2024屆江西省鄱陽縣第二中學(xué)數(shù)學(xué)高一下期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題含解析

2024屆江西省鄱陽縣第二中學(xué)數(shù)學(xué)高一下期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．若,則下列不等式正確的是（）A． B． C． D．2．設(shè)，，，則的最小值為（）A．2 B．4 C． D．3．如果若干個函數(shù)的圖象經(jīng)過平移后能夠重合，則稱這些函數(shù)為“同簇函數(shù)”．給出下列函數(shù)：①；②；③；④．其中“同簇函數(shù)”的是（）A．①②B．①④C．②③D．③④4．如果，那么下列不等式錯誤的是（）A． B．C． D．5．等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則等于()A．－3 B．5 C．33 D．－316．的值等于()A． B．－ C． D．－7．已知α、β為銳角，cosα＝，tan(α?β)＝?，則tanβ＝()A． B．3 C． D．8．已知函數(shù)，則（）A． B． C． D．9．一個盒子內(nèi)裝有大小相同的紅球、白球和黑球若干個，從中摸出1個球，若摸出紅球的概率是0.45，摸出白球的概率是0.25，那么摸出黑球或紅球的概率是（）A．0.3 B．0.55 C．0.7 D．0.7510．已知為等差數(shù)列，，則的值為（）A．3 B．2 C． D．1二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知曲線與直線交于A，B兩點(diǎn)，若直線OA，OB的傾斜角分別為、，則__________12．若實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為________．13．△ABC中，，，則=_____．14．設(shè)等比數(shù)列的公比，前項(xiàng)和為，則．15．已知，為單位向量，且，若向量滿足，則的最小值為_____.16．已知的圓心角所對的弧長等于，則該圓的半徑為______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知向量.（1）若，且，求實(shí)數(shù)的值；（2）若，且與的夾角為，求實(shí)數(shù)的值.18．已知數(shù)列的前項(xiàng)和（）；（1）判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列；（2）設(shè)，求；（3）設(shè)（），，是否存在最小的自然數(shù)，使得不等式對一切正整數(shù)總成立？如果存在，求出；如果不存在，說明理由；19．已知的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，其外接圓的面積為，且.（1）求邊長c；（2）若的面積為，求的周長.20．已知等比數(shù)列的公比，前項(xiàng)和為，且滿足.，，分別是一個等差數(shù)列的第1項(xiàng)，第2項(xiàng)，第5項(xiàng).（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和；（3）若，的前項(xiàng)和為，且對任意的滿足，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．已知數(shù)列中，，．（1）證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列滿足，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解題分析】

根據(jù)不等式性質(zhì)，結(jié)合特殊值即可比較大小.【題目詳解】對于A，當(dāng)，滿足，但不滿足，所以A錯誤；對于B，當(dāng)時，不滿足，所以B錯誤；對于C，由不等式性質(zhì)“不等式兩邊同時加上或減去同一個數(shù)或式子，不等式符號不變”，所以由可得，因而C正確；對于D，當(dāng)時，不滿足，所以D錯誤.綜上可知，C為正確選項(xiàng)，故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了不等式大小比較，不等式性質(zhì)及特殊值的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.2、D【解題分析】

利用基本不等式可得，再結(jié)合代入即可得出答案．【題目詳解】解：∵，，，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)即，時等號成立，∴，故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查基本不等式求最值，要注意條件“一正二定三相等”，屬于中檔題．3、C【解題分析】試題分析：對于①中的函數(shù)而言，，對于③中的函數(shù)而言，，由“同簇函數(shù)”的定義而知，互為“同簇函數(shù)”的若干個函數(shù)的振幅相等，將②中的函數(shù)向左平移個單位長度，得到的新函數(shù)解析式為，故選C.考點(diǎn)：1.新定義；2.三角函數(shù)圖象變換4、A【解題分析】

利用不等式的性質(zhì)或比較法對各選項(xiàng)中不等式的正誤進(jìn)行判斷.【題目詳解】，，，則，，可得出，因此，A選項(xiàng)錯誤，故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題考查判斷不等式的正誤，常利用不等式的性質(zhì)或比較法來進(jìn)行判斷，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題.5、C【解題分析】

由等比數(shù)列的求和公式結(jié)合條件求出公比，再利用等比數(shù)列求和公式可求出.【題目詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為（公比顯然不為1），則，得，因此，，故選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查等比數(shù)列基本量計(jì)算，利用等比數(shù)列求和公式求出其公比，是解本題的關(guān)鍵，一般在求解等比數(shù)列問題時，有如下兩種方法：（1）基本量法：利用首項(xiàng)和公比列方程組解出這兩個基本量，然后利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式或求和公式來進(jìn)行計(jì)算；（2）性質(zhì)法：利用等比數(shù)列下標(biāo)有關(guān)的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，能起到簡化計(jì)算的作用．6、C【解題分析】

利用誘導(dǎo)公式把化簡成.【題目詳解】【題目點(diǎn)撥】本題考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，即把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化成銳角三角函數(shù)，考查基本運(yùn)算求解能力.7、B【解題分析】

利用角的關(guān)系，再利用兩角差的正切公式即可求出的值.【題目詳解】因?yàn)椋覟殇J角，則，所以，因?yàn)椋怨蔬xB.【題目點(diǎn)撥】主要考查了兩角差的正切公式，同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，屬于中檔題.對于給值求值問題，關(guān)鍵是尋找已知角（條件中的角）與未知角（問題中的角）的關(guān)系，用已知角表示未知角，從而將問題轉(zhuǎn)化為求已知角的三角函數(shù)值，再利用兩角和與差的三角函數(shù)公式、二倍角公式以及誘導(dǎo)公式即可求出.8、A【解題分析】

由題意結(jié)合函數(shù)的解析式分別求得的值，然后求解兩者之差即可.【題目詳解】由題意可得：，，則.故選：A.【題目點(diǎn)撥】求分段函數(shù)的函數(shù)值，要先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間，然后代入該段的解析式求值，當(dāng)出現(xiàn)f(f(a))的形式時，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值．9、D【解題分析】

由題意可知摸出黑球的概率，再根據(jù)摸出黑球，摸出紅球?yàn)榛コ馐录鶕?jù)互斥事件的和即可求解.【題目詳解】因?yàn)閺闹忻?個球，若摸出紅球的概率是0.45，摸出白球的概率是0.25，所以摸出黑球的概率是，因?yàn)閺暮凶又忻?個球?yàn)楹谇蚧蚣t球?yàn)榛コ馐录?，所以摸出黑球或紅球的概率，故選D.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了兩個互斥事件的和事件，其概率公式，屬于中檔題.10、D【解題分析】

根據(jù)等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)，即可求解.【題目詳解】因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，故解得.故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

曲線即圓曲線的上半部分，因?yàn)閳A是單位圓，所以，，，，聯(lián)立曲線與直線方程，消元后根據(jù)韋達(dá)定理與直線方程代入即可求解.【題目詳解】由消去得，則，由三角函數(shù)的定義得故.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查三角函數(shù)的定義，直線與圓的應(yīng)用.此題關(guān)鍵在于曲線的識別與三角函數(shù)定義的應(yīng)用.12、【解題分析】

由題意可得=≥2=2，由不等式的性質(zhì)變形可得．【題目詳解】∵正實(shí)數(shù)a，b滿足，∴=≥2=2，∴ab≥2當(dāng)且僅當(dāng)=即a=且b=2時取等號．故答案為2．【題目點(diǎn)撥】本題考查基本不等式求最值，涉及不等式的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題．13、【解題分析】試題分析：三角形中，,由，得又,所以有正弦定理得即即A為銳角，由得，因此考點(diǎn)：正余弦定理14、15【解題分析】分析：運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與數(shù)列通項(xiàng)公式即可得出的值.詳解：數(shù)列為等比數(shù)列，故答案為15.點(diǎn)睛：本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，考查學(xué)生對基本概念的掌握能力與計(jì)算能力.15、.【解題分析】

由題意設(shè)，，，由得出，它表示圓，由，利用向量的模的幾何意義從而得到最小值.【題目詳解】由題意設(shè)，，，因，即，所以，它表示圓心為，半徑的圓，又，所以，而表示圓上的點(diǎn)與點(diǎn)的距離的平方，由，所以，故的最小值為.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了平面向量的數(shù)量積與應(yīng)用問題，也考查了圓的方程與應(yīng)用問題，屬于中檔題.16、【解題分析】

先將角度化為弧度，再根據(jù)弧長公式求解．【題目詳解】解：圓心角，弧長為，，即該圓的半徑長．故答案為：．【題目點(diǎn)撥】本題考查了角度和弧度的互化以及弧長公式的應(yīng)用問題，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解題分析】

（1）根據(jù)平面向量加法和數(shù)乘的坐標(biāo)表示公式、數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式，結(jié)合兩個互相垂直的平面向量數(shù)量積為零，進(jìn)行求解即可；（2）利用平面向量夾角公式進(jìn)行求解即可.【題目詳解】（1）當(dāng)時，.因?yàn)?，所以；?）當(dāng)時，所以有，因?yàn)榕c的夾角為，所以有.【題目點(diǎn)撥】本題考查了平面向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示公式，考查了平面向量夾角公式，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.18、（1）否；（2）；（3）；【解題分析】

（1）根據(jù)數(shù)列中與的關(guān)系式，即可求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，再結(jié)合等差數(shù)列的定義，即可求解；（2）由（1）知，求得當(dāng)時，，當(dāng)時，，利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，分類討論，即可求解.（3）由（1）得到當(dāng)時，，當(dāng)時，，結(jié)合裂項(xiàng)法，求得，即可求解.【題目詳解】（1）由題意，數(shù)列的前項(xiàng)和（），當(dāng)時，，當(dāng)，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為，所以數(shù)列不是等差數(shù)列.（2）由（1）知，令，解得，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，①當(dāng)時，②當(dāng)時，綜上可得.（3）由（1）可得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，，要使得不等式對一切正整數(shù)總成立，則，即.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了數(shù)列中與的關(guān)系式，等差數(shù)列的定義，數(shù)列的絕對值的和，以及“裂項(xiàng)法”的綜合應(yīng)用，著重考查了分析問題和解答問題的能力，以及推理與計(jì)算能力，試題有一定的綜合性，屬于中檔試題.19、（1）（2）【解題分析】

（1）計(jì)算得到，，利用正弦定理計(jì)算得到答案.（2）根據(jù)余弦定理得到，根據(jù)面積公式得到，得到答案.【題目詳解】（1），.，.，，.（2）由余弦定理得：.，，，，.的周長為.【題目點(diǎn)撥】本題考查了正弦定理，余弦定理和面積公式，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.20、(1).(2)；(3)【解題分析】

（1）利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式以及求和公式化簡，得到，由，，分別是一個等差數(shù)列的第1項(xiàng)，第2項(xiàng)，第5項(xiàng)，利用等差數(shù)列的定義可得，化簡即可求出，從而得到數(shù)列的通項(xiàng)公式．（2）由（1）可得，利用錯位相減，求出數(shù)列的前項(xiàng)和即可；（3）結(jié)合（1）可得，利用裂項(xiàng)相消法，即可得到的前項(xiàng)和，求出的最大值，即可解得實(shí)數(shù)的取值范圍【題目詳解】（1）由得，所以，由，，分別是一個等差數(shù)列的第1項(xiàng)，第2項(xiàng)，第5項(xiàng)，得，即，即，即，因?yàn)?，所以，所?（2）由于，所以，所以，，兩式相減得，，所以（3）由知，∴，∴，解得或.即實(shí)數(shù)的取值范圍是【題目點(diǎn)撥】本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和，等差數(shù)列的定義，以及利用錯位相減法和裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前項(xiàng)和，考查學(xué)生的計(jì)算能力，有一定綜合性．21、（1）證明見解析；；（2）【解題分析】

（1）先證明數(shù)列是以3為公比，以為首項(xiàng)的等比數(shù)列，從而，由此能求出的通項(xiàng)