流體力學(xué)第一章 緒 論 第二章 場論與正交曲線坐標(biāo)

流體力學(xué)

退出中國科學(xué)文化出版社前言退出目錄流體力學(xué)根底第一篇第二篇流體動力學(xué)根本原理及流體工程退出第三篇計算流體動力學(xué)

第一篇流體力學(xué)根底

緒論場論與正交曲線坐標(biāo)流體靜力學(xué)流體運動學(xué)第一章第二章第三章第四章退出返回第二篇

流體動力學(xué)根本原理及流體工程流體動力學(xué)微分形式根本方程流體動力學(xué)積分形式根本方程伯努利方程及其應(yīng)用量綱分析和相似原理流動阻力與管道計算邊界層理論流體繞過物體的流動氣體動力學(xué)根底第五章第六章第七章第八章第九章退出返回第十章第十一章第十二章第三篇計算流體動力學(xué)計算流體動力學(xué)數(shù)學(xué)物理根底流體動力學(xué)問題的有限差分解法流體動力學(xué)問題的有限元解法第十三章第十四章第十五章退出返回第一章緒論流體力學(xué)的研究對象和開展歷史 流體力學(xué)的研究方法第一節(jié)第二節(jié)退出返回第三章流體靜力學(xué)作用于流體上的力靜止流場中的應(yīng)力靜止流體的根本微分方程重力場中靜止流體的壓力，靜止流體對物面的作用力重力場中靜止氣體的壓力分布非慣性坐標(biāo)系中的靜止流體外表張力與毛細現(xiàn)象流體靜壓力的測量原理第一節(jié)第二節(jié)第三節(jié)第四節(jié)第五節(jié)第六節(jié)第七節(jié)第八節(jié)退出返回第四章流體運動學(xué)流體運動的描述

跡線、流線、流管環(huán)量和旋度、通量和散度的物理意義微元流體線的運動流體微團的運動

第一節(jié)第二節(jié)第三節(jié)第四節(jié)第五節(jié)退出返回第五章

流體動力學(xué)根本原理及流體工程

連續(xù)性方程理想流體運動方程實際流體運動方程第一節(jié)第二節(jié)第三節(jié)退出返回第六章

流體動力學(xué)根本原理及流體工程連續(xù)性方程

動量方程動量矩方程能量方程第一節(jié)第二節(jié)第三節(jié)第四節(jié)退出返回第七章伯努利方程式及其應(yīng)用伯努利方程式及其限定條件

實際流體的伯努利方程式實際流體的總流伯努利方程式相對運動的伯努利方程式伯努利方程式的應(yīng)用

第一節(jié)第二節(jié)第三節(jié)第四節(jié)第五節(jié)退出返回第八章量綱分析和相似原理

量綱分析和

定理

相似理論流體力學(xué)模型研究方法第一節(jié)第二節(jié)第三節(jié)退出返回第九章流體阻力與管道計算流動狀態(tài)與阻力分類

圓管中的層流圓管中的紊流圓管中的沿程阻力第一節(jié)第二節(jié)第三節(jié)第四節(jié)退出返回第十章邊界層理論

邊界層特性邊界層微分方程平板層流邊界層的微分方程解邊界層積分〔動量〕方程平板層流邊界層的積分方程解平板紊流邊界層計算平板混合邊界層計算第一節(jié)第二節(jié)第三節(jié)第四節(jié)第五節(jié)退出返回第六節(jié)第七節(jié)第十一章流體繞過物體的流動

平面勢流流體繞過圓柱體的流動流體繞過球體的流動

第一節(jié)第二節(jié)第三節(jié)退出返回第十二章氣體動力學(xué)根底壓力波的傳播，音速運動點擾源產(chǎn)生的擾動場，馬赫數(shù)與馬赫角一元穩(wěn)定等熵流動的根本方程理想氣體一元穩(wěn)定等熵流動的根本特性氣流參數(shù)與流道截面積的關(guān)系漸縮噴管和拉伐爾噴管第一節(jié)第二節(jié)第三節(jié)第四節(jié)第五節(jié)退出返回第六節(jié)第十三章

計算流體動力學(xué)數(shù)學(xué)物理根底流動問題數(shù)值求解的根本步驟流動控制方程離散方程的建立方法差分方程特性分析第一節(jié)第二節(jié)第三節(jié)第四節(jié)退出返回第十四章

流體動力學(xué)問題的有限差分解法

勢流問題的數(shù)值計算回流流動問題的數(shù)值計算

第一節(jié)第二節(jié)退出返回第十五章

流體動力學(xué)問題的有限元解法

有限元法的根本思想與區(qū)域離散化有限元法中代數(shù)方程的建立二維邊值問題有限元法求解舉例有限分析法介紹第一節(jié)第二節(jié)退出返回第三節(jié)第四節(jié)第一章緒論第一節(jié)流體力學(xué)的研究對象和開展歷史退出返回第一章緒論第一節(jié)流體力學(xué)的研究對象和開展歷史退出返回第一章緒論第一節(jié)流體力學(xué)的研究對象和開展歷史退出返回第一章緒論第二節(jié)流體力學(xué)的研究方法

退出返回第一章緒論第二節(jié)流體力學(xué)的研究方法

解決流體流動問題有三種根本方法：1.

控制體分析法，即積分方程法；2.

微元體分析法，即微分方程法；3.

實驗研究，即量綱分析法。流體流動必須滿足三大力學(xué)守恒定理以及熱力學(xué)狀態(tài)方程和相關(guān)的邊界條件：1.

質(zhì)量守恒定理，即連續(xù)性條件；2.

動量守恒定理，即牛頓第二定理；3.

能量守恒定理，即熱力學(xué)第一定理；4.

狀態(tài)方程，如ρ＝ρ〔P,T〕;5.

固體外表、交界面、流道進出口的邊界條件。第2頁退出返回在解決某一具體的流體力學(xué)問題之前需要弄清流動屬于哪一種類型，流體流動如何分類最為合理迄今并無共識。通常的做法是按照流動分析時所作的假設(shè)來劃分，即假定流動為：1.

穩(wěn)定的〔定常的〕或不穩(wěn)定的〔不定常的〕；2.

無粘性的或粘性的；3.

不可壓縮的或可壓縮的；4.

氣體或液體。

第3頁

第一章緒論第二節(jié)流體力學(xué)的研究方法

退出返回第二章場論與正交曲線坐標(biāo)退出返回

第2頁

第一節(jié)矢量的根本運算退出返回一、矢量運算符號規(guī)定〔一〕愛因斯坦〔Einstein〕求和符號數(shù)學(xué)式子任意一項中如出現(xiàn)一對符號相同的指標(biāo)，稱為愛因斯坦求和符號，它是啞指標(biāo)，表示求和。例如：采用了愛因斯坦求和符號后線性代數(shù)方程組

第二章場論與正交曲線坐標(biāo)

第3頁

第一節(jié)矢量的根本運算退出返回可簡寫成：

式中左端項中j出現(xiàn)兩次，代表求和指標(biāo)；i在左、右兩項各只出現(xiàn)一次，代表指定指標(biāo)?！捕晨肆_內(nèi)克爾〔Kronecker〕符號任意兩個正交單位矢量的點積用表示，稱為克羅內(nèi)克爾

式中i，j是自由指標(biāo)，〔2.1〕式表示，。顯然，，i表示重復(fù)求和。第二章場論與正交曲線坐標(biāo)

第4頁

第一節(jié)矢量的根本運算退出返回第二章場論與正交曲線坐標(biāo)的定義亦可寫成

〔三〕置換符號任意兩個正交單位矢量的叉積可表示為

式中稱為置換符號，又稱利西〔Ricci〕符號，其數(shù)值如下：中有2個或3個自由指標(biāo)值相同。中按12312順序任取3個排列。中按13213順序任取3個排列。

上式表示，，其余分量為零。

第5頁

第一節(jié)矢量的根本運算退出返回第二章場論與正交曲線坐標(biāo)

由此可知，中任意兩個自由指標(biāo)對換，對應(yīng)分量值相差一個負號，如，故稱為置換符號。二、矢量運算的常用公式

〔2.3〕

〔2.4〕

〔2.5〕

第6頁

第一節(jié)矢量的根本運算退出返回第二章場論與正交曲線坐標(biāo)

〔2.6a〕

〔2.6b〕

〔2.7〕

〔2.8〕

第7頁

第一節(jié)矢量的根本運算退出返回第二章場論與正交曲線坐標(biāo)

三、矢量分量的坐標(biāo)變換矢量是一個物理量，它獨立于坐標(biāo)系的選取。當(dāng)坐標(biāo)系發(fā)生改變時，矢量本身不發(fā)生變化，僅是它的分量隨坐標(biāo)變換按一定規(guī)律發(fā)生改變。按矢量定義：

〔2.9〕，和，分別為在兩個不同的正交坐標(biāo)系中的分量和坐標(biāo)軸單位矢量。各單位矢量間夾角的余弦〔即方向余弦〕為lj，mj，nj〔j=1,2,3〕如表2.1所示，那么對應(yīng)的矢量分量的坐標(biāo)變換關(guān)系有：表2.1坐標(biāo)軸間方向余弦

第8頁

第一節(jié)矢量的根本運算退出返回第二章場論與正交曲線坐標(biāo)

〔2.10〕

例如：

第1頁

第二節(jié)張量及其根本性質(zhì)退出返回第二章場論與正交曲線坐標(biāo)

一、張量的定義在正交坐標(biāo)系中張量可以定義為：設(shè)有正交坐標(biāo)系在其上定義有個函數(shù)，假設(shè)坐標(biāo)系線性變換時，即

〔2.11〕作如下式中為常系數(shù)，與此相應(yīng)，函數(shù)〔式中重復(fù)下標(biāo)表示對該下標(biāo)求和〕作如下變換

〔2.12〕

第2頁

第二節(jié)張量及其根本性質(zhì)退出返回。第二章場論與正交曲線坐標(biāo)

那么定義為一個張量，記為

〔2.13〕例如設(shè)坐標(biāo)數(shù)，在空間任一點規(guī)定三個矢量，和如果按式〔2.11〕把直角坐標(biāo)系變換到另一個直角坐標(biāo)系中，得到另一組矢量，和，它們滿足系式：

〔2.14〕

第3頁

第二節(jié)張量及其根本性質(zhì)退出返回第二章場論與正交曲線坐標(biāo)

式中是坐標(biāo)軸和顯然，矢量，，的分量與矢量，，的分量有如下關(guān)系

上述關(guān)系式即式〔2.12〕，因此分量定義一個張量之間夾角的方向余弦?！?.15〕

〔2.16〕由于在上述張量的定義中，其分量的數(shù)目為坐標(biāo)數(shù)的平方，因此上述張量稱為二階張量。張量在三維空間中的分量數(shù)可用來表示，n為張量的階。于是，標(biāo)量為零階張量，矢量為一階張量，流體微團的變形速率為二階張量，應(yīng)力場梯度為三階張量。

第4頁

第二節(jié)張量及其根本性質(zhì)退出返回第二章場論與正交曲線坐標(biāo)二、二階張量的根本性質(zhì)流體力學(xué)中經(jīng)常遇到的張量為二階張量，如應(yīng)力、變形和轉(zhuǎn)動，它們具有如下一些根本性質(zhì)：

這種張量稱為對稱張量。1.張量元素具有對稱性〔2.17〕2.張量的代數(shù)運算規(guī)那么〔1〕張量與張量相加是指其對應(yīng)元素相加，其和仍為一張量，即

〔2〕張量與標(biāo)量相乘仍為一張量，即〔為標(biāo)量〕

〔2.19〕〔2.18〕〔3〕張量與矢量相乘〔內(nèi)積〕為一矢量右乘定義為

〔2.20〕

第5頁

第二節(jié)張量及其根本性質(zhì)退出返回第二章場論與正交曲線坐標(biāo)

左乘定義為

〔4〕張量與張量相乘仍為一張量，即

〔2.22〕〔2.21〕3.根據(jù)對稱張量性質(zhì)可知，在流體內(nèi)任一點存在三個相互垂直的軸，沿著與該軸垂直的面上，張量的切向分量為零，只有法向分量。該軸稱為主軸。在應(yīng)力張量中稱為主應(yīng)力軸，在變形張量中稱為主變形軸。

第1頁

第三節(jié)常見的幾種坐標(biāo)系退出返回第二章場論與正交曲線坐標(biāo)xzijky=constx=constz=const圖2.1直角坐標(biāo)系xyo直角坐標(biāo)系是最簡單、最根本的一種坐標(biāo)系，又稱笛卡爾坐標(biāo)系，如圖2.1所示。首先在空間取一點作為原點，過此點分別作互相正交的直線，并分別命名為過原點的軸?！?〕坐標(biāo)面：由三族分別過原點的與軸垂直的平面所組成。其方程為〔2〕坐標(biāo)軸：不同族的坐標(biāo)面的交線組成坐標(biāo)軸。軸是兩坐標(biāo)面的交線；，一、直角坐標(biāo)系，

第2頁

第三節(jié)常見的幾種坐標(biāo)系退出返回第二章場論與正交曲線坐標(biāo)軸是兩坐標(biāo)面的交線；軸是兩坐標(biāo)面的交線?！?〕單位矢量：通常分別以表示沿并遵循右手法那么。直角坐標(biāo)系中一點的三個單位矢量互成正交，各點的同類單位矢量方向不變。坐標(biāo)軸的單位矢量，〔4〕空間點的表示：以三個坐標(biāo)面的交點表示空間點〔5〕矢徑表示法：由原點至空間某點而連成的矢量線稱為矢徑，

第3頁

第三節(jié)常見的幾種坐標(biāo)系退出返回第二章場論與正交曲線坐標(biāo)二、柱坐標(biāo)系首先在空間取一點作為原點，以此點作直角坐標(biāo)系?！?〕坐標(biāo)面：分別由以下三族曲面所組成。以過原點的軸為對稱軸的圓柱面族；以與z軸相；以通過軸的子午面族垂直的平面族。

〔2〕坐標(biāo)軸：由不同族的坐標(biāo)面相交而成。軸是兩坐標(biāo)面的交線；軸是兩坐標(biāo)面的交線。軸是兩坐標(biāo)面的交線；〔3〕單位矢量：通常分別以，，表示沿，，，的方向可能變化。

，，軸的單位矢量，并規(guī)定遵循右手法那么。柱坐標(biāo)系中一點的三個單位矢量互成正交，在不同點上

第4頁

第三節(jié)常見的幾種坐標(biāo)系退出返回第二章場論與正交曲線坐標(biāo)〔4〕空間點的表示：以三個坐標(biāo)面的交點表示空間點〔5〕矢徑表示法：e

erezx

z=const

=constr=const圖2.2柱坐標(biāo)系rzyo

第5頁

第三節(jié)常見的幾種坐標(biāo)系退出返回第二章場論與正交曲線坐標(biāo)圖2.3球坐標(biāo)系e

e

eRzyx

=constR=const

=const

Ro三、球坐標(biāo)系首先在空間取一點作為原點，過此點作直角坐標(biāo)系?！?〕坐標(biāo)面：分別由以原點為中心的球面族，以原點為頂點軸為對稱軸的圓錐面族

和子午面族

以三族曲面所組成，，確定了三個特定的坐標(biāo)面，如圖2.3所示。

第6頁

第三節(jié)常見的幾種坐標(biāo)系退出返回第二章場論與正交曲線坐標(biāo)

〔2〕坐標(biāo)軸：由不同族的坐標(biāo)面相交而成。軸是，兩坐標(biāo)面的交線；軸是，兩坐標(biāo)面的交線；軸是，兩坐標(biāo)面的交線。

〔3〕單位矢量：通常分別以，，表示沿，，，，的方向是坐標(biāo)軸的單位矢量，并規(guī)定遵循右手法那么。球坐標(biāo)中一點的三個單位矢量互成正交，一般情況下，不同點上同族單位矢量不同的?！?〕空間點的表示：以三個坐標(biāo)面的交點表示空間點〔5〕矢徑表示法：。

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第三節(jié)常見的幾種坐標(biāo)系退出返回第二章場論與正交曲線坐標(biāo)

四、直角坐標(biāo)系、柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系間的坐標(biāo)變換關(guān)系直角坐標(biāo)系和柱坐標(biāo)系間的坐標(biāo)變換關(guān)系:

〔2.23〕

直角坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系間的坐標(biāo)變換關(guān)系:

〔2.24〕

第1頁

第四節(jié)常見的幾種坐標(biāo)系退出返回第二章場論與正交曲線坐標(biāo)

柱坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系均屬曲線坐標(biāo)系。坐標(biāo)系的根本功能是識別空間位置，為了便于應(yīng)用可人為地規(guī)定某種曲線坐標(biāo)系。一、曲線坐標(biāo)系首先在空間取一點作為原點，以此點作直角坐標(biāo)系。〔1〕坐標(biāo)面：取三族曲面,,作為坐標(biāo)面族，其反函數(shù)為,,。,確定了三個特定的坐標(biāo)面，如圖2.4所示?！?〕坐標(biāo)軸：不同族的坐標(biāo)面的交線組成坐標(biāo)軸。軸是,

兩坐標(biāo)面的交線；軸是,兩坐標(biāo)面的交線；軸是兩坐標(biāo)面的交線。

,

第2頁

第四節(jié)常見的幾種坐標(biāo)系退出返回第二章場論與正交曲線坐標(biāo)坐標(biāo)軸的單位矢量，以

〔3〕單位矢量：沿坐標(biāo)線的切線，且方向的單位矢量稱為，，在曲線坐標(biāo)系中，它們隨空間位置而表示，它們遵循右手法那么。改變，即這是曲線坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系的一個主要差異?！?〕空間點的表示：以三個坐標(biāo)面的交點表示空間點?！?〕矢徑表示法：

〔2.25〕式中，，與，，有關(guān)。，

第3頁

第四節(jié)常見的幾種坐標(biāo)系退出返回第二章場論與正交曲線坐標(biāo)

ods2ds3ds1q2xyq2=constq3=constq1=constq3q1re3e2e1M(q1,q2,q3)圖2.4曲線坐標(biāo)系z第二章場論與正交曲線坐標(biāo)

第4頁

第四節(jié)常見的幾種坐標(biāo)系退出返回

二、矢徑由微分定義

〔2.26〕點到點引起的增量為的微分從

〔2.27〕，因而由于 〔2.28〕

〔2.29〕令，那么上式可寫成

〔2.30〕 〔2.31〕

第5頁

第四節(jié)常見的幾種坐標(biāo)系退出返回第二章場論與正交曲線坐標(biāo)〔2.32〕

同理可得

，， 〔2.33〕

，，上式中、、因此矢徑的微分可寫成

、稱為拉梅系數(shù)。 〔2.34〕

第6頁

第四節(jié)常見的幾種坐標(biāo)系退出返回第二章場論與正交曲線坐標(biāo)

假設(shè)坐標(biāo)面族方程那么可求得上式中的拉梅系數(shù)和單位矢量。

因此拉梅系數(shù)可寫成

〔2.36〕〔2.35〕單位矢量可寫成

在正交曲線坐標(biāo)系中，三個單位矢量滿足：，即〔2.37〕

〔2.38〕

第7頁

第四節(jié)常見的幾種坐標(biāo)系退出返回第二章場論與正交曲線坐標(biāo)

它適用于，，利用梯度性質(zhì)，正交條件也可寫成：，即

它適用于的情況。的情況。〔2.39〕例題2.1求柱坐標(biāo)系中的拉梅系數(shù)和坐標(biāo)軸單位矢量，并證明其正交。

，，，其反函數(shù)為，，。解：對于柱坐標(biāo)系，，，，，，，，第二章場論與正交曲線坐標(biāo)

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第四節(jié)常見的幾種坐標(biāo)系退出返回

因此拉梅系數(shù)為

由〔2.37〕式，并注意到，那么可求得單位矢量為

顯然

第二章場論與正交曲線坐標(biāo)

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第四節(jié)常見的幾種坐標(biāo)系退出返回

其實拉梅系數(shù)亦可用幾何的方法確定。因為，即其幾何意義為：坐標(biāo)值的單位增量引起的對應(yīng)弧長的單位增量。按照該定義不難直接由幾何關(guān)系求得上例中的拉梅系數(shù)〔請讀者自行求解〕。三、坐標(biāo)軸單位矢量的偏導(dǎo)數(shù)在曲線坐標(biāo)系中坐標(biāo)軸單位矢量的偏導(dǎo)數(shù)可按下式計算第二章場論與正交曲線坐標(biāo)

第10頁

第四節(jié)常見的幾種坐標(biāo)系退出返回

柱坐標(biāo)系中單位矢量的偏導(dǎo)數(shù)：

球坐標(biāo)系中單位矢量的偏導(dǎo)數(shù)：

第二章場論與正交曲線坐標(biāo)

第1頁

第五節(jié)物理量的梯度、散度、旋度退出返回

一、物理量的梯度物理量的梯度可以用來描述該物理量在一點鄰域內(nèi)的變化情況。〔一〕方向?qū)?shù)的計算公式方向?qū)?shù)是函數(shù)在一點處沿某一方向?qū)嚯x的變化率。在直角坐標(biāo)系中，設(shè)函數(shù)在點處可微，

為l方向上在點M0處沿l方向的方向?qū)?shù)為：

的方向余弦，那么函數(shù)

式中是在點M0的偏導(dǎo)數(shù)。

〔2.43〕〔二〕標(biāo)量梯度的定義、性質(zhì)及其在直角坐標(biāo)系中的表達式如有一矢量，處處滿足。

這里為標(biāo)量沿方向的方向定義為物理量的梯度，并表示為導(dǎo)數(shù)，那么。它在直角坐標(biāo)系中第二章場論與正交曲線坐標(biāo)

第2頁

退出返回

標(biāo)量梯度有兩條常用的重要性質(zhì)：〔2.44〕①，，式中。前式表示由梯度沿方向的方向?qū)?shù)，后式表示由梯度可以知道方向經(jīng)過線段dl的增量。可以得到物理量該物理量沿②，這里為等值面法線指向增大方向的單位矢量，是沿方向的方向?qū)?shù)，所以由梯度可以求得等值面法線方向。的單位矢量顯然，的方向一定與的面相垂直，是函數(shù)在空間的最大變化率。第五節(jié)物理量的梯度、散度、旋度的表達式為：

第二章場論與正交曲線坐標(biāo)

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例題2.2求數(shù)量場在點處的梯度，以及沿矢量方向的方向?qū)?shù)。方向的單位矢量為解：

于是有

第五節(jié)物理量的梯度、散度、旋度第二章場論與正交曲線坐標(biāo)

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例題2.3求曲面的法線單位矢量解：

。第五節(jié)物理量的梯度、散度、旋度第二章場論與正交曲線坐標(biāo)

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〔三〕矢量梯度的定義、性質(zhì)及其在直角坐標(biāo)系中的表達式如果有一個二階張量，處處滿足，這里為矢量沿方向的方向?qū)?shù)，那么定義為矢量的梯度，并表示為。它在直角坐標(biāo)系中的表達式為

類似于標(biāo)量梯度，矢量梯度有下述性質(zhì)：，。

〔2.45〕由這兩個公式可求得矢量沿方向的方向?qū)?shù)和沿矢量線段的增量。由于矢量場沒有等值面概念，因而。

第五節(jié)物理量的梯度、散度、旋度第二章場論與正交曲線坐標(biāo)

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二、物理量的散度物理量的散度可用來判別場是否有源?！惨弧呈噶可⒍鹊亩x及其在直角坐標(biāo)系中的表達式設(shè)有矢量場，于場中一點處作一包含點在內(nèi)的任一閉曲面，設(shè)其所包圍的空間區(qū)域為，體積為，以表示從其內(nèi)部穿出的通量。假設(shè)當(dāng)以任意方式縮向點時，下式

之極限存在，那么稱此極限為矢量場在點處的散度，記作

〔2.46〕式中為邊界曲面上微元面積的外法線單位矢量。第五節(jié)物理量的梯度、散度、旋度第二章場論與正交曲線坐標(biāo)

第7頁

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散度的定義是與坐標(biāo)系無關(guān)的。在直角坐標(biāo)系中，令，那么有：

〔2.47〕流體力學(xué)中常用的矢量散度為速度散度，令，那么

〔二〕二階張量的散度及其在直角坐標(biāo)系中的表達式與矢量散度相類似，可以定義二階張量的散度為

〔2.48〕第五節(jié)物理量的梯度、散度、旋度第二章場論與正交曲線坐標(biāo)

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在直角坐標(biāo)系中，令，那么有：

〔2.49〕〔三〕有源場與無源場由散度定義可見，散度為一數(shù)量，表示場中一點處的通量對體積的變化率，也就是在該點處對一個單位體積來說所穿出之通量，稱為該點處源的強度。當(dāng)時，稱矢量場為有源場；當(dāng)時，其場為無源場。

三、物理量的旋度物理量的旋度可用來判別場是否有旋?！惨弧承鹊亩x第五節(jié)物理量的梯度、散度、旋度第二章場論與正交曲線坐標(biāo)

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設(shè)有矢量場中一點處存在一矢量，假設(shè)處處滿足那么定義矢量為的旋度，并用來表示。這里為可縮封閉曲線，為以為周線包含點的任一曲面，為曲面向點縮小至零時的法線方向單位矢量，與滿足右手螺旋法那么，為矢量沿的環(huán)量?！捕承仍谥苯亲鴺?biāo)系中的表達式在直角坐標(biāo)系中，令，那么的旋度可表示為：

〔2.50〕第五節(jié)物理量的梯度、散度、旋度第二章場論與正交曲線坐標(biāo)

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流體力學(xué)中常用的矢量旋度為速度旋度，令，那么

〔三〕有旋場與無旋場假設(shè)矢量的旋度處處為零，那么稱矢量場為無旋場；否那么矢量場就是有旋場。第五節(jié)物理量的梯度、散度、旋度第二章場論與正交曲線坐標(biāo)

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第六節(jié)哈密爾頓算子、拉普拉斯算子及其在流體力學(xué)中的應(yīng)用一、哈密爾頓算子利用哈密爾頓算子可以方便地推導(dǎo)或證明一些公式并簡化數(shù)學(xué)公式的書寫。哈密爾頓算子是一個具有微分及向量雙重運算的算子，適用于任意正交曲線坐標(biāo)系，但其具體形式在不同坐標(biāo)系中是不同的，哈密爾頓算子在直角坐標(biāo)系中的表達式為：

運算時先進行微分運算，后進行向量運算，具體運算規(guī)定如下： 〔2.51a〕

〔2.51b〕

〔2.51c〕

〔2.51d〕第二章場論與正交曲線坐標(biāo)

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第六節(jié)哈密爾頓算子、拉普拉斯算子及其在流體力學(xué)中的應(yīng)用二、拉普拉斯算子物理量梯度的散度運算稱為拉普拉斯運算，用算子表示，即，，這里稱為拉普拉斯算子。按哈密爾頓算子的運算規(guī)那么， 〔2.52a〕

〔2.52b〕在直角坐標(biāo)系中有三、哈密爾頓算子、拉普拉斯算子在流體力學(xué)中的應(yīng)用下面給出流體力學(xué)中常用的，系、柱坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系中的表達式，這里為任意矢量，也可看做速度，為任意標(biāo)量，也可看做速度勢。，，，，在直角坐標(biāo)，第二章場論與正交曲線坐標(biāo)

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第六節(jié)哈密爾頓算子、拉普拉斯算子及其在流體力學(xué)中的應(yīng)用〔一〕直角坐標(biāo)系

〔2.53a〕

〔2.53b〕

〔2.53c〕

〔2.53d〕 〔2.53e〕

〔2.53f〕第二章場論與正交曲線坐標(biāo)

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第六節(jié)哈密爾頓算子、拉普拉斯算子及其在流體力學(xué)中的應(yīng)用 〔二〕柱坐標(biāo)系

〔2.54a〕

〔2.54b〕

〔2.54c〕

〔2.53g〕

〔2.54d〕

〔2.54e〕第二章場論與正交曲線坐標(biāo)

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第六節(jié)哈密爾頓算子、拉普拉斯算子及其在流體力學(xué)中的應(yīng)用

〔2.54f〕

〔2.54g〕〔三〕球坐標(biāo)系

〔2.55a〕

〔2.55b〕第二章場論與正交曲線坐標(biāo)

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第六節(jié)哈密爾頓算子、拉普拉斯算子及其在流體力學(xué)中的應(yīng)用

〔2.55c〕

〔2.55d〕

〔2.55e〕

〔2.55f〕第二章場論與正交曲線坐標(biāo)

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