2024屆廣東省廣雅中學、執(zhí)信、六中、深外四校數(shù)學高一第二學期期末經(jīng)典試題含解析

2024屆廣東省廣雅中學、執(zhí)信、六中、深外四校數(shù)學高一第二學期期末經(jīng)典試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知直線與平行，則等于()A．或 B．或 C． D．2．已知兩點，，直線過點且與線段相交，則直線的斜率的取值范圍是（）A． B．C． D．或3．《九章算術(shù)》中有這樣一個問題：今有竹九節(jié)，欲均減容之（其意為：使容量均勻遞減），上三節(jié)容四升，下三節(jié)容二升，中三節(jié)容幾何？（）A．二升 B．三升 C．四升 D．五升4．已知，集合，則A． B． C． D．5．若實數(shù)滿足約束條件，則的最大值為（）A．9 B．7 C．6 D．36．在某種新型材料的研制中，實驗人員獲得了下列一組實驗數(shù)據(jù)：現(xiàn)準備用下列四個函數(shù)中的一個近似地表示這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，其中最接近的一個是（）345.156.1264.04187.51218.01A． B． C． D．7．l：與兩坐標軸所圍成的三角形的面積為A．6 B．1 C． D．38．已知一個扇形的圓心角為，半徑為1．則它的弧長為（）A． B． C． D．9．若，則以下不等式一定成立的是()A． B． C． D．10．已知中，，，為邊上的中點，則()A．0 B．25 C．50 D．100二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知向量，，且，則的值為________.12．已知向量滿足，則與的夾角的余弦值為__________．13．已知數(shù)列滿足，，則_______；_______.14．兩圓，相切，則實數(shù)＝______.15．函數(shù)的值域是______．16．在中，，，為角，，所對的邊，點為的重心，若，則的取值范圍為______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知，且，向量，.（1）求函數(shù)的解析式，并求當時，的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）當時，的最大值為5，求的值；（3）當時，若不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.18．已知函數(shù).（1）當，時，求不等式的解集；（2）若，，的最小值為2，求的最小值.19．已知，，與的夾角是（1）計算：①，②；（2）當為何值時，與垂直？20．已知數(shù)列滿足，（）；（1）求、、；（2）猜想數(shù)列的通項公式；（3）用數(shù)學歸納法證明你的猜想；21．已知數(shù)列的遞推公式為．（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項公式．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解題分析】

由題意可知且，解得．故選．2、D【解題分析】

作出示意圖，再結(jié)合兩點間的斜率公式，即可求得答案.【題目詳解】，，又直線過點且與線段相交，作圖如下：則由圖可知，直線的斜率的取值范圍是：或．故選：D【題目點撥】本題借直線與線段的交點問題，考查兩點間的斜率公式，考查理解辨析能力，屬于中檔題.3、B【解題分析】

由題意可得，上、中、下三節(jié)的容量成等差數(shù)列．再利用等差數(shù)列的性質(zhì)，求出中三節(jié)容量，即可得到答案．【題目詳解】由題意，上、中、下三節(jié)的容量成等差數(shù)列，上三節(jié)容四升，下三節(jié)容二升，則中三節(jié)容量為，故選B．【題目點撥】本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟記等差數(shù)列的等差中項公式是解答的關(guān)鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題．4、D【解題分析】

先求出集合A，由此能求出?UA．【題目詳解】∵U＝R，集合A＝{x|1﹣2x＞0}＝{x|x}，∴?UA＝{x|x}．故選：D．【題目點撥】本題考查補集的求法，考查補集定義、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．5、A【解題分析】由約束條件作出可行域如圖，聯(lián)立，解得，化目標函數(shù)為，由圖可知，當直線過時，直線在軸上的截距最大，有最大值為，故選A.【方法點晴】本題主要考查線性規(guī)劃中利用可行域求目標函數(shù)的最值，屬簡單題.求目標函數(shù)最值的一般步驟是“一畫、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是實線還是虛線）；（2）找到目標函數(shù)對應(yīng)的最優(yōu)解對應(yīng)點（在可行域內(nèi)平移變形后的目標函數(shù)，最先通過或最后通過的頂點就是最優(yōu)解）；（3）將最優(yōu)解坐標代入目標函數(shù)求出最值.6、A【解題分析】

由表中的數(shù)據(jù)分析得：自變量基本上是等速增加，相應(yīng)的函數(shù)值增加的速度越來越快，結(jié)合基本初等函數(shù)的單調(diào)性，即可得出答案.【題目詳解】對于A：函數(shù)在是單調(diào)遞增，且函數(shù)值增加速度越來越快，將自變量代入，相應(yīng)的函數(shù)值，比較接近，符合題意，所以正確；對于B：函數(shù)值隨著自變量增加是等速的，不合題意；對于C：函數(shù)值隨著自變量的增加比線性函數(shù)還緩慢，不合題意；選項D：函數(shù)值隨著自變量增加反而減少，不合題意.故選:A.【題目點撥】本題考查函數(shù)模型的選擇和應(yīng)用問題，解題的關(guān)鍵是掌握各種基本初等函數(shù)，如一次函數(shù)，二次函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.7、D【解題分析】

先求出直線與坐標軸的交點，再求三角形的面積得解.【題目詳解】當x=0時，y=2,當y=0時，x=3,所以三角形的面積為.故選：D【題目點撥】本題主要考查直線與坐標軸的交點的坐標的求法，意在考查學生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力.8、C【解題分析】

直接利用扇形弧長公式求解即可得到結(jié)果.【題目詳解】由扇形弧長公式得：本題正確選項：【題目點撥】本題考查扇形弧長公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.9、C【解題分析】

利用不等式的運算性質(zhì)分別判斷，正確的進行證明，錯誤的舉出反例.【題目詳解】沒有確定正負，時，，所以不選A；當時，，所以不選B；當時，，所以不選D；由，不等式成立.故選C.【題目點撥】本題考查不等式的運算性質(zhì)，比較法證明不等式，屬于基本題.10、C【解題分析】

三角形為直角三角形，CM為斜邊上的中線，故可知其長度，由向量運算法則，對式子進行因式分解，由平行四邊形法則，求出向量，由長度計算向量積.【題目詳解】由勾股定理逆定理可知三角形為直角三角形，CM為斜邊上的中線，所以，原式=.故選C.【題目點撥】本題考查向量的線性運算及數(shù)量積，數(shù)量積問題一般要將兩個向量轉(zhuǎn)化為已知邊長和夾角的兩向量，但本題經(jīng)化簡能得到共線的兩向量所以直接根據(jù)模的大小計算即可.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

利用共線向量的坐標表示求出的值，可計算出向量的坐標，然后利用向量的模長公式可求出的值.【題目詳解】，，且，，解得，，則，因此，，故答案為：.【題目點撥】本題考查利用共線向量的坐標表示求參數(shù)，同時也考查了向量模的坐標運算，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.12、【解題分析】

由得，結(jié)合條件，即可求出，的值，代入求夾角公式，即可求解．【題目詳解】由得與的夾角的余弦值為.【題目點撥】本題考查數(shù)量積的定義，公式的應(yīng)用，求夾角公式的應(yīng)用，計算量較大，屬基礎(chǔ)題．13、【解題分析】

令代入可求得；方程兩邊取倒數(shù)，構(gòu)造出等差數(shù)列，即可得答案.【題目詳解】令，則；∵，∴數(shù)列為等差數(shù)列，∴，∴.故答案為：；.【題目點撥】本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系求通項，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意兩邊取倒數(shù)，構(gòu)造新等差數(shù)列的方法.14、0,±2【解題分析】

根據(jù)題意，由圓的標準方程分析兩圓的圓心與半徑，分兩圓外切與內(nèi)切兩種情況討論，求出a的值，綜合即可得答案．【題目詳解】根據(jù)題意：圓的圓心為（0，0），半徑為1，圓的圓心為（﹣4，a），半徑為5，若兩圓相切，分2種情況討論：當兩圓外切時，有（﹣4）2+a2=（1+5）2，解可得a=±2，當兩圓內(nèi)切時，有（﹣4）2+a2=（1﹣5）2，解可得a=0，綜合可得：實數(shù)a的值為0或±2；故答案為0或±2．【題目點撥】本題考查圓與圓的位置關(guān)系，關(guān)鍵是掌握圓與圓的位置關(guān)系的判定方法．15、【解題分析】

將函數(shù)化為的形式，再計算值域?！绢}目詳解】因為所以【題目點撥】本題考查三角函數(shù)的值域，屬于基礎(chǔ)題。16、【解題分析】

在中，延長交于，由重心的性質(zhì)，找到、和的關(guān)系，在和中利用余弦定理分別表示出和，求出，再利用余弦定理表示出，利用基本不等式和的范圍求解即可.【題目詳解】畫出，連接，并延長交于，因為是的重心，所以為中點，因為，所以，由重心的性質(zhì)，，在中，由余弦定理得，，在中，由余弦定理得，因為，所以，又，所以，在中，由余弦定理和基本不等式，，又，所以，故.故答案為：【題目點撥】本題主要考查三角形重心的性質(zhì)、余弦定理解三角形和基本不等式求最值，考查學生的分析轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），單調(diào)增區(qū)間為；（2）或；（3）.【解題分析】試題分析：（Ⅰ）化簡，解不等式求得的范圍即得增區(qū)間（2）討論a的正負，確定最大值，求a；（3）化簡絕對值不等式，轉(zhuǎn)化在上恒成立，即，求出在上的最大值，最小值即得解.試題解析：（1）∵∴∴單調(diào)增區(qū)間為（2）當時，若，，∴若，，∴∴綜上，或.（3）在上恒成立，即在上恒成立，∴在上最大值2，最小值，∴∴的取值范圍.點睛:本題考查了平面向量的數(shù)量積的應(yīng)用，三角函數(shù)的單調(diào)性與最值，三角函數(shù)的化簡，恒成立問題的處理及分類討論的數(shù)學思想，綜合性強.18、（1）；（2）【解題分析】

（1）利用零點討論法解絕對值不等式；（2）利用絕對值三角不等式得到a+b=2,再利用基本不等式求的最小值.【題目詳解】（1）當，時，，得或或，解得：，∴不等式的解集為.（2），∴，∴，當且僅當，時取等號.∴的最小值為.【題目點撥】本題主要考查零點討論法解絕對值不等式，考查絕對值三角不等式和基本不等式求最值，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.19、（1）①；②；（2）.【解題分析】

利用數(shù)量積的定義求解出的值；（1）將所求模長平方，從而得到關(guān)于模長和數(shù)量積的式子，代入求得模長的平方，再開平方得到結(jié)果；（2）向量互相垂直得到數(shù)量積等于零，由此建立方程，解方程求得結(jié)果.【題目詳解】由已知得：（1）①②（2）若與垂直，則即：，解得：【題目點撥】本題考查利用數(shù)量積求解向量的模長、利用數(shù)量積與向量垂直的關(guān)系求解參數(shù)的問題.求解向量的模長關(guān)鍵是能夠通過平方運算將問題轉(zhuǎn)化為模長和數(shù)量積運算的形式，從而使問題得以求解.20、（1），，；（2）；（3）證明見解析；【解題分析】

（1）根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系式，代入運算，即可求解、、；（2）由（1）可猜想得；（3）利用數(shù)學歸納法，即可證得猜想是正確的.【題目詳解】（1）由題意，數(shù)列滿足，（）；所以，，；（2）由（1）可猜想得；（3）①當時，，上式成立；②假設(shè)當時，成立，則當時，由①②可得，當時，成立，即數(shù)列的通項公式為.【題目點撥】本題主要考查了數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，以及數(shù)學歸納法的證明，其中解答