函數(shù)

令五=t,g(t)=lnt-(0<t<1),再利用導(dǎo)數(shù)求其最小值.

詳解：（1）由函數(shù)/（可=5/+肛+i11r有意義，貝！|x>0,即定義域?yàn)椋?,+巧

由/'(x)=x+s+1,且/(x)不存在單調(diào)遞減區(qū)間，則/'(x)20在(0,田)上恒成立,

,x+—N-m在(0,+oo)上恒成立

X

vx>0,x+->2Vi=2,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取到最小值2

x

.一mW2恒成立,解得m2-2

m的取值范圍為[-2,+8)

(2)由(1)知f(x)定義域?yàn)?0,+8),f〈x)=x+、+m,

X

Ar"\1X1+mX+\cmn2,c

令/(x)=xd--\-m----------=0,BPx+/nx+l=0

xx

由.f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)不工2(°<%<X2)

故為方程必+小+1=0的兩根，