立體幾何+測試題-2021-2022學(xué)年高二年級下冊數(shù)學(xué)+人教A版必修2

立體幾何

一、單選題

1.（2022?江蘇海門?高三期末）已知正四棱錐的底面邊長為2亞，側(cè)棱必與底面

ABC￡>所成的角為45。，頂點尸，A,B,C,。在球。的球面上，則球。的體積是（）

32Q/?

A.16萬B.——冗C.8兀D.*乃

33

2.（2022?江蘇通州?高三期末）在正三棱錐P-ABC中，。是棱PC上的點，且尸￡>=2OC.

設(shè)PB,PC與平面所成的角分別為a,△，則sina：sin^=（）

3.（2022.江蘇如東.高三期末）已知三棱錐P—ABC的外接球半徑為4,底面ABC中，AC

=6,ZABC=60°,則三棱錐「一A8C體積的最大值是（）

A.1873B.54百C.247rD.1班+24

3

4.（2022.江蘇無錫.高三期末）正方體A88-A4GA中，M是正方形ABC。的中心，則

直線4M與平面AGB所成角的正弦值為（）

A.-B.無C.—D.迪

3333

5.（2022?江蘇蘇州?高三期末）已知圓錐的高為遙，其側(cè)面展開圖為一個半圓，則該圓錐

的母線長為（）

A.2啦B.2石C.2巫D.4&

6.（2022?廣東羅湖?高三期末）在正方體ABCO-AAGR中，。為正方形ABCO的中點，P

為AA的中點，則直線尸。與AA所成的角為（）

A.-B.-C.-D.-

2346

7.（2022?廣東揭陽?高三期末）已知圓柱的軸截面為正方形，其外接球為球。，則圓柱的表

面積與球。的表面積之比為（）

A.3:4B.1:2C.372:8D.不能確定

8.（2022?廣東潮州?高三期末）若一個圓錐的側(cè)面積是底面面積的2倍，則該圓錐的母線與

其底面所成的角的大小為（）

9.（2022?廣東清遠(yuǎn)?高三期末）在三棱錐P-ABC中，AC=\,PB=2,M.N分別是的

中點，若MN店,則異面直線AC所成角的余弦值為（）

2

3132

A.—B.-C.-D.一

5445

10.（2022?廣東佛山?高三期末）長方體48（70—486。中，48=1,4）=A4=2,七為棱4A

上的動點，平面BER交棱CC,于凡則四邊形BE。尸的周長的最小值為（）

A.B.25/13C.2（72+x/5）D.2+4近

11.（2022?廣東汕尾?高三期末）攢尖是古代中國建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，宋代稱為撮尖，

清代稱攢尖.攢尖建筑的屋面在頂部交匯為一點，形成尖頂，依其平面有圓形攢尖、三角攢

尖、四角攢尖、八角攢尖.也有單檐和重檐之分，多見于亭閣式建筑、園林建筑.遼寧省實

驗中學(xué)校園內(nèi)的明心亭，為一個八角攢尖，它的主要部分的輪廓可近似看作一個正八棱錐，

設(shè)正八棱錐的側(cè)面等腰三角形的頂角為26,它的側(cè)棱與底面內(nèi)切圓半徑的長度之比為

（）.

-1五—\11

A.B.^-2C.廠..D.-7=--

sin。cos。V2smev2cos^

12.（2022?湖北武昌?高三期末）已知圓錐的底面圓心到母線的距離為2,當(dāng)圓錐母線的長度

取最小值時，圓錐的側(cè)面積為（）

A.8萬B.16乃C.8及兀D.40兀

二、填空題

13.（2022?江蘇海門?高三期末）已知圓柱的底面半徑為灰,體積為4&兀，則該圓柱的側(cè)

面積為.

14.（2022?江蘇宿遷?高三期末）已知一個棱長為。的正方體木塊可以在一個圓錐形容器內(nèi)任

意轉(zhuǎn)動，若圓錐的底面半徑為2,母線長為4,則。的最大值為.

15.（2022?廣東潮州?高三期末）在《九章算術(shù)》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為

鱉腌，在鱉膈A-BC。中，A8_L平面BCD,CD1AD,及，已知動點E從C點出

發(fā)，沿外表面經(jīng)過棱A。上一點到點B的最短距離為布，則該棱錐的外接球的表面積為

16.（2022?廣東東莞?高三期末）已知一個圓錐的底面半徑為3,其側(cè)面積為15萬，則該圓錐

的體積為.

三、解答題

17.（2022?河北唐山?高三期末）四棱錐4-088的底面是矩形，AOLBC,側(cè)面47￡>_1底

面OBCD.

A

(1)求證：AO,底面08C。；

(2)若OB=OD=1,二面角8-AC-0的大小為120。，求四棱錐A-OBCD的體積.

18.(2022.河北保定.高三期末)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面A8CO為平行四邊形,

平面PCQ_L底面ABC。，且8C=2,4B=4,BD=2百.

(1)證明：BC±PD.

(2)若PC=PD=岳,求二面角A—P8—C的余弦值.

19.(2022.河北張家口.高三期末)如圖，在四棱錐P-A8CZ)中，底面A88為正方形，例、

N、E、尸分別為”、A。、DC.尸8的中點.

(1)證明：AF”平面MNE；

(2)若平面P4￡)_L平面ABCD,為等邊三角形，求二面角。-PC-8的正弦值.

20.（2022?河北深州市中學(xué)高三期末）如圖，在三棱柱A8C-ABC中，AABC是邊長為2

的等邊三角形，BC1BB,,CC、=五,AC}=yf6.

（1）證明：平面A8C，平面3BCC；

（2）M,N分別是BC,BC的中點，P是線段4G上的動點，若二面角P-MN-C的平

面角的大小為303試確定點P的位置.

21.（2022?山東青島?高三期末）如圖所示，已知四棱錐尸-A8C。的底面是矩形，叨，底面

（1）求證：面必加工面/5。?；

（2）若兩條異面直線AB與PC所成的角為45。，求面以M與面PBC夾角的余弦值.

22.（2022?山東泰安?高三期末）如圖1,在等腰直角APCD中，=90,A,8分別為PRPC

的中點，將APAB沿直線AB翻折,得到如圖2所示的四棱錐P-ABCD，若二面角P-M-Z)

的大小為60、M為PB中點.

A

(1)求證：R4_L平面用CQ；

(2)求直線CM與平面所成角的正弦值.

參考答案

一、單選題

1.【詳解】

在正四棱錐P-ABC。中，連接AC,BD,ACC\BD=O',連27,如圖,

則有/V_L平面ABC。，N24O'為側(cè)棱布與底面ABC。所成的角，即NPAO'=45,

萬

于是得O'P=O'A=O'B=O'C=O'D=工43=2,

2

因此，頂點P,A,B,C,力在以。'為球心，2為半徑的球面上，即點。與。'重合，

4,32

所以球O的體積是丫=]IX23=方1.

故選：B

2.【詳解】

設(shè)點P到平面麗的距離為/I，

■：PB與平面所成的角分別為a,

..sina=——,

又PD4PC與平面ABD所成的角相等,

h

：.sin/7=—,XPD=2DC

PD

??.sina:sin19—=2,

PBhPBPC3

故選：D.

【點睛】

3.【詳解】

AC

由已知可得,△ABC的外接圓的半徑，==26,

2sinZABC

且由余弦定理AC?=AB?+sc?一2AB-BC-cosZABC得

36=AB2+BC2-ABBC>2ABBC-ABBC=ABBC>

(當(dāng)且僅當(dāng)=時取等號)

所以S=-ABBC-sinZABC<ix36x^l=9>/3,

222

又外接球的球心到平面ABC的距離為d=j42-(2>/3)2=2，

所以點P到平面ABC的距離的最大值為〃=4+d=4+2,

所以三棱錐P-ABC體積的最大值為gx9Gx6=186.

故選：A

4.【詳解】

因為BQ在平面內(nèi)的射影為BA，乂44,AG，所以耳。八AG，同理可證

MO_LAB，又AGnA8=A，所以BQ,平面AGB,

?■?BtM與平面AGB所成角的正弦等于8幽與所成角余弦，即NM4。的余弦的絕對值;

MDBD=y[3,

令"=1,連接30,則B]M=/BB：+BM=近,上,t

22

3，1

—F3—272

在三角形〃用￡＞中，由余弦定理，可得|cosNMB|D|=22

2.西.省-y

2

故選：D.

5.【詳解】

設(shè)底面半徑為廣，母線長為/,側(cè)面展開是一個半圓

/.—?2兀1=Ircr，BP/=2r,

2

.\h=y/3r=y/6，

r-5/2，/=2>/2，

故選：A.

6.【詳解】

如下圖所示,連接ACA。,

在正方形MA。中4。.在正方體4BCD-44CQ］中，。0_1_面照。］。，

而CDu平面AA.D.D，二AD1±CD,

又???CD交4。于1面4。。,而ACU面A}DC,/.AD.1A,C.

在三角形A41c中,P為AA的中點,。為AC的中點，.??尸O〃AC,.??尸即直線PO與

jr

A0所成的角為

故選：A.

7.【詳解】

因為圓柱的軸截面為正方形，設(shè)圓柱底面圓的半徑為「，其高九=2〃，其外接球的半徑

R=T；j+產(chǎn)=后,則圓柱的表面積3=2",+2"2r=6"球°的表面積

52=4萬我=8萬/，則圓柱的表面積與球。的表面積之比為3:4,

故選：A.

8.【詳解】

解：設(shè)圓錐的底面半徑為R,母線長為/,

因為圓錐的側(cè)面積是底面積的2倍，

所以用R/=2萬R,

解得/=2R,

設(shè)該圓錐的母線與底面所成角a,

則mlcosa=—R=—1,

TT

所以a=q.

故選：C

9.【詳解】

解：如圖，取A8的中點。，連接QM,QN,

因為。是A3的中點，N是BC的中點，所以QN〃AC,QN=；AC=；,

同理QM〃8P,QM=；PB=l,

所以異面直線AC,PB所成角為NMQN或其補(bǔ)角，

在2MQN中，QM=1,QN=L,MN=也,cosZMQN=QM-+QN--MN-=3

222QMQN4

3

即異面直線ACP8所成角的余弦值為

4

故選：C.

10.【詳解】

解：將長方體展開，如圖所示：

當(dāng)點E為與AA的交點，尸為8R與C￡的交點時，截面四邊形BERF的周長最小,

最小值為28〃=2匕+(1+2)2=2岳.

故選:B.

11.【詳解】

設(shè)。為正八棱錐S-A8co底面內(nèi)切圓的圓心，連接OA,OB,

取A3的中點用，連接SM、OM,則QM是底面內(nèi)切圓半徑R,如圖所示:

設(shè)側(cè)棱長為X,底面邊長為。，

由題意知NASB=2，，NASM=，，則.2"，解得a=2xsin，；

sintQ/=——

x

由底面為正八邊形，其內(nèi)切圓半徑QM是底面中心。到各邊的距離，

△AOB中，ZAQB=45。，所以NAQW=22.5。，

0t795°

由tan45o=*---a-n-=1,解得121122.5。=&-1，

1)-tan-22.5°

聽以上==tan22.5°=&-1'

R2R

所以三磐=3-1,解得二=亞二1,

2RRsin0

即側(cè)棱與底面內(nèi)切圓半徑的長度之比為也二1.

sin。

故選:A.

12.【詳解】

設(shè)圓錐的底半徑為，母線為/,高為〃，則r>2

21

由圓錐的底面圓心到母線的距離為2,則2/=M,即力=一

r

4/-=上=_!_

又廣=，+外，所以廣=「2+0，解得/-r2_4-14

rr--1

21

當(dāng)尸了*20時，，最小值4

則圓錐的側(cè)面積為nrl=2\/2x4萬=8叵兀

二、填空題

13.【詳解】

因為底面半徑為近，體積為4&兀，設(shè)母線為/,則"（夜尸x/=4?r,得1=26，

所以圓柱的側(cè)面積為：2ix0x2亞=8%，

故答案為：8萬

14.【詳解】

正方體木塊可以在一個圓錐形容器內(nèi)任意轉(zhuǎn)動，則當(dāng)正方體棱長”最大時，正方體的外接球

恰為圓錐的內(nèi)切球，

底面半徑為2,母線長為4的圓錐軸截面正△S48的內(nèi)切圓。是該圓錐內(nèi)切球0截面大圓，

正4SAB的高SO'=正SA=,則內(nèi)切圓。的半徑即球半徑R=LS(/=空,

233

于是得球。的內(nèi)接正方體棱長。有：也a=2R=處，解得：?=

33

4

所以。的最大值為

4

故答案為：§

【點睛】

關(guān)鍵點睛：涉及與旋轉(zhuǎn)體有關(guān)的組合體，作出軸截面，借助平面幾何知識解題是解決問題的

關(guān)鍵.

15.【詳解】

如圖所示：

設(shè)a)=x,由題意得：C'B=M,

在AC'BO中，由余弦定理得：CB-=CD2+BD1-2CD-BD-cos1350,

BP(VW)2=/+(&)2—2x?應(yīng)?

即X2+4X-8=0，解得X=2或X=-4(舍去),

如圖所示：

A

該楂錐的外接球即為長方體的外接球，

則外接球的半徑為：R=gJ(可+(何+2?=&,

所以外接球的表面積為5=4%六=8乃,

故答案為：8萬

16.【詳解】

設(shè)圓錐的母線長為/,

因為圓錐的底面半徑/'=3,

所以圓錐的側(cè)面積S=Tvrl=3/vl，依題意可得3R=15)，解得/=5,

所以圓錐的高〃二J/2一產(chǎn)=,52—32=4,

所以該圓錐的體積丫=，S/z=L乃//I=LXTX32*4=12萬.

333

故答案為：12萬.

三、解答題

17.【分析】

(1)利用面面垂直的性質(zhì)定理，即可證得40J■底面088.

(2)以。為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系。-沖z,A(0,0M)(M>0)分別求得平面4BC

和平面AC。的法向量，結(jié)合向量的夾角公式列出方程求得〃?的值，結(jié)合體積公式，即可求

解.

(1)

證明：因為四棱錐A-O8CD的底面是矩形，所以BC//OD,

又因為AOJ.8C,所以AOJ_O￡>,

因為側(cè)面AOD±底面0BCD,側(cè)面AO￡>C底面OBCD=OD,

且AOu側(cè)面A。。，所以AOJ_底面。8CQ.

(2)

解：因為AOL底面OBCO,08CC為矩形，所以O(shè)A,0B,。。兩兩垂直.

如圖，以0為坐標(biāo)原點，礪的方向為x軸正方向，礪的方向為y軸正方向，

建立空間直角坐標(biāo)系。-町Z,如圖所示，

則80,0,0),0(0,1,0),

設(shè)A(0,0,m)(加＞0),則麗=(-1,0,/〃)，配=(0,1,0),m=(O,-l,/n),DC=(1,0,0),

一\n,-BA=0[-x.+mz.=0

設(shè)〃1=(%”如4)為平面48。的法向量，則位,配=0,即[]0',

令4=1,可得x=m,y=0,所以

一(7jT.DA=0-y+mz=0

設(shè)1=(*2，%，22)為平面ACO的法向量，則J上配1°,即22

x2=0

令4=1,可得x=0,y=/n,所以％=(0,加,1),

因為卜os(晨動卜;，可得「I2=g,解得初=1或機(jī)=-1(舍).

所以四棱錐A-O5CD的高為1,四棱錐A-OBCD的體積V=gxlxlxl=；.

18.【分析】

(1)根據(jù)給定條件證明8CL8,再利用面面垂直的性質(zhì)、線面垂直的性質(zhì)即可得證.

(2)取C￡＞的中點E,A3中點P，以E為坐標(biāo)原點，詼，EC,麗的方向分別為x，V，z軸的

正方向建系，再借助空間向量計算作答.

(1)

在平行四邊形ABCD中，=8C=2,因Ah+A8?=20=助標(biāo)，則")j_Afi,即BC±CD,

因為平面尸CD_L底面ABC。，且平面尸SCI底面AB8=CE＞,BCu平面ABC。，則BC_L

平面PCO,又PDu平面PC。，

所以8C_LPD.

(2)

取CO的中點E,AB中點尸，連接PE,EF,由(1)知，EFLCD,因為尸C=PO=A，則

PELCD,

又平面尸CQ_L底面ABC￡>,且平面PCt>n底面438=8，PEu平面尸C3,則尸E_L平

面ABCD,

以E為坐標(biāo)原點，EF，EC，喬的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直

角坐標(biāo)系E-gz,

則尸(0,0,3),4(2,-2,0),3(2,2,0),C(0,2,0),PB=(2,2,-3),BC=(-2,0,0),通=(0,4,0),

一,、___.[2x+2y-3z=0

設(shè)平面的法向量為〃=(x,y,z),則/而=/通=0，即八，令x=3,得

14y=0

1=(3,0,2),

,,,12x'+2y'-3z'=0

設(shè)平面PBC的法向量為正=(x',y',z'),則正.而=正配=0,即.，；，令yU3,

得福=(0,3,2),

----44

于是得cos〈m,"〉=「萬>下=行,由圖知，二面角A-依-。的平面角為鈍角，

4

所以二面角A-P8-C的余弦值為-值.

19.【分析】

(1)連接MF、AC、CF,證明出平面用C〃平面MNE,利用面面平行的性質(zhì)可證得結(jié)

論成立；

(2)取8c的中點G,連接NG、NP,證明PN人平面A3C￡>,NG1.AD,設(shè)4?=2,

然后以點N為坐標(biāo)原點，NA、NG、NP所在直線分別為％軸、y軸、z軸建立空間直角坐

標(biāo)系N-QZ,利用空間向量法結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求得:面角O-PC-8的正

弦值.

(1)

證明：連接MF、AC、CF.

因為M、F分別為AP、PB的中點，/〃且=

因為四邊形A3C￡>為正方形，則AB//CD且AB=CD,

?.?E為CO的中點，則CE〃A8且CE=gAB,所以，MF//CE且MF=CE,

故四邊形CEMP為平行四邊形，故CF〃ME,

?.?。尸二平面航^,MEu平面MNE,故CF7/平面MNE,

因為N、E分別為A。、DC的中點，則AC〃N￡,

???ACU平面MVE,NEu平面MNE,所以，AC7/平面MVE,

■.■ACC[CF=C,所以，平面R4c〃平面MNE.

又AFu平面E4C,所以AF〃平面MNE.

（2）

解：取BC的中點G,連接NG、NP.

因為△必。為等邊三角形，N為A"的中點，所以PNAAD.

又平面PAD_L平面ABCD,平面ABCD|~|平面PAD=AD,PNu平面PAD,

所以9人平面ABCD

因為四邊形A3C￡>為正方形，則ADLAB,AO〃3C且AT>=3C,

QN、G分別為A〃、8c的中點，則4V〃8G且AN=8G,

所以，四邊形A8GN為平行四邊形，故GN//AB,則GNJ_A￡）,

如圖，以N為坐標(biāo)原點，NA、NG、NP所在直線分別為x軸、》軸、z軸建立空間直角坐

標(biāo)系N-孫z.

設(shè)/W=2,則。（一1,0,0）、C（-l,2,0）,8（120）、P（0,0,V3）,

加=（1,-2,G）,CB=（2,0,0）,CD=（0,-2,0）,

設(shè)〃=（%,y,zJ為平面PCB的法向量，

n-CP=0即,*一?'+石4=°,取乂=后，則[=（0,6,2）,

則

nCB=02X1=0

設(shè)〃?=（W,%，Z2）為平面尸3c的法向量,

mlf/n-CP=Ox7-2y?+\f3z.=0?r…一/六八

則〈一，即■{--■取w=G，則機(jī)=(J5,O,T),

jn-CD=0[~2y2=0-、'

----nmV7__i---------、歷

所以cos<旭,〃>=同同=亍,故sin<機(jī)，">=一cos?<m,n>=--^--

所以二面角o-PC-B的正弦值為返.

7

20.【分析】

(1)先通過線面垂直的判定定理證明CG，平面ABC,再根據(jù)面面垂直的判定定理即可證

明；

(2)分析位置關(guān)系并建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)二面角P-MV-C的余弦值與平面法向量

夾角的余弦值之間的關(guān)系，即可計算出P的坐標(biāo)從而位置可確定.

【詳解】

(1)證明：因為AC=2,C0=亞，AC\=屈,

所以AC?+CC：=AC；,即AC±CC,,

又因為BBJ/CQ,所以BCJ.CG，

ACC\BC=C,所以Cq_L平面ABC.

因為CC|u平面BBCC,所以平面ABC，平面BB￡C.

(2)解：連接AM,因為AB=AC=2,M是5c的中點，所以AMLBC.

由(I)知，平面ASCL平面88℃，所以AM,平面8BCC.

以M為原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系M-型，

則平面的一個法向量是所=(0,0,1),40,0,aN(O,HO),G(T，?。).

設(shè)而=/苑P(x,y,z),

AP=(x,y,z—>/3),ACt=(-1,-V2,-73),

代入上式得x=T,y=A/2Z,z=>/3(l—/)>所以

設(shè)平面MNP的一個法向量為力=(項,％,zJ,MN=(0,42,0),=

n.MN=0得42yl=0

n-MP=Q'、［-tx,++y/3(\-t)z,=0

令馬二乙得3=（百一6,0,「）.

因為:面角P-MN-C的平面角的大小為30°,

所以懸=*’即島左=*'解得「3

4

所以點P為線段AG上靠近G點的四等分點，且坐標(biāo)為P-（，￥，*

【點睛】

本題考查面面垂直的證明以及利用向量法求解二面角有關(guān)的問題，難度一般.（1）證明面面

垂直，可通過先證明線面垂直，再證明面面垂直；（2）二：面角的余弦值不一定等于平面法向

量夾角的余弦值，要注意結(jié)合圖形分析.

21.【分析】

（1）根據(jù)給定條件證明AMD?,再結(jié)合線面垂直性質(zhì)推理作答.

（2）以。點為原點，射線D4,DC,QP分別為x,y,z軸非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系，借

助空間向量計算作答.

(I)

矩形A8CO中，例為BC中點，貝hanNM4B=H="=Q=tanNAOB，即有

AB2AD

ZMAB=ZADB，

于是得ZABD+ZMAB=ZABD+ZADB=90。，則有AMYDB,

因電）_1底面4灰力，AMu平面ABC￡>,則AM_LPD,

又PDCDB=D,P￡>,D8u平面PDB,從而有AMJ?平面PDB,又AA/u平面

所以平面PAM1平面PDB.

（2）

因AB〃￡）C,則NPCD是異面直線AB與PC所成的角，即NPCD=45。，有PD=CD=1,

以。點為原點，射線OA,DC,DP分別為x,y,z軸非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖,

ti'AM+y=0

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