2024屆上海市長寧區(qū)、嘉定區(qū)高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末監(jiān)測試題含解析

2024屆上海市長寧區(qū)、嘉定區(qū)高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末監(jiān)測試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．中，，，，則（）A．1 B． C． D．42．如圖，在正方體中，，分別是中點，則異面直線與所成角大小為（）．A． B． C． D．3．在中，是斜邊上的兩個動點，且，則的取值范圍為（）A． B． C． D．4．已知數(shù)列的前項和為，且，則()A． B． C． D．5．在等差數(shù)列an中，若a3+A．6 B．7 C．8 D．96．函數(shù)的部分圖象如圖所示，函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．函數(shù)與的圖象均關(guān)于直線對稱C．函數(shù)與的圖象均關(guān)于點對稱D．函數(shù)與在區(qū)間上均單調(diào)遞增7．《九章算術(shù)》中有如下問題：今有蒲生一日，長三尺，莞生一日，長1尺．蒲生日自半，莞生日自倍．問幾何日而長等？意思是：今有蒲第一天長高3尺，莞第一天長高1尺，以后蒲每天長高前一天的一半，莞每天長高前一天的2倍．若蒲、莞長度相等，則所需時間為（）（結(jié)果精確到0.1．參考數(shù)據(jù)：lg2＝0.3010，lg3＝0.2．）A．2.6天 B．2.2天 C．2.4天 D．2.8天8．已知x，y∈R，且x>y>0，則（）A． B．C． D．lnx+lny>09．一個扇形的弧長與面積都是3，則這個扇形圓心角的弧度數(shù)為（）A． B． C． D．10．中，角所對的邊分別為，已知向量，，且共線，則的形狀是（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知實數(shù)，是與的等比中項，則的最小值是______．12．已知，則與的夾角等于___________.13．已知角的頂點在坐標(biāo)原點，始邊與軸正半軸重合，終邊經(jīng)過點，則______.14．在銳角△ABC中，BC＝2，sinB+sinC＝2sinA，則AB+AC＝_____15．某校高一、高二、高三分別有學(xué)生1600名、1200名、800名，為了解該校高中學(xué)生的牙齒健康狀況，按各年級的學(xué)生數(shù)進(jìn)行分層抽樣，若高三抽取20名學(xué)生，則高一、高二共抽取的學(xué)生數(shù)為.16．設(shè)是公差不為0的等差數(shù)列,且成等比數(shù)列,則的前10項和________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數(shù).（1）求在區(qū)間上的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求在的值域.18．已知三角形的三個頂點，，.（1）求線段的中線所在直線方程；（2）求邊上的高所在的直線方程.19．2019年4月20日，福建省人民政府公布了“3+1+2”新高考方案，方案中“2”指的是在思想政治、地理、化學(xué)、生物4門中選擇2門.“2”中記入高考總分的單科成績是由原始分轉(zhuǎn)化得到的等級分，學(xué)科高考原始分在全省的排名越靠前，等級分越高小明同學(xué)是2018級的高一學(xué)生.已確定了必選地理且不選政治，為確定另選一科，小明收集并整理了化學(xué)與生物近10大聯(lián)考的成績百分比排名數(shù)據(jù)x(如x=19的含義是指在該次考試中，成績高于小明的考生占參加該次考試的考生數(shù)的19%)繪制莖葉圖如下.(1)分別計算化學(xué)、生物兩個學(xué)科10次聯(lián)考的百分比排名的平均數(shù)；中位數(shù)；(2)根據(jù)已學(xué)的統(tǒng)計知識，并結(jié)合上面的數(shù)據(jù)，幫助小明作出選擇.并說明理由.20．已知向量，其中，記函數(shù)，已知的最小正周期為.(1)求；(2)當(dāng)時，試求函數(shù)的值域.21．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，.（1）求角C；（2）若，，求的面積.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解題分析】

利用三角形內(nèi)角和為可求得；利用正弦定理可求得結(jié)果.【題目詳解】由正弦定理得：本題正確選項：【題目點撥】本題考查正弦定理解三角形，屬于基礎(chǔ)題.2、C【解題分析】

通過中位線定理可以得到在正方體中，可以得到所以這樣找到異面直線與所成角，通過計算求解．【題目詳解】分別是中點，所以有而，因此異面直線與所成角為在正方體中，,所以，故本題選C．【題目點撥】本題考查了異面直線所成的角．3、A【解題分析】

可借助直線方程和平面直角坐標(biāo)系，代換出之間的關(guān)系，再結(jié)合向量的數(shù)量積公式進(jìn)行求解即可【題目詳解】如圖所示：設(shè)直線方程為：，，，由得，可設(shè)，則，，，，當(dāng)時，，故故選A【題目點撥】本題考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，向量法在幾何中的應(yīng)用，屬于中檔題4、D【解題分析】

通過和關(guān)系，計算通項公式，再計算，代入數(shù)據(jù)得到答案.【題目詳解】，取，兩式相減得：是首項為4，公比為2的等比數(shù)列.故答案選D【題目點撥】本題考查了等比數(shù)列的通項公式，前N項和，意在考查學(xué)生的計算能力.5、C【解題分析】

通過等差數(shù)列的性質(zhì)可得答案.【題目詳解】因為a3+a9=17【題目點撥】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，難度不大.6、D【解題分析】

由三角函數(shù)圖像可得，，再結(jié)合三角函數(shù)圖像的性質(zhì)逐一判斷即可得解.【題目詳解】解：由函數(shù)的部分圖象可得,,即,則，又函數(shù)圖像過點，則，即，又，即，即，則對于選項A，顯然錯誤；對于選項B，函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，即B錯誤；對于選項C，函數(shù)的圖像關(guān)于點對稱，即C錯誤；對于選項D，函數(shù)的增區(qū)間為，函數(shù)的增區(qū)間為，又，，即D正確，故選：D.【題目點撥】本題考查了利用三角函數(shù)圖像求函數(shù)解析式，重點考查了三角函數(shù)圖像的性質(zhì)，屬中檔題.7、A【解題分析】

設(shè)蒲的長度組成等比數(shù)列{an}，其a1＝3，公比為，其前n項和為An．莞的長度組成等比數(shù)列{bn}，其b1＝1，公比為2，其前n項和為Bn．利用等比數(shù)列的前n項和公式及其對數(shù)的運算性質(zhì)即可得出．．【題目詳解】設(shè)蒲的長度組成等比數(shù)列{an}，其a1＝3，公比為，其前n項和為An．莞的長度組成等比數(shù)列{bn}，其b1＝1，公比為2，其前n項和為Bn．則An，Bn，由題意可得：，化為：2n7，解得2n＝3，2n＝1（舍去）．∴n12.3．∴估計2.3日蒲、莞長度相等，故選：A．【題目點撥】本題考查了等比數(shù)列的通項公式與求和公式在實際中的應(yīng)用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．8、A【解題分析】

結(jié)合選項逐個分析，可選出答案.【題目詳解】結(jié)合x，y∈R，且x>y>0，對選項逐個分析：對于選項A，，，故A正確；對于選項B，取，，則，故B不正確；對于選項C，，故C錯誤；對于選項D，，當(dāng)時，，故D不正確.故選A.【題目點撥】本題考查了不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.9、B【解題分析】

根據(jù)扇形的弧長與面積公式,代入已知條件即可求解.【題目詳解】設(shè)扇形的弧長為,面積為,半徑為,圓心角弧度數(shù)為由定義可得,代入解得rad故選:B【題目點撥】本題考查了扇形的弧長與面積公式應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.10、D【解題分析】

由向量共線的坐標(biāo)表示得一等式，然后由正弦定理化邊為角，利用誘導(dǎo)公式得展開后代入原式化簡得，分類討論得解．【題目詳解】∵共線，∴，即，，，整理得，所以或，或或（舍去）．∴三角形為直角三角形或等腰三角形．故選：D.【題目點撥】本題考查三角形形狀的判斷，考查向量共線的坐標(biāo)表示，考查正弦定理，兩角和的正弦公式，考查三角函數(shù)性質(zhì)．解題時不能隨便約分漏解．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

通過是與的等比中項得到，利用均值不等式求得最小值.【題目詳解】實數(shù)是與的等比中項，，解得．則，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時取等號．故答案為:．【題目點撥】本題考查了等比中項，均值不等式，1的代換是解題的關(guān)鍵.12、【解題分析】

利用再結(jié)合已知條件即可求解【題目詳解】由，即，故答案為：【題目點撥】本題考查向量的夾角計算公式，在考題中應(yīng)用廣泛，屬于中檔題13、【解題分析】

利用三角函數(shù)的定義可求出的值.【題目詳解】由三角函數(shù)的定義可得，故答案為.【題目點撥】本題考查利用三角函數(shù)的定義求余弦值，解題的關(guān)鍵就是三角函數(shù)定義的應(yīng)用，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.14、1【解題分析】

由正弦定理化已知等式為邊的關(guān)系，可得結(jié)論．【題目詳解】∵sinB+sinC＝2sinA，由正弦定理得，即．故答案為1．【題目點撥】本題考查正弦定理，解題時利用正弦定理進(jìn)行邊角關(guān)系的轉(zhuǎn)化即可．15、70【解題分析】設(shè)高一、高二抽取的人數(shù)分別為，則，解得.【考點】分層抽樣.16、【解題分析】

利用等差數(shù)列的通項公式和等比數(shù)列的性質(zhì)求出公差，由此能求出【題目詳解】因為是公差不為0的等差數(shù)列,且成等比數(shù)列所以，即解得或(舍)所以故答案為：【題目點撥】本題考查等差數(shù)列前10項和的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)合理運用.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)和.(2)【解題分析】

（1）利用輔助角公式可將函數(shù)化簡為；令可求出的單調(diào)遞增區(qū)間，截取在上的部分即可得到所求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）利用的范圍可求得的范圍，對應(yīng)正弦函數(shù)的圖象可求得的范圍，進(jìn)而得到函數(shù)的值域.【題目詳解】（1）令，解得：令，可知在上單調(diào)遞增令，可知在上單調(diào)遞增在上的單調(diào)遞增區(qū)間為：和（2）當(dāng)時，即在的值域為：【題目點撥】本題考查正弦型函數(shù)單調(diào)區(qū)間和值域的求解問題；解決此類問題的常用方法是采用整體對應(yīng)的方式，將整體對應(yīng)正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間或整體所處的范圍，從而結(jié)合正弦函數(shù)的知識可求得結(jié)果.18、（1）（2）.【解題分析】

（1）先求出BC中點的坐標(biāo)，再求BC的中線所在直線的方程；（2）先求出AB的斜率，再求出邊上的高所在的直線方程.【題目詳解】（1）由題得BC的中點D的坐標(biāo)為（2，-1）,所以,所以線段的中線AD所在直線方程為即.（2）由題得,所以AB邊上的高所在直線方程為，即.【題目點撥】本題主要考查直線方程的求法，意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.19、（1）化學(xué)平均數(shù)30.2；中位數(shù)26；生物平均數(shù)29.6；中位數(shù)31；（2）見解析【解題分析】

（1）直接利用平均數(shù)的公式和中位數(shù)的定義計算化學(xué)、生物兩個學(xué)科10次聯(lián)考的百分比排名的平均數(shù)和中位數(shù)；（2）從平均數(shù)或中位數(shù)的角度出發(fā)幫助小明選擇.【題目詳解】解：（1）化學(xué)學(xué)科全市百分比排名的平均數(shù)，化學(xué)學(xué)科聯(lián)考百分比排名的中位數(shù)為.生物學(xué)科聯(lián)考百分比排名的平均數(shù)，生物學(xué)科聯(lián)考百分比排名的中位數(shù)為.（2）從平均數(shù)來看，小明的生物學(xué)科比化學(xué)學(xué)科百分比排名靠前，應(yīng)選生物.或者:從中位數(shù)來看，小明的化學(xué)學(xué)科比生物學(xué)科百分比排名靠前，應(yīng)選化學(xué).【題目點撥】本題主要考查平均數(shù)的計算和中位數(shù)的計算，考查平均數(shù)和中位數(shù)的意義，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.20、（1）1（2）【解題分析】

（1）先根據(jù)向量數(shù)列積得關(guān)系式，再根據(jù)二倍角公式以及配角公式化為基本三角函數(shù)形式，最后根據(jù)正弦函數(shù)周期性得；（2）先根據(jù)x取值范圍得范圍，再根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)確定值域.【題