2024屆黑龍江省克東一中、克山一中等五校聯(lián)考高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題含解析

2024屆黑龍江省克東一中、克山一中等五校聯(lián)考高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．為得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)圖象上的所有點(diǎn)（）A．向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C．向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度2．在中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，若，則是（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形3．英國(guó)數(shù)學(xué)家布魯克泰勒（TaylorBrook，1685~1731）建立了如下正、余弦公式（

）其中，，例如：．試用上述公式估計(jì)的近似值為（精確到0.01）A．0.99 B．0.98 C．0.97

D．0.964．辦公室裝修一新，放些植物花草可以清除異味，公司提供綠蘿、文竹、碧玉、蘆薈4種植物供員工選擇，每個(gè)員工任意選擇2種，則員工甲和乙選擇的植物全不同的概率為：A． B． C． D．5．己知函數(shù)的最小值為，最大值為，若，則數(shù)列是（）A．公差不為0的等差數(shù)列 B．公比不為1的等比數(shù)列C．常數(shù)數(shù)列 D．以上都不對(duì)6．如圖，在矩形中，，，點(diǎn)滿足，記，，，則的大小關(guān)系為()A． B．C． D．7．已知在中，，那么的值為（）A． B． C． D．8．設(shè)，是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，是下列命題正確的是（）A．若，，則 B．若，，，則C．若，，，則 D．若，，，則9．四邊形，，，，則的外接圓與的內(nèi)切圓的公共弦長(zhǎng)（）A． B． C． D．10．如圖，設(shè)，是平面內(nèi)相交的兩條數(shù)軸，，分別是與軸，軸正方向同向的單位向量，且，若向量，則把有序數(shù)對(duì)叫做向量在坐標(biāo)系中的坐標(biāo).假設(shè)在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為，則（)A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知，，且，則的最小值為_(kāi)_______.12．某工廠甲、乙、丙三個(gè)車(chē)間生產(chǎn)了同種產(chǎn)品，數(shù)量分別為90件，60件，30件，為了解它們的產(chǎn)品質(zhì)量是否存在顯著差異，采用層抽樣方法抽取了一個(gè)容量為的樣本進(jìn)行調(diào)查，其中從乙車(chē)間的產(chǎn)品中抽取了2件，應(yīng)從甲車(chē)間的產(chǎn)品中抽取______件.13．為了研究問(wèn)題方便,有時(shí)將余弦定理寫(xiě)成:,利用這個(gè)結(jié)構(gòu)解決如下問(wèn)題:若三個(gè)正實(shí)數(shù)，滿足,，，則_______.14．若，，則的值為_(kāi)_____．15．已知向量，，且與垂直，則的值為_(kāi)_____.16．已知，為銳角，且，則__________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．土筍凍是閩南種廣受歡迎的特色傳統(tǒng)風(fēng)味小吃某小區(qū)超市銷(xiāo)售一款土筍凍，進(jìn)價(jià)為每個(gè)15元，售價(jià)為每個(gè)20元.銷(xiāo)售的方案是當(dāng)天進(jìn)貨，當(dāng)天銷(xiāo)售,未售出的全部由廠家以每個(gè)10元的價(jià)格回購(gòu)處理.根據(jù)該小區(qū)以往的銷(xiāo)售情況，得到如圖所示的頻率分布直方圖:(1)估算該小區(qū)土筍凍日需求量的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表)；(2)已知該超市某天購(gòu)進(jìn)了150個(gè)土筍凍，假設(shè)當(dāng)天的需求量為個(gè)銷(xiāo)售利潤(rùn)為元.(i)求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式;(ii)結(jié)合上述頻率分布直方圖，以額率估計(jì)概率的思想,估計(jì)當(dāng)天利潤(rùn)不小于650元的概率.18．已知函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）若當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．設(shè)數(shù)列滿足（，），且，.（1）求和的值；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.20．已知某幾何體的俯視圖是如圖所示的矩形，正視圖是一個(gè)底邊長(zhǎng)為、高為的等腰三角形，側(cè)視圖是一個(gè)底邊長(zhǎng)為、高為的等腰三角形．(1)求該幾何體的體積V；(2)求該幾何體的側(cè)面積S.21．是亞太區(qū)域國(guó)家與地區(qū)加強(qiáng)多邊經(jīng)濟(jì)聯(lián)系、交流與合作的重要組織，其宗旨和目標(biāo)是“相互依存、共同利益，堅(jiān)持開(kāi)放性多邊貿(mào)易體制和減少區(qū)域間貿(mào)易壁壘.”2017年會(huì)議于11月10日至11日在越南峴港舉行.某研究機(jī)構(gòu)為了了解各年齡層對(duì)會(huì)議的關(guān)注程度，隨機(jī)選取了100名年齡在內(nèi)的市民進(jìn)行了調(diào)查，并將結(jié)果繪制成如圖所示的頻率分布直方圖（分組區(qū)間分別為，，，，）.（1）求選取的市民年齡在內(nèi)的人數(shù)；（2）若從第3，4組用分層抽樣的方法選取5名市民進(jìn)行座談，再?gòu)闹羞x取2人參與會(huì)議的宣傳活動(dòng)，求參與宣傳活動(dòng)的市民中至少有一人的年齡在內(nèi)的概率.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解題分析】

先化簡(jiǎn)得，根據(jù)函數(shù)圖像的變換即得解.【題目詳解】因?yàn)椋院瘮?shù)圖象上的所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度可得到函數(shù)的圖象.故選：B【題目點(diǎn)撥】本題主要考查三角函數(shù)圖像的變換，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.2、B【解題分析】

利用正弦定理得到答案.【題目詳解】故答案為B【題目點(diǎn)撥】本題考查了正弦定理，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.3、B【解題分析】

利用題設(shè)中給出的公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，即可估算，得到答案．【題目詳解】由題設(shè)中的余弦公式得，故答案為B【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了新信息試題的應(yīng)用，其中解答中理解題意，利用題設(shè)中的公式，準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．4、A【解題分析】

從公司提供的4中植物中任意選擇2種，求得員工甲和乙共有種選法，再由任選2種有種，得到員工甲和乙選擇的植物全不同有種選法，利用古典概型的概率計(jì)算公式，即可求解．【題目詳解】由題意，從公司提供綠蘿、文竹、碧玉、蘆薈4種植物每個(gè)員工任意選擇2種，則員工甲和乙共有種不同的選法，又從公司提供綠蘿、文竹、碧玉、蘆薈4種植物中，任選2種，共有種選法，則員工甲和乙選擇的植物全不同，共有種不同的選法，所以員工甲和乙選擇的植物全不同的概率為，故選A．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了古典概型及其概率的計(jì)算，以及排列、組合的應(yīng)用，其中解答中認(rèn)真審題，合理利用排列、組合求得基本事件的個(gè)數(shù)，利用古典概型的概率計(jì)算公式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，屬于中檔試題．5、C【解題分析】

先根據(jù)判別式法求出的取值范圍,進(jìn)而求得和的關(guān)系,再展開(kāi)算出分析即可.【題目詳解】設(shè),則,因?yàn)?故,故二次函數(shù),整理得,故與為方程的兩根,所以為常數(shù).故選C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查判別式法求分式函數(shù)范圍的問(wèn)題,再根據(jù)二次函數(shù)的韋達(dá)定理進(jìn)行求解分析即可.6、C【解題分析】

可建立合適坐標(biāo)系，表示出a,b,c的大小，運(yùn)用作差法比較大小.【題目詳解】以為圓心，以所在直線為軸、軸建立坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，則，，，，，，，，故選C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查學(xué)生的建模能力，意在考查學(xué)生的理解能力及分析能力，難度中等.7、A【解題分析】

，不妨設(shè)，,則，選A.8、D【解題分析】

根據(jù)空間中線線，線面，面面位置關(guān)系，逐項(xiàng)判斷即可得出結(jié)果.【題目詳解】A選項(xiàng)，若，，則可能平行、相交、或異面；故A錯(cuò)；B選項(xiàng)，若，，，則可能平行或異面；故B錯(cuò)；C選項(xiàng)，若，，，如果再滿足，才會(huì)有則與垂直，所以與不一定垂直；故C錯(cuò)；D選項(xiàng)，若，，則，又，由面面垂直的判定定理，可得，故D正確.故選D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查空間的線面，面面位置關(guān)系，熟記位置關(guān)系，以及判定定理即可，屬于?？碱}型.9、C【解題分析】

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸，軸建立平面直角坐標(biāo)系，求出的外接圓與的內(nèi)切圓的方程，兩圓方程相減可得公共弦所在直線方程，求出弦心距，進(jìn)而可得公共弦長(zhǎng).【題目詳解】解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸，軸建立平面直角坐標(biāo)系，過(guò)作交于點(diǎn)，則，故，則為等邊三角形，故，的外接圓方程為，①的內(nèi)切圓方程為，②①-②得兩圓的公共弦所在直線方程為:,的外接圓圓心到公共弦的距離為，公共弦長(zhǎng)為，故答案為：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查兩圓公共弦長(zhǎng)的求解，關(guān)鍵是要求出兩圓的公共弦所在直線方程，將兩圓方程作差即可得到，是中檔題.10、D【解題分析】

可得.【題目詳解】向量，則．故選：．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了向量模的運(yùn)算和向量的數(shù)量積的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

由，可得，然后利用基本不等式可求出最小值.【題目詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào).【題目點(diǎn)撥】利用基本不等式求最值必須具備三個(gè)條件：①各項(xiàng)都是正數(shù)；②和（或積）為定值；③等號(hào)取得的條件.12、.【解題分析】

根據(jù)分層抽樣中樣本容量關(guān)系,即可求得從甲車(chē)間的產(chǎn)品中抽取數(shù)量.【題目詳解】根據(jù)分層抽樣為等概率抽樣,所以乙車(chē)間每個(gè)樣本被抽中的概率等于甲車(chē)間每個(gè)樣本被抽中的概率設(shè)從甲車(chē)間抽取樣本為件所以,解得所以從甲車(chē)間抽取樣本件故答案為:【題目點(diǎn)撥】本題考查了分層抽樣的特征及樣本數(shù)量的求法,屬于基礎(chǔ)題.13、【解題分析】

設(shè)的角、、的對(duì)邊分別為、、，在內(nèi)取點(diǎn)，使得，設(shè)，，，利用余弦定理得出的三邊長(zhǎng)，由此計(jì)算出的面積，再利用可得出的值.【題目詳解】設(shè)的角、、的對(duì)邊分別為、、，在內(nèi)取點(diǎn)，使得，設(shè)，，，由余弦定理得，，同理可得，，，則，的面積為，另一方面，解得，故答案為.【題目點(diǎn)撥】本題考查余弦定理的應(yīng)用，問(wèn)題的關(guān)鍵在于將題中的等式轉(zhuǎn)化為余弦定理，并轉(zhuǎn)化為三角形的面積來(lái)進(jìn)行計(jì)算，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想以及數(shù)形結(jié)合思想，屬于中等題.14、【解題分析】

求出，將展開(kāi)即可得解．【題目詳解】因?yàn)?，，所以，所?【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了三角恒等式及兩角和的正弦公式，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．15、【解題分析】

根據(jù)與垂直即可得出，進(jìn)行數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可求出x的值．【題目詳解】；；．故答案為．【題目點(diǎn)撥】本題考查向量垂直的充要條件，以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．16、【解題分析】

由題意求得，再利用兩角和的正切公式求得的值，可得的值．【題目詳解】，為銳角，且，即，．再結(jié)合，則，故答案為．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查兩角和的正切公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）(i)（）；(ii)【解題分析】

(1)設(shè)日需求量為，直接利用頻率分布圖中的平均數(shù)公式估算該小區(qū)土筍凍日需求量的平均數(shù)；（2）(i)分類(lèi)討論得（）；(ii)由（i）可知，利潤(rùn)，當(dāng)且僅當(dāng)日需求量，再利用互斥事件的概率和公式求解.【題目詳解】解：（1）設(shè)日需求量為，依題意的頻率為；的頻率為；的頻率為；的頻率為．則與的頻率為．故該小區(qū)土筍凍日需求量的平均數(shù)，．（2）（i）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故（）（ii）由（i）可知，利潤(rùn)，當(dāng)且僅當(dāng)日需求量．由頻率分布直方圖可知，日需求量的頻率約為，以頻率估計(jì)概率的思想，估計(jì)當(dāng)天利潤(rùn)不小于元的概率為．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查頻率分布直方圖中平均數(shù)的計(jì)算和分段函數(shù)解析式的求法，考查互斥事件的概率的求法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力，屬于中檔題.18、(1)見(jiàn)解析；(2)【解題分析】

（1）不等式可化為：，比較與的大小，進(jìn)而求出解集．（2）恒成立即恒成立，則，進(jìn)而求得答案．【題目詳解】解：（1）不等式可化為：，①當(dāng)時(shí)，不等無(wú)解；②當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；③當(dāng)時(shí)，不等式的解集為.（2）由可化為：，必有：，化為，解得：.【題目點(diǎn)撥】本題考查含參不等式的解法以及恒成立問(wèn)題，屬于一般題．19、（1），；（2）【解題分析】

（1）由已知求得，可得，取即可求得；（2）由，得，可得數(shù)列是以為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，由此求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，再由錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前項(xiàng)和．【題目詳解】解：（1），且，，，即．，取，得，即；（2）由，得，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，則．則．，，則，．【題目點(diǎn)撥】本題考查數(shù)列求和，訓(xùn)練了利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前項(xiàng)和，屬于中檔題．20、（1）1；（2）40+24【解題分析】

由題設(shè)可知，幾何體是一個(gè)高為4的四棱錐，其底面是長(zhǎng)、寬分別為8和6的矩形，正側(cè)面及其相對(duì)側(cè)面均為底邊長(zhǎng)為8，高為h1的等腰三角形，左、右側(cè)面均為底邊長(zhǎng)為6、高為h2的等腰三角形，分析出圖形之后，再利用公式求解即可．【題目詳解】解：由題設(shè)可知，幾何體是一個(gè)高為4的四棱錐，其底面是長(zhǎng)、寬分別為8和6的矩形，正側(cè)面及其相對(duì)側(cè)面均為底邊長(zhǎng)為8，高為h1的等腰三角形，左、右側(cè)面均為底邊長(zhǎng)為6、高為h2的等腰三角形，如圖所示．（1）幾何體的體積為V?S矩形?h6×8×4＝1．（2）正側(cè)面及相對(duì)側(cè)面底邊上的高為：h12．左、右側(cè)面的底邊上的高為：h24．故幾何體的側(cè)面面積為：S＝2×（8×26×4）＝40+24．21、（1）30人；（2）.【解題分析】

（1）由頻率分布直方圖，先求出年齡在內(nèi)的頻率，進(jìn)而可求出人數(shù)；（2）先由分層抽樣，確定應(yīng)從第3，4組中分別抽取3人，2人，記第3組的3名志愿者分別為，第4組的2名志愿者分別為，再用列舉法，分別列舉出總的基本事件，以及滿足條件的基本事件，基本事件個(gè)數(shù)比即為所求概率.【題目詳解】（1）由題意可知，年齡在內(nèi)的頻率為，故年齡在內(nèi)的