六年級奧數(shù)圖形問答

圓和組合圖形⑴

一、填空題

1.算出圓內(nèi)正方形的面積為.

2.右圖是一個直角等腰三角形,直角邊長2厘米，圖中陰影部分面積是平方厘米.

3.一個扇形圓心角120）,以扇形的半徑為邊長畫一個正方形,這個正方形的面積是120

平方厘米.這個扇形面積是.

4.如圖所示，以B、。為圓心的兩個半圓的直徑都是2厘米，則陰影部分的周長是

5.三角形ABC是直角三角形，陰影部分①的面積比陰影部分②的面積小28平方厘米.

A6長40厘米，長厘米.

6.如右圖，陰影部分的面積為2平方厘米,等腰直角三角形的面積為.

7.扇形面積是31.4平方厘米,它所在圓的面積157平方厘米,則扇形的圓心角是一度.

8.圖中扇形的半徑OA=OB=6厘米.ZAOB^45°,AC垂直O(jiān)B于C,那么圖中陰影部分

的面積是平方厘米.（萬=3.14）

9.右圖中正方形周長是20厘米.圖形的總面積是平方厘米.

10.在右圖中（單位:厘米），兩個陰影部分面積的和是平方厘米.

二、解答題

11.ABC是等腰直角三角形.。是半圓周的中點(diǎn)，3c是半圓的直徑，已知:

AB=BC=IO,那么陰影部分的面積是多少？（圓周率萬=3.14）

12.如圖，半圓&的面積是14.13平方厘米，圓52的面積是19.625平方厘米.那么長方

形（陰影部分的面積）是多少平方厘米？

13.如圖，已知圓心是0,半徑『9厘米，N1=N2=15。，那么陰影部分的面積是多少平方

厘米?（萬23.14）

14.右圖中4個圓的圓心是正方形的4個頂點(diǎn),它們的公共點(diǎn)是該正方形的中心.如果每

個圓的半徑都是1厘米,那么陰影部分的總面積是多少平方厘米？

-------------------------------答案----------------------------------------------

1.18平方厘米.由圖示可知，正方形兩條對角線的長都是6厘米,正方形由兩個面

積相等的三角形構(gòu)成.三角形底為6厘米,高為3厘米,故正方形面積為

6x3x1x2=18（平方厘米）.

2

2.1.14平方厘米.由圖示可知，圖中陰影部分面積為兩個圓心角為45。的扇形面積

減去直角三角形的面積.EP3.14x22x—x2-2x2xl=1.14（平方厘米）.

3602

3.125.6平方厘米.由已知條件可知圓的半徑的平方為120平方厘米.故扇形面積

190

為3.14x120x」=125.6（平方厘米）.

360

4.3.09厘米.邊結(jié)BE、CE,則BE=CE=BC=1（厘米），故三角形BCE為等邊三角形.

^F>ZEBC=ZBC￡=60°.BE=C￡=3.14X2X—=1.045（厘米）.于是陰影部分周長為

360

1.045x2+1=3.09（厘米）.

5.32.8厘米.從圖中可以看出陰影部分①加上空白部分的面積是半圓的面積，陰

影部分②加上空白部分的面積是三角形ABC的面積.又已知①的面積比②的面積小28

平方厘米,故半圓面積比三角形ABC的面積小28平方厘米.

半圓面積為3.14x（5）=628（平方厘米），三角形ABC的面積為

628+28=656（平方厘米）.BC的長為656x2-40=32.8（厘米）.

9

6.37己平方厘米.將等腰直角三角形補(bǔ)成一個正方形,設(shè)正方形邊長為x厘米，

則圓的半徑為;厘米.圖中陰影部分面積是正方形與圓的面積之差的?，于是有

x2_3.i4x（g“=8x2,解得/=譽(yù).故等腰直角三角形的面積為

幽x』=372（平方厘米）.

13213

7.72。.扇形面積是圓面積的31.4+157=（,故扇形圓心角為36。的:即72。.

8.5.13.三角形ACO是一個等腰直角三角形，將看作底邊,AO邊上的高為

40+2=6+2=3（厘米），故三角形AC。的面積為-x6x3=9（平方厘米）.而扇形面積

2

為3.14x6?*言=14.13（平方厘米），從而陰影部分面積為14.13-9=5.13（平方厘米）.

9.142.75.由正方形周長是20厘米,可得正方形邊長也就是圓的半徑為

20+4=5（厘米）.圖形總面積為兩個2圓面積加上正方形的面積，即

4

3.14x5?x-x2+52=142.75（平方厘米）.

4

10.90平方厘米.圖中陰影部分的面積是從兩個以直角三角形直角邊為直徑的半

圓及一個直角三角的面積和中減去一個以直角三角形斜邊為直徑的半圓的面積即

（12+2）2x3.14xg+（16+2y*3.14xg+12x15xg—（20+2）2x3.14x；=90

（平方厘米）.

10

11.如圖作出輔助線，則陰影部分的面積為三角形A

AED的面積減去正方形BEDO的面積再加上圓面積的

三角形AEO的面積是（10+10+2“（10+2）*；;正方

形面積是（10+2尸，圓面積的上是J_X3.14X（10+2）2,故陰影部Q

44

分面積為（10+104-2）x（104-2）x--（10^2）2+'x3.14x（10+2-

24

=37.5-25+19.625=32.125（平方厘米）.

12.由已知半圓$的面積是14.13平方厘米得半徑的平方為14.13x2+3.14=9（平方

厘米），故半徑為3厘米,直徑為6厘米.

又因圓S的面積為19.625平方厘米，所以S2半徑的平方為19.625+3.14=6.25（平

方厘米），于是它的半徑為2.5厘米,直徑為5厘米.

陰影部分面積為（6-5）x5=5（平方厘米）.

13.因OA=OB,故三角形為等腰三角形，即

ZOBA=Z1=15°,ZAG>B=180P-15°x2=150P,同理ZAOC=150°,于是

ZBOC=36（y-15O5x2=60。.扇形面積為：山X3.14X9?=42.39（平方厘米）.

360

14.正方形可以分割成兩個底為2,高為1的三角形,其面積為

Ix2xlx2=2（平方厘米）.

2

正方形內(nèi)空白部分面積為4個!圓即一個圓的面積與正方形面積之差，即

4

7rxl2-2=7r-2（平方厘米），所有空白部分面積為2（〃-2）平方厘米.

故陰影部分面積為四個圓面積之和與兩個空白面積之和的差，即為

萬x/x4—2x2（"-2）=8（平方厘米）.

十二、圓和組合圖形（2）

一、填空題

1.如圖，陰影部分的面積是

2.大圓的半徑比小圓的半徑長6厘米,且大圓半徑是小圓半徑的4倍.大圓的面積比小

圓的面積大平方厘米.

3.在一個半徑是4.5厘米的圓中挖去兩個直徑都是2厘米的圓.剩下的圖形的面積是

平方厘米.（乃取3.14,結(jié)果精確到1平方厘米）

4.右圖中三角形是等腰直角三角形，陰影部分的面

積是（平方厘米）.

5.如圖所求，圓的周長是16.4厘米，圓的面積

與長方形的面積正好相等.圖中陰影部分的周

.厘米.（乃=3.14）

6.如圖，Nl=15。的圓的周長為62.8厘米,平行四邊形的面積為100平方厘米.陰影部

分的面積是________.

7.有八個半徑為1厘米的小圓,用它們的圓周的一部分連成一個花瓣圖形（如圖）.

圖中黑點(diǎn)是這些圓的圓心.如果圓周率"=3.1416,那么花瓣圖形的面積是平方厘

8.已知:A8C〃是正方形，ED=D4=AF=2厘米，陰影部分的面積是.

9.圖中,扇形BAC的面積是半圓ADB的面積的1g倍,那么，NC45是—度.

AOB

10.右圖中的正方形的邊長是2厘米，以圓弧為分界線的甲、乙兩部分的面積差（大減

?。┦瞧椒嚼迕?（乃取3.14）

二、解答題

11.如圖：陰影部分的面積是多少？四分之一大圓的半徑

r.（計算時圓周率取2半2）

12.已知右圖中大正方形邊長是6厘米，中間小正方形邊長是4厘米.求陰影部分的

面積.

13.有三個面積都是S的圓放在桌上，桌面被圓覆蓋的面積是2s+2,并且重合的兩

塊是等面積的，直線。過兩個圓心A、B,如果直線。下方被圓覆蓋的面積是9,求圓面

積S的值.

14.如圖所示,一塊半徑為2厘米的圓板,從平面上1的位置沿線段AB,BC、CD

滾到2的位置，如果A&BC、C〃的長都是20厘米,那么圓板的正面滾過的面積是多少

平方厘米？

C

1.6.兩個扇形面積相等，故陰影部分面積等于一個長為3,寬為2的長方形面積，為

6個平方單位.

2.188.4.小圓的半徑為6+（4-1）=2（厘米），大圓的半徑為2x4=8（厘米）.大圓的面

積比小圓的面積大（82-22）x3.14=1884（平方厘米）.

3.57.4.52x3.14-（2+2）2x3.14x2=57.305（平方厘米）心57（平方厘米）.

4.10.26.從圓中可以看出，陰影部分的面積是兩個半圓的面積與三角形面積之差，即

3.14x（64-2）2--x62=10.26（平方厘米）.

2

5.20.5.設(shè)圓的半徑為r,則圓面積即長方形面積為仃2,故長方形的長為。C=勿.

陰影部分周長=DC+BC+BA+AD-7ir+r+（m*-r）+—x2^r=—x2TTT

44

=-x16.4=20.5（厘米）.

4

6.48,（平方厘米）.如圖,連結(jié)。4、AC,過A點(diǎn)作BA

6

CD的垂線交CD于E.三角形ACO的面積為100-2=50（平方厘

米）.

又圓半徑為628+（3.14x2）=10（厘米），因?yàn)?=15。,

又OA=OD,故ZAOC=15°x2=30。，扇形AOC的面積為

301

/平方厘米）.三角形A。。的面積為5。+2=25（平方厘米）.方形

面積為26^-25（平方厘米），從而陰影部分的面積為50-19=48?（平方厘米）.

6666

3

7.19.1416.花瓣圖形的結(jié)構(gòu)是正方形的面積,加上四個;圓面積后，再割去四個半圓

4

的面積.圓的半徑為1厘米,正方形邊長為4厘米.故花瓣圖形的面積是

31

42+^x]2x—x4-^-xl2x—x4=16+萬=19.1416（平方厘米）.

42

8.2.43平方厘米.

如圖，將①移到②得:陰影部分面積等于梯形CEFB的

面積減去三角形CE。、三角形CD4、扇形AFG的面積，即

（2+2X3）X2X--2X2X--22X--3.14X22x至=2.43（平方厘

222360

米）.

9.60.設(shè)扇形ABC圓心角的度數(shù)是用半圓的半徑OA=z"，有

X...、2119

------X7rx（2r）=\—x—x7rxr,

36032

解得x=60.

10-°-14-扇形面積為3年2時=3』4（平方厘米），甲部分面積為

22X-1-3.14-2=0.43（平方厘米），乙部分面積為3.14+2-2x2x，=0.57（平方厘米）,

24

甲乙兩部分面積差為0.57-0.43=0.14（平方厘米）.

口.如圖，小正方形的邊長法，則①的面積為:

②的面積為L必-廠」產(chǎn)①和②的面積利

27⑴74

J.xNx/一J_x〃2x2=2產(chǎn).即陰影部分面積為2/.

47477

12.將陰影部分旋轉(zhuǎn)后，可以看出所求陰影部分面積為大正7...................止

形的一半，即陰影部分面積等于62-2-42+2=10（平方厘米）.

13.設(shè)一個陰影部分的面積為x,則有：3S-2x=2S+2,于是S=2x+2⑴

又2S-，=9,于是有x=至』+2,解得5=6.

23

14.圓板的正面滾過的部分如右圖陰影部分所求，

它的面積為：

1,],

-X^X22+(20-2)X4+-X^-X42+(20-4)

1,1,23

X4+(20-2)X4--X(42-^X22)+-X^-X22=204+T乃

面積計算（三）

專題簡析：

對于一些比較復(fù)雜的組合圖形，有時直接分解有一定的困難，這時，可以通過把其中的部分圖

形進(jìn)行平移、翻折或旋轉(zhuǎn)，化難為易。有些圖形可以根據(jù)“容斥問題”的原理來解答。在圓的半徑

r用小學(xué)知識無法求出時，可以把“F”整體地代入面積公式求面積。

例題1。

如圖20—1所示，求圖中陰影部分的面積。

H—io->1

45°

H—10

20-120-2

【思路導(dǎo)航】

解法一：陰影部分的一半，可以看做是扇形中減去一個等腰直角三角形（如圖20-2）,等腰直角

三角形的斜邊等于圓的半徑，斜邊上的高等于斜邊的一半，圓的半徑為20+2=10厘米

[3.14X102X1-10X（10+2）】義2=107（平方厘米）

答：陰影部分的面積是107平方厘米。

解法二：以等腰三角形底的中點(diǎn)為中心點(diǎn).把圖的右半部分向下旋轉(zhuǎn)90度后，陰影部分的面積就

變?yōu)閺陌霃綖?0厘米的半圓面積中，減去兩直角邊為10厘米的等腰直角三角形的面積所

得的差。

20-3

（204-2）2x1-（204-2）2x1=107（平方厘米）

答：陰影部分的面積是107平方厘米。

練習(xí)1

1、如圖20—4所示，求陰影部分的面積（單位：厘米）

2、如圖20—5所示，用一張斜邊為29厘米的紅色直角三角形紙片，一張斜邊為49厘米的藍(lán)色

直角三角形紙片，一張黃色的正方形紙片，拼成一個直角三角形。求紅藍(lán)兩張三角形紙片面

積之和是多少？

20-4

例題2。

如圖20—6所示，求圖中陰影部分的面積（單位：厘米）。

4減去

6

20-620-7

【思路導(dǎo)航】

解法一：先用長方形的面積減去小扇形的面積，得空白部分（a）的面積，再用大扇形的面積減去

空白部分（a）的面積。如圖20—7所示。

3.14X62X1-（6X4-3.14X42X1）=16.82（平方厘米）

解法二：把陰影部分看作（1）和（2）兩部分如圖20—8所示。把大、小兩個扇形面積相加，剛好

多計算了空白部分和陰影（1）的面積，即長方形的面積。

減

20-8

3.14X42X1+3.14X62X1-4X6=16.28（平方厘米）

答：陰影部分的面積是16.82平方厘米。

練習(xí)2

如圖20—9危，4ABC是等驅(qū)除角形，求陰影部分的面積1（單位ES米）。

甜圖%—10所示，三角形ABC是直角三角形，AC長4厘米，BC長2厘米。以AC、BC為

直徑畫半圓，兩個半圓的交點(diǎn)在AB邊上。求圖中陰影部分的面積。

3、如圖20—11所示，圖中平行四邊形的一個角為60°,兩條邊的長分別為6厘米和8厘米，高

為5.2厘米。求圖中陰影部分的面積。

例題3。

在圖20—12中，正方形的邊長是10厘米，求圖中陰影部分的面積。

20-1220-1320-14

【思路導(dǎo)航】

解法一：先用正方形的面積減去一個整圓的面積，得空部分的一半（如圖20—13所示），再用正方

形的面積減去全部空白部分。

空白部分的一半：10X10-（10+2）2X3.14=21.5（平方厘米）

陰影部分的面積：10X10-21.5X2=57（平方厘米）

解法二：把圖中8個扇形的面積加在一起，正好多算了一個正方形（如圖20—14所示），而8個扇

形的面積又正好等于兩個整圓的面積。

（10+2）2x3.14X2-10X10=57（平方厘米）

答：陰影部分的面積是57平方厘米。

練習(xí)3

例題4。

在正方形ABCD中，AC=6厘米。求陰影部分的面積。

20-18

【思路導(dǎo)航】這道題的難點(diǎn)在于正方形的邊長未知，這樣扇形的半徑也就不知道。但我們可以看出，

AC是等腰直角三角形ACD的斜邊。根據(jù)等腰直角三角形的對稱性可知，斜邊上的高

等于斜邊的一半（如圖20—18所示），我們可以求出等腰直角三角形ACD的面積，

進(jìn)而求出正方形ABCD的面積，即扇形半徑的平方。這樣雖然半徑未求出，但可以

求出半徑的平方，也可以把半徑的平方直接代入圓面積公式計算。

既是正方形的面積，又是半徑的平方為：6X（64-2）X2=18（平方厘米）

陰影部分的面積為：18—18X3.14+4=3.87（平方厘米）

答：陰影部分的面積是3.87平方厘米。

練習(xí)4

1、如圖20—19、20—20所示，圖形中正方形的面積都是50平方厘米，分別求出每個圖形中陰

影部分的面積。

2、如圖20—21所示，正方形中對角線長10厘米，過正方形兩個相對的頂點(diǎn)以其邊長為半徑分

別做弧。求圖形中陰影部分的面積（試一試，你能想出幾種辦法）。

20-1920-2020-21

例題5。

在圖20—22的扇形中，正方形的面積是30平方厘米。求陰影部分的面積。

【思路導(dǎo)航】陰影部分的面積等于扇形的面積減去正方形的面積?？墒巧刃蔚陌霃轿粗譄o法求

出，所以我們尋求正方形的面積與扇形面積的半徑之間的關(guān)系。我們以扇形的半徑為

邊長做一個新的正方形(如圖20—23所示)，從圖中可以看出，新正方形的面積是30

X2=60平方厘米，即扇形半徑的平方等于60。這樣雖然半徑未求出，但能求出半徑

的平方，再把半徑的平等直接代入公式計算。

3.14X(30X2)x1—30=17.1(平方厘米)

答：陰影部分的面積是17.1平方厘米。

練習(xí)5

1、如圖20—24所示，平行四邊形的面積是100平方厘米，求陰影部分的面積。

2、如圖20—25所示，O是小圓的圓心，CO垂直于AB,三角形ABC的面積是45平方厘米，求

陰影部分的面積。

1、如圖答20—1所示，因三角形BCD中BC邊上高等于BC的一半，所以陰影部分的面積是：

?451

62X3.14X^y-6X(6+2)X]=5.13平方厘米

2、如圖答20-2所示，將紅色直角三角形紙片旋轉(zhuǎn)90°,紅色和藍(lán)色的兩個直角三角形就拼成了

一個直角邊分別是49厘米和29厘米的直角三角形，因此，所求的面積為：

49X29X；=710.5平方厘米

練2

1、如圖答20—3所示，可以看做兩個半圓重疊在一起，從中減去一個三角形的面積就得到陰影

部分的面積。

(24-2)2X3.14X1X2-2X2X1=1.14平方厘米

2、思路與第一題相同

(44-2)2X3.14X1+(24-2)2X3.14x1-4X2x1=3.85平方厘米

3、如圖答20—4所示，用大小兩個扇形面積和減去一個平行四邊形的面積，即得到陰影部分的

一半，因此陰影部分的面積是：

[(82+62)X3.14X莉-8X5.2]X2=21百平方厘米

練3

1、如圖答20—5所示，陰影部分的面積等于四個半圓的面積減去一