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文檔簡(jiǎn)介
專(zhuān)題07平面向量
1.(福建省名校聯(lián)盟2021屆高三大聯(lián)考)已知是平面向量,滿足|Z|=2,防區(qū)1,且陋一2@42,記£
與坂的夾角為。,則cos。的最小值是()
7叵3岳
B.一
816
【答案】B
【分析】
代入同=2,得到£加1+亞,然后利用
先給—<2兩邊平方然后展開(kāi),
一一113|討
cos0=之>---_1/Si,然后當(dāng)同41時(shí),求解COS。的最小值.
\a\-\b\2\b\2|引8
【解析】由怦一2q?2得,(陋一2£『=9不+4才一12£石44,所以+馳2
31
__1+^:
則/Ja》、4113|^|
cosO=————>----^―
\a\-\b\2\b\2出|8
]Qr
令函數(shù)/(%)=—+—,因?yàn)閒{x}在[0,1]匕單調(diào)遞減.
2x8
?.u7
又因?yàn)閃41,故當(dāng)網(wǎng)=1時(shí),COS。取得最小值,最小值為.
故選:B
2.(廣東省深圳市2021屆高三一模)騎自行車(chē)是一種能有效改善心肺功能的耐力性有氧運(yùn)動(dòng),深受大眾喜
愛(ài),如圖是某一自行車(chē)的平面結(jié)構(gòu)示意圖,已知圖中的圓A(前輪),圓。(后輪)的半徑均為百,AABE,
△BEC,△ECO均是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形.設(shè)點(diǎn)P為后輪上的一點(diǎn),則在騎動(dòng)該自行車(chē)的過(guò)程中,AC-BP
的最大值為(
【答案】c
【分析】
以AD為X軸,E為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系,由圓。方程設(shè)尸(4+Jocose,百sina),寫(xiě)出向量的
坐標(biāo),由數(shù)量積的坐標(biāo)表示求出數(shù)量積,利用三角函數(shù)知識(shí)得最大值.
【解析】騎行過(guò)程中,相對(duì)不動(dòng),只有尸點(diǎn)繞。點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng).
如圖,以為x軸,£為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系,由題意A(—4,0),3(—2,20),C(2,26),
圓。方程為(x-4)2+),=3,設(shè)P(4+>/3cosa,V3sina).
則AC=(6,2百),BP=(6+cosa,V3sina-273),
AC-BP=6(6+&cosa)+2月(百sina-2百)
(l百、兀
=6A/3COSa+6sina+24=12—sinan-----cosa+24==12sin(a+—)+24,
I22)3
TT
易知當(dāng)sin(a+§)=l時(shí),恁?麗取得最大值36.
故選:C.
3.(廣東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)2021屆高三模擬)己知非零向量〃?,〃滿足+“=|加一2",且時(shí)=2",則碗與)
的夾角的余弦值為()
1111
A.-B.-C.一D.-
3468
【答案】B
【分析】
m^n
先設(shè)W=f>0,利用幟+@=|正—兩邊平方求解而/=g『,再利用數(shù)量積的求角公式cosO卜“
計(jì)算即得結(jié)果.
【解析】設(shè)忖=f>0,|“=2忖=2f,
|2
由,+2H知,弧+九|=|nz-2n|,即時(shí)+|n|+2m-n=|m|+4%I-4m-n,
__________z-----1,
故4戶(hù)+r+2m-n-4t2+4r-4m-n>解得-
m-n
設(shè)根與〃的夾角為。,則cos0=
mI?2txt4
故選:B.
->
4.(廣東省執(zhí)信中學(xué)2021屆高三模擬)若向量:與]的夾角為60°,1=(2,0,)a+2b=2>/3,貝=
()
A.百B.1C.4D.3
【答案】B
【分析】
對(duì)a+2b=26兩邊平方,化簡(jiǎn)可求出J,
【解析】因?yàn)?=(2,0),所以|利=2,
又因?yàn)閨a+2b『=(a+2b)2=|萬(wàn)『+4x|萬(wàn)|x|5|xcos60°+4|b『=(2石>,
所以出『+出|一2=0,解得(一2舍去),
故選:B.
5.(河北省張家口2021屆高三一模)如果平面向量)=(2,-4),B=(-6,12),那么下列結(jié)論中正確的是
()
A.\b\=3\a\B.allb
C.萬(wàn)與B的夾角為30°D.M在5方向上的投影為26
【答案】AB
【分析】
根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算及向量共線的意義可得解.
【解析】因?yàn)槿?(2,-4),5=(-6,12),所以5=—3〃.
在A中,由b=—可得|b|=3|5|,故A正確;
在B中,由5=-3a,可得。//5,故B正確;
在C中,由在=—3M,可得萬(wàn)與5的夾角為180°,故C錯(cuò)誤;
5-b(2,—4),(—6,12)/T
在D中,萬(wàn)在5方向上的投影為兩=1(4)2+薦L=-215,故D錯(cuò)誤.
故選:AB.
6.(湖北省八市2021屆高三聯(lián)考)已知函數(shù)g(x)=6sin(s:+e),g(x)圖像上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原
來(lái)的不,得到,(幻的圖像,/(X)的部分圖像如圖所示,若=,則0等于()
【答案】A
【分析】
利用向量數(shù)量積的定義可得cosNABC=—,,從而可得NABC=120',進(jìn)而得出AD=6,即2=24,
2CD
求出a)=—.
12
【解析】根據(jù)而及=|同2n|AB||BC|cos(1800-ZABC)=網(wǎng)?
n—2cosZABC=1=>—2cosAABC=1?
可得cosNA5C=—J,故NABC=120°,
2
27r7t
所以AD=6,故g(x)的周期為24,所以一=24,(?=—,
co12
故選:A.
7.(湖北省荊門(mén)2021屆高三聯(lián)考)已知。為AABC的外心,3OA+4OB+5OC=Q>貝UcosNABC的值
為()
A石RVio「6nV10
510105
【答案】A
【分析】
3
設(shè)AABC的外接圓的半徑為R,將3。4+405+50。=6平方后求出?05/4。。=—1,找到
NAOC=2NABC,利用二倍角公式求出cosNA8C
【解析】設(shè)AABC的外接圓的半徑為七
,?1304+40B+50C=0-
3OA+4OB=-5OC
/.(3O4+40B)2=(-5OC)2
二9(研+16(礪了+]2OA.OB=25(OC)\
9R2+16六+127?2cosZAOB=25R2
二cosZAOB=0
3
同理可求:cos/AOC=-一
根據(jù)圓心角等于同弧對(duì)應(yīng)的圓周角的兩倍得:ZAOC=2ZABC
,3
2cos2ZABC-1=cosZAOC=—2
5
解得:cosZABC=—
5
故選:A
8.(湖南省永州市2021屆高三二模)在邊長(zhǎng)為3的等邊三角形ABC中,麗沅,則麗?加=()
A&R3c31
2242
【答案】B
【分析】
根據(jù)向量數(shù)量積模與夾角計(jì)算公式可得結(jié)果.
【解析】因?yàn)榉?則兩=,及,又等邊三角形A8C的邊長(zhǎng)為3
23
則麗.瓶=(麗?就麗川而卜058=3乂3*3*8560°=,
故選:B
9.(湖南省長(zhǎng)郡中學(xué)2021屆高三模擬)設(shè)點(diǎn)A,8的坐標(biāo)分別為(0,1),(1,0),P,。分別是曲線y="和
y=lnx上的動(dòng)點(diǎn),記人=而?右,4=麗?麗,則下列命題不正確的是()
A.若Li,則可=幾而(4eR)B.若人=4,則網(wǎng)=|園
C.若尸。=2而(/IwR),則4=4D.若網(wǎng)=|網(wǎng),則…
【答案】ABD
【分析】
作出兩個(gè)函數(shù)的圖象,利用圖象結(jié)合平面向量共線知識(shí)和平面向量數(shù)量積的幾何意義分析可得答案.
【解析】根據(jù)題意,在直線A8上取點(diǎn)P',。',且滿足14Pl=|8Q'|,過(guò)P',。'分別作直線AB的垂線,交
曲線y=e*于P2,交曲線y=lnx于。,。2,在曲線y=短匕取點(diǎn)鳥(niǎo),使I|=||,如圖所小:
5
It^AQAB^AQ\-\AB\cosZQAB,令|而|cos/QA3=|X。],則人=|^"而|,
I2^BPBA^\BP\-\BA\COSZPBA,令|旃|COS/P5A=|赤|,則人■衣|?|麗|,
若1^1=1至91,則10H敬I,
若4=4,貝IJI也H臚I即可,此時(shí)P可以與6重合,。與。2重合,滿足題意,
但是而=2而(2eR)不成立,且|於田苑|,所以A、B不正確;
對(duì)于選項(xiàng)C,若聞=九而,此時(shí)P與6重合,且。與a重合,或尸與4重:合,且。與。2重合,所以
滿足人=,2,所以C正確:
對(duì)于D,當(dāng)P與鳥(niǎo)重合時(shí),滿足|A《|=|A6|,但此時(shí)旦在直線AB上的投影不在嚴(yán)處,因而不滿足
\AQ'\^BP'\,即人工八,所以D不正確.
故選:ABD
10.(湖南師范大學(xué)附中2021屆高三模擬)已知A、B、C三點(diǎn)不共線,。為平面ABC外的任一點(diǎn),貝『'點(diǎn)
M與點(diǎn)48、C共面”的充分條件的是()
A.OM^2OA-OB-OC
B.OM=OA+OB-OC
C.OM=OA+-OB--OC
32
D.OM=-OA+-OB+-OC
346
【答案】B
【分析】
根據(jù)點(diǎn)”與點(diǎn)共面,可得x+y+z=l,驗(yàn)證選項(xiàng),即可得到答案.
【解析】設(shè)兩'=x35+y礪+z玩,
若點(diǎn)M與點(diǎn)A,8,C共面,
貝ijx+y+z=l,
對(duì)于選項(xiàng)A:x+y+z=2-l-l=0,不滿足題意;
對(duì)于選項(xiàng)B:x+y+z=14-1-1=1,滿足題意;
對(duì)于選項(xiàng)c:x+y+z=l+---=-^l,不滿足題意;
326
對(duì)于選項(xiàng)D:x+y+z=-+-+-^\,不滿足題意;
-346
故選:B.
11.(遼寧省丹東市2021屆高三質(zhì)量監(jiān)測(cè))在△ABC中,點(diǎn)。在線段上,且8D=3DC,若
UUUUUUUlltln
AD=mAB+nAC>則—=()
m
11八
A."—B.-C.2D.3
32
【答案】D
【分析】
由己知得麗=3反1,然后結(jié)合向量的線性表示及平面向量基本定理可求.
【解析】解:因?yàn)?0=3。。,
所以,
所以而一通=3(汨),
故方,
44
UUUUUUUUU
若AD=mAB+nAC,
13
則m=一,〃=一,
44
n
所以一=3.
m
故選:D.
12.(遼寧省丹東市五校2021屆高三聯(lián)考)已知平面向量麗、麗、而為三個(gè)單位向量,且
(方,而)=120°,若無(wú)=%礪+),礪(x,yeR),則尤+N的可能取值為()
A.-1B.0C.72D.3
【答案】ABC
【分析】
將反=xH彳+y礪兩邊同時(shí)平方后整理,利用基本不等式構(gòu)造二次不等式,求出x+y的范圍即可.
【解析】解:由方=x西+y麗,兩邊同時(shí)平方得
反2=(x厲+y麗『,即反2=x2OA+y2OB2+2xyOAOB^
因?yàn)槠矫嫦蛄康Z、OB'麗為三個(gè)單位向量,且=120°,
x2-i■y2-xy=1
/、2
(x+y)-=1+3盯W1+3.1*,,
解得-2Kx+yW2.
故選:ABC.
13.(遼寧省沈陽(yáng)市2021屆高三質(zhì)量監(jiān)測(cè))在矩形ABC。中,AB=O,BC=2,點(diǎn)E為BC的中點(diǎn),點(diǎn)尸
在CQ上,若同正通=0,則瓦蘭?麗的值為()
A.V2B.2
C.0D.1
【答案】A
【分析】
建立平面直角坐標(biāo)系,根據(jù)而?而:=也,求得點(diǎn)尸的坐標(biāo),再利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求解.
【解析】建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系
則4(0,0),仇正,0),E(0,1),F(x,2),
??AB—(A/2>0),A.P=(x,2),
:??衣=6x=V2,
解得x=l,...尸(1,2),
?'?AE-(y/2>1)>BF~0~yp2'2),
???理?麗=0x(10)+1x2="
故選:A
14.(湖北省武漢市2021屆高三質(zhì)檢)兩個(gè)單位向量I,1滿足同=|家+可,則,一耳=.
【答案】V3
【分析】
根據(jù)同=付+可,兩邊平方求得不五,再由|[一目=’(1―項(xiàng)2求解.
【解析】因?yàn)閱挝幌蛄?,且同喟+旬,
所以同=|e,+e2|,B|Je,-e2=-^-,
所喟-+而-寸,
p2_一~^2[-
=yj^i_2q?g+G=>/3
故答案為:V3
15.(湖北省十一校2021屆高三聯(lián)考)已知單位向量5滿足|萬(wàn)+同=忖-2可,則M與日的夾角為
【答案】£
【分析】
由單位向量5滿足卜+日=K一2.,化簡(jiǎn)得=再結(jié)合向量的夾角公式,即可求解.
【解析】由單位向量£,B滿足歸+可小一21,可得7+2£3+52=/_疝5+452,
又因?yàn)椴?|=M=1,可得a-5=;,
八1
設(shè)向量£與5的夾角為氏且C°S6=FE=5,
m2
7T
因?yàn)椤?[0,萬(wàn)],所以。=一.
3
7T
故答案為:一.
3
16.(湖北省七市教研協(xié)作體2021屆高三聯(lián)考)已知矩形ABC。中,AB=2,AD=1,設(shè)AC與3。交
于點(diǎn)O,則冠?的=.
3
【答案】—
4
【分析】
由向量的加減運(yùn)算和向量數(shù)量積的性質(zhì),計(jì)算可得所求值.
【解析】解:AOB6=-AC^-BD=-(AB+AD)^AD-AB)
224
1--?2--?2
=-(AD-AB)
=i(l2-22)=--,
44
3
故答案為:-
4
17.(河北省邯鄲市2021屆高三一模)已知平面向量。=(3,4),非零向量方滿足力_L1貝U
b=.(答案不唯一,寫(xiě)出滿足條件的一個(gè)向量坐標(biāo)即可)
【答案】(4,-3)
【分析】
設(shè)B=(x,y),根據(jù),代入公式,即可求得滿足題意的答案.
【解析】設(shè)8=(x,y),因?yàn)?,_La,所以3x+4y=0,可取8=(4,一3).
故答案為:(4,-3)
18.(廣東省肇慶市2021屆高三二模)寫(xiě)出一個(gè)與向量:=(2,1)共線的向量:.
【答案】】=(4,2)(答案不唯滿足初(2=??)即可)
【分析】
根據(jù)平面向量共線的坐標(biāo)表示可得結(jié)果.
【解析】與向量。=(2,1)共線的向量:為;12=4(2,1)(寫(xiě)出其中一個(gè)即可).
取;1=2,可得出?個(gè)與向量:=(2,1)共線的向量為加=
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