概率習(xí)題答案3

./第三章多維隨機(jī)變量及其分布

3.1二維隨機(jī)變量及其分布習(xí)題1設(shè)<X,Y>的分布律為X\Y123

11/61/91/18

2

1/3a1/9求a.分析：dsfsd1f6d54654646解答：由分布律性質(zhì)∑i?jPij=1,

可知

1/6+1/9+1/18+1/3+a+1/9=1,解得

a=2/9.習(xí)題2<1>2.設(shè)<X,Y>的分布函數(shù)為F<x,y>,試用F<x,y>表示：

<1>P{a<X≤b,Y≤c};解答：P{a<X≤b,Y≤c}=F<b,c>-F<a,c>.習(xí)題2<2>2.設(shè)<X,Y>的分布函數(shù)為F<x,y>,試用F<x,y>表示：

<2>P{0<Y≤b};

解答：P{0<Y≤b}=F<+∞,b>-F<+∞,0>.習(xí)題2<3>2.設(shè)<X,Y>的分布函數(shù)為F<x,y>,試用F<x,y>表示：

<3>P{X>a,Y≤b}.解答：P{X>a,Y≤b}=F<+∞,b>-F<a,b>.習(xí)題3<1>3.設(shè)二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布如下表：試求：

<1>P{12<X<32,0<Y<4;

解答：P{12<X<23,0<Y<4

P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=2}+P{X=1,Y=3}=P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=2}+P{X=1,Y=3}=14+0+0=14.習(xí)題3<2>3.設(shè)二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布如下表：試求：

<2>P{1≤X≤2,3≤Y≤4};解答：P{1≤X≤2,3≤Y≤4}=P{X=1,Y=3}+P{X=1,Y=4}+P{X=2,Y=3}+P{X=2,Y=4}=0+116+0+14=516.習(xí)題3<3>3.設(shè)二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布如下表：試求：

<3>F<2,3>.解答：F<2,3>=P<1,1>+P<1,2>+P<1,3>+P<2,1>+P<2,2>+P<2,3>=14+0+0+116+14+0=916.習(xí)題4設(shè)X,Y為隨機(jī)變量,且

P{X≥0,Y≥0}=37,

P{X≥0}=P{Y≥0}=47,求P{max{X,Y}≥0}.解答：P{max{X,Y}≥0}=P{X,Y至少一個(gè)大于等于0}

=P{X≥0}+P{Y≥0}-P{X≥0,Y≥0}

=47+47-37=57.習(xí)題5<X,Y>只取下列數(shù)值中的值：

<0,0>,<-1,1>,<-1,13>,<2,0>且相應(yīng)概率依次為16,13,112,512,

請列出<X,Y>的概率分布表,并寫出關(guān)于Y的邊緣分布.解答：<1>因?yàn)樗o的一組概率實(shí)數(shù)顯然均大于零,且有16+13+112+512=1,

故所給的一組實(shí)數(shù)必是某二維隨機(jī)變量<X,Y>的聯(lián)合概率分布.因<X,Y>只取上述四組可能值,故事件：

{X=-1,Y=0},

{X=0,Y=13,

{X=0,Y=1},{X=2,Y=13,{X=2,Y=1}均為不可能事件,其概率必為零.因而得到下表：

X\Y

01/31

-1

01/121/3

0

1/600

2

5/1200<2>P{Y=0}=P{X=-1,Y=0}+P{X=0,Y=0}+P{X=2,Y=0}

=0+16+512=712,同樣可求得

P{Y=13=112,P{Y=1}=13,關(guān)于的Y邊緣分布見下表：Y

01/31

pk

7/121/121/3習(xí)題6設(shè)隨機(jī)向量<X,Y>服從二維正態(tài)分布N<0,0,102,102,0>,

其概率密度為

f<x,y>=1200πex2+y2200,求P{X≤Y}.解答：由于P{X≤Y}+P{X>Y}=1,且由正態(tài)分布圖形的對稱性,知

P{X≤Y}=P{X>Y},

故

P{X≤Y}=12.習(xí)題7設(shè)隨機(jī)變量<X,Y>的概率密度為f<x,y>={k<6-x-y>,0<x<2,2<y<40,其它,<1>確定常數(shù)k;

<2>求P{X<1,Y<3};

<3>求P{X<1.5};

<4>求P{X+Y≤4}.解答：如圖所示<1>由∫-∞+∞∫-∞+∞f<x,y>dxdy=1,

確定常數(shù)k.∫02∫24k<6-x-y>dydx=k∫02<6-2x>dx=8k=1,所以k=18.<2>P{X<1,Y<3}=∫01dx∫2318<6-x-y>dy=38.<3>P{X<1.5}=∫01.5dx∫2418<6-x-y>dy=2732.<4>P{X+Y≤4}=∫02dx∫24-x18<6-x-y>dy=23.習(xí)題8已知X和Y的聯(lián)合密度為

f<x,y>={cxy,0≤x≤1,0≤y≤10,其它,試求：<1>常數(shù)c;

<2>X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)F<x,y>.解答：<1>由于1=∫-∞+∞∫-∞+∞f<x,y>dxdy=c∫01∫01xydxdy=c4,c=4.<2>當(dāng)x≤0或y≤0時(shí),顯然F<x,y>=0;當(dāng)x≥1,y≥1時(shí),顯然F<x,y>=1;設(shè)0≤x≤1,0≤y≤1,

有

F<x,y>=∫-∞x∫-∞yf<u,v>dudv=4∫0xudu∫0yvdv=x2y2.設(shè)0≤x≤1,y>1,

有

F<x,y>=P{X≤1,Y≤y}=4∫0xudu∫01ydy=x2.最后,設(shè)x>1,0≤y≤1,

有

F<x,y>=P{X≤1,Y≤y}=4∫01xdx∫0yvdv=y2.函數(shù)F<x,y>在平面各區(qū)域的表達(dá)式

F<x,y>={0,x≤0或y≤0x2,0≤x≤1,y>1x2y2,0≤x≤1,0≤y≤1.y2,x>習(xí)題9設(shè)二維隨機(jī)變量<X,Y>的概率密度為

f<x,y>={4.8y<2-x>,0≤x≤1,x≤y≤10,其它,求邊緣概率密度fY<y>.解答：fX<x>=∫-∞+∞f<x,y>dy

={∫0x4.8y<2-x>dy,0≤x≤10,其它={2.4x2<2-x>,0≤x≤10,其它.fY<y>=∫-∞+∞f<x,y>dx

={∫0y4.8y<2-x>dx,0≤y≤10,其它={2.4y<4y-y2>,0≤y≤10,其它.習(xí)題10設(shè)<X,Y>在曲線y=x2,y=x所圍成的區(qū)域G里服從均勻分布,求聯(lián)合分布密度和邊緣分布密度.解答：區(qū)域G的面積A=∫01<x-x2>dx=16,

由題設(shè)知<X,Y>的聯(lián)合分布密度為

f<x,y>={6,0≤x≤1,x2≤y≤x0,其它,從而fX<x>=∫-∞+∞f<x,y>dy=6∫x2xdy=6<x-x2>,0≤x≤1,

即

fX<x>={6<x-x2>,0≤x≤10,其它,

fY<y>=∫-∞+∞f<x,y>dx=6∫yydx=6<y-y>,0≤y≤1,即fY<y>={6<y-y>,0≤y≤10,其它.3.2條件分布與隨機(jī)變量的獨(dú)立性習(xí)題1二維隨機(jī)變量<X,Y>的分布律為X\Y

01

01

7/157/307/301/15<1>求Y的邊緣分布律；<2>求P{Y=0∣X=0},P{Y=1∣X=0};<3>判定X與Y是否獨(dú)立？解答：<1>由<x,y>的分布律知,y只取0及1兩個(gè)值.

P{y=0}=P{x=0,y=0}+P{x=1,y=0}=715+730=0.7

P{y=1}=∑i=01P{x=i,y=1}=130+115=0.3.<2>P{y=0∣x=0}=P{x=0,y=0}P{x=0}=23,

P{y=1∣x=0}=13.<3>已知P{x=0,y=0}=715,

由<1>知P{y=0}=0.7,

類似可得

P{x=0}=0.7.因?yàn)镻{x=0,y=0}≠P{x=0}?P{y=0},

所以x與y不獨(dú)立.習(xí)題2將某一醫(yī)藥公司9月份和8份的青霉素針劑的訂貨單分別記為X與Y.據(jù)以往積累的資料知X和Y的聯(lián)合分布律為

X\Y

5152535455

5152535455

0.060.050.050.010.010.070.050.<1>求邊緣分布律;<2>求8月份的訂單數(shù)為51時(shí),9月份訂單數(shù)的條件分布律.解答：<1>邊緣分布律為X

5152535455pk

對應(yīng)X的值,將每行的概率相加,可得P{X=i}.對應(yīng)Y的值<最上邊的一行>,

將每列的概率相加,可得P{Y=j}.Y

5152535455pk

<2>當(dāng)Y=51時(shí),X的條件分布律為

P{X=k∣Y=51}=P{X=k,y=51}P{Y=51}=pk,510.28,

k=51,52,53,54,55.列表如下:k

5152535455

P{X=k∣Y=51}

6/287/285/285/285/28習(xí)題3已知<X,Y>的分布律如下表所示,試求：<1>在Y=1的條件下,X的條件分布律;<2>在X=2的條件下,Y的條件分布律.X\Y

012

012

1/41/8001/301/601/8解答：由聯(lián)合分布律得關(guān)于X,Y的兩個(gè)邊緣分布律為X

012

pk

3/81/37/24

Y

012

pk

5/1211/241/8故<1>在Y=1條件下,X的條件分布律為X∣<Y=1>

012

pk

3/118/110<2>在X=2的條件下,Y的條件分布律為Y∣<X=2>

012

pk

4/703/7習(xí)題4

已知<X,Y>的概率密度函數(shù)為f<x,y>={3x,0<x<1,0<y<x0,其它,

求：<1>邊緣概率密度函數(shù)；<2>條件概率密度函數(shù).解答：<1>fX<x>=∫-∞+∞f<x,y>dy={3x2,0<x<10,其它,

fY<y>=∫-∞+∞f<x,y>dx={32<1-y2>,0<y<10,其它.<2>對?y∈<0,1>,

fX∣Y<x∣y>=f<x,y>fY<y>={2x1-y2,y<x<1,0,其它,對?x∈<0,1>,

fY∣X<y∣x>=f<x,y>fX<x>={1x,0<y<x0,其它.習(xí)題5X與Y相互獨(dú)立,其概率分布如表<a>及表<b>所示,求<X,Y>的聯(lián)合概率分布,P{X+Y=1},

P{X+Y≠0}.X-2-101/2

pi

1/41/31/121/3表<a>

Y-1/213

pi

1/21/41/4表<b>解答：由X與Y相互獨(dú)立知

P{X=xi,Y=yi}=P{X=xi}P{Y=yj>,從而<X,Y>的聯(lián)合概率分布為X\Y-1/213-2-101/2P{X=-2}P{Y=-1/2}P{X=-1}P{Y=-1/2}P{X=0}P{Y=-1/2}P{X=1/2}P{Y=-1/2}P{X=-2}P{Y=1}P{X=-1}P{Y=1}P{X=0}P{Y=1}P{X=1/2}P{Y=1}P{X=-2}P{Y=3}P{X=-1}P{Y=3}P{X=0}P{Y=3}P{X=1/2}P{Y=3}亦即表X\Y

-1/213

-2-101/2

1/81/161/161/61/121/121/241/481/481/61/121/12

P{X+y=1}=P{X=-2,y=3}+P{X=0,Y=1}=116+148=112,

P{X+Y≠0}=1-P{X+Y=0}

=1-P{X=-1,Y=1}-P{X=12,Y=-12

=1-112-16=34.習(xí)題6某旅客到達(dá)火車站的時(shí)間X均勻分布在早上7:55～8:00,

而火車這段時(shí)間開出的時(shí)間Y的密度函數(shù)為

fY<y>={2<5-y>25,0≤y≤50,其它,求此人能及時(shí)上火車站的概率.解答：由題意知X的密度函數(shù)為

fX<x>={15,0≤x≤50,其它,因?yàn)閄與Y相互獨(dú)立,所以X與Y的聯(lián)合密度為：

fXY<x,y>={2<5-y>125,0≤y≤5,0≤x≤50,其它,故此人能及時(shí)上火車的概率為

P{Y>X}=∫05∫x52<5-y>125dydx=13.習(xí)題7設(shè)隨機(jī)變量X與Y都服從N<0,1>分布,且X與Y相互獨(dú)立,求<X,Y>的聯(lián)合概率密度函數(shù).解答：由題意知,隨機(jī)變量X,Y的概率密度函數(shù)分別是

fX<x>=12πe-x22,

fY<y>=12πe-y22因?yàn)閄與Y相互獨(dú)立,所以<X,Y>的聯(lián)合概率密度函數(shù)是

f<x,y>=12πe-12<x+y>2.習(xí)題8設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度f<x>=12e-∣x∣<-∞<x<+∞>,問：X與∣X∣是否相互獨(dú)立？解答：若X與∣X∣相互獨(dú)立,則?a>0,

各有

P{X≤a,∣X∣≤a}=P{X≤a}?P{∣X∣≤a},而事件{∣X∣≤a}?{X≤a},

故由上式有

P{∣X∣≤a}==P{X≤a}?P{∣X∣≤a},?P{∣X∣≤a}<1-P{X≤a}>=0?P{∣X≤a∣}=0或1=P{X≤a}?<?a>0>但當(dāng)a>0時(shí),兩者均不成立,出現(xiàn)矛盾,故X與∣X∣不獨(dú)立.習(xí)題9設(shè)X和Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,X在<0,1>上服從均勻分布,Y的概率密度為fY<y>={12e-y2,y>00,y≤0,<1>求X與Y的聯(lián)合概率密度；<2>設(shè)有a的二次方程a2+2Xa+Y=0,

求它有實(shí)根的概率.解答：<1>由題設(shè)易知fX<x>={1,0<x<10,其它,又X,Y相互獨(dú)立,故X與Y的聯(lián)合概率密度為f<x,y>=fX<x>?fY<y>={12e-y2,0<x<1,y>00,其它;<2>因{a有實(shí)根}={判別式Δ2=4X2-4Y≥0}={X2≥Y},故如圖所示得到：

P{a有實(shí)根}=P{X2≥Y}=∫∫x2>yf<x,y>dxdy=∫01dx∫0x212e-y2dy

=-∫01e-x22dx=1-[∫-∞1e-x22dx-∫-∞0e-x22dx]

=1-2π[12π∫-∞1e-x22dx-12π∫-∞0e-x22dx]

=1-2π[Φ<1>-Φ<0>,又Φ<1>=0.8413,

Φ<0>=0.5,

于是Φ<1>-Φ<0>=0.3413,

所以

P{a有實(shí)根}=1-2π[Φ<1>-Φ<0>]≈1-2.51×0.3413=0.1433.

3.3二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布習(xí)題1設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立,且都等可能地取1,2,3為值,求隨機(jī)變量U=max{X,Y}和V=min{X,Y}的聯(lián)合分布.解答：由于U≥V,

可見P{U=i,V=j}=0<i<j>.此外,有

P{U=V=i}=P{X=Y=i}=1/9<i=1,2,3>,

P{U=i,V=j}=P{X=i,Y=j}+P{X=j,Y=i}=2/9<i>j>,于是,隨機(jī)變量U和V的聯(lián)合概率分布為

V\概率\U1

2311/92/92/9201/92/93001/9習(xí)題2設(shè)<X,Y>的分布律為X\Y

-112

-12

1/101/53/101/51/101/10試求：<1>Z=X+Y;

<2>Z=XY;

<3>Z=X/Y;

<4>Z=max{X,Y}的分布律.解答：與一維離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布律的計(jì)算類型,本質(zhì)上是利用事件及其概率的運(yùn)算法則.注意,Z的相同值的概率要合并.概率

1/101/53/101/51/101/10<X,Y>X+YXYX/Ymax{x,Y}

<-1,-1><-1,1><-1,2><2,-1><2,1><2,2>-2011341-1-2-2241-1-1/2-221112222于是<1>X+Y

-20134

pi

1/101/51/21/101/10<2>XY

-20134

pi

1/21/51/101/101/10<3>X/Y

-2-1-1/212

pi

1/51/53/101/51/10<4>max{X,Y}

-112

pi1/101/57/10

習(xí)題3設(shè)二維隨機(jī)向量<X,Y>服從矩形區(qū)域D={<x,y∣0≤x≤2,0≤y≤1}的均勻分布,且

U={0,X≤Y1,X>Y,

V={0,X≤2Y1,X>2Y,求U與V的聯(lián)合概率分布.解答：依題<U,V>的概率分布為

P{U=0,V=0}=P{X≤Y,X≤2Y}=P{X≤Y}

=∫01dx∫x112dy=14,

P{U=0,V=1}=P{X≤Y,X>2Y}=0,

P{U=1,V=0}=P{X>Y,X≤2Y}=P{Y<X≤2Y}

=∫01dy∫y2y12dx=14,P{U=1,V=1}=1-P{U=0,V=0}-P{U=0,V=1}-P{U=1,V=0}=1/2,即U\V

01

01

1/401/41/2習(xí)題4設(shè)<X,Y>的聯(lián)合分布密度為

f<x,y>=12πe-x2+y22,Z=X2+Y2,求Z的分布密度.解答：

FZ<z>=P{Z≤z}=P{X2+Y2≤z}.當(dāng)z<0時(shí),FZ<z>=P<?>=0;當(dāng)z≥0時(shí),

FZ<z>=P{X2+Y2≤z2}=∫∫x2+y2≤z2f<x,y>dxdy

=12π∫∫x2+y2≤z2e-x2+y22dxdy=12π∫02πdθ∫0ze-ρ22ρdρ

=∫0ze-ρ22ρdρ=1-e-z22.故Z的分布函數(shù)為

FZ<z>={1-e-z22,z≥00,z<0.Z的分布密度為

fZ<z>={ze-z22,z>00,z≤0.習(xí)題5設(shè)隨機(jī)變量<X,Y>的概率密度為

f<x,y>={12<x+y>e-<x+y>,x>0,y>00,其它,<1>問X和Y是否相互獨(dú)立？<2>求Z=X+Y的概率密度.解答：<1>fX<x>=∫-∞+∞f<x,y>dy

={∫0+∞12<x+y>e-<x+y>dy,x>00,x≤0

\under2line令x+y=t{∫x+∞12te-tdt=12<x+1>e-x,x>00,x≤0,由對稱性知fY<y>={12<y+1>e-y,y>00,y≤0,

顯然

f<x,y>≠fX<x>fY<y>,x>0,y>0,所以X與Y不獨(dú)立.<2>用卷積公式求fZ<z>=∫-∞+∞f<x,z-x>dx.當(dāng){x>0z-x>0

即

{x>0x<z時(shí),f<x,z-x>≠0,

所以當(dāng)z≤0時(shí),fZ<z>=0;當(dāng)z>0時(shí),fZ<z>=∫0z12xe-xdx=12z2e-z.于是,Z=X+Y的概率密度為

fZ<z>={12z2e-z,z>00,z≤0.習(xí)題6設(shè)隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立,若X服從<0,1>上的均勻分布,Y服從參數(shù)1的指數(shù)分布,求隨機(jī)變量Z=X+Y的概率密度.解答：據(jù)題意,X,Y的概率密度分布為

fX<x>={1,0<x<10,其它,

fY<y>={e-y,y≥00,y<0,由卷積公式得Z=X+Y的概率密度為

fZ<z>=∫-∞+∞fX<x>fY<z-x>dx=∫-∞+∞fX<z-y>fY<y>dy

=∫0+∞fX<z-y>e-ydy.由0<z-y<1得z-1<y<z,可見：當(dāng)z≤0時(shí),有fX<z-y>=0,

故fZ<z>=∫0+∞0?e-ydy=0;當(dāng)z>0時(shí),

fZ<z>=∫0+∞fX<z-y>e-ydy=∫max<0,z-1>ze-ydy=e-max<0,z-1>-e-z,即

fZ<z>={0,z≤01-e-z,0<z≤1e1-z-e-z,z>1.習(xí)題7設(shè)隨機(jī)變量<X,Y>的概率密度為f<x,y>={be-<x+y>,0<x<1,0<y<+∞,0,其它.〔1試確定常數(shù)b；〔2求邊緣概率密度fX<x>,fY<y>；〔3求函數(shù)U=max{X,Y}的分布函數(shù).解答：〔1由∫-∞+∞∫-∞+∞f<x,y>dxdy=1,確定常數(shù)b.

∫01dx∫0+∞be-xe-ydy=b<1-e-1>=1,所以b=11-e-1,從而

f<x,y>={11-e-1e-<x+y>,0<x<1,0<y<+∞,0,其它.〔2由邊緣概率密度的定義得

fX<x>={∫0+∞11-e-1e-<x+y>dy=e-x1-e-x,0<x<1,0,其它,

fY<x>={∫0111-e-1e-<x+y>dx=e-y,0<y<+∞,0,其它〔3因?yàn)閒<x,y>=fX<x>fY<y>,所以X與Y獨(dú)立,故

FU<u>=P{max{X,Y}≤u}=P{X≤u,Y≤u}=FX<u>FY<u>,其中

FX<x>=∫0xe-t1-e-1dt=1-e-x1-e-1,0<x<1,所以

FX<x>={0,x≤0,1-e-x1-e-1,0<x<1,1,x≥1.同理FY<y>={∫0ye-tdt=1-e-y,0<y<+∞,0,y≤0,因此

FU<u>={0,u<0,<1-e-u>21-e-1,0≤u<1,1-e-u,u≥1.習(xí)題8設(shè)系統(tǒng)L是由兩個(gè)相互獨(dú)立的子系統(tǒng)L1和L2以串聯(lián)方式聯(lián)接而成,L1和L2的壽命分別為X與Y,

其概率密度分別為

?1<x>={αe-αx,x>00,x≤0,

?2<y>={βe-βy,y>00,y≤0,其中α>0,β>0,α≠β,

試求系統(tǒng)L的壽命Z的概率密度.解答：設(shè)Z=min{X,Y},

則

F<z>=P{Z≥z}=P{min<X,Y>≤z}

=1-P{min<X,Y>>z}=1-P{X≥z,Y≥z}

=1-[1P{X<z}][1-P{Y<z}]=1-[1-F1{z}][1-F2{z}]

由于

F1<z>={∫0zαe-αxdx=1-e-αz,z≥00,z<0,

F2<z>={1-e-βz,z≥00,z<0,

故

F<z>={1-e-<α+β>z,z≥00,z<0,從而

?<z>={<α+β>e-<α+β>z,z>00,z≤0.習(xí)題9設(shè)隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立,且服從同一分布,試證明：

P{a<min{X,Y}≤b}=[P{X>a}]2-[P{X>b}]2.解答：設(shè)min{X,Y}=Z,則

P{a<min{X,Y}≤b}=FZ<b>-FZ<a>,

FZ<z>=P{min{X,Y}≤z}=1-P{min{X,Y}>z}

=1-P{X>z,Y>z}=1-P{X>z}P{Y>z}

=1-[P{X>z}]2,代入得

P{a<min{X,Y}≤b}=1-[P{X>b}]2-<1-[P{X>a}]2>

=[P{X>a}]2-[P{X>b}]2.證畢.

復(fù)習(xí)總結(jié)與總習(xí)題解答習(xí)題1在一箱子中裝有12只開關(guān),其中2只是次品,在其中取兩次,每次任取一只,考慮兩種試驗(yàn)：<1>放回抽樣；<2>不放回抽樣.我們定義隨機(jī)變量X,Y如下：X={0,若第一次取出的是正品1,若第一次取出的是次品,Y={0,若第二次取出的是正品1,若第二次取出的是次品,試分別就<1>,<2>兩種情況,寫出X和Y的聯(lián)合分布律.解答：<1>有放回抽樣,<X,Y>分布律如下：P{X=0,Y=0}=10×1012×12=2536;P{X=1,Y=0}=2×1012×12=536,P{X=0,Y=1}=10×212×12=536,P{X=1,Y=1}=2×212×12=136,<2>不放回抽樣,<X,Y>的分布律如下：P{X=0,Y=0}=10×912×11=4566,P{X=0,Y=1}=10×212×11=1066,P{X=1,Y=0}=2×1012×11=1066,P{X=1,Y=1}=2×112×11=166,Y\

X

01

01

45/6610/6610/661/66

習(xí)題2假設(shè)隨機(jī)變量Y服從參數(shù)為1的指數(shù)分布,隨機(jī)變量Xk={0,若Y≤k1,若Y>k<k=1,2>,求<X1,X2>的聯(lián)合分布率與邊緣分布率.解答：因?yàn)閅服從參數(shù)為1的指數(shù)分布,X1={0,若Y≤11,若Y>1,所以有P{X1=1}=P{Y>1}=∫1+∞e-ydy=e-1,P{X1=0}=1-e-1,同理P{X2=1}=P{Y>2}=∫2+∞e-ydy=e-2,P{X2=0}=1-e-2,因?yàn)镻{X1=1,X2=1}=P{Y>2}=e-2,P{X1=1,X2=0}=P{X1=1}-P{X1=1,X2=1}=e-1-e-2,P{X1=0,X2=0}=P{Y≤1}=1-e-1,P{X1=0,X2=1}=P{X1=0}-P{X1=0,X2=0}=0,故<X1,X2>聯(lián)合分布率與邊緣分布率如下表所示：X1\slashX201P{X1=i}01-e-101-e-11e-1-e-2e-2e-1P{X2=j}1-e-2e-2

習(xí)題3在元旦茶話會上,每人發(fā)給一袋水果,內(nèi)裝3只橘子,2只蘋果,3只香蕉.今從袋中隨機(jī)抽出4只,以X記橘子數(shù),Y記蘋果數(shù),求<X,Y>的聯(lián)合分布.解答：X可取值為0,1,2,3,Y可取值0,1,2.P{X=0,Y=0}=P{?}=0,P{X=0,Y=1}=C30C21CP{X=0,Y=2}=C30C22CP{X=1,Y=0}=C31C20CP{X=1,Y=1}=C31C21CP{X=1,Y=2}=C31C22CP{X=2,Y=0}=C32C20CP{X=2,Y=1}=C32C21CP{X=2,Y=2}=C32C22CP{X=3,Y=0}=C33C20CP{X=3,Y=1}=C33C21CP{X=3,Y=2}=P{?}=0,所以,<X,Y>的聯(lián)合分布如下：X\Y

0123

012

03/709/703/702/7018/7018/702/703/709/703/700習(xí)題4設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立,下表列出了二維隨機(jī)變量<X,Y>的聯(lián)合分布律及關(guān)于X與Y的邊緣分布律中的部分?jǐn)?shù)值,試將其余數(shù)值填入表中的空白處：X\Y

y1

y2

y3

pi?

x1

1/8

x21/8

p?j1/6

1

解答：由題設(shè)X與Y相互獨(dú)立,即有pij=pi?p?j<i=1,2;j=1,2,3>,p?1-p21=p11=16-18=124,又由獨(dú)立性,有p11=p1?p?1=p1?16故p1?=14.從而p13=14-124-18,又由p12=p1?p?2,即18=14?p?2.從而p?2=12.類似的有p?3=13,p13=14,p2?=34.將上述數(shù)值填入表中有X\Y

y1

y2

y3

pi?

x11/24

1/8

1/12

1/4

x21/8

3/8

1/4

3/4

p?j1/6

1/2

1/3

1

習(xí)題5設(shè)隨機(jī)變量<X,Y>的聯(lián)合分布如下表：求：<1>a值；<2><X,Y>的聯(lián)合分布函數(shù)F<x,y>；<3><X,Y>關(guān)于X,Y的邊緣分布函數(shù)FX<x>與FY<y>.解答：<1>\because由分布律的性質(zhì)可知∑i?jPij=1,故14+14+16+a=1,∴a=13.<2>因F<x,y>=P{X≤x,Y≤y}①當(dāng)x<1或y<-1時(shí),F<x,y>=0;②當(dāng)1≤x<2,-1≤y<0時(shí),F<x,y>=P{X=1,Y=-1}=1/4;③當(dāng)x≥2,-1≤y<0時(shí),F<x,y>=P{X=1,Y=-1}+P{X=2,Y=-1}=5/12;④當(dāng)1≤x<2,y>0時(shí),F<x,y>=P{X=1,Y=-1}+P{X=1,Y=0}=1/2;⑤當(dāng)x≥2,y≥0時(shí),F<x,y>=P{X=1,Y=-1}+P{X=2,Y=-1}+P{X=1,Y=0}+P{X=2,Y=0}=1;綜上所述,得<X,Y>聯(lián)合分布函數(shù)為F<x,y>={0,x<1或y<-11/4,1≤x<2,-1≤y<05/12,x≥2,-1≤y<01/2,1≤x<2,y≥01,x≥2,y≥0.<3>由FX<x>=P{X≤x,Y<+∞}=∑xi<x∑j=1+∞pij,得<X,Y>關(guān)于X的邊緣分布函數(shù)為：FX<x>={0,x<114+14,1≤x<214+14+16+13,x≥2={0,x<11/2,1≤x<21,x≥2,同理,由FY<y>=P{X<+∞,Y≤y}=∑yi≤y∑i=1+∞Pij,得<X,Y>關(guān)于Y的邊緣分布函數(shù)為FY<y>={0,y<-12/12,-1≤y<01,y≥0.習(xí)題6設(shè)隨機(jī)變量<X,Y>的聯(lián)合概率密度為f<x,y>={c<R-x2+y2>,x2+y2<R0,x2+y2≥R,求：<1>常數(shù)c;<2>P{X2+Y2≤r2}<r<R>.解答：<1>因?yàn)?=∫-∞+∞∫-∞+∞f<x,y>dydx=∫∫x2+y2<Rc<R-x2+y>dxdy=∫02π∫0Rc<R-ρ>ρdρdθ=cπR33,所以有c=3πR3.<2>P{X2+Y2≤r2}=∫∫x2+y2<r23πR3[R-x2+y2]dxdy=∫02π∫0r3πR3<R-ρ>ρdρdθ=3r2R2<1-2r3R>.習(xí)題7設(shè)f<x,y>={1,0≤x≤2,max<0,x-1>≤y≤min<1,x>0,其它,求fX<x>和fY<y>.解答：max<0,x-1>={0,x<1x-1,x≥1,min<1,x>={x,x<11,x≥1,所以,f<x,y>有意義的區(qū)域<如圖>可分為{0≤x≤1,0≤y≤x},{1≤x≤2,1-x≤y≤1},即f<x,y>={1,0≤x≤1,0≤y≤x1,1≤x≤2,x-1≤y≤1,0,其它所以fX<x>={∫0xdy=x,0≤x<1∫x-11dy=2-x,1≤x≤20,其它,fY<y>={∫yy+1dx=1,0≤y≤10,其它.習(xí)題8若<X,Y>的分布律為則α,β應(yīng)滿足的條件是ˉ,若X與Y獨(dú)立,則α=ˉ,β=ˉ.解答：應(yīng)填α+β=13;29;19.由分布律的性質(zhì)可知∑i?jpij=1,故16+19+118+13+α+β=1,即α+β=13.又因X與Y相互獨(dú)立,故P{X=i,Y=j}=P{X=i}P{Y=j},從而α=P{X=2,Y=2}=P{X=i}P{Y=j},=<19+α><14+α+β>=<19+α><13+13>=29,β=P{X=3,Y=2}=P{X=3}P{Y=2}=<118+β><13+α+β>=<118+β><13+13>,∴β=19.習(xí)題9設(shè)二維隨機(jī)變量<X,Y>的概率密度函數(shù)為f<x,y>={ce-<2x+y>,x>0,y>00,其它,<1>確定常數(shù)c;<2>求X,Y的邊緣概率密度函數(shù)；<3>求聯(lián)合分布函數(shù)F<x,y>;<4>求P{Y≤X};<5>求條件概率密度函數(shù)fX∣Y<x∣y>;<6>求P{X<2∣Y<1}.解答：<1>由∫-∞+∞∫-∞+∞f<x,y>dxdy=1求常數(shù)c.∫0+∞∫0+∞ce-<2x+y>dxdy=c?<-12e-2x>\vline0+∞?<-e-y>∣0+∞=c2=1,所以c=2.<2>fX<x>=∫-∞+∞f<x,y>dy={∫0+∞2e-2xe-ydy,x>00,x≤0={2e-2x,x>00,x≤0,fY<y>=∫-∞+∞f<x,y>dx={∫0+∞2e-2xe-ydx,y>00,其它={e-y,y>00,y≤0.<3>F<x,y>=∫-∞x∫-∞yf<u,v>dvdu={∫0x∫0y2e-2ue-vdvdu,x>0,y>00,其它={<1-e-2x><1-e-y>,x>0,y>00,其它.<4>P{Y≤X}=∫0+∞dx∫0x2e-2xe-ydy=∫0+∞2e-2x<1-e-x>dx=13.<5>當(dāng)y>0時(shí),fX∣Y<x∣y>=f<x,y>fY<y>={2e-2xe-ye-y,x>00,x≤0={2e-2x,x>00,x≤0.<6>P{X<2∣Y<1}=P{X<2,Y<1}P{Y<1}=F<2,1>∫01e-ydy=<1-e-1><1-e-4>1-e-1=1-e-4.習(xí)題10設(shè)隨機(jī)變量X以概率1取值為0,而Y是任意的隨機(jī)變量,證明X與Y相互獨(dú)立.解答：因?yàn)閄的分布函數(shù)為F<x>={0,當(dāng)x<0時(shí)1,當(dāng)x≥0時(shí),設(shè)Y的分布函數(shù)為FY<y>,<X,Y>的分布函數(shù)為F<x,y>,則當(dāng)x<0時(shí),對任意y,有F<x,y>=P{X≤x,Y≤y}=P{<X≤x>∩<Y≤y>}=P{?∩<Y≤y>}=P{?}=0=FX<x>FY<y>;當(dāng)x≥0時(shí),對任意y,有F<x,y>=P{X≤x,Y≤y}=P{<X≤x>∩<Y≤y>}=P{S∩<Y≤y>}=P{Y≤y}=Fy<y>=FX<x>FY<y>,依定義,由F<x,y>=FX<x>FY<y>知,X與Y獨(dú)立.習(xí)題11設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量<X,Y>的兩個(gè)分量X和Y相互獨(dú)立,且服從同一分布,試證P{X≤Y}=1/2.解答：因?yàn)閄,Y獨(dú)立,所以f<x,y>=fX<x>fY<y>.P{X≤Y}=∫∫x≤yf<x,y>dxdy=∫∫x≤yfX<x>fY<y>dxdy=∫-∞+∞[fY<y>∫-∞yfX<x>dx]dy=∫-∞+∞[fY<y>FY<y>]dy=∫-∞+∞FY<y>dFY<y>=F2<y>2∣-∞+∞=12,也可以利用對稱性來證,因?yàn)閄,Y獨(dú)立同分布,所以有P{X≤Y}=P{Y≤X},而P{X≤Y}+P{X≥Y}=1,故P{X≤Y}=1/12.習(xí)題12設(shè)二維隨機(jī)變量<X,Y>的聯(lián)合分布律為若X與Y相互獨(dú)立,求參數(shù)a,b,c的值.解答：關(guān)于X的邊緣分布為X

x1x2x3

pka+1/9b+1/9c+1/3

關(guān)于Y的邊緣分布為Y

y1y2

pk1/9+a+c4/9+b

由于X與Y獨(dú)立,則有p22=p2?p?2得b=<b+19><b+49>①p12=p1?p?2得19=<a+19><b+49>②由式①得b=29,代入式②得a=118.由分布律的性質(zhì),有a+b+c+19+19+13=1,代入a=118,b=29,得c=16.易驗(yàn)證,所求a,b,c的值,對任意的i和j均滿足pij=pi?×p?j.因此,所求a,b,c的值為a=118,b=29,c=16.習(xí)題13已知隨機(jī)變量X1和X2的概率分布為且P{X1X2=0}=1.<1>求X1和X2的聯(lián)合分布律；<2>問X1和X2是否獨(dú)立？解答：<1>本題是已知了X1與X2的邊緣分布律,再根據(jù)條件P{X1X2=0}=1,求出聯(lián)合分布.列表如下：X2\X1-101

P{X2=j}

01

1/401/401/20

1/21/2P{X1=i}

1/41/21/4

1由已知P{X1X2=0}=1,

即等價(jià)于P{X1X2≠0}=0,

可知P{X1=1,X2=1}=0,P{X1=-1,X2=1}=0.再由p?1=p-11+p11+p01,得p01=12,p-10=p-1?=p-11=14,p10=p1?-p11=14,從而得p00=0.<2>由于p-10=14≠p-1??p?0=14?12=18,所以知X1與X2不獨(dú)立.習(xí)題14設(shè)<X,Y>的聯(lián)合密度函數(shù)為f<x,y>={1πR2,x2+y2≤R20,其它,<1>求X與Y的邊緣概率密度；<2>求條件概率密度,并問X與Y是否獨(dú)立？解答：<1>當(dāng)x<-R或x>R時(shí),fX<x>=∫-∞+∞f<x,y>dy=∫-∞+∞0dy=0;當(dāng)-R≤x≤R時(shí),fX<x>=∫-∞+∞f<x,y>dy=1πR2∫-R2-x2R2-x2dy=2πR2R2-x2.于是fX<x>={2R2-x2πR2,-R≤x≤R0,其它.由于X和Y的地位平等,同法可得Y的邊緣概率密度是：fY<y>={2R2-y2πR2,-R≤y≤R0,其它.<2>fX∣Y<x∣y>=f<x,y>fY<y>注意在y處x值位于∣x∣≤R2-y2這個(gè)范圍內(nèi),f<x,y>才有非零值,故在此范圍內(nèi),有fX∣Y<x∣y>=1πR22πR2?R2-y2=12R2-y2,即Y=y時(shí)X的條件概率密度為fX∣Y<x∣y>={12R2-y2,∣x∣≤R2-y20,其它.同法可得X=x時(shí)Y的條件概率密度為fY∣X<y∣x>={12R2-x2,∣y∣≤R2-x20,其它.由于條件概率密度與邊緣概率密度不相等,所以X與Y不獨(dú)立.習(xí)題15設(shè)<X,Y>的分布律如下表所示X\Y -112-12 1/102/103/102/101/101/10求：<1>Z=X+Y;<2>Z=max{X,Y}的分布律.解答：與一維離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布律的計(jì)算類似,本質(zhì)上是利用事件及其概率的運(yùn)算法則.注意,Z的相同值的概率要合并.概率 <X,Y>X+YXYX/Ymax{X,Y}1/102/103/102/101/101/10<-1,-1><-1,1><-1,2><2,-1><2,1><2,2>-2011341-1-2-2241-1-1/2-221-112222于是<1>X+Y-20134

pi1/102/105/101/101/10

<2>max{X,Y}

-112