平面向量（解析版）-2021年新高考數(shù)學(xué)模擬題分項匯編（第四期4月）

專題07平面向量

1.（福建省名校聯(lián)盟2021屆高三大聯(lián)考）已知是平面向量，滿足|Z|=2,防區(qū)1,且陋一2@42,記￡

與坂的夾角為。，則cos。的最小值是（）

7叵3岳

B.一

816

【答案】B

【分析】

代入同=2,得到￡加1+亞，然后利用

先給—<2兩邊平方然后展開,

一一113|討

cos0=之>---_1/Si,然后當同41時，求解COS。的最小值.

\a\-\b\2\b\2|引8

【解析】由怦一2q?2得，（陋一2￡『=9不+4才一12￡石44,所以+馳2

31

__1+^：

則/Ja》、4113|^|

cosO=————>----^―

\a\-\b\2\b\2出|8

］Qr

令函數(shù)/（%）=—+—,因為f{x}在［0,1］匕單調(diào)遞減.

2x8

?.u7

又因為W41,故當網(wǎng)=1時，COS。取得最小值，最小值為.

故選：B

2.（廣東省深圳市2021屆高三一模）騎自行車是一種能有效改善心肺功能的耐力性有氧運動，深受大眾喜

愛，如圖是某一自行車的平面結(jié)構(gòu)示意圖，已知圖中的圓A（前輪），圓。（后輪）的半徑均為百，AABE，

△BEC,△ECO均是邊長為4的等邊三角形.設(shè)點P為后輪上的一點，則在騎動該自行車的過程中，AC-BP

的最大值為（

【答案】c

【分析】

以AD為X軸，E為坐標原點建立平面直角坐標系，由圓。方程設(shè)尸(4+Jocose,百sina),寫出向量的

坐標，由數(shù)量積的坐標表示求出數(shù)量積，利用三角函數(shù)知識得最大值.

【解析】騎行過程中，相對不動，只有尸點繞。點作圓周運動.

如圖，以為x軸，￡為坐標原點建立平面直角坐標系，由題意A(—4,0),3(—2,20)，C(2,26),

圓。方程為(x-4)2+)，=3,設(shè)P(4+>/3cosa,V3sina).

則AC=(6,2百)，BP=(6+cosa,V3sina-273),

AC-BP=6(6+&cosa)+2月(百sina-2百)

(l百、兀

=6A/3COSa+6sina+24=12—sinan-----cosa+24==12sin(a+—)+24,

I22)3

TT

易知當sin(a+§)=l時，恁?麗取得最大值36.

故選：C.

3.（廣東省實驗中學(xué)2021屆高三模擬）己知非零向量〃?,〃滿足+“=|加一2"，且時=2"，則碗與）

的夾角的余弦值為（）

1111

A.-B.-C.一D.-

3468

【答案】B

【分析】

m^n

先設(shè)W=f>0,利用幟+@=|正—兩邊平方求解而/=g『，再利用數(shù)量積的求角公式cosO卜“

計算即得結(jié)果.

【解析】設(shè)忖=f>0，|“=2忖=2f,

|2

由,+2H知，弧+九|=|nz-2n|,即時+|n|+2m-n=|m|+4%I-4m-n,

__________z-----1,

故4戶+r+2m-n-4t2+4r-4m-n>解得-

m-n

設(shè)根與〃的夾角為。，則cos0=

mI?2txt4

故選：B.

->

4.（廣東省執(zhí)信中學(xué)2021屆高三模擬）若向量:與］的夾角為60°,1=（2,0,）a+2b=2>/3,貝=

()

A.百B.1C.4D.3

【答案】B

【分析】

對a+2b=26兩邊平方，化簡可求出J,

【解析】因為'=（2,0）,所以|利=2,

又因為|a+2b『=(a+2b)2=|萬『+4x|萬|x|5|xcos60°+4|b『=(2石>，

所以出『+出|一2=0,解得（一2舍去）,

故選：B.

5.(河北省張家口2021屆高三一模)如果平面向量)=(2,-4),B=(-6,12),那么下列結(jié)論中正確的是

()

A.\b\=3\a\B.allb

C.萬與B的夾角為30°D.M在5方向上的投影為26

【答案】AB

【分析】

根據(jù)向量坐標運算及向量共線的意義可得解.

【解析】因為日=(2,-4),5=(-6,12),所以5=—3〃.

在A中,由b=—可得|b|=3|5|,故A正確;

在B中，由5=-3a，可得。//5，故B正確；

在C中，由在=—3M，可得萬與5的夾角為180°,故C錯誤；

5-b(2,—4),(—6,12)/T

在D中，萬在5方向上的投影為兩=1(4)2+薦L=-215,故D錯誤.

故選:AB.

6.(湖北省八市2021屆高三聯(lián)考)已知函數(shù)g(x)=6sin(s:+e),g(x)圖像上每一點的橫坐標縮短到原

來的不，得到，(幻的圖像，/(X)的部分圖像如圖所示，若=,則0等于()

【答案】A

【分析】

利用向量數(shù)量積的定義可得cosNABC=—,，從而可得NABC=120'，進而得出AD=6,即2=24,

2CD

求出a)=—.

12

【解析】根據(jù)而及=|同2n|AB||BC|cos(1800-ZABC)=網(wǎng)？

n—2cosZABC=1=>—2cosAABC=1?

可得cosNA5C=—J,故NABC=120°，

2

27r7t

所以AD=6,故g(x)的周期為24,所以一=24,(?=—，

co12

故選:A.

7.(湖北省荊門2021屆高三聯(lián)考)已知。為AABC的外心，3OA+4OB+5OC=Q>貝UcosNABC的值

為()

A石RVio「6nV10

510105

【答案】A

【分析】

3

設(shè)AABC的外接圓的半徑為R,將3。4+405+50。=6平方后求出?05/4。。=—1,找到

NAOC=2NABC,利用二倍角公式求出cosNA8C

【解析】設(shè)AABC的外接圓的半徑為七

,?1304+40B+50C=0-

3OA+4OB=-5OC

/.(3O4+40B)2=(-5OC)2

二9(研+16(礪了+]2OA.OB=25(OC)\

9R2+16六+127?2cosZAOB=25R2

二cosZAOB=0

3

同理可求：cos/AOC=-一

根據(jù)圓心角等于同弧對應(yīng)的圓周角的兩倍得：ZAOC=2ZABC

,3

2cos2ZABC-1=cosZAOC=—2

5

解得：cosZABC=—

5

故選：A

8.（湖南省永州市2021屆高三二模）在邊長為3的等邊三角形ABC中，麗沅，則麗?加=（）

A&R3c31

2242

【答案】B

【分析】

根據(jù)向量數(shù)量積模與夾角計算公式可得結(jié)果.

【解析】因為方=則兩=，及，又等邊三角形A8C的邊長為3

23

則麗.瓶=（麗?就麗川而卜058=3乂3*3*8560°=,

故選：B

9.（湖南省長郡中學(xué)2021屆高三模擬）設(shè)點A,8的坐標分別為（0,1）,（1,0）,P,。分別是曲線y="和

y=lnx上的動點，記人=而?右，4=麗?麗，則下列命題不正確的是（）

A.若Li，則可=幾而（4eR）B.若人=4,則網(wǎng)=|園

C.若尸。=2而（/IwR）,則4=4D.若網(wǎng)=|網(wǎng)，則…

【答案】ABD

【分析】

作出兩個函數(shù)的圖象，利用圖象結(jié)合平面向量共線知識和平面向量數(shù)量積的幾何意義分析可得答案.

【解析】根據(jù)題意，在直線A8上取點P',。'，且滿足14Pl=|8Q'|,過P',。'分別作直線AB的垂線，交

曲線y=e*于P2,交曲線y=lnx于。,。2,在曲線y=短匕取點鳥，使I|=||,如圖所?。?/p>

5

It^AQAB^AQ\-\AB\cosZQAB,令|而|cos/QA3=|X。］，則人=|^"而|,

I2^BPBA^\BP\-\BA\COSZPBA,令|旃|COS/P5A=|赤|，則人■衣|?|麗|，

若1^1=1至91，則10H敬I，

若4=4,貝IJI也H臚I即可，此時P可以與6重合，。與。2重合，滿足題意，

但是而=2而（2eR）不成立，且|於田苑|，所以A、B不正確；

對于選項C,若聞=九而，此時P與6重合，且。與a重合，或尸與4重:合，且。與。2重合，所以

滿足人=，2,所以C正確:

對于D,當P與鳥重合時，滿足|A《|=|A6|,但此時旦在直線AB上的投影不在嚴處，因而不滿足

\AQ'\^BP'\,即人工八，所以D不正確.

故選：ABD

10.（湖南師范大學(xué)附中2021屆高三模擬）已知A、B、C三點不共線，。為平面ABC外的任一點，貝『'點

M與點48、C共面”的充分條件的是（）

A.OM^2OA-OB-OC

B.OM=OA+OB-OC

C.OM=OA+-OB--OC

32

D.OM=-OA+-OB+-OC

346

【答案】B

【分析】

根據(jù)點”與點共面，可得x+y+z=l,驗證選項，即可得到答案.

【解析】設(shè)兩'=x35+y礪+z玩，

若點M與點A,8,C共面，

貝ijx+y+z=l,

對于選項A：x+y+z=2-l-l=0,不滿足題意；

對于選項B：x+y+z=14-1-1=1,滿足題意；

對于選項c：x+y+z=l+---=-^l,不滿足題意；

326

對于選項D：x+y+z=-+-+-^\,不滿足題意；

-346

故選：B.

11.（遼寧省丹東市2021屆高三質(zhì)量監(jiān)測）在△ABC中，點。在線段上，且8D=3DC,若

UUUUUUUlltln

AD=mAB+nAC>則—=（）

m

11八

A."—B.-C.2D.3

32

【答案】D

【分析】

由己知得麗=3反1，然后結(jié)合向量的線性表示及平面向量基本定理可求.

【解析】解：因為80=3。。，

所以,

所以而一通=3（汨），

故方，

44

UUUUUUUUU

若AD=mAB+nAC，

13

則m=一,〃=一,

44

n

所以一=3.

m

故選：D.

12.（遼寧省丹東市五校2021屆高三聯(lián)考）已知平面向量麗、麗、而為三個單位向量，且

（方,而）=120°,若無=%礪+），礪（x,yeR）,則尤+N的可能取值為（）

A.-1B.0C.72D.3

【答案】ABC

【分析】

將反=xH彳+y礪兩邊同時平方后整理，利用基本不等式構(gòu)造二次不等式，求出x+y的范圍即可.

【解析】解：由方=x西+y麗，兩邊同時平方得

反2=（x厲+y麗『，即反2=x2OA+y2OB2+2xyOAOB^

因為平面向量礪、OB'麗為三個單位向量，且=120°,

x2-i■y2-xy=1

/、2

（x+y）-=1+3盯W1+3.1*，,

解得-2Kx+yW2.

故選：ABC.

13.（遼寧省沈陽市2021屆高三質(zhì)量監(jiān)測）在矩形ABC。中，AB=O,BC=2,點E為BC的中點，點尸

在CQ上，若同正通=0，則瓦蘭?麗的值為（）

A.V2B.2

C.0D.1

【答案】A

【分析】

建立平面直角坐標系，根據(jù)而?而:=也，求得點尸的坐標，再利用數(shù)量積的坐標運算求解.

【解析】建立如圖所示平面直角坐標系

則4(0,0),仇正，0),E(0,1),F(x,2),

??AB—(A/2>0),A.P=(x,2),

:??衣=6x=V2，

解得x=l,...尸(1,2),

?'?AE-(y/2>1)>BF~0~yp2'2),

???理?麗=0x(10)+1x2="

故選：A

14.(湖北省武漢市2021屆高三質(zhì)檢)兩個單位向量I，1滿足同=|家+可，則,一耳=.

【答案】V3

【分析】

根據(jù)同=付+可，兩邊平方求得不五，再由|[一目=’(1―項2求解.

【解析】因為單位向量,,且同喟+旬,

所以同=|e,+e2|,B|Je,-e2=-^-,

所喟-+而-寸,

p2_一~^2[-

=yj^i_2q?g+G=>/3

故答案為：V3

15.(湖北省十一校2021屆高三聯(lián)考)已知單位向量5滿足|萬+同=忖-2可，則M與日的夾角為

【答案】￡

【分析】

由單位向量5滿足卜+日=K一2.,化簡得=再結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.

【解析】由單位向量￡,B滿足歸+可小一21,可得7+2￡3+52=/_疝5+452，

又因為卜/|=M=1,可得a-5=；,

八1

設(shè)向量￡與5的夾角為氏且C°S6=FE=5，

m2

7T

因為。6[0,萬],所以。=一.

3

7T

故答案為：一.

3

16.（湖北省七市教研協(xié)作體2021屆高三聯(lián)考）已知矩形ABC。中，AB=2，AD=1，設(shè)AC與3。交

于點O,則冠?的=.

3

【答案】—

4

【分析】

由向量的加減運算和向量數(shù)量積的性質(zhì)，計算可得所求值.

【解析】解：AOB6=-AC^-BD=-（AB+AD）^AD-AB）

224

1--?2--?2

=-（AD-AB）

=i（l2-22）=--,

44

3

故答案為：-

4

17.（河北省邯鄲市2021屆高三一模）已知平面向量。=（3,4）,非零向量方滿足力_L1貝U

b=.（答案不唯一，寫出滿足條件的一個向量坐標即可）

【答案】（4,-3）

【分析】

設(shè)B=（x,y）,根據(jù)，代入公式，即可求得滿足題意的答案.

【解析】設(shè)8=（x,y）,因為/,_La，所以3x+4y=0,可取8=（4,一3）.

故答案為：（4,-3）

18.（廣東省肇慶市2021屆高三二模）寫出一個與向量：=（2,1）共線的向量：.

【答案】】=（4,2）（答案不唯滿足初（2=??）即可）

【分析】

根據(jù)平面向量共線的坐標表示可得結(jié)果.

【解析】與向量。=（2,1）共線的向量:為；12=4（2,1）（寫出其中一個即可）.

取;1=2,可得出?個與向量：=（2,1）共線的向量為加=