精算學基礎課件

復利理論1

積累函數(shù)(Accumulationfunction)累積函數(shù)：時間零點的1元在時間t的累積值,記為a(t)。性質(zhì)：a(0)=1；a(t)通常是時間的增函數(shù)；當利息是連續(xù)產(chǎn)生時，a(t)是時間的連續(xù)函數(shù)。

注：一般假設利息是連續(xù)產(chǎn)生的。2例：常見的幾個積累函數(shù)（1）常數(shù)：a(t)=1（2）線性：a(t)=1+0.1t（3）指數(shù)：a(t)=(1+0.1)t

34例假設累積函數(shù)為請計算t=1時的500元

，在t=2的累積值是多少。解：5ta(t)011225310實際利率（effectiverateofinterest）實際利率i

是時間零點的1元在期末產(chǎn)生的利息：實際利率i是期末獲得的利息金額與期初本金之比：6實際利率經(jīng)常用百分比表示，如8%；利息是在期末支付的；本金在整個時期視為常數(shù)；通常使用的時間單位是年。如無特殊說明，利率是指年利率。7注：例：

把1000元存入銀行，第1年末存款余額為1020元，第2年末存款余額為1050元，求第一年和第二年的實際利率分別是多少？8問題：整個存款期間的實際利率是多少？整個存款期間的年平均實際利率是多少？（后面討論）復利(compoundinterest)復利：前期的利息收入計入下一期的本金，即“利滾利”。例：假設年初投資1000元，年利率為5％，則年末可獲利50元，因此在年末有1050元可以用來投資。第二年按照1050元來計算，將在年末獲得52.5元利息。9復利的積累函數(shù)10實際利率=復利利率11復利的實際利率貼現(xiàn)（discount）累積：在時間零點投資1元，在時間

t的累積值是多少？貼現(xiàn)：在時間零點投資多少，才能在時間

t累積到1元?時間t的1元在時間零點的價值稱為貼現(xiàn)函數(shù)，記為a-1(t)。120t1a(t)a-1(t)1貼現(xiàn)函數(shù)(discountfunction)1314(1+i)累積因子：accumulationfactor

t年累積因子：t-yearaccumulationfactor貼現(xiàn)因子：discountfactorvt

t年貼現(xiàn)因子：t-yeardiscountfactor幾個術(shù)語：

實際貼現(xiàn)率：d

實際貼現(xiàn)率等于一個時期的利息收入與期末累積值之比：15期初本金期末累積值利息=期末累積值-期初本金（期初比期末少百分之幾？）（期末比期出多百分之幾？）例年實際貼現(xiàn)率為d，請計算年末的1元相當于年初的多少？解：令其等于X，則由貼現(xiàn)率的定義，有161-d101實際利率i與實際貼現(xiàn)率d的關系1711+i01當期利息：i根據(jù)貼現(xiàn)率的定義：問題：已知年實際利率為5%?；卮鹣率鰡栴}：（1）100萬元貸款在年末的利息是多少？（2）如果在貸款起始日收取利息，應該收取多少利息？（3）年實際貼現(xiàn)率是多少？（4）寫出累積函數(shù)和貼現(xiàn)函數(shù)。（5）分別用實際利率和實際貼現(xiàn)率計算，5年末到期的100萬元在時間零點的價值是多少？18名義利率？實際利率：一年復利一次。名義利率：一年復利多次，或多年復利一次。例：3個月期的存款年利率為1.8%例：3年期的存款年利率為4%19考慮下述兩筆貸款：貸款100萬，年利率為12％，年末支付利息12萬。貸款100萬，年利率為12％，每月末支付一次利息，每次支付1萬。第一個12％是年實際利率，第二個是年名義利率。20名義利率的各種表述季度的實際利率為3%：年利率為12%，每年結(jié)轉(zhuǎn)4次利息；年利率為12%，每年復利4次；年利率為12%，每季度結(jié)轉(zhuǎn)一次利息；年利率為12%，每季度復利一次。相關術(shù)語利息結(jié)轉(zhuǎn)期：interestconversionperiod；每月結(jié)轉(zhuǎn)一次：convertiblemonthly；每月支付一次：payablemonthly；每月復利一次：compoundmonthly；2122年名義利率

i(m)

表示每年復利m次，即每1/m年支付一次利息，每1/m年的實際利率為i(m)/m。例：i(4)=8%

表示每季度復利1次，每季度的實際利率為2%。例：i(12)=6%

表示每月復利1次，每月的實際利率為0.5%。例：i(1/5)=10%

表示每5年復利1次，5年期的實際利率為50%。例：i(1/2)=9%

表示每2年復利1次，2年期的實際利率為18%。名義利率的定義名義利率與實際利率的關系：

23對名義利率的一種解釋：

名義利率是在1/m時期內(nèi)與實際利率（復利利率）i

等價的單利利率。例：時間零點投資100萬元，年利率為12%，請在下述各種條件下計算1個月末和1年末的累積值：（1）上述利率是單利利率（2）上述利率是實際利率（復利利率）（3）上述利率是名義利率，每年復利12次解：2425

年利率一定的條件下，每年的復利次數(shù)越多，年實際利率越高。年名義利率為10%時，年實際利率隨復利次數(shù)的變化情況年復利次數(shù)年實際利率110.000%210.25%410.38%1210.47%52（每周）10.51%365(每天)10.52%問題：年利率i(m)一定的情況下，如果復利次數(shù)m為無窮大，年實際利率會是多少？年復利次數(shù)年實際利率110.00%365(每天)10.52%∞10.52%26名義貼現(xiàn)率定義：d

(m)

是指每1/m時期的實際貼現(xiàn)率為d

(m)

/m。27對名義貼現(xiàn)率的一種解釋：

名義貼現(xiàn)率是在1/m時期內(nèi)

與實際貼現(xiàn)率d等價的單貼現(xiàn)率。名義利率與名義貼現(xiàn)率的關系把

i

(m)/m

和d

(m)/m

看作1/m

年內(nèi)的實際利率和實際貼現(xiàn)率，則28例：確定每季度復利一次的利率，使它等價于每月復利一次的6％的貼現(xiàn)率。解：29利息力回顧：年實際利率可以度量資金在一年內(nèi)的增長強度（年平均）。名義利率可以度量資金在一個小區(qū)間（如一個月）的增長強度（月平均）。問題：如何度量資金在每一個時點上的增長強度？在名義利率中，如果時間區(qū)間無窮小，名義利率就度量了資金在一個時點上的增長強度。稱作利息力。30定義：利息力度量資金在每一時點上（無窮小的時間區(qū)間）增長的強度。在時間區(qū)間[t,t+h]的實際利率為對應的年名義利率為（1年包含1/h個小區(qū)間）31

為時刻t的利息增長強度（即利息力）。定義：設積累函數(shù)連續(xù)可導，則時刻t的利息力為32問題：為什么不用a

(t)直接度量利息的增長強度？復利在時刻t的利息力因為所以時刻t的利息力為復利的利息力是常數(shù)！與時間無關。稱為復利的利息力。故累積函數(shù)可以表示為33剩余壽命34

主要內(nèi)容剩余壽命模型死亡力剩余壽命的解析分布整數(shù)剩余壽命生命表分數(shù)年內(nèi)的死亡率35剩余壽命模型(TheFutureLifetimeModel)剩余壽命：用符號

來表示一個年齡為

歲的個體，用

或更具體的

來表示該個體的未來剩余壽命。剩余壽命

是一個隨機變量，其概率分布函數(shù)為：

對給定的

，函數(shù)

表示個體在

年內(nèi)死亡的概率。

的概率密度函數(shù)為=，有：36常用的精算符號和公式：（1）個體在

年內(nèi)死亡的概率：（2）個體在

年內(nèi)生存的概率：（3）歲的個體生存了

年，并在之后年內(nèi)死亡的概率：

37常用的精算符號和公式：（4）記

為

歲的個體在生存至

歲之后，又生存了

年的條件概率，因此：

（5）

38

39預期剩余壽命：

的未來生存時間的期望為預期剩余壽命，記為。按定義有：

用分布函數(shù)可以表示為：（1）特別地當

時，按慣例

，

，

中的

通?？梢月匀ァＲ虼?/p>

表示在1年內(nèi)死亡的概率,表示

歲的人生存了

年，并在之后1年內(nèi)死亡的概率；（2）對新生兒（即

）來講，相應的生存概率

記為生存函數(shù)

；（3）引入分布函數(shù)

，那么

40注：死亡力（Theforceofmortality）的未來剩余壽命

是隨機變量，由該隨機變量可定義在時的死亡力為：在

之后

段時間內(nèi)死亡概率的另一種表達式：

的未來生存時間的期望可表示為41如采用精算符號，死亡力也可定義為：

對上式兩邊積分，變形即得：變量

的二階矩有如下表示：42例：已知

，，計算

及變量

的密度函數(shù)。為表明年齡40和時間

的區(qū)別，可記為解：

的密度函數(shù)為

即服從上的均勻分布。43例：已知

，，計算。解：44例：定義隨機變量

如下：相應地記

。給出的表達式。解：按定義可得：

應用分部積分方法，可得：

45剩余壽命的解析分布(AnalyticaldistributionsofT)如果函數(shù)

可用簡單的公式來表達，那么就稱變量

有解析分布。解析公式的優(yōu)勢在于

可通過較少的參數(shù)計算出來。當僅有幾個參數(shù)需要估計時，統(tǒng)計推斷顯得特別方便。正態(tài)分部模型很常用，部分原因是來自中心極限定理的支持，但更多還是因為它在數(shù)學上容易處理。46DeMoivre律47DeMoivre(1724)假設人類存在最大年齡

，并假設

服從0到

之間的均勻分布，即當

時

此時死亡力有如下形式由上式可知，死亡力是關于

的增函數(shù)。Gompertz

律48Gompertz(1824)假設死亡力是指數(shù)增長的它比DeMoivre律更好地反映了個體變老的過程，而且取消了存在最大年齡

的假設。Makeham死亡律49Makeham(1860)提出Makeham死亡律增加了一個與年齡無關的常數(shù)

。如在上式中取或，就得到死亡力為常數(shù)的模型，此時

的概率分布就是指數(shù)分布。

注：50

由式和，并記

，那么在Makeham模型下生存概率可寫為：Weibull死亡律51

Weibull（1939）建議死亡力以關于

的多項式方式增長：，其中參數(shù)

，

。此時生存概率為整數(shù)剩余壽命(Curtatefuturelifetime)整數(shù)剩余壽命

：

的未來剩余壽命的整數(shù)部分。按照定義有：K的二階矩：52預期整數(shù)剩余壽命(Curtateexpectationoflife)

K的期望：預期整數(shù)剩余壽命即：另有：53定義

為(x)在死亡年內(nèi)活過的時間（），有：隨機變量

取值為從0到1之間，期望值近似為1/2，所以有：注：當與

獨立，

服從0到1上均勻分布時，上式取等，且有54對于正整數(shù)m，定義為注：可以驗證，的取值為；與

相比，

近似描述了死亡年內(nèi)的死亡時刻。如把每年分成12個月，當死亡在第一個月內(nèi)發(fā)生，則，但此時對應的

；如果

和

獨立，就可以得到

和

相互獨立；如果

服從0到1上的均勻分布，那么

服從離散型均勻分布。55例：假設隨機變量相應地記。請給出的表達式。解：按定義可得，

由

可得，56生命表(Lifetable)

：，表示新生兒的個數(shù)，表示最大年齡，

表示個新生兒存活到歲的個數(shù)。

：，表示個體活過歲的概率。結(jié)合第一節(jié)，有關系式：

：，表示在

內(nèi)死亡的個數(shù)

類似地有，。57本質(zhì)上，生命表是一年期死亡概率

的列表，它完整地決定了

的分布；生命表是為某些特定群體由統(tǒng)計數(shù)據(jù)構(gòu)造的，不同群體的未來生存情況可能不同，生命表也不同；考慮相同年齡的不同群體，就有了選擇生命表。58注：選擇生命表(Selecttable)

：被選擇進入的年齡。如，表示把作為進入年齡，生存年后達到年齡，在下一年內(nèi)的死亡率。選擇性通常會導致以下不等式：

通常選擇效應經(jīng)過幾年（如

年）之后就消失了，從而可假設：

稱為選擇期，選擇期結(jié)束之后的生命表稱為終極生命表。59例：給定如下選擇—終極生命表的部分，其中選擇期為2年。由上表，計算和。解：60

100010001000x+2300.2220.3300.4229906.7389904.5389901.27032310.2340.3520.4599902.8949900.5769897.09133320.2500.3770.5009898.7549896.2809892.54934330.2690.4070.5459894.2909891.6289887.60235340.2910.4410.5969889.4519886.5749882.21436如果生命表僅隨到達年齡變化，那么該生命表就稱為綜合表在綜合生命表中，的一年期死亡率通常是選擇生命表和終極生命表中相應概率的加權(quán)平均；為了簡便，以下將使用綜合生命表。61注：分數(shù)年內(nèi)的死亡率（Probabilitiesofdeathforfractionsofayear）

K的分布可以通過生命表由下式計算：為使用插值法求T的分布，需要對死亡率的變化模式給出一些假設。

62分數(shù)年內(nèi)的死亡率

假設1：線性假設

63分數(shù)年內(nèi)的死亡率

假設2：常數(shù)假設

64分數(shù)年內(nèi)的死亡率

假設3：線性假設（Balducci假設）

65在以上三種假設下，死亡力作為年齡的函數(shù)，在整數(shù)點都是不連續(xù)的；在Balducci假設下，死亡力在相鄰的兩個整數(shù)之間是單減的，這似乎是不太合理的。66注：例：假設

，

，分別在本節(jié)假設1和假設3下計算

在

內(nèi)死亡的概率。解：所求概率為

注意到

，所以

由假設1：

由假設3：

67人壽保險68

主要內(nèi)容壽險的基本類型保額在死亡時刻支付壽險的一般類型變額壽險的標準類型遞推公式69壽險的基本類型終身壽險：投保期限直到死亡為止，在被保險人死亡年末給付1個單位?，F(xiàn)值變量：,躉繳凈保費（精算現(xiàn)值）：70變量Z的方差：代入，得上式等價于在計算躉繳凈保費時，把利息力變?yōu)樵瓉淼?倍，就得到二階矩因此，有時采用符號71注：壽險的基本類型n年期定期壽險：只對

n年內(nèi)的死亡有1個單位給付，給付時間是死亡年末。現(xiàn)值變量：躉繳凈保費：與終身壽險類似，有：72壽險的基本類型n年期生存保險：以n

年后被保險人生存為給付條件現(xiàn)值變量：躉繳凈保費：Z可以寫成某個貝努里變量的倍，從而有：73壽險的基本類型n年期兩全保險：如果被保險人在

n年內(nèi)死亡，則在死亡年末給付1個單位；如果被保險人活過n

年，那么就在n

年末給付1個單位?，F(xiàn)值變量：

可視為n年期定期壽險與生存保險隨機變量之和；躉繳凈保費：74n年期兩全保險、n年期定期壽險、

n年期生存保險的現(xiàn)值變量分別記作

因為，故可見，賣出一份兩全保險的風險要比分別向兩人賣出一份定期壽險和一份生存保險的風險要小。75注：壽險的基本類型m年延期終身壽險：現(xiàn)值變量：躉繳凈保費：76例：已知，，，計算解：

77例：假設，，，計算和解：由定義有

注意到

于是有

可得，78保額在死亡時刻支付在前面，假設保額在被保險人死亡年末給付。該假設的優(yōu)點在于可直接利用生命表進行計算，缺點在于不能準確反映保險實踐。本節(jié)假設保額在死亡時刻T支付。79保額在死亡時刻支付對終身壽險，現(xiàn)值變量

躉繳凈保費

對于

假設K和S是獨立的，而且S有均勻分布，那么對定期壽險，有類似公式。對于兩全保險，80把一年等分成

個m個區(qū)間，假設保額在被保險人死亡時刻對應的那個區(qū)間末支付，即時刻

現(xiàn)值變量為對于假設和獨立，且均勻分布，那么從而令

趨于無窮，可得81注：例：已知，，，計算：

（1）；

（2）簽發(fā)給(40)的25年期定期壽險，在時刻

t時的保險給付為

，計算該壽險的精算現(xiàn)值。82解：，，

83例：已知，，，計算：

（1）；

（2）計算現(xiàn)值變量的方差。84解：

（1）

（2）

隨機變量方差為

85壽險的一般類型考慮保險金額隨時間變化的壽險。

（假設保額在被保險人死亡年末或死亡時刻給付）用

表示保單簽發(fā)后第

年的保險金額，那么就有

，

設保額為

的函數(shù)

，有

以及躉繳凈保費有了壽險的一般類型的概念和結(jié)構(gòu)后，下一節(jié)就可以考慮一些特殊類型的壽險。86變額壽險的標準類型假設保額在死亡年末給付。遞增終身壽險，現(xiàn)值變量躉繳凈保費

遞增的年定期保險：現(xiàn)值變量躉繳凈保費為的前項之和。87變額壽險的標準類型減額定期壽險，給付從

到0線性減少現(xiàn)值變量躉繳凈保費88變額壽險的標準類型假設保額在死亡時刻給付。保額逐年遞增，現(xiàn)值變量：躉繳凈保費：

（利用），與獨立，且均勻分布得到）保額每年增加

次，每次增加

現(xiàn)值變量：躉繳凈保費：89變額壽險的標準類型保額連續(xù)增長，現(xiàn)值變量：躉繳凈保費：（通過令趨于無窮得到）90例：已知，，，計算解：91遞推公式遞推公式有一些有趣的理論含義。

解釋：歲時的躉繳凈保費是一個隨機變量的期望值，在未來一年內(nèi)分兩種情況考慮：如被保險人死亡就對應于上式右邊第1項，如生存就考慮在歲時的躉繳凈保費，再貼現(xiàn)到歲。92遞推公式

解釋：終身壽險的第一年末，不論生存或死亡，都要留出。在死亡情形下，需要額外的（和相加得死亡給付1）。保額為

的1年期定期保險的躉繳凈保費就是

。93遞推公式

解釋：已賺利息有兩個效應，一方面從

到

歲時，它使得躉繳凈保費增加，增加量為，另一方面它提供了虛構(gòu)的一年定期壽險的保費。94生命年金95

主要內(nèi)容生命年金生命年金的基本類型年內(nèi)給付多次的生命年金變額生命年金遞推公式96生命年金

生命年金：受益人生存時得到的一系列給付生命年金可被視為期限為未來壽命T的年金現(xiàn)值為隨機變量，記為Y;躉繳凈保費是

。97生命年金的基本類型考慮期初付年金終身年金：在受益人生存時提供1個單位的年給付額，給付發(fā)生在時點0,1,2…

K現(xiàn)值：躉繳凈保費：98現(xiàn)值還可表示為，其中為事件A的示性函數(shù)對上式取期望得：上式相當于將年金視為一系列生存保險一個常用的精算符號為精算貼現(xiàn)因子99注：躉繳凈保費也可以用終身壽險的躉繳凈保費來表示，

，取期望得對于式，有如下解釋：對于1個單位的債務，在生存時每年初支付利息

d，在死亡年末支付1個單位，考慮到現(xiàn)值，就可償還債務。Y的高階矩可通過Z得到，如100注：生命年金的基本類型考慮期初付年金n年定期年金現(xiàn)值：躉繳凈保費：101生命年金的基本類型期末付年金：給付發(fā)生在時點1,2…

K現(xiàn)值：躉繳凈保費：102生命年金的基本類型延期m年的期初付年金現(xiàn)值：躉繳凈保費：103例：證明以下等式（1）（2）（3）

104例：（1），其中對應（2）（3），再將（2）中的結(jié)論代入化簡。

105年內(nèi)給付多次的生命年金考慮一年給付m次，每次給付

的生命年金。只要受益人生存，就在時刻

有給付。躉繳凈保費滿足：對上式的理解：一年給付m次的生命年金可視為兩個永續(xù)年金之差，其中一個永續(xù)年金從時刻0開始，另一個從時刻

開始。106為使用

表示

，用到

和

的關系，以及

，得到引入那么實踐中常用的近似為，該近似僅在利息力較小時適用。107注：例：已知

，

，計算從65歲開始，每月初支付1000元的生存年金的精算現(xiàn)值。解：108例：已知

，

，

，

計算解：109例：證明可表示為解：110例：已知

，

，

，計算

和。解：

，111變額生命年金考慮在時刻0,1,2…

K給付的生命年金。現(xiàn)值：躉繳凈保費：考慮在時刻給付的生命年金。躉繳凈保費的形式與上式類似。連續(xù)給付的生命年金可通過令m趨于無窮而得到。記時刻t

時的年金支付率為

?，F(xiàn)值：躉繳凈保費：112生命年金的標準類型對于上一節(jié)的變額年金，令躉繳凈保費：與有關系：現(xiàn)考慮一年給付m次，而給付額按年度遞增的情況躉繳凈保費：113生命年金的標準類型在上式中令m趨于無窮，就得到相應的連續(xù)生命年金（支付率

）的躉繳凈保費或者通過對現(xiàn)值隨機變量取期望得到躉繳凈保費：114遞推公式

可見躉繳凈保費等于在x歲的給付1，加上x+1歲的躉繳凈保費的現(xiàn)值，再減去預期的死亡所得。

躉繳凈保費可視為一項永續(xù)年金的現(xiàn)值，減去每年內(nèi)的死亡所得。115壽險凈保費116

主要內(nèi)容凈保費壽險的基本類型一年支付多次保費壽險的一般類型保費返還的保單117凈保費（netpremium）保費繳納方式可分為三種：（1）躉繳保費，即一次性繳納（2）分期繳納保費，每期繳費相同（也稱為水平保費或均

衡保費）（3）分期繳納保費，每期繳費可以不同當保費繳納滿足等價原理時，就稱為凈保費。118等價原理（equivalenceprinciple）定義損失變量

L

為保險人保險給付現(xiàn)值減去未來保費收入現(xiàn)值之差。損失變量的期望為0時，就稱滿足等價原理119例假設年齡為40歲的人投保定期壽險，保險期間為10年，保險金額為

C，在死亡年末支付，當被保險人生存時，在每年初支付保費

，支付期限最多10年。此時保險人的損失變量

L為：根據(jù)等價原理有120例假設利率

i=4%,(40)的個體，死亡分布滿足DeMoivre律，最大年齡

ω=100。年繳凈保費為多少？解：121壽險的基本類型終身壽險與定期壽險生存保險兩全保險延期生命年金122終身壽險與定期壽險

（wholelifeandterminsurance）終身壽險：對保額為1個單位的終身壽險，保險給付在死亡年末支付，年繳凈保費用

來表示。保險人的損失變量為由等價原理可得年繳凈保費：123終身壽險與定期壽險

（wholelifeandterminsurance）把保費支付視為兩個永續(xù)年金之差（一個從時刻0開始支付，另一個從時刻

K+1開始支付），可得：124125公式1：從債務償還的不同角度看123……K

K+1d

d

d……d

d

d1直觀解釋：初始本金1，一方面可購買生命年金，年支付額為。另一方面，每年初得到利息，最后得到本金1，分攤到每年初就是保費。126公式2：從債務償還的不同角度看123……K

K+1……直觀解釋：死亡年末債務為1，對應的現(xiàn)值為。一方面購買保險，每年的保費為。另一方面，每年初支付利息，最后支付的本金分攤到每年初。終身壽險與定期壽險

（wholelifeandterminsurance）定期壽險：一份保險期限為

n

，保額為1個單位，保險給付在死亡年末支付的定期壽險，用

表示年繳凈保費。保險人的損失變量為：年繳凈保費為：127生存保險（pureendowment）保額為1個單位，保險期限為

n的生存保險，年繳凈保費用

來表示。保險人的損失變量為：年繳凈保費為：128兩全保險（endowment）年繳凈保費為：由于，那么類似前面的兩個公式，對兩全保險有：129延期生命年金（deferredlifeannuities）設保費在延期內(nèi)繳納，年金給付從時刻

n開始，年給付額為1個單位，那么該延期生命年金在時刻

x+n

的精算現(xiàn)值為

，從而年繳凈保費為

。130例已知

，，其中

，

。計算

和

。解：按定義

，

131例已知

，

，計算

，

，和

。解：

對應的利率滿足，因此有132例驗證下式成立（注：左下角的20表示保費最多繳納20次）。證明：按定義133例已知，

，。計算。解：

按定義得

求解得到：134一年支付多次保費當每年等額繳納

m次保費時，可通過符號里的上標(m)表示。年繳凈保費符號：，，，。上述凈保費可用

，

，來代替凈保費公式中的分母

，

而得到。例：（1）（2）（3）（4）135完全連續(xù)人壽保險如果保額在死亡時刻支付，而每年內(nèi)保費支付次數(shù)趨于無窮大，就得到完全連續(xù)的壽險模型，年繳凈保費符號為（僅舉兩例）：136比較與將，代入得：展開得到：同理對于其它保險，就有：137例已知，，，計算和。解：首先，138例已知，，計算。解：

注意到

，

從而得到139壽險的一般類型記

為保單簽發(fā)后第

j

年末的保險給付，假設每年繳納保費為

,表示時刻

k

的保費。保險人的損失變量為：滿足等式的保費即為凈保費。推廣到一般情況，如果允許

取負值，該模型就包含了生存保險和生命年金。

140例記π為關于

(x)的

n年期定期壽險的年繳凈保費，假設,。證明：。證：由等價原理，可得從而141保費返還的保單（policieswithpremiumrefund）設有兩全保險，滿期保額為1個單位，期限

n

年。如果被保險人在

n

年內(nèi)死亡，已繳保費就無息返還，確定年繳凈保費。令P

為年繳凈保費，保險人的損失變量為

保險人的期望損失為應用等價原理，就得到年繳凈保費為

142例對

于(x)，考慮

n

年期的定期壽險，如死亡發(fā)生在第

k+1年內(nèi)，那么第

k+1年末的給付為

，求該壽險的躉繳凈保費。解：

按定義，保險給付的現(xiàn)值變量為,

與期初支付的終身生命年金比較，可見躉繳凈保費為143例對

(x)，考慮20年期的定期壽險，保額為5000元。另外如在20年期內(nèi)死亡發(fā)生，就返還保費。分以下兩種情況分別計算該壽險的年繳凈保費。

（1）無利息返還保費。

（2）有利息返還保費。

144例解：

（1）記π1為年繳凈保費，那么按等價原理就得

（2）記π2為年繳凈保費，那么

145例對(x)，考慮

n

年期的延期年金，每年給付為1個單位，首次支付出現(xiàn)在

x+n。年繳凈保費在前

n

年內(nèi)支付。如死亡發(fā)生在前

n

年內(nèi)，那么死亡給付為有利息返還已繳保費。計算年繳凈保費。解：

記π為年繳凈保費，那么按等價原理就得求解得146壽險責任準備金147

主要內(nèi)容兩全保險與定期保險的比較遞推關系終身壽險與兩全保險的凈保費責任準備金總損失在各保單年度的分攤148壽險責任準備金(netpremiumreserve)考慮一份繳納凈保費的保單。在保單簽發(fā)時，保險人損失

L

的期望為0。在保單簽發(fā)之后的時刻，未來保費與未來保險給付的期望現(xiàn)值一般并不相等。假設

T>t，定義隨機變量

tL

為在時刻t

時未來保險給付現(xiàn)值減去未來保費現(xiàn)值的差額，假設tL

不恒為0，tL

的期望就是在時刻

t時的凈保費責任準備金，記為

tV。該定義也可視為責任準備金的前瞻公式。149兩全保險與定期保險的比較給定一份保險期限為

n

，保額為1個單位的兩全保險，在第

k

年末的凈保費責任準備金記為

，表示如下：由凈保費的定義，顯然

。相應地，定期壽險第

k

年末的凈保費責任準備金記為

150例：假設保額為1000單位，初始年齡

x=40，保險期限

n=10，凈保費責任準備金為

（或

），k=0,1,…9。假設

i=4%，死亡率滿足DeMoivre律，ω=100。解：

經(jīng)計算得到兩全保險的年繳凈保費為88.96，定期壽險的

年繳凈保費為17.225。

凈保費責任準備金的變化如下表所示。15115207.84805698.150135.180.017.24269721.4477126.021.326.60433745.99158116.082.335.93076771.89244105.303.145.21956799.2533593.613.754.46813828.1543180.944.063.67365858.7153267.223.972.83306891.0463952.363.681.94305925.2775236.272.891.00000961.5487318.850.01.6由上表可見，兩全保險的責任準備金穩(wěn)定增加，最后趨近于保險金額。定期保險的責任準備金非常小，幾乎沒有變化。在開始幾年，由于保費略多于相應的一年期定期壽險的保費，因此責任準備金逐漸增加。由于被保險人生存時保險人沒有給付義務，因此在接近保險期末時，責任準備金逐漸減少。遞推關系(recursiveconsiderations)回到人壽保險的一般類型。按定義，第

k

年末的凈保費責任準備金記為將式代入上式，并記作為求和下標，得到與的關系如下：153遞推關系(recursiveconsiderations)令

h=1可得到凈保費責任準備金的遞推關系：上式表示在時刻

k

時，凈保費責任準備金與保費之和，等于年末所需資金的期望現(xiàn)值（在死亡情況下為

ck+1，在生存情況下

k+1V），該式也可寫成如下形式：在每種情況下都需要額度為

的資金；如被保險人死亡，則需要額外的額度為

的資金，稱它為在險凈保額（netamountatrisk）。154儲蓄保費(savingpremium)與風險保費(riskpremium)式表明保費可以分解成兩部分，。

為儲蓄保費，用于增加凈保費責任準備金，

從年初的

變到年末的

。為風險保費，它是一年期定期壽險的保費，保險金額為在險凈保額。從而在第

k+1年內(nèi)的運行狀況可解釋為儲蓄與一年期定期壽險的組合。當然，這里假設被保險人在時刻k

生存。155156引用上一節(jié)的數(shù)值實例，下表給出了凈保費的分解，分為儲蓄保費和風險保費。兩全保險定期壽險074.1714.791.2216.00175.2413.710.9716.26276.4312.530.7016.53377.7411.220.4216.81479.189.780.1217.10580.778.18-0.1917.41682.536.43-0.5217.74784.474.49-0.8718.09886.602.36-1.2418.46988.960.00-1.6218.85遞推關系(recursiveconsiderations)把式寫成：

可見保費與責任準備金產(chǎn)生的利息之和，用于調(diào)整（增大

或減?。┴熑螠蕚浣穑⑻峁╋L險保費。在式兩邊乘以(1+i)，得到類似等式：157例考慮(x)從

x+n

歲開始，年給付額為1個單位的延期年金，等額年繳凈保費在前

n

年內(nèi)支付，并且在

x+n

歲之前死亡時，死亡給付額為凈保費責任準備金。確定年繳凈保費及第

k

年末的責任準備金。解：由式及

可得年繳凈保費為

上式兩邊乘以

vk，并對

k=0,1,…,n-1求和，得到

把代入上式，得到

求和得第k

年責任準備金為158例關于

(x)的某種保險，當(x)在

n

年內(nèi)死亡時，年末給付1個單位再加上凈保費責任準備金。假設期滿時責任準備金為1，給出等額年繳凈保費公式及第

k

年末的責任準備金。解：此時，由可得

上式兩邊乘以

vk

，并對

k=0,1,…,n-1求和，得到求和得第k

年末的責任準備金為159例關于(x)的某種保險，假設

，

，

，

。證明

。證：由和題設可得：

變形可得

再由，遞推得到：

，

最后得到：160終身壽險與兩全保險的凈保費責任準備金對于終身壽險，第

k

年末的凈保費責任準備金記為

kV，由定義有：經(jīng)過變換可得到幾個等價公式（見下頁）。161162幾個等價公式：——凈保費責任準備金等于保額減去未來保

費及未賺利息的期望現(xiàn)值?！獌舯ＹM責任準備金是未來保費不足部分

的期望現(xiàn)值。163等價公式推廣到兩全保險：回溯公式設關于(x)的保單在開始的

h

年內(nèi)保額都是1個單位，保費為

P，這里

h

小于或等于保單繳費期，那么責任準備金的回溯公式為：

其中

hkx為保險成本積累值?，F(xiàn)考慮

(x)的兩份保單，保費分別為

P1

和

P2

，那么就有164回溯公式的應用考慮兩全保險和繳費

n

次的終身壽險，按定義，對兩全保險

，而對終身壽險

，因此可得：比較定期保險和終身壽險，注意到對定期保險有，

則有：165例假設，，。

計算。解：

，因此

，，從而

166例假設，，。計算。解：

直接由式可得

或者由兩邊同乘

得

兩邊同除以得167例假設，。計算。解：由式可得

，

，

168總損失在各保單年度的分攤對于

k=0,1,…，記

為保險人在第

k+1年內(nèi)發(fā)生的損失，選擇年初時刻

k

作為參考點。分以下三種情況考慮：

（1）被保險人在時刻

k

之前死亡，即在第

k+1年之前死亡；

（2）被保險人在第

k+1年內(nèi)死亡；（3）被保險人在第

k+1年之后仍生存。隨機變量

為169總損失在各保單年度的分攤用代換，應用等式，可得：

如果被保險人在時刻

k

生存，那么

是保額為在險凈保額的

一年期定期壽險導致的損失。170總損失在各保單年度的分攤保險人的總損失可表示成，求和范圍為從0到

K

。

方差假設被保險人在時刻

x+h（

h

為整數(shù)）生存，定義損失變量

。與上式類似，下式成立171172k兩全保險定期壽險01290515114199181394027393128643529211876435841097052240101406123193797535868281318043907457合計43229108465引用本章前面的數(shù)例，可得到下表：可見兩全保險的

（43229）遠小于定期壽險的

（108465）。例25歲的人投保終身壽險，保額為1個單位，保費最多繳納20次。已知i=0.06,,,,,,。

計算：(1)，

；

(2)；

(3)。173例解：(1)經(jīng)過19年后，還剩最后一次保費。而經(jīng)過20年后，就不再有

保費。按準備金的定義，可得

(2)(3)代入給定條件，計算得到174例關于

(x)的3年期的兩全保險，保額為3個單位，年繳凈保費為0.94個單位。當

i=0.20時，計算得到的各年度準備金如下

計算：(1)qx

和qx+1

；(2)；(3)。175年度年末準備金10.6621.5633.00例解：

注意到，

，

(1)，

，

(2)176例解：

(2)對兩全保險最后一年，沒有隨機性，所以

。

最后得到：

(3)

即

只取對應于

k=0的一項。由以上兩式，即得177損失模型178

主要內(nèi)容基本概念隨機變量隨機變量的數(shù)字特征損失次數(shù)模型泊松分布二項分布負二項分布幾何分布損失金額模型指數(shù)分布伽馬分布逆高斯分布對數(shù)正態(tài)分布帕累托分布179隨機變量隨機變量：取值依賴于隨機現(xiàn)象的觀察結(jié)果的變量，通常用大寫字母（如X、N）來表示。隨機變量X的分布函數(shù)F(x)：隨機變量X的取值不超過實數(shù)x的概率，即F(x)=Pr(X

x)隨機變量的類型：離散型隨機變量：只能取有限個或可列個值的隨機變量

（如保單的索賠次數(shù)N）連續(xù)型隨機變量：其取值布滿一個區(qū)間的隨機變量（如損失金額X的取值范圍是區(qū)間（0，＋

））180隨機變量的數(shù)字特征均值（期望值）描述隨機變量的平均取值，代表著其取值的平均水平。隨機變量X的均值通常用E(X)表示當X為離散型隨機變量，其取值為

的概率為

（i=1,2,…），則當X為連續(xù)型隨機變量，其取值范圍為（

，＋

），f(x)為其密度函數(shù)，則181均值密度函數(shù)f(x)與分布函數(shù)F(x)具有下述關系：兩個隨機變量X和Y的均值具有下述關系：（1）

，其中k為常數(shù)（2）

（3）若X與Y相互獨立，則

182方差、標準差方差：描述了隨機變量取值的分散程度兩個隨機變量X和Y的方差具有下述關系：（1）

，其中k為常數(shù)（2）若X與Y相互獨立，則標準差：方差的平方根183變異系數(shù)184隨機變量X的變異系數(shù)CV是標準差與均值的比率n個獨立同分布的隨機變量之和的變異系數(shù)是單個隨機變量的變異系數(shù)的

即：

變異系數(shù)通常用來描述一個風險的相對大小，因此，風險集合中所包含的相互獨立的個體風險越多，其相對風險越小。隨機變量X的k階原點矩是指隨機變量的k次冪的均值，即

顯然，均值為隨機變量的一階原點矩。隨機變量X的k階中心矩定義為顯然，方差為隨機變量的二階中心矩。185原點矩和中心矩偏度系數(shù)隨機變量X的偏度系數(shù)定義為

其中，

是X的三階中心矩，

為X的標準差。n個獨立同分布的隨機變量之和的偏度系數(shù)是單個隨機變量的偏度系數(shù)的

，因此隨機變量之和的偏度系數(shù)隨著n的變化呈反方向變化。對稱分布：偏度系數(shù)為零；(如正態(tài)分布)右偏分布：偏度系數(shù)大于零；左偏分布，偏度系數(shù)小于零。186損失次數(shù)模型泊松分布二項分布負二項分布幾何分布187泊松分布均值=方差變異系數(shù)=偏度系數(shù)當時，，這就意味著泊松分布接近于對稱分布。188，k＝0，1，2，…… 假設損失次數(shù)N服從參數(shù)為λ的泊松分布，則發(fā)生k次損失的概率為：189泊松分布的幾個重要性質(zhì)：可加性：兩個獨立同分布的泊松隨機變量之和仍然是

泊松隨機變量。可分解性。如果保險事故發(fā)生的時間間隔服從指數(shù)分布，則在一個固定的時間區(qū)間內(nèi)發(fā)生的保險事故次數(shù)服從泊松分布。

當參數(shù)

較大時，泊松分布趨于對稱分布，所以可以用正態(tài)分布近似

二項分布

假設損失次數(shù)N服從參數(shù)為m和q的二項分布,則發(fā)生k次損失的概率為：均值方差變異系數(shù)偏度系數(shù)母函數(shù)

P(z)=E(zN)=(1-q)z0+qz1=1-q+qz=1+q(z-1)190，k＝0，1，2，…，m，其中m為整數(shù)，0<q<1 二項分布的性質(zhì)當m足夠大，q充分小，使得mq保持適當?shù)拇笮r，近似于參數(shù)為

的泊松分布。方差小于其均值，這是它與泊松分布和負二項分布在實際應用中的主要區(qū)別。泊松分布的方差等于均值，而負二項分布的方差大于均值。假設每個風險發(fā)生損失的概率均為q，則二項分布可以描述m個獨立同分布的風險所組成的風險集合的損失次數(shù)。如果用二項分布描述損失次數(shù)，則意味著損失次數(shù)存在一個最大值，這就是二項分布的參數(shù)m。191二項分布的概率函數(shù)192

當固定參數(shù)q時，二項分布隨