高考專題-總結(jié)排列組合題型

PAGE2總結(jié)排列組合題型直接法特殊元素法例1用1，2，3，4，5，6這6個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)的四位數(shù)，試求滿足下列條件的四位數(shù)各有多少個(gè)（1）數(shù)字1不排在個(gè)位和千位（2）數(shù)字1不在個(gè)位，數(shù)字6不在千位。分析：（1）個(gè)位和千位有5個(gè)數(shù)字可供選擇，其余2位有四個(gè)可供選擇，由乘法原理：=2402．特殊位置法（2）當(dāng)1在千位時(shí)余下三位有=60，1不在千位時(shí)，千位有種選法，個(gè)位有種，余下的有，共有=192所以總共有192+60=252間接法當(dāng)直接法求解類別比較大時(shí)，應(yīng)采用間接法。如上例中（2）可用間接法=252例2有五張卡片，它的正反面分別寫0與1，2與3，4與5，6與7，8與9，將它們?nèi)我馊龔埐⑴欧旁谝黄鸾M成三位數(shù)，共可組成多少個(gè)不同的三維書？分析：此例正面求解需考慮0與1卡片用與不用，且用此卡片又分使用0與使用1，類別較復(fù)雜，因而可使用間接計(jì)算：任取三張卡片可以組成不同的三位數(shù)個(gè)，其中0在百位的有個(gè)，這是不合題意的。故共可組成不同的三位數(shù)-=432（個(gè)）插空法當(dāng)需排元素中有不能相鄰的元素時(shí)，宜用插空法。例3在一個(gè)含有8個(gè)節(jié)目的節(jié)目單中，臨時(shí)插入兩個(gè)歌唱節(jié)目，且保持原節(jié)目順序，有多少中插入方法？分析：原有的8個(gè)節(jié)目中含有9個(gè)空檔，插入一個(gè)節(jié)目后，空檔變?yōu)?0個(gè)，故有=100中插入方法。捆綁法當(dāng)需排元素中有必須相鄰的元素時(shí)，宜用捆綁法。4名男生和3名女生共坐一排，男生必須排在一起的坐法有多少種？分析：先將男生捆綁在一起看成一個(gè)大元素與女生全排列有種排法，而男生之間又有種排法，又乘法原理滿足條件的排法有：×=576練習(xí)1．四個(gè)不同的小球全部放入三個(gè)不同的盒子中，若使每個(gè)盒子不空，則不同的放法有種（）某市植物園要在30天內(nèi)接待20所學(xué)校的學(xué)生參觀，但每天只能安排一所學(xué)校，其中有一所學(xué)校人數(shù)較多，要安排連續(xù)參觀2天，其余只參觀一天，則植物園30天內(nèi)不同的安排方法有（）（注意連續(xù)參觀2天，即需把30天種的連續(xù)兩天捆綁看成一天作為一個(gè)整體來選有其余的就是19所學(xué)校選28天進(jìn)行排列）閣板法名額分配或相同物品的分配問題，適宜采閣板用法分析：此例的實(shí)質(zhì)是12個(gè)名額分配給8個(gè)班，每班至少一個(gè)名額，可在12個(gè)名額種的11個(gè)空當(dāng)中插入7塊閘板，一種插法對應(yīng)一種名額的分配方式，故有種練習(xí)1.(a+b+c+d)15有多少項(xiàng)？當(dāng)項(xiàng)中只有一個(gè)字母時(shí)，有種（即a.b.c.d而指數(shù)只有15故。當(dāng)項(xiàng)中有2個(gè)字母時(shí)，有而指數(shù)和為15，即將15分配給2個(gè)字母時(shí)，如何分，閘板法一分為2，即當(dāng)項(xiàng)中有3個(gè)字母時(shí)指數(shù)15分給3個(gè)字母分三組即可當(dāng)項(xiàng)種4個(gè)字母都在時(shí)四者都相加即可．練習(xí)2．有20個(gè)不加區(qū)別的小球放入編號為1，2，3的三個(gè)盒子里，要求每個(gè)盒子內(nèi)的球數(shù)不少編號數(shù)，問有多少種不同的方法？（）3．不定方程X1+X2+X3+…+X50=100中不同的整數(shù)解有（）平均分堆問題例66本不同的書平均分成三堆，有多少種不同的方法？分析：分出三堆書（a1,a2）,(a3,a4)，（a5,a6）由順序不同可以有=6種，而這6種分法只算一種分堆方式，故6本不同的書平均分成三堆方式有=15種練習(xí)：1．6本書分三份，2份1本，1份4本，則有不同分法？2．某年級6個(gè)班的數(shù)學(xué)課，分配給甲乙丙三名數(shù)學(xué)教師任教，每人教兩個(gè)班，則分派方法的種數(shù)。合并單元格解決染色問題例7（全國卷（文、理））如圖1，一個(gè)地區(qū)分為5個(gè)行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色，現(xiàn)有四種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有種（以數(shù)字作答）。某城市街道呈棋盤形，南北向大街5條，東西向大街4條，一人欲從西南角走到東北角，路程最短的走法有多少種．解無論怎樣走必須經(jīng)過三橫四縱，因此，把問題轉(zhuǎn)化為3個(gè)相同的白球與四個(gè)相同的黑球的排列問題．=35（種）一個(gè)樓梯共18個(gè)臺階12步登完，可一步登一個(gè)臺階也可一步登兩個(gè)臺階，一共有多少種不同的走法．解根據(jù)題意要想12步登完只能6個(gè)一步登一個(gè)臺階，6個(gè)一步登兩個(gè)臺階，因此，把問題轉(zhuǎn)化為6個(gè)相同的黑球與6個(gè)相同的白球的排列問題．=924（種）．求（a+b+c）10的展開式的項(xiàng)數(shù)．解展開使的項(xiàng)為aαbβcγ,且α+β+γ=10，因此，把問題轉(zhuǎn)化為2個(gè)相同的黑球與10個(gè)相同的白球的排列問題．=66（種）亞、歐乒乓球?qū)官?，各?duì)均有5名隊(duì)員，按事先排好的順序參加擂臺賽，雙方先由1號隊(duì)員比賽，負(fù)者淘汰，勝者再與負(fù)方2號隊(duì)員比賽，直到一方全被淘汰為止，另一方獲勝，形成一種比賽過程．那么所有可能出現(xiàn)的比賽過程有多少種？解設(shè)亞洲隊(duì)隊(duì)員為a1,a2，…,a5,歐洲隊(duì)隊(duì)員為b1，b2，…，b5，下標(biāo)表示事先排列的出場順序，若以依次被淘汰的隊(duì)員為順序．比賽過程轉(zhuǎn)化為這10個(gè)字母互相穿插的一個(gè)排列，最后師勝隊(duì)種步被淘汰的隊(duì)員和可能未參加參賽的隊(duì)員，所以比賽過程可表示為5個(gè)相同的白球和5個(gè)相同黑球排列問題，比賽過程的總數(shù)為=252（種）十二．轉(zhuǎn)化命題法圓周上共有15個(gè)不同的點(diǎn)，過其中任意兩點(diǎn)連一弦，這些弦在圓內(nèi)的交點(diǎn)最多有多少各？分析：因兩弦在圓內(nèi)若有一交點(diǎn)，則該交點(diǎn)對應(yīng)于一個(gè)以兩弦的四端點(diǎn)為頂點(diǎn)的圓內(nèi)接四邊形，則問題化為圓周上的15個(gè)不同的點(diǎn)能構(gòu)成多少個(gè)圓內(nèi)接四邊形，因此這些現(xiàn)在圓內(nèi)的交點(diǎn)最多有=1365（個(gè)）十三．概率法一天的課程表要排入語文、數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、英語、體育六節(jié)課，如果數(shù)學(xué)必須排在體育之前，那么該天的課程表有多少種排法？分析：在六節(jié)課的排列總數(shù)中，體育課排在數(shù)學(xué)之前與數(shù)學(xué)課排在體育之前的概率相等，均為，故本例所求的排法種數(shù)就是所有排法的，即A=360種十四．除序法例19用1，2，3，4，5，6，7這七個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的七位數(shù)中，（1）若偶數(shù)2，4，6次序一定，有多少個(gè)？（2）若偶數(shù)2，4，6次序一定，奇數(shù)1，3，5，7的次序也一定的有多少個(gè)？解（1）（2）十五．錯位排列例20同室四人各寫一張賀卡，先集中起來，然后每人從中拿一張別人送出的卡片，則不同的分配方法有種（9）公式1）n=4時(shí)a4=3(a3+a2)=9種即三個(gè)人有兩種錯排，兩個(gè)人有一種錯排．2）=n!(1-+-+…+練習(xí)有五位客人參加宴會，他們把帽子放在衣帽寄放室內(nèi)，宴會結(jié)束后每人戴了一頂帽子回家，回家后，他們的妻子都發(fā)現(xiàn)他們戴了別人的帽子，問5位客人都不戴自己帽子的戴法有多少種？（44）排列與組合的區(qū)別排列與組合的共同點(diǎn)是從n個(gè)不同的元素中，任取m（m≤n）個(gè)元素，而不同點(diǎn)是排列是按照一定的順序排成一列，組合是無論怎樣的順序并成一組，因此“有序”與“無序”是區(qū)別排列與組合的重要標(biāo)志．下面通過實(shí)例來體會排列與組合的區(qū)別．【例題】判斷下列問題是排列問題還是組合問題？并計(jì)算出種數(shù)．（1）高二年級學(xué)生會有11人：①每兩人互通一封信，共通了多少封信？②每兩人互握了一次手，共握了多少次手？（2）高二數(shù)學(xué)課外活動小組共10人：①從中選一名正組長和一名副組長，共有多少種不同的選法？②從中選2名參加省數(shù)學(xué)競賽，有多少種不同的選法？（3）有2、3、5、7、11、13、17、19八個(gè)質(zhì)數(shù)：①從中任取兩個(gè)數(shù)求它們的商，可以有多少個(gè)不同的商？②從中任取兩個(gè)求它的積，可以得到多少個(gè)不同的積？（4）有8盆花：①從中選出2盆分別給甲、乙兩人每人一盆，有多少種不同的選法？②從中選出2盆放在教室有多少種不同的選法？【思考與分析】（1）①由于每兩人互通一封信，甲給乙的信與乙給甲的信是不同的兩封信，所以與順序有關(guān)，是排列；②由于每兩人互握一次手，甲與乙握手、乙與甲握手是同一次握手，與順序無關(guān)，所以是組合問題．其他類似分析．解：（1）①是排列問題，共通了=110（封）；②是組合問題，共需握手==55（次）（2）①是排列問題，共