2024屆湖南省東安一中數學高一第二學期期末預測試題含解析

2024屆湖南省東安一中數學高一第二學期期末預測試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知向量，則與的夾角為（）A． B． C． D．2．△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知asinA－bsinB=4csinC，cosA=－，則=A．6 B．5 C．4 D．33．已知圓和兩點，，．若圓上存在點，使得，則的最小值為（）A． B． C． D．4．將邊長為2的正方形沿對角線折起，則三棱錐的外接球表面積為（）A． B． C． D．5．的弧度數是（）A． B． C． D．6．在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面積為，則BC的長為()．A． B．2 C． D．7．已知直線m，n，平面α，β，給出下列命題：①若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，則α⊥β②若m∥α，n∥β，且m∥n，則α∥β③若m∥α，n∥β，且α∥β，且m∥n④若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，則m⊥n其中正確的命題是（）A．②③ B．①③ C．①④ D．③④8．以下有四個說法：①若、為互斥事件，則；②在中，，則；③和的最大公約數是；④周長為的扇形，其面積的最大值為；其中說法正確的個數是（）A． B．C． D．9．直線x﹣y+2＝0與圓x2+（y﹣1）2＝4的位置關系是（）A．相交 B．相切 C．相離 D．不確定10．平面過正方體ABCD—A1B1C1D1的頂點A，,，，則m，n所成角的正弦值為A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知點及其關于原點的對稱點均在不等式表示的平面區(qū)域內，則實數的取值范圍是____．12．如圖所示，已知，用表示.13．若實數滿足不等式組則的最小值是_____.14．不等式的解集為_______________．15．函數是定義域為R的奇函數，當時，則的表達式為________.16．用數學歸納法證明“”時，由不等式成立，推證時，則不等式左邊增加的項數共__項三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．設和是兩個等差數列，記（），其中表示，，這個數中最大的數.已知為數列的前項和，，.（1）求數列的通項公式；（2）若，求，，的值，并求數列的通項公式；（3）求數列前項和.18．已知.（1）求函數的最小正周期及值域；（2）求方程的解.19．在公差不為零的等差數列中，成等比數列.（Ⅰ）求數列的通項公式；（Ⅱ）設，設數列的前項和，求證.20．設向量、滿足，，.（1）求的值；（2）若，求實數的值.21．已知向量，滿足：=4，=3，(Ⅰ)求·的值；(Ⅱ)求的值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解題分析】

根據題意，由向量數量積的計算公式可得cosθ的值，據此分析可得答案．【題目詳解】設與的夾角為θ，由、的坐標可得||＝5，||＝3，?5×0+5×（﹣3）＝﹣15，故，所以.故選D【題目點撥】本題考查向量數量積的坐標計算，涉及向量夾角的計算，屬于基礎題．2、A【解題分析】

利用余弦定理推論得出a，b，c關系，在結合正弦定理邊角互換列出方程，解出結果.【題目詳解】詳解：由已知及正弦定理可得，由余弦定理推論可得，故選A．【題目點撥】本題考查正弦定理及余弦定理推論的應用．3、D【解題分析】

因為，所以點的軌跡為以為直徑的圓，故點是兩圓的交點，根據圓與圓的位置關系，即可求出．【題目詳解】根據可知，點的軌跡為以為直徑的圓，故點是圓和圓的交點，因此兩圓相切或相交，即，亦即．故的最小值為．故選：D．【題目點撥】本題主要考查圓與圓的位置關系的應用，意在考查學生的轉化能力，屬于基礎題．4、C【解題分析】

根據題意，畫出圖形，結合圖形得出三棱錐的外接球直徑，從而求出外接球的表面積，得到答案.【題目詳解】由題意，將邊長為2的正方形沿對角線折起，得到三棱錐，如圖所示，則,三棱錐的外接球直徑為，即半徑為，外接球的表面積為，故選C.【題目點撥】本題主要考查了平面圖形的折疊問題，以及外接球的表面積的計算，著重考查了空間想象能力，以及推理與計算能力，屬于基礎題.5、B【解題分析】

由角度與弧度的關系轉化．【題目詳解】-150．故選：B.【題目點撥】本題考查角度與弧度的互化，解題關鍵是掌握關系式：．6、D【解題分析】

利用三角形面積公式列出關系式，把，已知面積代入求出的長，再利用余弦定理即可求出的長．【題目詳解】∵在中，，且的面積為，

∴，

解得：，

由余弦定理得：，

則．

故選D．【題目點撥】此題考查了余弦定理，三角形面積公式，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握余弦定理是解本題的關鍵．7、C【解題分析】

根據線線、線面和面面有關定理，對選項逐一分析，由此得出正確選項.【題目詳解】對于①，兩個平面的垂線垂直，那么這兩個平面垂直.所以①正確.對于②，與可能相交，此時并且與兩個平面的交線平行.所以②錯誤.對于③，直線可能為異面直線，所以③錯誤.對于④，兩個平面垂直，那么這兩個平面的垂線垂直.所以④正確.綜上所述，正確命題的序號為①④.故選：C【題目點撥】本小題主要考查空間線線、線面和面面有關命題真假性的判斷，屬于基礎題.8、C【解題分析】

設、為對立事件可得出命題①的正誤；利用大邊對大角定理和余弦函數在上的單調性可判斷出命題②的正誤；列出和各自的約數，可找出兩個數的最大公約數，從而可判斷出命題③的正誤；設扇形的半徑為，再利用基本不等式可得出扇形面積的最大值，從而判斷出命題④的正誤.【題目詳解】對于命題①，若、為對立事件，則、互斥，則，命題①錯誤；對于命題②，由大邊對大角定理知，，且，函數在上單調遞減，所以，，命題②正確；對于命題③，的約數有、、、、、，的約數有、、、、、、、，則和的最大公約數是，命題③正確；對于命題④，設扇形的半徑為，則扇形的弧長為，扇形的面積為，由基本不等式得，當且僅當，即當時，等號成立，所以，扇形面積的最大值為，命題④錯誤.故選C.【題目點撥】本題考查命題真假的判斷，涉及互斥事件的概率、三角形邊角關系、公約數以及扇形面積的最值，判斷時要結合這些知識點的基本概念來理解，考查推理能力，屬于中等題.9、A【解題分析】

求得圓心到直線的距離，然后和圓的半徑比較大小，從而判定兩者位置關系，得到答案．【題目詳解】由題意，可得圓心到直線的距離為，所以直線與圓相交．故選：A．【題目點撥】本題主要考查了直線與圓的位置關系判定，其中解答中熟記直線與圓的位置關系的判定方法是解答的關鍵，著重考查了推理與計算能力，屬于基礎題．10、A【解題分析】

試題分析：如圖，設平面平面=，平面平面=，因為平面，所以，則所成的角等于所成的角.延長，過作，連接，則為，同理為，而，則所成的角即為所成的角，即為，故所成角的正弦值為，選A.【題目點撥】求解本題的關鍵是作出異面直線所成的角,求異面直線所成角的步驟是：平移定角、連線成形、解形求角、得鈍求補.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

根據題意，設與關于原點的對稱，分析可得的坐標，由二元一次不等式的幾何意義可得，解可得的取值范圍，即可得答案．【題目詳解】根據題意，設與關于原點的對稱，則的坐標為，若、均在不等式表示的平面區(qū)域內，則有，解可得：，即的取值范圍為，；故答案為，．【題目點撥】本題考查二元一次不等式表示平面區(qū)域的問題，涉及不等式的解法，屬于基礎題．12、【解題分析】

可采用向量加法和減法公式的線性運算進行求解【題目詳解】由，整理得【題目點撥】本題考查向量的線性運算，解題關鍵在于將所有向量通過向量的加法和減法公式轉化成基底向量，屬于中檔題13、4【解題分析】試題分析：由于根據題意x,y滿足的關系式，作出可行域，當目標函數z=2x+3y在邊界點（2，0）處取到最小值z=2×2+3×0=4，故答案為4.考點：本試題主要考查了線性規(guī)劃的最優(yōu)解的運用．點評：解決該試題的關鍵是解決線性規(guī)劃的小題時，常用“角點法”，其步驟為：①由約束條件畫出可行域?②求出可行域各個角點的坐標?③將坐標逐一代入目標函數?④驗證，求出最優(yōu)解.14、【解題分析】.15、【解題分析】試題分析：當時，，，因是奇函數，所以，是定義域為R的奇函數，所以，所以考點：函數解析式、函數的奇偶性16、【解題分析】

由題意有：由不等式成立，推證時，則不等式左邊增加的項數共項，得解.【題目詳解】解：當時，不等式左邊為，當時，不等式左邊為，則由不等式成立，推證時，則不等式左邊增加的項數共項，故答案為：.【題目點撥】本題考查了數學歸納法，重點考查了運算能力，屬基礎題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2），，，；（3）【解題分析】

（1）根據題意，化簡得，運用已知求公式，即可求解通項公式；（2）根據題意，寫出通項，根據定義，令，可求解，，的值，再判斷單調遞減，可求數列的通項公式；（3）由（1）（2）的數列、的通項公式，代入數列中，運用錯位相減法求和.【題目詳解】（1）∵，∴，當時，，化簡得，∴，當時，，，∵，∴，∴是首項為1，公差為2的等差數列，∴.（2），，，當時，，∴單調遞減，所以.（3）作差，得【題目點撥】本題考查（1）已知求公式；（2）數列的單調性；（3）錯位相減法求和；考查計算能力，考查分析問題解決問題的能力，綜合性較強，有一定難度.18、(1)最小正周期為,值域為；(2),或,【解題分析】

先用降冪公式,再用輔助角公式將化簡成的形式,再求最小正周期,值域與的解.【題目詳解】(1)故最小正周期為,又,故,所以值域為.故最小正周期為,值域為.(2)由(1),故得化簡得,所以或,.即,或,.故方程的解為：,或,【題目點撥】本題主要考查三角函數公式,一般方法是先將三角函數化簡為的形式,再根據題意求解相關內容.19、（Ⅰ）（Ⅱ）見解析【解題分析】

（Ⅰ）根據題意列出方程組，利用等差數列的通項公式化簡求解即可；（Ⅱ）將的通項公式代入所給等式化簡求出的通項公式，利用裂項相消法求出，由推出，由數列是遞增數列推出.【題目詳解】（Ⅰ）設等差數列的公差為（），因為，所以解得，所以.（Ⅱ），.因為，所以，又因為，所以數列是遞增數列，于是.綜上，.【題目點撥】本題考查等差數列的基本量的求解，裂項相消法求和，數列性質的應用，屬于中檔題.20、（1）；（2）.【解題分析】

（1）將等式兩邊平方，利用平面向量數量積的運算律可計算出的值；（2）由轉化為，然后利用平面向量數量積的運算律可求出實數的值.【題目詳解】（1）在等式兩邊平