人教版九年級數(shù)學上冊 21.23 實際問題與一元二次方程專題-幾何動態(tài)問題（基礎(chǔ)篇）

專題21.23實際問題與一元二次方程專題——幾何動態(tài)問題（基礎(chǔ)篇）（專項練習）一、單選題1．如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，一動點P從C出發(fā)沿著CB方向以1cm/s的速度向B運動，另一動點Q從A出發(fā)沿著AC方向以2cm/s的速度向C運動，P，Q兩點同時出發(fā)，運動時間為t（s）．當t為（

）秒時，△PCQ的面積是△ABC面積的？A．1.5 B．2 C．3或者1.5 D．以上答案都不對2．在平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖像上有一點P，過點P分別向坐標軸作垂線段，若兩垂線段與坐標軸圍成面積為5的矩形，則符合條件的點P個數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．無數(shù)個3．如圖，在中，，點從點開始沿邊向點以的速度勻速移動，同時另一點由點開始以的速度沿著射線勻速移動，當?shù)拿娣e等于時運動時間為（

）A．秒 B．秒 C．秒 D．秒或秒4．如圖，AB⊥BC，AB＝10cm，BC＝8cm，一只蟬從C點沿CB方向以每秒1cm的速度爬行，蟬開始爬行的同時，一只螳螂由A點沿AB方向以每秒2cm的速度爬行，當螳螂和蟬爬行x秒后，它們分別到達了M，N的位置，此時，△MNB的面積恰好為24cm2，由題意可列方程()A．2x·x＝24 B．(10－2x)(8－x)＝24C．(10－x)(8－2x)＝24 D．(10－2x)(8－x)＝485．如圖所示，A，B，C，D為矩形的四個頂點，AB=16cm，AD=8cm，動點P，Q分別從點A，C同時出發(fā)，點P以3cm/s的速度向B移動，一直到達B為止；點Q以2cm/s的速度向D移動．當P，Q兩點從出發(fā)開始幾秒時，點P和點Q的距離是10cm．(若一點到達終點，另一點也隨之停止運動)（

）A．2s或s B．1s或s C．s D．2s或s6．如圖①，在矩形中，，對角線、相交于點，動點由點出發(fā)，沿運動，設點的運動路程為，的面積為，與的函數(shù)關(guān)系圖像如圖②所示，則邊的長為（

）A．3 B．4 C．5 D．67．如圖1，矩形中，點為的中點，點沿從點運動到點，設，兩點間的距離為，，圖2是點運動時隨變化的關(guān)系圖象，則的長為（

）A． B． C． D．8．如圖，△ABC中，∠C＝90，AB＝10cm，AC＝8cm，點P從點A開始出發(fā)向點C以2cm/s的速度移動，點Q從B點出發(fā)向點C以1cm/s的速度移動，若P、Q分別同時從A，B出發(fā)，（

）秒后四邊形APQB是△ABC面積的．A．2 B．4.5 C．8 D．79．如圖，在中，，，，點P從點A開始沿AC

邊向點C以的速度勻速移動，同時另一點Q由C點開始以的速度沿著射線CB勻速移動，當?shù)拿娣e等于運動時間為A．5秒 B．20秒 C．5秒或20秒 D．不確定10．如圖，將邊長為12cm的正方形ABCD沿其對角線AC剪開，再把ABC沿著AD方向平移，得到△A′B′C′，若兩個三角形重疊部分的面積為32cm2，則它移動的距離AA′等于(

)A．4cm B．8cm C．6cm D．4cm或8cm二、填空題11．如圖，在矩形中，，點從點出發(fā)沿以的速度向點運動，同時點從點出發(fā)沿以的速度向點運動，點到達終點后，、兩點同時停止運動，則__秒時，的面積是．12．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=2cm，點P在邊AC上，以2cm/s的速度從點A向點C移動，點Q在邊CB上，以1cm/s的速度從點C向點B移動．點P、Q同時出發(fā)，且當一點移動到終點時，另一點也隨之停止，連接PQ，當△PQC的面積為3cm2時，P、Q運動的時間是_____秒．13．如圖，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，點P從點A沿邊AB向點B以1cm/s的速度移動；同時，點Q從點B沿邊BC向點C以2cm/s的速度移動，設運動的時間為t秒，有一點到終點運動即停止，當t＝___時，S△DPQ＝28cm2．14．如圖，在中，，，，現(xiàn)有動點P從點A出發(fā)，沿AC向點C方向運動，動點Q從點C出發(fā)，沿線段CB也向點B方向運動，如果點P的速度是4cm/s，點Q的速度是2cm/s，它們同時出發(fā)，當有一點到達所在線段的端點時，就停止運動．設運動時間為t秒．當____s時，的面積為16cm215．如圖所示，在中，，，，點從點開始沿邊向點以的速度運動，同時，另一點從點開始以的速度沿邊向點運動______秒鐘后，的面積是面積的．16．如圖，在等腰中，，動點P從點A出發(fā)沿折線向點終B以的速度運動，于點Q．設運動時間為，當_______s時，的面積為．17．如圖，已知AB⊥BC，AB=12cm，BC=8cm．一動點N從C點出發(fā)沿CB方向以1cm/s的速度向B點運動，同時另一動點M由點A沿AB方向以2cm/s的速度也向B點運動，其中一點到達B點時另一點也隨之停止，當△MNB的面積為24cm2時運動的時間t為______秒．18．如圖，在中，點P、Q同時由A、B兩點出發(fā)，分別沿AC，BC的方向勻速運動，它們的速度都是每秒1cm,____秒鐘后△PCQ的面積等于△ABC的一半？19．如圖，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝30cm，BC＝25cm.動點P從點C出發(fā)，沿CA方向運動，速度是2cm/s；動點Q從點B出發(fā)，沿BC方向運動，速度是1cm/s，則經(jīng)過__________秒后，P，Q兩點之間相距25cm.20．一小球以15m/s的速度豎直向上拋出，它在空中的高度h(m)與時間t(s)滿足關(guān)系式：h＝15t－5t2，當t＝_________時，小球高度為10m．小球所能達到的最大高度為________m.三、解答題21．如圖，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm．點P沿AB邊從點A開始向點B以2cm/s的速度移動，點Q沿DA邊從點D開始向點A以1cm/s的速度移動．如果點P，Q同時出發(fā)，用t(s)表示移動的時間(0<t<6)，那么當t為何值時，△QAP的面積等于8cm2?22．如圖，已知AB⊥BC，AB＝12cm，BC＝8cm．動點M從點A沿AB方向以2cm/s的速度向點B運動，同時動點N從點C沿CB方向以1cm/s的速度也向點B運動，其中一點到達B點時另一點也隨之停止．當△MNB的面積為24cm2時，求它們運動的時間．23．如圖，△ABC中，∠C＝90°，BC＝30cm，AC＝40cm，點P從點C開始沿CA邊以4cm/s的速度向點A移動，同時，另一點Q由點C開始以3cm/s的速度沿著CB邊向點B移動，求幾秒鐘后，△PCQ的面積等于△ABC面積的？24．如圖，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，點P從點A出發(fā)沿AB以1cm/s的速度向點B運動，同時，點Q從點B出發(fā)沿BC以2cm/s的速度向點C運動．設運動時間為xs．（1）若，求的值；（2）若的面積為，求的值．25．如圖，中，，一動點P從C出發(fā)沿著邊以的速度運動，另一動點Q從A出發(fā)沿著邊以的速度運動，P，Q兩點同時出發(fā)，運動時間為．當t為幾秒時，的面積是面積的？26．如圖，中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，點P從點A出發(fā)，以每秒1cm的速度沿AC運動；同時點Q從點C出發(fā)，以每秒2cm的速度沿CB運動，當Q到達點B時，點P同時停止運動．（1）運動幾秒時的面積為5cm2？（2）運動幾秒時中PQ=6cm？（3）的面積能否等于10cm2？若能，求出運動時間，若不能，說明理由．27．如圖，在中，，，，動點從點出發(fā)，沿方向運動，同時動點從點出發(fā)，沿方向運動，點，點的運動速度均為．當運動時間為多少秒時，兩點相距？28．如圖，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，點P從點A沿邊AB向點B以1cm/s的速度移動；同時，點Q從點B沿邊BC向點C以2cm/s的速度移動，設運動的時間為t秒，有一點到終點運動即停止．問：是否存在這樣的時刻，使S△DPQ=28cm2？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．參考答案1．B【分析】根據(jù)題意，求得的長，進而求得，根據(jù)的面積是面積的，列出方程，解方程即可解決問題．解：，，∵一動點P從C出發(fā)沿著CB方向以1cm/s的速度向B運動，∴，∵點Q從A出發(fā)沿著AC方向以2cm/s的速度向C運動，∴AQ=2，，，的面積是面積的，，整理得，解得，當s時，的面積是面積的．故選擇B．【點撥】本題考查了一元二次方程的應用動點問題，用代數(shù)式表示線段，三角形面積，根據(jù)三角形面積列出方程是解題的關(guān)鍵．2．A【分析】設點P的坐標為（，），根據(jù)題意列出方程組，再根據(jù)的取值不同，分、、三種情況進行討論，即可求解．解：設點P的坐標為（，），根據(jù)題意得：，∵點P的位置不確定，分三種情況進行討論：①當時，則，則，解得：，（舍去）；②當時，，則，即，此時，此方程無解；③當時，，則，即，解得：（舍去），；故符合條件的P點坐標有2個，分別是（，）、（，）．【點撥】本題考查一元二次方程在坐標中的運用，難度一般，根據(jù)題意列出方程組，再分情況討論是順利解題的關(guān)鍵．3．D【分析】根據(jù)三角形的面積公式列出方程即可解決問題．解：由題意，，，，，解得或5，或時，的面積為．故選D．【點撥】本題考查一元二次方程的應用，三角形的面積公式等知識，解題的關(guān)鍵是把問題轉(zhuǎn)化為方程，屬于基礎(chǔ)題，中考常考題型．4．D解：設x秒后，螳螂走了2x,蟬走了x,MB=10-2x,NC=8-x,由題意知(10－2x)(8－x)＝24,(10－2x)(8－x)＝48,選D.5．D【分析】設當P、Q兩點從出發(fā)開始到x秒時，點P和點Q的距離是10cm，此時AP=3xcm，DQ=（16-2x）cm，利用勾股定理即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論．解：設當P、Q兩點從出發(fā)開始到xs時，點P和點Q的距離是10cm，此時AP=3xcm，DQ=（16-2x）cm，根據(jù)題意得：（16-2x-3x）2+82=102，解得：x1=2，x2=，答：當P、Q兩點從出發(fā)開始到2s或s時，點P和點Q的距離是10cm．故選：D．【點撥】本題考查了一元二次方程的應用以及勾股定理，利用勾股定理找出關(guān)于x的一元二次方程是解題的關(guān)鍵．6．D【分析】由圖②可知，當點到達點時，的面積為6，此時的高為，則，解得，而，由此即可求解．解：由圖②可知：當點到達點時，的面積為6，此時的高為，∴的面積，解得①，而從圖②還可知：②，由②得：③，將③代入①，得：，解得：或，當時，，當時，，∵在矩形中，，∴，∴，，故選：D．【點撥】本題考查的是動點問題的函數(shù)圖象，此類問題關(guān)鍵是：弄清楚不同時間段，圖象和圖形的對應關(guān)系，進而求解，也考查了矩形的性質(zhì)以及解一元二次方程．7．C【分析】先利用圖2得出當P點位于B點時和當P點位于E點時的情況，得到AB和BE之間的關(guān)系以及，再利用勾股定理求解即可得到BE的值，最后利用中點定義得到BC的值．解：由圖2可知，當P點位于B點時，，即，當P點位于E點時，，即，則，∵,∴,即,∵∴,∵點為的中點，∴,故選：C．【點撥】本題考查了學生對函數(shù)圖像的理解與應用，涉及到了勾股定理、解一元二次方程、中點的定義等內(nèi)容，解決本題的關(guān)鍵是能正確理解題意，能從圖像中提取相關(guān)信息，能利用勾股定理建立方程等，本題蘊含了數(shù)形結(jié)合的思想方法．8．A【分析】由于四邊形APQB是一個不規(guī)則的圖形，不容易表示它的面積，觀察圖形，可知S四邊形APQB=S△ABC-S△PCQ，因此當四邊形APQB是△ABC面積的時，△PCQ是△ABC面積的，即S△PCQ=S△ABC．解：∵△ABC中，∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形，由勾股定理，得BC＝＝6．設t秒后四邊形APQB是△ABC面積的，則t秒后，CQ＝BC﹣BQ＝6﹣t，PC＝AC﹣AP＝8﹣2t．根據(jù)題意，知S△PCQ＝S△ABC，∴CQ×PC＝×AC×BC，即（6﹣t）（8﹣2t）＝××8×6，解得t＝2或t＝8（舍去）．故選：A．【點撥】本題是一道綜合性較強的題目，把求三角形的面積和一元二次方程結(jié)合起來，鍛煉了學生對所學知識的運用能力．9．C【分析】根據(jù)三角形的面積公式列出方程即可解決問題．解：AP=2t，CQ=3t，∴PC=50﹣2t，∴?PC?CQ=300，∴?（50﹣2t）?3t=300，解得：t=20或5，∴t=20s或5s時，△PCQ的面積為300m2．故選C．【點撥】本題考查了一元二次方程的應用，三角形的面積公式等知識，解題的關(guān)鍵是把問題轉(zhuǎn)化為方程，屬于基礎(chǔ)題，中考?？碱}型．10．D解：設AA′=xcm，則A′D=（12－x）cm，∵正方形ABCD，∴∠D=90°，AD=CD,∴∠DAC=45°，同理可證∠B′A′C′=45°，∵△A′B′C′由△ABC沿著AD方向平移得到，∴A′B′⊥AD，∴∠A′EA=45°，∴∠B′A′C′=∠A′EA，∴A′F∥EC，∵A′E∥CF，∴四邊形A′ECF為平行四邊形，所以SA′ECF=A′E×A′D=x（12－x）=32，解得x=4或8.故選D.【點撥】遇到此類應用題一般要求什么我們就設什么，此題首先分析重疊部分圖形是何圖形，若是規(guī)則圖形，則根據(jù)公式法用所設未知數(shù)表示出重疊部分面積，若為不規(guī)則圖形，則可根據(jù)割補法用所設未知數(shù)表示出圖形面積，從而列方程求解.11．2或3##3或2【分析】設t秒后的面積是，則，，列方程即可求解．解：設運動時間為秒，則，，依題意得：，整理得：，解得：，．或3秒時，的面積是．故答案為：2或3．【點撥】此題主要考查了一元二次方程的應用，關(guān)鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關(guān)系，列出方程．12．1【分析】設P、Q運動的時間是秒，根據(jù)已知條件得到cm，cm，則cm，根據(jù)三角形面積公式列出方程，解方程即可求解．解：設P、Q運動的時間是秒，則cm，cm，cm∵△PQC的面積為3cm2，∴，即，解得或（不合題意，舍去），∴當△PQC的面積為3cm2時，P、Q運動的時間是1秒．故答案為：1【點撥】本題考查了一元二次方程應用——動點問題，三角形的面積，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．13．2或4【分析】由題意可知當運動時間為t秒時，則AP=tcm，BP=（6-t）cm，BQ=2tcm，CQ=（12-2t）cm，根據(jù)S△DPQ=28cm2，即可得出關(guān)于t的一元二次方程，解之即可得出答案．解：當運動時間為t秒時，則AP=tcm，BP=（6-t）cm，BQ=2tcm，CQ=（12-2t）cm，依題意得：12×6-×12t-×6（12-2t）-×2t?（6-t）=28，整理得：t2-6t+8=0，解得：t1=2，t2=4．故答案為：2或4．【點撥】本題考查一元二次方程的幾何應用與矩形的性質(zhì)，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．14．1或4##4或1【分析】若運動的時間為ts，則CP=（20-4t）cm，CQ=2tcm，利用三角形的面積計算公式列出方程，解方程即可求解．解：若運動的時間為ts，則CP=（20-4t）cm，CQ=2tcm，依題意得：（20-4t）×2t=16，整理得：t2-5t+4=0，解得：，答：當t=1或4s時，△CPQ的面積為16cm2．故答案為：1或4．【點撥】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．15．5【分析】由得出，通過勾股定理計算得出BC，從而求解出面積；同理，求得面積；最后通過和的比值關(guān)系，計算得到答案．解：∵∴∵∴∴．設秒后的面積是面積的∴依題意得∴∴或（舍去）∴秒后的面積是面積的．故答案為：5【點撥】本題考查了一元二次方程的應用，根據(jù)題意列出方程是解題的關(guān)鍵．16．或【分析】利用等腰直角三角形的性質(zhì)求出AB，設時間為秒，分和兩種情況結(jié)合三角形面積分別計算．解：∵在等腰中，，，∴，，．∵于點．∴設當時間為秒時，的面積為．當時，，，，即，解得：或（舍去）．當時，，，，即，解得：或（舍去）．綜上所述：當或秒時，的面積為．故答案為：或．【點撥】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形面積公式，解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是理解點的運動情況，注意分類討論．17．2【分析】根據(jù)題意可知CN=t，AM=2t，故可得BN=8-t,BM=12-2t,根據(jù)面積公式得到方程即可求解．解：根據(jù)題意可知CN=t，AM=2t，∴BN=8-t,BM=12-2t,∵△MNB的面積為24cm2∴×（12-2t）×（8-t）=24解得x1=2,x2=12(舍去)故答案為：2．【點撥】此題只要一元二次方程的應用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)三角形的面積公式列出方程求解．18．2【分析】設P、Q同時出發(fā)，x秒鐘后，AP＝xcm，BQ＝xcm，PC＝（6?x）cm，CQ＝（8?x）cm，此時△PCQ的面積為×（8?x）（6?x），令該式＝×AC×BC，得到方程即可求解.解：設運動x秒后．由題意得：AP＝xcm，BQ＝xcm，PC＝（6?x）cm，CQ＝（8?x）cm，S△ABC＝×AC?BC＝×6×8＝24，即：×（8?x）×（6?x）＝×24，x2?14x＋24＝0，（x?2）（x?12）＝0，x1＝12，x2＝2；∵x＜6，∴x1＝12舍去，所以，當2秒時使得△PCQ的面積等于△ABC的面積的一半．故填：2.【點撥】此題主要考查了一元二次方程的應用，關(guān)鍵在于表示出三角形面積進而得出等量關(guān)系求解．19．10【分析】設x秒后，P、Q兩點相距25cm，根據(jù)時間和速度求出路程，然后根據(jù)勾股定理列式解答即可.解：設x秒后，P、Q兩點相距25cm，據(jù)題意列式得：(2x)2+(25-x)2=252，4x2-50x+x2=0，5x(x-10)=0，x1=0

(舍去),x2=10

(秒).∴10秒后P、Q兩點相距25cm.故答案為10.【點撥】本題考查了一元二次方程的應用和勾股定理的應用，根據(jù)勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵.20．

1或2

【分析】把10代入關(guān)系式可求出t;用配方法可求出小球所能達到的最大高度.解：當h=10m時,10=15t－5t2，∴t=1或t=2;∵h＝15t－5t2=可看出當時,h最大為.故答案為:1或2;.【點撥】本題考查了一元二次方程的應用及對題意的理解能力,解析式有了,代入已知的h就能求出t.給解析式配方就能求出最大值.21．當t為2或4時，△QAP的面積等于8cm2．【分析】當運動時間為ts時，AP＝2tcm，AQ＝（6?t）cm，利用三角形的面積計算公式，結(jié)合△QAP的面積等于8cm2，即可得出關(guān)于t的一元二次方程，解之即可得出t的值．解：當運動時間為ts時，AP＝2tcm，AQ＝(6－t)cm，依題意得×2t(6－t)＝8，整理得t2－6t＋8＝0，解得t1＝2，t2＝4，∴當t為2或4時，△QAP的面積等于8cm2．【點撥】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．22．運動時間為2s【分析】根據(jù)題意可知cm，cm，cm，cm，根據(jù)計算求出滿足題意的解即可．解：根據(jù)題意可知cm，cm，∴cm，cm，∵△MNB的面積為24cm2，∴，整理得：，解得：t1＝2，t2＝12（不合題意，舍去）∴運動的時間為2s．【點撥】本題考查了一元二次方程的應用．解題的關(guān)鍵在于表示出線段BN、BM的長度．23．5秒【分析】設x秒后，△PCQ的面積等于△ABC面積的，在△ABC中，∠C=90°，根據(jù)面積關(guān)系，可得方程，解方程即可求出答案．解：設x秒后，△PCQ的面積等于△ABC面積的，則CP=4xcm，CQ=3xcm，由題意得：×3x×4x=×30×40×，解得：x1=5，x2=-5（不符合題意，舍去），答：5秒后，△PCQ的面積等于△ABC面積的．【點撥】本題考查了一元二次方程的應用，根據(jù)△PCQ與△ABC的面積關(guān)系列出方程是解決問題的關(guān)鍵．24．（1）x的值為2或；（2）當△DPQ的面積為31cm2，則x的值為1或5．【分析】（1）直接利用P，Q點運動方向和運動速度表示出BP、BQ，利用勾股定理即可求解；（2）直接利用S△DPQ=S矩形ABCD-S△ADP-S△CDQ-S△BPQ，代入求出答案．解：（1）由題意可得：BP=AB-AP=（6-x）cm，BQ=2x(cm)，∵,∴，解得：，∴x的值為2或；（2）由題意可得：S△DPQ=S矩形ABCD-S△ADP-S△CDQ-S△BPQ=AB?BC-AD?AP-CD?CQ-BP?BQ=6×12-×12x-×6（12-2x）-（6-x）?2x=x2-6x+36=31，解得：x1=1，x2=5，當△DPQ的面積為31cm2，則x的值為1或5．【點撥】本題主要考查了一元二次方程的應用，勾股定理，正確表示出