江西省撫州2022年高三第二次診斷性檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項(xiàng)

1.考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。

2.試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑

色字跡的簽字筆作答。

3.考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知復(fù)數(shù)Z=—上,則Z的虛部為（）

Z-1

A.-1B.-iC.1D.i

2.如圖，在平行四邊形ABC。中，。為對(duì)角線的交點(diǎn)，點(diǎn)P為平行四邊形外一點(diǎn)，且AP||08,3尸〃。4,則歷=

()

一一3一一

A.DA+2DCB.-DA+DC

3——1——

c.2DA+DCD.-DA+-DC

3.已知集合5/={》|-14》<5}”={》|可<2},則Mp|N=()

A.{x|-l<%<2}B.{x|-2<x<5}C.{x|-l<x<5}D.{X|0<X<2}

4.一個(gè)正三棱柱的正(主)視圖如圖，則該正三棱柱的側(cè)面積是()

A.16B.12C.8D.6

5.已知集合A={x[-l<x<2},B={x|x>l},貝!jAU8=

A.(-1,1)B.(1,2)C.(-L+oo)D.(1,+oo)

6.一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時(shí)24海里的速度沿南偏東40。的方向直線航行，30分鐘后到達(dá)笈處，在C處有一座

燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70。，在8處觀察燈塔，其方向是北偏東65。，那么5,C兩點(diǎn)間的距離

是（）

北

東

A.6夜海里B.66海里C.8近海里D.86海里

7.已知直線/：丘一'-3左+1=0與橢圓q：二+二=1(。>/,>0)交于A、B兩點(diǎn),與圓G：(x-3)2+(y-l)2=1

ab

交于。、。兩點(diǎn).若存在使得而=麗，則橢圓G的離心率的取值范圍為()

A.悍用B.卓1)C.(0,^]D.停,1)

8.已知直線尸A(x+l)(A>0)與拋物線C：y2=4x相交于A,8兩點(diǎn)，尸為C的焦點(diǎn)，若照|=2|f5|,則照|=()

A.1B.2C.3D.4

9.設(shè)加，〃是兩條不同的直線，。，夕是兩個(gè)不同的平面，給出下列四個(gè)命題：①若加//〃，mlp,則〃，￡；

②若m/1a,m///3,則a〃/?；③若nila,貝?、苋艏印╝,mL/3,則a_L耳；其中真命題的個(gè)

數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

10.設(shè)｛4｝是等差數(shù)列，且公差不為零，其前〃項(xiàng)和為S,,.貝！J“V〃eN*,5.>5“”是“｛4｝為遞增數(shù)列”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

22

11.設(shè)6,工分別為雙曲線「-與=1(4>0,6>0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)片作圓/+>2=/的切線，與雙曲線的左、

a"

右兩支分別交于點(diǎn)P,Q,若|Q6|=|PQI，則雙曲線漸近線的斜率為()

A.±1B.±(V3-1)C.±(G+1)D.±45

12.在AA3C中，內(nèi)角A的平分線交BC邊于點(diǎn)。，AB=4,AC=S,BD=2,則的面積是()

A.160B.V15C.3D.8G

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.(1+?)"展開(kāi)式中的系數(shù)的和大于8而小于32,則〃=.

14.在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓C:f+(y_l)2=l,圓C:(x+26)2+y2=6.直線/：y=履+3與圓C相切,

且與圓C相交于A，8兩點(diǎn)，則弦AB的長(zhǎng)為

x-y+2..0,

15.已知實(shí)數(shù)蒼丁滿約束條件＜2x+y—5,,0,,則z=-x+3y的最大值為.

y..i,

16.在直角坐標(biāo)系中，某等腰直角三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為(1,1),(2,2),函數(shù)

“X)=Asin(5+同(A＞0,0＜/＜1，時(shí)＜的圖象經(jīng)過(guò)該三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，則/(x)的解析式為

/W=------------

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(12分)已知函數(shù)/(x)=知-In吧r.

a

(1)若.f(x)在［1,2］上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)”的最大值：

(2)若0＜。＜1,求證：吧.

a

18.(12分)已知三點(diǎn)P,Q,A在拋物線「：丫2=”上.

(I)當(dāng)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,1)時(shí)，若直線P。過(guò)點(diǎn)T(-2,4),求此時(shí)直線AP與直線AQ的斜率之積；

(II)當(dāng)APLAQ,且IAPRAQI時(shí)，求AAPQ面積的最小值.

19.(12分)已知雙曲線C:x2-V=i及直線/：),=依+1.

(1)若/與C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)衣的取值范圍；

(2)若/與C交于A,B兩點(diǎn)，。是原點(diǎn)，且,.=0,求實(shí)數(shù)A的值.

20.(12分)秉持“綠水青山就是金山銀山”的生態(tài)文明發(fā)展理念，為推動(dòng)新能源汽車(chē)產(chǎn)業(yè)迅速發(fā)展，有必要調(diào)查研究

新能源汽車(chē)市場(chǎng)的生產(chǎn)與銷(xiāo)售.下圖是我國(guó)某地區(qū)2016年至2019年新能源汽車(chē)的銷(xiāo)量(單位：萬(wàn)臺(tái))按季度(一年四

個(gè)季度）統(tǒng)計(jì)制成的頻率分布直方圖.

（1）求直方圖中“的值，并估計(jì)銷(xiāo)量的中位數(shù)；

（2）請(qǐng)根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)新能源汽車(chē)平均每個(gè)季度的銷(xiāo)售量（同一組數(shù)據(jù)用該組中間值代表），并以此預(yù)計(jì)

2020年的銷(xiāo)售量.

21.（12分）定義:若數(shù)列｛《,｝滿足所有的項(xiàng)均由構(gòu)成且其中-1有，〃個(gè)，1有P個(gè)（加+〃之3）,則稱｛叫為“（機(jī)〃）

-數(shù)列”.

（1）4嗎，4（￡/〈人）為“（3,4）-數(shù)列”｛4｝中的任意三項(xiàng)，則使得％。外=1的取法有多少種？

（2）%%,4為“（機(jī)p）-數(shù)列”（??｝中的任意三項(xiàng)，則存在多少正整數(shù)（m,p）對(duì)使得1Vm〃V100,且

的概率為;.

22.（10分）已知函數(shù)/（x）=（x+D（e"-l）.

（I）求/W在點(diǎn)（―1J（一1））處的切線方程；

（II）已知/（x）26在R上恒成立，求。的值.

eh

（HD若方程〃有兩個(gè)實(shí)數(shù)根與了2,且王＜/，證明：/一+1+—?

e-1

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.A

【解析】

分子分母同乘分母的共物復(fù)數(shù)即可.

【詳解】

2i2i(i+l)_-2+2i

i^T-(i-l)(i+l)--2故z的虛部為-1.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，考查學(xué)生運(yùn)算能力，是一道容易題.

2.D

【解析】

連接0P,根據(jù)題目，證明出四邊形APOO為平行四邊形，然后，利用向量的線性運(yùn)算即可求出答案

【詳解】

連接0P,由AP||O6,BPHOA知,四邊形AP8O為平行四邊形，可得四邊形”0。為平行四邊形，所以

____1131

DP=DA+DO^DA+-DA+-DC=-DA+-DC.

2222

【點(diǎn)睛】

本題考查向量的線性運(yùn)算問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題

3.A

【解析】

考慮既屬于M又屬于N的集合，即得.

【詳解】

?.-N={x|-2<x<2},.-.MnAT={x|-l<x<2}.

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查集合的交運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

4.B

【解析】

根據(jù)正三棱柱的主視圖，以及長(zhǎng)度，可知該幾何體的底面正三角形的邊長(zhǎng)，然后根據(jù)矩形的面積公式，可得結(jié)果.

【詳解】

由題可知：該幾何體的底面正三角形的邊長(zhǎng)為2

所以該正三棱柱的三個(gè)側(cè)面均為邊長(zhǎng)為2的正方形，

所以該正三棱柱的側(cè)面積為3x2x2=12

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查正三棱柱側(cè)面積的計(jì)算以及三視圖的認(rèn)識(shí)，關(guān)鍵在于求得底面正三角形的邊長(zhǎng)，掌握一些常見(jiàn)的幾何體的三

視圖，比如：三棱錐，圓錐，圓柱等，屬基礎(chǔ)題.

5.C

【解析】

根據(jù)并集的求法直接求出結(jié)果.

【詳解】

???A={x|-l<x<2},B={x|>l},

???AUB=（-1收），

故選C.

【點(diǎn)睛】

考查并集的求法，屬于基礎(chǔ)題.

6.A

【解析】

先根據(jù)給的條件求出三角形ABC的三個(gè)內(nèi)角，再結(jié)合A8可求，應(yīng)用正弦定理即可求解.

【詳解】

由題意可知：/34。=70。-40。=30。./4。=110。，.".ZACB=110°-65°=45°,

/.ZABC=180°-30°-45°=105°.又AB=24xO.5=12.

D

ABBC

在AABC中，由正弦定理得

sm45°sin30°

12BC

即近一J,，，BC=6萬(wàn)

22

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查正弦定理的實(shí)際應(yīng)用，關(guān)鍵是將給的角度、線段長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化為三角形的邊角關(guān)系，利用正余弦定理求解.屬于中

檔題.

7.A

【解析】

由題意可知直線過(guò)定點(diǎn)即為圓心，由此得到A,8坐標(biāo)的關(guān)系，再根據(jù)點(diǎn)差法得到直線的斜率左與A,5坐標(biāo)的關(guān)系，由

此化簡(jiǎn)并求解出離心率的取值范圍.

【詳解】

設(shè)4（石,兇）,3（馬，％），且線/：丘一y-34+1=0過(guò)定點(diǎn)（3,1）即為G的圓心，

__[x+/+x力=2x3=6

因?yàn)锳C=06,所以《'°?

[凹+%=汽+%=2、1=2

又因?yàn)殍?+?「柒所以加（才-以=-儲(chǔ)國(guó)-到

所以上及=一耳.小邃，所以％=_弊?-2,-1],

J

石一工2a-y1+y2a'

所以1e,所以^―二-eH,所以（l—e2）e1,

a|_33」a[_33」|_33J

所以“字乎?

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查橢圓與圓的綜合應(yīng)用，著重考查了橢圓離心率求解以及點(diǎn)差法的運(yùn)用，難度一般.通過(guò)運(yùn)用點(diǎn)差法達(dá)到“設(shè)而

不求”的目的，大大簡(jiǎn)化運(yùn)算.

8.C

【解析】

方法一：設(shè)尸（-1,0）,利用拋物線的定義判斷出8是AP的中點(diǎn)，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)求得B點(diǎn)的橫坐標(biāo)，根據(jù)拋

物線的定義求得I進(jìn)而求得|E4|.

方法二：設(shè)出兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)5,與，由拋物線的定義，結(jié)合|所|=2|尸5|求得的關(guān)系式，聯(lián)立直線

>=攵（》+1）的方程和拋物線方程，寫(xiě)出韋達(dá)定理，由此求得苫八，進(jìn)而求得|FA|.

【詳解】

方法一：由題意得拋物線y2=4.r的準(zhǔn)線方程為/:x=—1,直線y=后。+1）恒過(guò)定點(diǎn)尸（-1,0）,過(guò)A,3分別作AM±I

于M，BN于N,連接由|E4|=2|必貝！||AM|=2|8N],所以點(diǎn)B為AP的中點(diǎn)，又點(diǎn)。是P尸的

中點(diǎn)，

則J|OB|='|A用，所以|。8|=|6或，XIOF|=1

2

所以由等腰三角形三線合一得點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為!，

2

由題意設(shè)A6兩點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為4,/（乙,4>0）,

則由拋物線定義得IFA|=xA+l,\FB\=XB+1

又|E4|=2|FB|,+1=2(XBXA=2XB+1①

"=>k2x2+(2k,2-4)x+k2=0=>-x=1②

y=Z(x+1)fi

由①②得x；-x.-2=0,r.x.=2,|FA|=%+1=3.

故選：C

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查拋物線的定義，考查直線和拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題.

9.C

【解析】

利用線線、線面、面面相應(yīng)的判定與性質(zhì)來(lái)解決.

【詳解】

如果兩條平行線中一條垂直于這個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面知①正確；當(dāng)直線加

平行于平面a與平面夕的交線時(shí)也有相〃2,，〃〃夕，故②錯(cuò)誤；若相，。，則加垂直平面

a內(nèi)以及與平面a平行的所有直線，故③正確；若mHa,則存在直線/ua且m/〃，因

為〃U0,所以/_L￡,從而故④正確.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查空間中線線、線面、面面的位置關(guān)系，里面涉及到了相應(yīng)的判定定理以及性質(zhì)定理，是一道基礎(chǔ)題.

10.A

【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式以及充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可.

【詳解】

???｛凡｝是等差數(shù)列，且公差△不為零，其前〃項(xiàng)和為S,,

充分性：???5?+|>S?,則>0對(duì)任意的〃eN*恒成立，則?2>0,

?.々。0,若d<0,則數(shù)列也,｝為單調(diào)遞減數(shù)列，則必存在keN*,使得當(dāng)〃*時(shí)，4M<0,則5用<￡,不合

乎題意；

若d>0,由出>0且數(shù)列｛4｝為單調(diào)遞增數(shù)列，則對(duì)任意的〃eN*，??+1>0,合乎題意.

所以，"V〃eN*,5用>5""=>"｛4｝為遞增數(shù)列”;

必要性：設(shè)勺=〃-10,當(dāng)〃W8時(shí)，an+l=n-9<0,此時(shí)，Sll+l<Sn,但數(shù)列｛a,,｝是遞增數(shù)列.

所以，"V〃eN*，S“+|>S"”位"{q}為遞增數(shù)列”.

因此，“V〃eN*，S“+i>S〃”是"{%}為遞增數(shù)列''的充分而不必要條件.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結(jié)合等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式是解決本題的關(guān)鍵，屬于中等題.

11.C

【解析】

如圖所示：切點(diǎn)為連接作軸于N,計(jì)算歸制=2”，儼用=4即儼時(shí)=肛，|￡時(shí)=網(wǎng)

cc

根據(jù)勾股定理計(jì)算得到答案.

【詳解】

如圖所示：切點(diǎn)為M，連接作PNLx軸于N,

\QF\-\QF^=\QF\+\PF\-\QF^=\PF\=2a,故|PR|=4a,

在心中，sinAMFXO=-,故COS/MF；O=2,故已叫=生■，恒叫=翌，

根據(jù)勾股定理：+[2c-*],解得2=百+1.

L(c)a

本題考查了雙曲線的漸近線斜率，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.

12.B

【解析】

利用正弦定理求出CO,可得出8C,然后利用余弦定理求出cos8,進(jìn)而求出sin8,然后利用三角形的面積公式可

計(jì)算出的面積.

【詳解】

?.?AZ）為的角平分線，則NB4O=NC4T>.

\-ZADB+ZADC^7V,則NADC=?—NADB,

sinZADC=sin（不一ZADB）=sinZADB,

,,,_,Ze,ABBD42

在△ABD中，由正弦定理得----------=-----------,即-----------=-----------,①

sinZADBsin/BADsin/ADBsin/BAD

Arrr\2O

在AACD中，由正弦定理得-----------=--——,即-----------=-----------,②

sinZADCsinZADCsinZADCsinZCAD

21

①+②得一=一，解得CD=4,..BC=BD+CD=6,

CD2

r41A共士Im4Hr?+BC^—AC-1,r2Jl5

由余弦定理得cosB=----------------=—,sinB=j—COS~B=----，

2ABBC44

因此，AARD的面積為5AABO=gA8-8DsinB=JB'.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查三角形面積的計(jì)算，涉及正弦定理和余弦定理以及三角形面積公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.4

【解析】

由題意可得項(xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)是相等的，利用題意，得出不等式組，求得結(jié)果.

【詳解】

觀察式子可知

?.?8<C：+C：+…&=2"<32,."=4，

故答案為：4.

【點(diǎn)睛】

該題考查的是有關(guān)二項(xiàng)式定理的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)和，屬于基礎(chǔ)題目.

14.V15

【解析】

利用直線與圓相切求出斜率Z,得到直線的方程，幾何法求出IA3|

【詳解】

解：直線/：y="+3與圓C相切，C圓心為(0,1)

由=1，得攵=6或-石，

當(dāng)y=-6x+3時(shí)，C'到直線的距離*=|>不成立，

當(dāng)>=氐+3時(shí)，/與圓C'相交于A，B兩點(diǎn),C'到直線的距離d=￡詈=|,|AB|=2^|=V15

故答案為厲.

【點(diǎn)睛】

考查直線與圓的位置關(guān)系，相切和相交問(wèn)題，屬于中檔題.

15.8

【解析】

畫(huà)出可行域和目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)平移計(jì)算得到答案.

【詳解】

x—y+2..0,

根據(jù)約束條件2x+y-5,,0,,畫(huà)出可行域，圖中陰影部分為可行域.

y--i,

7

又目標(biāo)函數(shù)z=—x+3y,§表示直線X—3y+z=0在)，軸上的截距，

由圖可知當(dāng)x—3y+z=0經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(l,3)時(shí)截距最大，故2的最大值為8.

故答案為：8.

【點(diǎn)睛】

本題考查了線性規(guī)劃問(wèn)題，畫(huà)出圖像是解題的關(guān)鍵.

16.2sin-x--l

【解析】

結(jié)合題意先畫(huà)出直角坐標(biāo)系，點(diǎn)出所有可能組成等腰直角三角形的點(diǎn)，采用排除法最終可確定為F點(diǎn)，再由函數(shù)性質(zhì)

進(jìn)一步求解參數(shù)即可

【詳解】

等腰直角三角形的第三個(gè)頂點(diǎn)可能的位置如下圖中的點(diǎn)AB,C,D,E,F,其中點(diǎn)AB,C,。與己有的兩個(gè)

頂點(diǎn)橫坐標(biāo)重復(fù)，舍去；若為點(diǎn)E則點(diǎn)E與點(diǎn)(2,2)的中間位置的點(diǎn)的縱坐標(biāo)必然大于2或小于-2,不可能為。，1),

因此點(diǎn)E也舍去，只有點(diǎn)F滿足題意.此時(shí)點(diǎn)(2,2)為最大值點(diǎn)，所以〃x)=2sin(azx+0),又0＜。＜、，貝U

；=會(huì)＞1,所以點(diǎn)(覃)，(2,2)之間的圖像單調(diào)，將(1』,)，(2,2)代入“X)的表達(dá)式有

71

Z\]69+0=——\-2K71

sm?+°)=5n6=>

-TC..

sin(2ty+e)=12G+夕=萬(wàn)+22乃(P-...F2&萬(wàn)，k￡Z,

71兀

由同〈乙知Q=一三，因此f(x)=2sin—X------

2636

故答案為：2sin^yx-^

【點(diǎn)睛】

本題考查由三角函數(shù)圖像求解解析式，數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(1)擊(2)詳見(jiàn)解析

【解析】

(1)/，w=et-—(x＞0),

ax

在［1,2］上，因?yàn)槭菧p函數(shù)，所以((x)=e'--l4O恒成立，

ax

即恒成立，只需工2(祀,)11m.

aa

令?x)=xe*,xe[l,2],貝!J/'(x)=e*+xe*,因?yàn)閤e[l,2],所以，(x)〉0.

所以"x)=xe'在［1,2］上是增函數(shù)，所以(疣、)皿=2e),

所以*2e2,解得..

所以實(shí)數(shù)。的最大值為人.

2e

(2)/(x)=ev--(x>0),r(x)=e'--.

aax

令g(尤)=e*---(x>0),則g'(x)=e'+」y,

axax

根據(jù)題意知g'(x)>0,所以g(x)在(0,+s)上是增函數(shù).

又因?yàn)間dxe^-l〉。，

a

當(dāng)X從正方向趨近于0時(shí)，-1■趨近于+℃,e*趨近于1，所以g(x)=e*-<0,

axax

所以存在x°e(0」)，使g(x(>)=e&-」-=0,

a"

而1

即e"=--,%)=-ln(a￥0)=-lna-lnA；),

這0

所以對(duì)任意xe(0,x0),g(x)<0,即/(x)<0,所以〃任在(0,x°)上是減函數(shù);

對(duì)任意XG(Xo，+8),g(x)>0,即/'(x)>0,所以/(X)在(x°,+8)上是增函數(shù),

所以當(dāng)X=X0時(shí)，/(幻取得最小值，最小值為/(%).

m1

由于e。=---,-lnx=x+Ina,

ax。()0

則/(*=*_g=J_+A±l^=-L+E+

aaxQaax0a

出吧，當(dāng)且僅當(dāng)一，即用=1時(shí)取等號(hào),

a以()a

所以當(dāng)0<。<1時(shí)，/(x)2出吧.

a

3

18.(I)——；(D)16.

4

【解析】

(I)設(shè)出直線PQ的方程并代入拋物線方程，利用韋達(dá)定理以及斜率公式，變形可得;

(H)利用AP_LAQ,IAPR4QI,AP的斜率Z/>0),求得A的坐標(biāo)，|AP|,再用基本不等式求得IAP|的

最小值，從而可得三角形AP。的面積的最小值.

【詳解】

解：(I)設(shè)直線PQ的方程為y=%(x+2)+4.

y=左(x+2)+4

聯(lián)立方程組《得f-4日一8左—16=0,

Y=4y

△=16左？+32后+64>0,故石+4=4左，玉%2=-8%—16.

22

X\___|“2_|

所以上.k=X—1%T=44___=X]+2々+2

AP

wXj-2x2-2%一2X2-244

xlx2+2(xl+X2)+4_3

16~~4

(D)不妨設(shè)AAPQ的三個(gè)頂點(diǎn)中的兩個(gè)頂點(diǎn)AQ在)’軸右側(cè)(包括丁軸),

設(shè)P(Xi，yJ,Q(X2,y2),A(X3,y3),AP的斜率為左(%>0),

又AP_LAQ,則工32_%2=4%(工3_玉)，x2-x2=――(x-x)①

32k32

因?yàn)閨AP|=|AQ|,所以X3-9=及(玉一芻)②

2(ki-1)

由①②得，與=八------?(且。1)

%(女+1)

從阿AP|=護(hù)71(玉/)=4?一?雪“2k&k+D；@

kk+1

當(dāng)且僅當(dāng)k=1時(shí)取“=”號(hào)，從而=gI"陛16,

所以AAPQ面積的最小值為16.

【點(diǎn)睛】

本題考查了直線與拋物線的綜合，屬于中檔題.

19.(1)(-V2,-l)u(-l.l)u(l,V2)；(2)k=0^k=+—.

2

【解析】

(1)聯(lián)立直線方程與雙曲線方程，消去y,得到關(guān)于工的一元二次方程，根據(jù)根的判別式，即可求出結(jié)論；

4花一引=血，進(jìn)而建

(2)設(shè)A(x，x),8(孫％)，由⑴可得.當(dāng)關(guān)系，再由直線/過(guò)點(diǎn)(0,1),可得色以8=

立關(guān)于攵的方程，求解即可.

【詳解】

(I)雙曲線c與直線/有兩個(gè)不同的交點(diǎn),

y=辰+1

則方程組22有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,

x_y_=1

整理得(1—K—2kX—2—0,

-2聲0

-A=4公+8(1-爐)〉(/

解得一起＜上＜五且人。士L

雙曲線C與直線/有兩個(gè)不同交點(diǎn)時(shí)，

k的取值范圍是(一行Ll)u(l,后).

(2)設(shè)交點(diǎn)A(%,y),8(w，%)，直線/與y軸交于點(diǎn)。(0/),

-2k

%+欠2=---------2

—Z2

2=匚記

，(X|-/J=(20)一，即1]_+]_記=8，

a

整理得2/-3產(chǎn)=0,解得k=()或二=：

2

.?/=0或左=±停.又：—逝＜左＜也，

.??左=0或％=±乎時(shí)，AAOB的面積為

【點(diǎn)睛】

本題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系、三角形面積計(jì)算，要熟練掌握根與系數(shù)關(guān)系解決相交弦問(wèn)題，考查計(jì)算求解能力,

屬于中檔題.

20.(1)4=0.1125,中位數(shù)為16；(2)新能源汽車(chē)平均每個(gè)季度的銷(xiāo)售量為17萬(wàn)臺(tái)，以此預(yù)計(jì)2020年的銷(xiāo)售量約

為17萬(wàn)臺(tái).

【解析】

(1)根據(jù)頻率分布直方圖中所有矩形面積之和為1可計(jì)算出。的值，利用中位數(shù)左邊的矩形面積之和為0.5可求得銷(xiāo)

量的中位數(shù)的值；

(2)利用每個(gè)矩形底邊的中點(diǎn)值乘以相應(yīng)矩形的面積，相加可得出銷(xiāo)量的平均數(shù)，由此可預(yù)計(jì)2020年的銷(xiāo)售量.

【詳解】

(1)由于頻率分布直方圖的所有矩形面積之和為1,

貝U(0.0125+a+0.075+0.025x2)x4=l,解得a=()」125,

由于(0.0125+0.1125)x4=0.5,因此，銷(xiāo)量的中位數(shù)為16；

(2)由頻率分布直方圖可知，新能源汽車(chē)平均每個(gè)季度的銷(xiāo)售量為

10x0.05+14x0.45+18x0.3+22x0.1+26x0.1=17(萬(wàn)臺(tái))，

由此預(yù)測(cè)2020年的銷(xiāo)售量為17萬(wàn)臺(tái).

【點(diǎn)睛】

本題考查利用頻率分布直方圖求參數(shù)、中位數(shù)以及平均數(shù)的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

21.(1)16；(2)115.

【解析】

(1)易得使得的情況只有”兩種，再根據(jù)組合的方法求解兩種情況分別的情況數(shù)再求和即可.

=g,利用組合數(shù)的計(jì)算公式

(2)易得“T,T,1”共有C：C，種,“1,1,1”共有C；種.再根據(jù)古典概型的方法可知c；C+C

%

可得(p-+>-3療2)=0,當(dāng)。="時(shí)根據(jù)題意有左,Z),左€{2,3,4,…,100}洪99個(gè);

當(dāng)什3〃-2中+療-3療2=°時(shí)求得尸包若匹I

，再根據(jù)1V加V〃V100,換元根據(jù)整除的方法求解滿

足的正整數(shù)對(duì)即可.

【詳解】

解：(1)三個(gè)數(shù)乘積為1有兩種情況：”,“1,1,1”,

其中T,-1,1”共有:C；C：=12種，

“1,1,1”共有：優(yōu)=4種，

利用分類(lèi)計(jì)數(shù)原理得：

4嗎,%(K/V左)為“(3,4)-數(shù)列”{%}中的任意三項(xiàng),

則使得的取法有：12+4=16種.

(2)與⑴同理,“T,T,1”共有種，

“1,1,1，，共有&種，

而在“(〃p)-數(shù)列”中任取三項(xiàng)共有G，種，

c2cl+C3]

根據(jù)古典概型有：一L=-,

%+p，

再根據(jù)組合數(shù)的計(jì)算公式能得到：

(p-m)(p2-3p-2mp+蘇-3m~2)=0,

\<m<p<100

@p=m時(shí),應(yīng)滿足p>3,

p=m

??.(mp)=(左㈤/e{2,3,4,…,100},共99個(gè),

②p、3p-2mp+m2-3//r2=0時(shí)，

1<m<p<100

應(yīng)滿足,機(jī)+〃N3,

p?_3p—2mp+m2-3m-2=0

視為常數(shù)，可解得p=(2〃?+3)±J24*,

2

m>1,

/.V2m+1>5,

q*,、(2m+3)+124m+1

根據(jù)pN根可知,p=\-----!—L------------,

2

?/m>1,

/.V2m+1>5,

根據(jù)〃2m可知,p=(2m+3)；」24m+l,(否貝1J〃4〃河)，

下設(shè)左=j2/〃+l,

則由于。為正整數(shù)知k必為正整數(shù)，

.-.5<A:<49,

化簡(jiǎn)上式關(guān)系式可以知道：■=JU(AT)'+I),

2424

.?M-1M+1均為偶數(shù)，

二設(shè)女=2f+l,(feN*),

貝!|24f