全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽初中數(shù)學(xué)試題及打印版

全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽初中數(shù)學(xué)試題及答案打印版全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽初中數(shù)學(xué)試題及答案打印版/全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽初中數(shù)學(xué)試題及答案打印版2 0 1 3 年 全 國 初 中 數(shù) 學(xué) 競 賽 試 題班級姓名成績供稿人：李錦揚一、選擇題（共5小題，每小題7分，共35分.每道小題均給出了代號為A，B，C，D的四個選項，其中有且只有一個選項是正確的.請將正確選項的代號填入題后的括號里，不填、多填或錯填都得0分）1．設(shè)非零實數(shù)aca2b3c0，則abbcca的值為（）．，b，滿足2a3b4ca2b2c20，（A）1（B）0（C）1（D）1222．已知a，b，c是實常數(shù)，關(guān)于x的一元二次方程ax2bxc0有兩個非零實根x1，x2，則下列關(guān)于x的一元二次方程中，以12，12x1x2為兩個實根的是（）．（A）c2x2(b22ac)xa20（B）c2x2(b22ac)xa20（C）c2x2(b22ac)xa20（D）c2x2(b22ac)xa203．如圖，在Rt△ABC中，已知O是斜邊AB的中點，CD⊥AB，垂足為D，DE⊥OC，垂足為E．若AD，DB，CD的長度都是有理數(shù)，則線段OD，OE，DE，AC的長度中，不一定是有 （第3題）．．．理數(shù)的為（）．（A）OD （B）OEC）DE（D）AC4．如圖，已知△ABC的面積為24，點D在線段AC上，點F在線段BC的延長線上，且BC4CF，DCFE是平行四邊形，則圖中陰影部分的面積為（）．（A）3 （B）4

（第4題）（C）6 （D）85．對于任意實數(shù) x，y，z，定義運算“*”為：3x3y3x2y2xy345，xy3360x1y1且x y z x y z，則20132012L 32的值為（）．（A）607（B）1821（C）5463（D）16389967967967967二、填空題6．設(shè)a33，b是a2的小數(shù)部分，則(b2)3的值為．7．如圖，點D，E分別是△ABC的邊AC，AB上的（第7題）點，直線BD與CE交于點F，已知△CDF，△BFE，△BCF的面積分別是3，4，5，則四邊形AEFD的面積是．8．已知正整數(shù)a，b，c滿足ab22c20，3a28bc0，則abc的最大值為．9．實數(shù)a，b，c，d滿足：一元二次方程x2cxd0的兩根為a，b，一元二次方程x2axb0的兩根為c，d，則所有滿足條件的數(shù)組 (abcd)為．10．小明某天在文具店做志愿者賣筆，鉛筆每支售4元，圓珠筆每支售 7元．開始時他有鉛筆和圓珠筆共 350支，當天雖然筆沒有全部賣完，但是他的銷售收入恰好是 2013元．則他至少賣出了支圓珠筆．三、解答題11．如圖，拋物線yax2bx3，頂點為E，該拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，且OB＝OC＝3OA．直線y1x1y軸交于點D．（第11題）3求∠DBC∠CBE．12．設(shè)△ABC的外心，垂心分別為O，H，若B，C，H，O共圓，對于所有的△ABC，求BAC所有可能的度數(shù)．13．設(shè)a，b，c是素數(shù)，記xbcaycabzabc，當z2y,xy2時，a，b，c能否構(gòu)成三角形的三邊長？證明你的結(jié)論．14．如果將正整數(shù)M放在正整數(shù)m左側(cè)，所得到的新數(shù)可被7整除，那么稱M為m的“魔術(shù)數(shù)”（例如，把86放在415的左側(cè)，得到的數(shù)86415能被7整除，所以稱86為415的魔術(shù)數(shù)）．求正整數(shù)n的最小值，使得存在互不相同的正整數(shù)a1a2an，滿足對任意一個正整數(shù)m，在a1a2an中都至少有一個為m的魔術(shù)數(shù)．2013全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題參考答案一、選擇題1．設(shè)非零實數(shù)aca2b3c0，則abbcca的值為（）．，b，滿足a2b2c22a3b4c0，（A）1（B）0（C）1（D）122【答案】A【解答】由已知得abc(2a3b4c)(a2b3c)0，故(abc)20．于是abbcca1(a2b2c2)，所以abbcca1．2a2b2c222．已知a，b，c是實常數(shù)，關(guān)于x的一元二次方程ax2bxc0有兩個非零實根x1，x2，則下列關(guān)于x的一元二次方程中，以12，12x1x2為兩個實根的是（）．（A）c2x2(b22ac)xa20（B）c2x2(b22ac)xa20（C）c2x2(b22ac)xa20（D）c2x2(b22ac)xa20【答案】B【解答】由于ax2bxc0是關(guān)于x的一元二次方程，則a0．因為x1x2b，x1x2c，且x1x20，所以c0，且aa11(x1x2)22x1x2b22ac，11a2，2222c222c2x1x2x1x2x1x2于是根據(jù)方程根與系數(shù)的關(guān)系，以1，1為兩個實根的一元二x12x22次方程是x2b22aca22x2(b22ac)xa20．c2xc0，即c3．如圖，在Rt△ABC中，已知O是斜邊AB的中（第3題）點，CD⊥AB，垂足為D，DE⊥OC，垂足為E．若AD，DB，CD的長度都是有理數(shù)，則線段OD，OE，DE，AC的長度中，不一定是有理數(shù)的為（）．．．．（A）OD（B）OE（C）DE（D）AC【答案】D【解答】因AD，DB，CD的長度都是有理數(shù)，所以，OA＝OB＝OC＝ADBD是有理數(shù)．于是，OD＝OA－AD是有理數(shù)．2

（第3題答題）由OD2Rt△DOE∽Rt△COD，知OE，OCDEDC·DO都是有理數(shù)，而AC＝AD·AB不一定是OC有理數(shù)．4．如圖，已知△ ABC的面積為 24，點D在線段AC上，點 F在線段BC的延長線上，且 BC 4CF，DCFE是平行四邊形，則圖中陰影部分的面積為（）．（A）3 （B）4

（第4題）（C）6 （D）8【答案】C【解答】因為DCFE是平行四邊形，所以DE//CF，且EF//DC．連接CE，因為DE//CF，即DE//BF，所以S△DEB=S△DEC，（第4題答題）因此原來陰影部分的面積等于△ACE的面積．連接AF，因為EF//CD，即EF//AC，所以S△=S△．4CF，所以S△ACEACF因為BC=4S△．故陰影部分的ABCACF面積為6．5．對于任意實數(shù)x，y，z，定義運算“*”為：x3x3y3x2y2xy345，y3y1360x1且xyzxyz，則20132012L32的值為（）．（A）607（B）1821（C）5463（D）16389967967967967【答案】C【解答】設(shè)20132012L4m，則20132012L43m33m333m29m27459，m33m23m16460于是20132012L3292393239222923455463．1033360967二、填空題6．設(shè)a33，b是a2的小數(shù)部分，則(b2)3的值為．【答案】9【解答】由于132，因此a2a23，故ba229(b2)3(39)39．7．如圖，點D，E分別是△ABC的邊AC，AB上的（第7題）點，直線BD與CE交于點F，已知△CDF，△BFE，△BCF的面積分別是3，4，5，則四邊形AEFD的面積是．【答案】20413【解答】如圖，連接AF，則有：SAEF4=SAEFSBFEBFSBCF5，SAFDSAFDFDSCDF3SAFD3SAFDSCDFCFSBCF5，SAEFSAEFFESBEF4解得SAEF108，SAFD96．1313所以，四邊形 AEFD的面積是204．138．已知正整數(shù) a，b，c滿足a b2 2c 2 0，3a2 8b c 0，則abc的最大值為．

（第7題答題）【答案】2013【解答】由已知ab22c20，3a28bc0消去c，并整理得b82a66．由a為正整數(shù)及6a2a≤66，可得1≤a≤3．6a2若a1，則b259，無正整數(shù)解；8若a2，則b240，無正整數(shù)解；8若a3，則b29，于是可解得b11，b5．8（i）若b11，則c61，從而可得abc311612013；（ii）若b5，則c13，從而可得abc3513195．綜上知abc的最大值為2013．9．實數(shù)a，b，c，d滿足：一元二次方程x2cxd0的兩根為a，b，一元二次方程x2axb0的兩根為c，d，則所有滿足條件的數(shù)組(a，b，，cd)為．【答案】(1，2，1，2)，(t，0，t，0)（t為任意實數(shù)）abc，【解答】由韋達定理得abd，cda，cdb．由上式，可知bacd．若bd0，則ad1，cb1，進而bdac2．db若bd0，則ca，有(a，b，，cd)(t，0，t，0)（t為任意實數(shù)）．經(jīng)檢驗，數(shù)組(1，2，1，2)與（為任意實數(shù)）滿足條件．(t，0，t，0)t10．小明某天在文具店做志愿者賣筆，鉛筆每支售4元，圓珠筆每支售7元．開始時他有鉛筆和圓珠筆共350支，當天雖然筆沒有全部賣完，但是他的銷售收入恰好是2013元．則他至少賣出了支圓珠筆．【答案】207【解答】設(shè)x，y分別表示已經(jīng)賣出的鉛筆和圓珠筆的支數(shù)，則4x 7y 2013，x y 350，所以于是

x20137y(5032y)y1，44y1是整數(shù)．又20134(xy)3y43503y，4所以y204，故y的最小值為207，此時x141．三、解答題11．如圖，拋物線yax2bx3，頂點為E，該拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，且OB＝OC＝3OA．直線y1x1y軸交于點D．（第11題）3求∠DBC∠CBE．【解答】將x0分別代入y1x1，yax2bx33知，D(0，1)，C(0，3)，所以B(3，0)，A(1，0)．直線y1x1過點B．將點C(0，33)的坐標代入ya(x1)(x3)，得a1．5分拋物線yx22x3的頂點為E(1，4)．于是由勾股

（第11題答題）定理得BC＝32，CE＝ 2，BE＝2 5．222BCE90．因為BC＋CE＝BE，所以，△BCE為直角三角形，10分因此tanCBE=CE=1．又tan∠DBO=OD1，則∠DBO＝CBE．CB3OB315分所以，DBCCBEDBCDBOOBC45．20分12．設(shè)△ABC的外心，垂心分別為O，H，若B，C，H，O共圓，對于所有的△ABC，求BAC所有可能的度數(shù)．【解答】分三種情況討論．（i）若△ABC為銳角三角形．因為BHC180A，BOC2A，所以由BHCBOC，可得180A2A，于是A60．5分（第12題答題（ii））（第12題答題（i））（ii）若△ABC為鈍角三角形．當A90時，因為BHC 180所以由

A，BHC

BOC 2180 A，BOC 180，可得3180

A 180

，于是

A 120

。當 A所以由

90時，不妨假設(shè)BHC BOC 180

10分B 90，因為 BHC A， BOC 2 A，，可得3A 180，于是 A 60．15分（iii ）若△ABC為直角三角形．當A90時，因為O為邊BC的中點，B，C，H，O不可能共圓，所以A不可能等于90；當A90時，不妨假設(shè)B90，此時點B與H重合，于是總有B，C，H，O共圓，因此 A可以是滿足0 A 90的所有角．綜上可得， A所有可能取到的度數(shù)為所有銳角及 120．20分13．設(shè)a，b，c是素數(shù)，記 x b c a y c a b z a b c，當z2 y, x y 2時，a，b，c能否構(gòu)成三角形的三邊長？證明你的結(jié)論．【解答】不能．依題意，得a1(yz)b1(xz)c1(xy)222因為yz2，所以a1(yz)1(z2z)z(z1)222

．．又由于z為整數(shù)，a為素數(shù)，所以 z 2或 3，a 3．10分當z 2時，y z2 4，x ( y 2)2 16．進而，b 9，c 10，與b，是素數(shù)矛盾；15分當z3時，abc0，所以