不同函數(shù)增長的差異 高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊

4.4.3不同函數(shù)增長的差異1.了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)的增長差異知識點(diǎn)1：指數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)的增長差異思考:以函數(shù)y=2x與y=2x為例,研究指數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)，探索它們在區(qū)間[0,+∞）上的增長差異，描述指數(shù)函數(shù)增長的特點(diǎn).

xy=2xy=2x0100.51.41411221.52.82832442.55.6575386·········x132y8O5123764(1)函數(shù)y=2x與y=2x有兩個(gè)交點(diǎn)(1,2)和(2,4)(2)在區(qū)間(0,1)上，函數(shù)y=2x的圖象位于y=2x之上(3)在區(qū)間(1,2)上，函數(shù)y=2x的圖象位于y=2x之下(4)在區(qū)間(2,3)上，函數(shù)y=2x的圖象位于y=2x之上x132y8O5123764綜上：雖然函數(shù)y=2x與y=2x都是增函數(shù)，但是它們的增長速度不同，函數(shù)y=2x的增長速度不變，但是y=2x的增長速度改變，先慢后快.思考:取更大的x值，在更大的范圍內(nèi)兩個(gè)函數(shù)圖象的關(guān)系？

xy=2xy=2x0102444168664128256161010242012409624·········x51510yO1000200400600800隨著自變量取值越來越大，函數(shù)y=2x的圖象幾乎與x軸垂直，函數(shù)值快速增長，函數(shù)y=2x的增長速度保持不變，和y=2x的增長相比幾乎微不足道.函數(shù)y=2x與y=2x在[0,+∞)上增長快慢的不同如下：

雖然函數(shù)y=2x與y=2x在[0,+∞)上都是單調(diào)遞增，但它們的增長速度不同.

隨著x的增大，y=2x的增長速度越來越快，會(huì)超過并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y=2x的增長速度.

盡管在x的一定范圍內(nèi)，2x<2x，但由于y=2x的增長最終會(huì)快于y=2x的增長，因此，總會(huì)存在一個(gè)x0，當(dāng)x>x0時(shí)，恒有2x>2x.總結(jié)歸納一般地,指數(shù)函數(shù)y=ax(a>1)與一次函數(shù)y=kx(k>0)的增長都與上述類似.

即使k值遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于a值，指數(shù)函數(shù)y=ax(a>1)有一段區(qū)間會(huì)小于y=kx(k>0)，但總會(huì)存在一個(gè)x0，當(dāng)x>x0時(shí)，

y=ax(a>1)的增長速度會(huì)大大超過y=kx(k>0)的增長速度.

指數(shù)函數(shù)不像一次函數(shù)那樣按同一速度增長，而是越來越快，呈爆炸性增長(指數(shù)爆炸).練一練四個(gè)變量y1，y2，y3，y4隨變量x變化的數(shù)據(jù)如表：x151015202530y1226101226401626901y22321024377681.05×1063.36×1071.07×109y32102030405060y424.3225.3225.9076.3226.6446.907關(guān)于x呈指數(shù)函數(shù)變化的變量是________.y2知識點(diǎn)2：對數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)的增長差異思考:以函數(shù)y=lgx與

為例,研究對數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)，探索它們在區(qū)間[0,+∞）上的增長差異，試描述對數(shù)函數(shù)增長的特點(diǎn).

xy=lgx0不存在01011201.3012301.4773401.6024501.6995601.7786·········x204030yO612345106050x204030yO612345106050在(0,+∞)上增長速度不變，y=lgx在(0,+∞)上的增長速度在變化.隨著x的增大，的圖象離x軸越來越遠(yuǎn)，而函數(shù)y=lgx的圖象越來越平緩，就像與x軸平行一樣.思考：將y=lgx放大1000倍，將函數(shù)y=1000lgx與比較，仍有上面規(guī)律嗎？對數(shù)函數(shù)

與一次函數(shù)y=kx(k>0)在(0,+∞)上都是單調(diào)遞增，但它們的增長速度不同.

隨著x的增大，一次函數(shù)y=kx(k>0)保持固定的增長速度，而對數(shù)函數(shù)的增長速度越來越慢.

不論a值比k值大多少，在一定范圍內(nèi)，可能會(huì)大于kx，但由于的增長會(huì)慢于kx的增長，因此總存在一個(gè)x0，當(dāng)x>x0時(shí)，恒有.總結(jié)歸納對數(shù)函數(shù)比較適合于描述增長速度平緩的變化規(guī)律(對數(shù)增長).函數(shù)f(x)＝lgx，g(x)＝0.3x－1的圖象如圖所示．(1)試根據(jù)函數(shù)的增長差異指出曲線C1，C2分別對應(yīng)的函數(shù)；(2)比較兩函數(shù)的增長差異(以兩圖象交點(diǎn)為分界點(diǎn)，對f(x)，g(x)的大小進(jìn)行比較).練一練解：(1)C1對應(yīng)的函數(shù)為g(x)＝0.3x－1，C2對應(yīng)的函數(shù)為f(x)＝lgx.(2)比較兩函數(shù)的增長差異(以兩圖象交點(diǎn)為分界點(diǎn)，對f(x)，g(x)的大小進(jìn)行比較).(2)當(dāng)x<x1時(shí)，g(x)>f(x)；當(dāng)x1<x<x2時(shí)，f(x)>g(x)；當(dāng)