專題02 奇偶性及應(yīng)用13種常見考法歸類-解密2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期末核心微專題考點(diǎn)通關(guān)手冊(人教A版2019必修第一冊)含解析

專題02奇偶性及應(yīng)用13種常見考法歸類-解密2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期末核心微專題考點(diǎn)通關(guān)手冊(人教A版2019必修第一冊)專題02奇偶性及應(yīng)用13種常見考法歸類考點(diǎn)一函數(shù)奇偶性的定義及判斷考點(diǎn)二抽象函數(shù)的奇偶性考點(diǎn)三利用奇偶性求值考點(diǎn)四利用奇偶性求解析式考點(diǎn)五由函數(shù)的奇偶性求參數(shù)考點(diǎn)六利用函數(shù)的奇偶性求最值考點(diǎn)七應(yīng)用函數(shù)的奇偶性畫函數(shù)圖象考點(diǎn)八函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的綜合應(yīng)用考點(diǎn)九從奇偶性到對稱性(對稱性的判別)考點(diǎn)十對稱性的綜合應(yīng)用考點(diǎn)十一基于奇偶(對稱性)的凸凹反轉(zhuǎn)1、函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點(diǎn)偶函數(shù)如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù)關(guān)于y軸對稱奇函數(shù)如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對稱注：①奇函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱f(－x)＝－f(x)②偶函數(shù)圖像關(guān)于軸對稱f(－x)＝f(x)③對于含參函數(shù)中參數(shù)的求值問題，在填空題與選擇題中，掌握以下兩個結(jié)論，會給解題帶來方便：(i)f(x)為偶函數(shù)?f(x)＝f(|x|)．(ii)若奇函數(shù)在x＝0處有意義，則f(0)＝0.④奇函數(shù)在軸兩側(cè)相對稱的區(qū)間增減性相同，偶函數(shù)在軸兩側(cè)相對稱的區(qū)間增減性相反．(重要）⑤利用性質(zhì)法來判斷奇偶性（以函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱為前提，所有奇偶函數(shù)都非零函數(shù)）：奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)；（2）偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)；（3）偶函數(shù)奇函數(shù)=非奇非偶函數(shù)記憶口訣：加減看自身（3）奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)；（4）偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)；（5）奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)（7）記憶口訣：乘除看正負(fù)（注：在記憶的時候可將偶函數(shù)看成“+”號，將奇函數(shù)看成“-”號）⑥奇(偶)函數(shù)倒數(shù)或相反數(shù)運(yùn)算，奇偶性不變；⑦奇(偶)函數(shù)的絕對值運(yùn)算，函數(shù)的奇偶性均為偶函數(shù)．2、與函數(shù)奇偶性有關(guān)的常見問題及解題策略（1）已知函數(shù)的奇偶性求函數(shù)值利用奇偶性的定義求函數(shù)的值，這是奇偶性定義的逆用，注意利用常見函數(shù)（如一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)）具有奇偶性的條件求解．（2）已知函數(shù)的奇偶性求解析式利用奇偶性求函數(shù)的解析式，已知函數(shù)奇偶性及其在某區(qū)間上的解析式，求該函數(shù)在整個定義域上的解析式的方法是：首先設(shè)出未知區(qū)間上的自變量，利用奇、偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱的特點(diǎn)，把它轉(zhuǎn)化到已知的區(qū)間上，代入已知的解析式，然后再次利用函數(shù)的奇偶性求解即可．（3）已知函數(shù)的奇偶性，求函數(shù)解析式中參數(shù)的值①若表示定義域的區(qū)間含有參數(shù)，則可利用對稱性列出關(guān)于參數(shù)的方程.②一般化策略：對x取定義域內(nèi)的任一個值，利用f(-x)與f(x)的關(guān)系式恒成立來確定參數(shù)的值.（4）應(yīng)用奇偶性畫圖象和判斷函數(shù)單調(diào)性①如果一個函數(shù)是奇函數(shù)，則這個函數(shù)的圖象是以坐標(biāo)原點(diǎn)為對稱中心的中心對稱圖形；反之，如果一個函數(shù)的圖象是以坐標(biāo)原點(diǎn)為對稱中心的中心對稱圖形，則這個函數(shù)是奇函數(shù)．如果一個函數(shù)是偶函數(shù)，則這個函數(shù)的圖象是以軸為對稱軸的軸對稱圖形；反之，如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，則這個函數(shù)是偶函數(shù)．②根據(jù)奇、偶函數(shù)的圖象特征，可以得到：奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上有相反的單調(diào)性．上述結(jié)論可簡記為“奇同偶異”．偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上有相同的最大（?。┲?，取最值時的自變量互為相反數(shù)；奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上的最值互為相反數(shù)，取最值時的自變量也互為相反數(shù)．（5）利用函數(shù)的奇偶性求最值①奇函數(shù)的性質(zhì)：如果函數(shù)是定義在區(qū)間上的奇函數(shù)，則②偶函數(shù)的性質(zhì)：如果函數(shù)是定義在區(qū)間上的偶函數(shù)，則函數(shù)是定義在區(qū)間上的最值等于函數(shù)在區(qū)間（或）上的最值。常見函數(shù)的奇偶性及增減性（1）冪函數(shù)=非零常數(shù)可看成偶函數(shù)（2）是偶函數(shù)（如偶先減后增偶先減后增）（3）是奇函數(shù)（或）（如奇增奇增）（4）是奇函數(shù)（5）是奇函數(shù)（如奇減奇減奇增奇增）（6）是奇函數(shù)（7）是奇函數(shù)（如奇增奇減偶增）（8）與（）都是奇函數(shù)（如：奇增奇增）偶函數(shù)值域還是偶函數(shù)單調(diào)性與內(nèi)層偶函數(shù)相同（如偶函數(shù)先減后增偶函數(shù)先減后增偶函數(shù)先增后減偶函數(shù)先減后增奇函數(shù)增函數(shù)奇函數(shù)增函數(shù)）（10）與都是偶函數(shù)（11）是奇函數(shù)；是偶函數(shù)；是奇函數(shù)（12）為偶函數(shù)；是奇函數(shù)?？键c(diǎn)一函數(shù)奇偶性的定義及判斷1．（2023上·四川瀘州·高一?？计谥校┫铝泻瘮?shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為（

）A． B． C． D．2．（2023上·廣東中山·高一中山紀(jì)念中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的奇偶性為A．奇函數(shù) B．偶函數(shù) C．即奇又偶函數(shù) D．非奇非偶函數(shù)3．（2023上·山西大同·高一統(tǒng)考期末）若函數(shù)，則以下函數(shù)為奇函數(shù)的是（

）A． B． C． D．4．（2023·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）已知對于，，但是非奇非偶函數(shù)，請寫出一個滿足條件的=5．（2023上·河北唐山·高三統(tǒng)考期末）函數(shù)為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，在公共定義域內(nèi)，下列結(jié)論一定正確的是（

）A．為奇函數(shù) B．為偶函數(shù)C．為奇函數(shù) D．為偶函數(shù)6．（2023上·山西朔州·高一統(tǒng)考期中）符號表示不超過x的最大整數(shù)，如，，，定義函數(shù)，以下結(jié)論正確的是（

）①函數(shù)的定義域是R，值域為[0,1)；②方程有無數(shù)個解；③函數(shù)是奇函數(shù)；④函數(shù)是增函數(shù).A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④7．（2023上·遼寧大連·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù).(1)求的定義域；(2)判斷的奇偶性并予以證明；(3)求不等式的解集.考點(diǎn)二抽象函數(shù)的奇偶性平移與奇偶性8．（2023上·陜西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，則（

）A．為偶函數(shù) B．為偶函數(shù) C．為奇函數(shù) D．為奇函數(shù)9．（2023下·湖北武漢·高二校聯(lián)考期末）函數(shù)的定義域為，若是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則（

）A．是偶函數(shù) B．C． D．10．（2023上·四川成都·高三成都七中?？奸_學(xué)考試）設(shè)函數(shù)定義域為R，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時，，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A． B．為奇函數(shù)C．在上為減函數(shù) D．的一個周期為811．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知定義在R上的函數(shù)滿足，且是奇函數(shù)，則（

）A．是偶函數(shù) B．的圖象關(guān)于直線對稱C．是奇函數(shù) D．的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱12．（2023上·江西·高三奉新縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)滿足，下列四個選項一定正確的是（

）A．是偶函數(shù) B．是奇函數(shù)C．是奇函數(shù) D．是偶函數(shù)抽象型函數(shù)的奇偶性13．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域為，且對任意非零實(shí)數(shù)，都滿足，則（

）A．（1）且為偶函數(shù)B．且為奇函數(shù)C．為增函數(shù)且為奇函數(shù)D．為增函數(shù)且為偶函數(shù)14．（2023上·陜西西安·高一?？计谥校┤舳x在上的函數(shù)滿足：對于任意的、，恒有，則函數(shù)為（

）A．奇函數(shù) B．偶函數(shù) C．非奇非偶函數(shù)D．無法判斷奇偶性15．（2023上·四川成都·高一校考階段練習(xí)）已知函數(shù)對任意的實(shí)數(shù)，，都有，且.則此函數(shù)一定（

）A．是奇函數(shù) B．是偶函數(shù)C．函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱 D．函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對稱16．（2023上·浙江·高一期末）設(shè)函數(shù)的定義域為R，對任意，有且，則函數(shù)是（

）A．奇函數(shù) B．偶函數(shù)C．非奇非偶函數(shù) D．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)17．（2023上·安徽·高一期末）已知定義在上的函數(shù)對任意實(shí)數(shù)、，恒有，且當(dāng)時，，.(1)求的值；(2)求證：為奇函數(shù)；(3)求在上的最大值與最小值．考點(diǎn)三應(yīng)用函數(shù)的奇偶性畫函數(shù)圖象18．（2023上·安徽淮北·高一淮北一中校考期中）已知偶函數(shù)部分圖象如圖所示，且，則不等式的解集為.19．（2023下·上海黃浦·高一上海市大同中學(xué)校考期末）若定義在R上的奇函數(shù)在區(qū)間上的圖象如圖所示，則的單調(diào)減區(qū)間是．

20．（2023上·湖南懷化·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）已知是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，定義域均為，二者在上的圖象如圖所示，則關(guān)于的不等式的解集為（

）A． B．C． D．考點(diǎn)四利用函數(shù)的奇偶性識別圖象21．（2023·全國·高一假期作業(yè)）已知函數(shù)，則的大致圖象為（

）A．

B．

C．

D．

22．（2023上·云南昆明·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．C． D．23．（2023上·廣東梅州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．C． D．考點(diǎn)五利用奇偶性求值24．（2023下·重慶長壽·高二統(tǒng)考期末）已知是定義域為的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則．25．（2023上·遼寧·高二開學(xué)考試）已知函數(shù)和均為上的奇函數(shù)，且，，則的值為（）A． B． C． D．626．（2023上·河南開封·高一?？茧A段練習(xí)）已知，則的值是（

）A． B． C． D．考點(diǎn)六利用奇偶性求解析式27．（2023上·高一課時練習(xí)）已知函數(shù)y＝f(x)為奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時，f(x)＝x2－2x＋3，則當(dāng)x<0時，f(x)的解析式是（

）A．f(x)＝－x2＋2x－3 B．f(x)＝－x2－2x－3C．f(x)＝x2－2x＋3 D．f(x)＝－x2－2x＋328．（2023上·新疆烏魯木齊·高一新疆農(nóng)業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)?？计谀┤羰嵌x在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則當(dāng)時，.29．（2023上·江蘇宿遷·高一江蘇省泗陽中學(xué)校考期末）定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，當(dāng)時，．30．（2023上·北京·高一北京市八一中學(xué)校考期中）已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，則（

）A． B．C． D．31．（2023上·福建莆田·高一校考期末）已知函數(shù)是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且.(1)求函數(shù)和的表達(dá)式﹔(2)求在上的值域32．（2023上·江蘇宿遷·高一統(tǒng)考期末）已知，分別是定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且滿足．若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．33．（2023上·江蘇無錫·高一江蘇省天一中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)?是定義在上的函數(shù)，其中是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且，若對于任意，都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．B．C． D．考點(diǎn)七由函數(shù)的奇偶性求參數(shù)34．（2023上·四川瀘州·高一統(tǒng)考期末）若函數(shù)是上的偶函數(shù)，則的值為.35．（2023下·湖南長沙·高一湖南師大附中校考階段練習(xí)）函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)．若，則的值為（

）A．6 B．5 C．4 D．336．（2023下·河北衡水·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則的值為A． B． C．1 D．無法確定37．（2023下·湖南衡陽·高二統(tǒng)考期末）若函數(shù)為偶函數(shù)，則.38．（2023·高一課時練習(xí)）已知函數(shù)，若是偶函數(shù)，記，若是奇函數(shù)，記，則A．0 B．1 C．2 D．-139．（2023·上海長寧·統(tǒng)考二模）若函數(shù)為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為．40．（2023下·安徽亳州·高二渦陽縣第二中學(xué)校聯(lián)考期末）函數(shù)為偶函數(shù)，則．41．（2023上·山西長治·高一?？计谀┰O(shè)為奇函數(shù)，a為常數(shù).(1)求a的值；(2)判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性并證明.42．（2023上·貴州黔東南·高二?？计谀┖瘮?shù)是奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)等于（

）A．或1 B．1 C． D．43．（2023下·貴州黔南·高二統(tǒng)考期末）若函數(shù)是奇函數(shù)，則a的值為．44．（2023上·遼寧丹東·高一鳳城市第一中學(xué)校考期末）已知函數(shù)是奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為.45．（2023下·湖南長沙·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)為偶函數(shù)，則．考點(diǎn)八利用函數(shù)的奇偶性求最值46．（2023上·上?！じ呷？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域為，對任何實(shí)數(shù)、，都有，且函數(shù)的最大值為，最小值為，則的值為.47．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若對任意，有，則函數(shù)在上的最大值與最小值的和（

）A． B．6 C． D．548．（2023上·福建漳州·高三福建省長泰縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）若定義在區(qū)間上的函數(shù)滿足：對于任意的，都有，且時，有，的最大值、最小值分別為M，N，則的值為（

）.A．2023 B．2023 C．4028 D．403049．（2023上·天津和平·高一天津一中?？计谀┮阎P(guān)于函數(shù)在上的最大值為，最小值，且，則實(shí)數(shù)的值是.考點(diǎn)九函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的綜合應(yīng)用50．（2023上·山東泰安·高三山東省泰安第二中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)奇函數(shù)在上為增函數(shù)，且，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．51．（2023上·廣西百色·高一統(tǒng)考期末）設(shè)函數(shù)定義域為，滿足，且，若在上單調(diào)遞增，則不等式的解為（

）A． B．C． D．52．（2023上·廣東廣州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）若定義在的奇函數(shù)在單調(diào)遞減，且，則滿足的x的取值范圍是（

）A． B．C． D．53．（2023上·湖北·高一校聯(lián)考期中）已知函數(shù)為偶函數(shù)且在上單調(diào)遞增，則使成立的的取值范圍是（

）A． B． C．D．54．（2023上·新疆阿克蘇·高三校考期末）已知函數(shù)，滿足，則的取值范圍是．55．（2023上·四川·高一四川省平昌中學(xué)?？茧A段練習(xí)）定義在R上的奇函數(shù)對任意都有，若，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．56．（2023下·新疆·高一?？奸_學(xué)考試）設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，對任意的、，時，滿足且，則不等式的解集為（）A． B．C． D．57．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知為R上的奇函數(shù)，，若且，都有，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．58．（2023·浙江·高一專題練習(xí)）設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，，若對任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C．D．59．（2023·全國·高一期末）已知是定義在上的偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，若，，，則、、的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．考點(diǎn)十函數(shù)的奇偶性和周期性的綜合應(yīng)用60．（2023下·河北邯鄲·高二校聯(lián)考期末）已知是定義域為的奇函數(shù)，滿足.若，則（

）A． B． C．50 D．61．（2023·河南開封·統(tǒng)考二模）已知定義在R上的奇函數(shù)，對任意的實(shí)數(shù)x，恒有，且當(dāng)時，，則A．6 B．3 C．0 D．62．（2023·江蘇常州·校考三模）已知函數(shù)f(x)是定義在實(shí)數(shù)集R上的不恒為零的偶函數(shù)，且對任意實(shí)數(shù)x都有，則的值是（

）A．0 B． C．1 D．63．（2023·黑龍江·統(tǒng)考三模）函數(shù)是定義在實(shí)數(shù)集上的不恒為零的偶函數(shù)，，且對任意實(shí)數(shù)都有，則的值是（

）A．0 B． C．1 D．64．（2023下·寧夏銀川·高二銀川二中校考期末）設(shè)函數(shù)的定義域為R，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時，，若，則（

）A． B． C． D．考點(diǎn)十一從奇偶性到對稱性(對稱性的判別)65．（2023下·甘肅白銀·高二校考期末）已知定義在上的函數(shù)在單調(diào)遞增，且是偶函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．66．（2023上·山東菏澤·高一菏澤一中?？计谥校┒x在上的函數(shù)，若的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，且，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．67．（2023·內(nèi)蒙古·模擬預(yù)測）已知是定義在上的增函數(shù)，且的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，則關(guān)于的不等式的解集為（

）A． B． C． D．68．（2023下·內(nèi)蒙古赤峰·高一赤峰紅旗中學(xué)松山分校校聯(lián)考期末）已知函數(shù)是偶函數(shù)，當(dāng)時，恒成立，設(shè)，，，則的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．考點(diǎn)十二對稱性的綜合應(yīng)用69．（2023上·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校校考期末）已知函數(shù)是奇函數(shù)，若函數(shù)與圖象的交點(diǎn)分別，，，，則交點(diǎn)的所有橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)之和為．70．（2023下·江蘇南通·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)是定義在的偶函數(shù)，且當(dāng)時，若函數(shù)有8個零點(diǎn)，分別記為，，，，，，，，則的取值范圍是.考點(diǎn)十三基于奇偶(對稱性)的凸凹反轉(zhuǎn)71．（2023上·寧夏銀川·高三?？计谀┮阎瘮?shù)滿足，且是偶函數(shù)，當(dāng)時，，若在區(qū)間內(nèi)，函數(shù)有2個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．72．（2023上·重慶·高一重慶巴蜀中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)為上的偶函數(shù)，為上的奇函數(shù)，且.(1)求，的解析式；(2)若函數(shù)在上只有一個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.73．（2023上·上海楊浦·高一復(fù)旦附中校考期末）設(shè).(1)判斷函數(shù)的奇偶性；(2)若，求證：函數(shù)在內(nèi)有且僅有一個零點(diǎn).

專題02奇偶性及應(yīng)用13種常見考法歸類考點(diǎn)一函數(shù)奇偶性的定義及判斷考點(diǎn)二抽象函數(shù)的奇偶性考點(diǎn)三利用奇偶性求值考點(diǎn)四利用奇偶性求解析式考點(diǎn)五由函數(shù)的奇偶性求參數(shù)考點(diǎn)六利用函數(shù)的奇偶性求最值考點(diǎn)七應(yīng)用函數(shù)的奇偶性畫函數(shù)圖象考點(diǎn)八函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的綜合應(yīng)用考點(diǎn)九從奇偶性到對稱性(對稱性的判別)考點(diǎn)十對稱性的綜合應(yīng)用考點(diǎn)十一基于奇偶(對稱性)的凸凹反轉(zhuǎn)1、函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點(diǎn)偶函數(shù)如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù)關(guān)于y軸對稱奇函數(shù)如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對稱注：①奇函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱f(－x)＝－f(x)②偶函數(shù)圖像關(guān)于軸對稱f(－x)＝f(x)③對于含參函數(shù)中參數(shù)的求值問題，在填空題與選擇題中，掌握以下兩個結(jié)論，會給解題帶來方便：(i)f(x)為偶函數(shù)?f(x)＝f(|x|)．(ii)若奇函數(shù)在x＝0處有意義，則f(0)＝0.④奇函數(shù)在軸兩側(cè)相對稱的區(qū)間增減性相同，偶函數(shù)在軸兩側(cè)相對稱的區(qū)間增減性相反．(重要）⑤利用性質(zhì)法來判斷奇偶性（以函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱為前提，所有奇偶函數(shù)都非零函數(shù)）：奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)；（2）偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)；（3）偶函數(shù)奇函數(shù)=非奇非偶函數(shù)記憶口訣：加減看自身（3）奇函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)；（4）偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)；（5）奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)（7）記憶口訣：乘除看正負(fù)（注：在記憶的時候可將偶函數(shù)看成“+”號，將奇函數(shù)看成“-”號）⑥奇(偶)函數(shù)倒數(shù)或相反數(shù)運(yùn)算，奇偶性不變；⑦奇(偶)函數(shù)的絕對值運(yùn)算，函數(shù)的奇偶性均為偶函數(shù)．2、與函數(shù)奇偶性有關(guān)的常見問題及解題策略（1）已知函數(shù)的奇偶性求函數(shù)值利用奇偶性的定義求函數(shù)的值，這是奇偶性定義的逆用，注意利用常見函數(shù)（如一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)）具有奇偶性的條件求解．（2）已知函數(shù)的奇偶性求解析式利用奇偶性求函數(shù)的解析式，已知函數(shù)奇偶性及其在某區(qū)間上的解析式，求該函數(shù)在整個定義域上的解析式的方法是：首先設(shè)出未知區(qū)間上的自變量，利用奇、偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱的特點(diǎn)，把它轉(zhuǎn)化到已知的區(qū)間上，代入已知的解析式，然后再次利用函數(shù)的奇偶性求解即可．（3）已知函數(shù)的奇偶性，求函數(shù)解析式中參數(shù)的值①若表示定義域的區(qū)間含有參數(shù)，則可利用對稱性列出關(guān)于參數(shù)的方程.②一般化策略：對x取定義域內(nèi)的任一個值，利用f(-x)與f(x)的關(guān)系式恒成立來確定參數(shù)的值.（4）應(yīng)用奇偶性畫圖象和判斷函數(shù)單調(diào)性①如果一個函數(shù)是奇函數(shù)，則這個函數(shù)的圖象是以坐標(biāo)原點(diǎn)為對稱中心的中心對稱圖形；反之，如果一個函數(shù)的圖象是以坐標(biāo)原點(diǎn)為對稱中心的中心對稱圖形，則這個函數(shù)是奇函數(shù)．如果一個函數(shù)是偶函數(shù)，則這個函數(shù)的圖象是以軸為對稱軸的軸對稱圖形；反之，如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，則這個函數(shù)是偶函數(shù)．②根據(jù)奇、偶函數(shù)的圖象特征，可以得到：奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上有相反的單調(diào)性．上述結(jié)論可簡記為“奇同偶異”．偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上有相同的最大（?。┲?，取最值時的自變量互為相反數(shù)；奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上的最值互為相反數(shù)，取最值時的自變量也互為相反數(shù)．（5）利用函數(shù)的奇偶性求最值①奇函數(shù)的性質(zhì)：如果函數(shù)是定義在區(qū)間上的奇函數(shù)，則②偶函數(shù)的性質(zhì)：如果函數(shù)是定義在區(qū)間上的偶函數(shù)，則函數(shù)是定義在區(qū)間上的最值等于函數(shù)在區(qū)間（或）上的最值。常見函數(shù)的奇偶性及增減性（1）冪函數(shù)=非零常數(shù)可看成偶函數(shù)（2）是偶函數(shù)（如偶先減后增偶先減后增）（3）是奇函數(shù)（或）（如奇增奇增）（4）是奇函數(shù)（5）是奇函數(shù)（如奇減奇減奇增奇增）（6）是奇函數(shù)（7）是奇函數(shù)（如奇增奇減偶增）（8）與（）都是奇函數(shù)（如：奇增奇增）偶函數(shù)值域還是偶函數(shù)單調(diào)性與內(nèi)層偶函數(shù)相同（如偶函數(shù)先減后增偶函數(shù)先減后增偶函數(shù)先增后減偶函數(shù)先減后增奇函數(shù)增函數(shù)奇函數(shù)增函數(shù)）（10）與都是偶函數(shù)（11）是奇函數(shù)；是偶函數(shù)；是奇函數(shù)（12）為偶函數(shù)；是奇函數(shù)?？键c(diǎn)一函數(shù)奇偶性的定義及判斷1．（2023上·四川瀘州·高一?？计谥校┫铝泻瘮?shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)奇函數(shù)和增函數(shù)的定義逐一判斷即可.【詳解】A：設(shè)，顯然該函數(shù)的定義域為全體實(shí)數(shù)，因為，所以該函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)時，，顯然此時該函數(shù)是增函數(shù)，又因為該函數(shù)是實(shí)數(shù)集上的奇函數(shù)，所以該函數(shù)是實(shí)數(shù)集上的增函數(shù)，因此本選項函數(shù)符合題意；B：設(shè)，該函數(shù)是定義域為全體非零實(shí)數(shù)集，因為，所以該函數(shù)一定不是增函數(shù)，因此本選項函數(shù)不符合題意；C：該函數(shù)定義域為全體實(shí)數(shù)，因為當(dāng)時，，所以該函數(shù)不是奇函數(shù)，因此本選項函數(shù)不符合題意；D：設(shè)，該函數(shù)是定義域為全體非零實(shí)數(shù)集，因為，所以該函數(shù)一定不是增函數(shù)，因此本選項函數(shù)不符合題意，故選：A2．（2023上·廣東中山·高一中山紀(jì)念中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的奇偶性為A．奇函數(shù) B．偶函數(shù) C．即奇又偶函數(shù) D．非奇非偶函數(shù)【答案】A【解析】按照判定函數(shù)奇偶性的步驟，先求函數(shù)的定義域，并判斷是否關(guān)于原點(diǎn)對稱，求，與對比，即可得出結(jié)論.【詳解】的定義域為，，所以是奇函數(shù).故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)奇偶性的判定，不要忘記定義域滿足的條件，屬于基礎(chǔ)題.3．（2023上·山西大同·高一統(tǒng)考期末）若函數(shù)，則以下函數(shù)為奇函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】判斷函數(shù)為奇函數(shù)，一是定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對稱，二是滿足，然后分別檢驗各個函數(shù)即可.對選項，均滿足；對選項，不滿足；對選項和，均不滿足定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對稱.【詳解】對選項，，定義域為，且滿足，函數(shù)為奇函數(shù)，故選項正確；對選項，，定義域為，但不滿足，函數(shù)不是奇函數(shù)，故選項錯誤；對選項，，定義域為，故不是奇函數(shù)，故選項錯誤；對選項，，定義域為，故不是奇函數(shù)，故選項錯誤；故選：4．（2023·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）已知對于，，但是非奇非偶函數(shù)，請寫出一個滿足條件的=【答案】（答案不唯一）【分析】利用奇偶函數(shù)的定義，寫出滿足條件的函數(shù)即可【詳解】解：由，得或，因為是非奇非偶函數(shù)，所以只要找一個定義域為的函數(shù)，且該函數(shù)在部分區(qū)間上滿足，在另一部分區(qū)間上滿足，所以這樣的函數(shù)可以是（答案不唯一）故答案為：（答案不唯一）5．（2023上·河北唐山·高三統(tǒng)考期末）函數(shù)為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，在公共定義域內(nèi)，下列結(jié)論一定正確的是（

）A．為奇函數(shù) B．為偶函數(shù)C．為奇函數(shù) D．為偶函數(shù)【答案】C【分析】依次構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的奇偶性的定義判斷求解即可.【詳解】令，則,且，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，故A、B錯誤；令，則,且，是奇函數(shù)，不是偶函數(shù)，故C正確、D錯誤；故選：C6．（2023上·山西朔州·高一統(tǒng)考期中）符號表示不超過x的最大整數(shù)，如，，，定義函數(shù)，以下結(jié)論正確的是（

）①函數(shù)的定義域是R，值域為[0,1)；②方程有無數(shù)個解；③函數(shù)是奇函數(shù)；④函數(shù)是增函數(shù).A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④【答案】A【分析】利用的定義，結(jié)合函數(shù)的定義域、值域、奇偶性的定義進(jìn)行判斷.【詳解】對于①：函數(shù)的定義域是，但，其值域為，故正確；對于②：，可得，則，，都是方程的解，故正確；對于③：函數(shù)的定義域是，而，如，，故函數(shù)不是奇函數(shù)，故錯誤；對于④：由②可知，，，當(dāng)時，函數(shù)函數(shù)的值都是，所以不是增函數(shù)，故錯誤，故選：A7．（2023上·遼寧大連·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù).(1)求的定義域；(2)判斷的奇偶性并予以證明；(3)求不等式的解集.【答案】(1)(2)奇函數(shù)，證明見解析(3)【分析】（1）根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行判斷和證明；（3）根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解．【詳解】（1）要使函數(shù)有意義,則，解得，故所求函數(shù)的定義域為；（2）證明：由（1）知的定義域為，設(shè)，則,且，故為奇函數(shù)；（3）因為，所以，即可得，解得,又，所以，所以不等式的解集是．考點(diǎn)二抽象函數(shù)的奇偶性平移與奇偶性8．（2023上·陜西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，則（

）A．為偶函數(shù) B．為偶函數(shù) C．為奇函數(shù) D．為奇函數(shù)【答案】C【分析】由圖象變換可得：把的圖象向左平移1個單位關(guān)于原點(diǎn)對稱．【詳解】因為函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，所以將的圖象向左平移1個單位長度后所得圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，即是奇函數(shù)．故選：C．9．（2023下·湖北武漢·高二校聯(lián)考期末）函數(shù)的定義域為，若是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則（

）A．是偶函數(shù) B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義可推導(dǎo)得到，進(jìn)而得到，可知B錯誤；由推導(dǎo)得到，知A正確；由已知關(guān)系式無法推導(dǎo)得到，知CD錯誤.【詳解】是奇函數(shù)，；是偶函數(shù)，，，，，，是周期為的周期函數(shù)，B錯誤；，，是偶函數(shù)，A正確；，，無法得到，C錯誤；，無法得到，D錯誤.故選：A.10．（2023上·四川成都·高三成都七中?？奸_學(xué)考試）設(shè)函數(shù)定義域為R，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時，，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A． B．為奇函數(shù)C．在上為減函數(shù) D．的一個周期為8【答案】C【分析】由、可推出的周期為8，利用對稱性、周期性求、判斷奇偶性及時的單調(diào)性，即可得答案.【詳解】由題設(shè)，，則關(guān)于對稱，所以，即，則，即，由，則關(guān)于對稱，所以，即，綜上，，則，故，即易知的周期為8，D正確；，A正確；由，而為奇函數(shù)，故為奇函數(shù)，B正確；由時遞增，則時遞增，顯然C錯誤.故選：C11．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知定義在R上的函數(shù)滿足，且是奇函數(shù)，則（

）A．是偶函數(shù) B．的圖象關(guān)于直線對稱C．是奇函數(shù) D．的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱【答案】C【分析】由周期函數(shù)的概念易知函數(shù)的周期為2，根據(jù)圖象平移可得的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，進(jìn)而可得奇偶性.【詳解】由可得2是函數(shù)的周期，因為是奇函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，所以，，所以是奇函數(shù)，故選：C.12．（2023上·江西·高三奉新縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)滿足，下列四個選項一定正確的是（

）A．是偶函數(shù) B．是奇函數(shù)C．是奇函數(shù) D．是偶函數(shù)【答案】C【分析】根據(jù)，結(jié)合奇函數(shù)的定義可得答案.【詳解】因為，所以，所以函數(shù)為奇函數(shù).故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了利用奇函數(shù)的定義判斷函數(shù)的奇偶性，屬于基礎(chǔ)題.抽象型函數(shù)的奇偶性13．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域為，且對任意非零實(shí)數(shù)，都滿足，則（

）A．（1）且為偶函數(shù)B．且為奇函數(shù)C．為增函數(shù)且為奇函數(shù)D．為增函數(shù)且為偶函數(shù)【答案】A【分析】令，可得，令，可得，令，換，可得，從而可得結(jié)論【詳解】函數(shù)的定義域為，且對任意非零實(shí)數(shù)，都滿足，當(dāng)時，可得（1）（1）（1），．令，可得（1），令，換，可得．函數(shù)是偶函數(shù)．故選：A．14．（2023上·陜西西安·高一?？计谥校┤舳x在上的函數(shù)滿足：對于任意的、，恒有，則函數(shù)為（

）A．奇函數(shù) B．偶函數(shù) C．非奇非偶函數(shù)D．無法判斷奇偶性【答案】A【分析】分析可得，令可求得，令，結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義可得出結(jié)論.【詳解】因為，，所以，，則，函數(shù)的定義域為，令，可得，所以，，令，則，所以，，故函數(shù)為奇函數(shù).故選：A.15．（2023上·四川成都·高一校考階段練習(xí)）已知函數(shù)對任意的實(shí)數(shù)，，都有，且.則此函數(shù)一定（

）A．是奇函數(shù) B．是偶函數(shù)C．函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱 D．函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對稱【答案】B【解析】令得，令，，得，可得解.【詳解】對任意實(shí)數(shù)，，都有且，則令，即，解得，再令，，則，則.根據(jù)函數(shù)性質(zhì)可知：為偶函數(shù).故B正確，A不正確，選項C、D條件不夠推不出來.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用賦值法求解是解題關(guān)鍵.16．（2023上·浙江·高一期末）設(shè)函數(shù)的定義域為R，對任意，有且，則函數(shù)是（

）A．奇函數(shù) B．偶函數(shù)C．非奇非偶函數(shù) D．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)【答案】B【分析】根據(jù)抽象函數(shù)的關(guān)系，利用賦值法結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行判斷即可.【詳解】對任意，有令，得，令，得，即令，得，即函數(shù)為偶函數(shù).故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義集合抽象函數(shù)的關(guān)系，利用賦值法是解題的關(guān)鍵，屬于一般題.17．（2023上·安徽·高一期末）已知定義在上的函數(shù)對任意實(shí)數(shù)、，恒有，且當(dāng)時，，.(1)求的值；(2)求證：為奇函數(shù)；(3)求在上的最大值與最小值．【答案】(1)(2)證明見解析；(3)最大值為，最小值為【分析】（1）由題意令即可求解；（2）令，利用函數(shù)的奇偶性定理即可證明.（3）利用函數(shù)單調(diào)性定義可得在上為減函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)為奇函數(shù)即可求解.【詳解】（1）解：定義在上的函數(shù)對任意實(shí)數(shù)、，恒有，令，可得，從而.（2）證明：定義在上的函數(shù)對任意實(shí)數(shù)、，恒有，令，可得，所以，故為奇函數(shù).（3）解：對任意、，且，則，于是，則，所以，，所以在上為減函數(shù)，故函數(shù)的最大值為，最小值為，因為，，，所以在上的最大值為，最小值為．考點(diǎn)三應(yīng)用函數(shù)的奇偶性畫函數(shù)圖象18．（2023上·安徽淮北·高一淮北一中?？计谥校┮阎己瘮?shù)部分圖象如圖所示，且，則不等式的解集為.【答案】【分析】根據(jù)為偶函數(shù)，可以補(bǔ)全y軸左側(cè)的圖象，再對和分類討論，確定的正負(fù)，由函數(shù)圖象即可確定最后的取值范圍【詳解】根據(jù)函數(shù)部分圖象和偶函數(shù)可以補(bǔ)全y軸左側(cè)的圖象，由，當(dāng)時，，結(jié)合圖象可得；當(dāng)時，，可得，所以的解為或.故答案為：.19．（2023下·上海黃浦·高一上海市大同中學(xué)?？计谀┤舳x在R上的奇函數(shù)在區(qū)間上的圖象如圖所示，則的單調(diào)減區(qū)間是．

【答案】和【分析】由圖象可求出函數(shù)在上減區(qū)間，再由函數(shù)為奇函數(shù)可得其在上的減區(qū)間，從而可答案【詳解】由圖可知在區(qū)間上的減區(qū)間為，因為是定義在R上的奇函數(shù)，所以在上的減區(qū)間為，所以的單調(diào)減區(qū)間是和，故答案為：和20．（2023上·湖南懷化·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）已知是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，定義域均為，二者在上的圖象如圖所示，則關(guān)于的不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)圖象求出當(dāng)時，不等式的解集和的解集，再利用函數(shù)奇偶性質(zhì)得到是奇函數(shù)，求出時，不等式的解集，從而得到不等式在定義域為時，的解集.【詳解】有圖可得，當(dāng)時，，，；當(dāng)時，，，故.所以當(dāng)時，不等式的解集為.又因為是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，所以是奇函數(shù)，由奇偶性可知，當(dāng)時，不等式的解集為，所以不等式的解集是.故選：A.考點(diǎn)四利用函數(shù)的奇偶性識別圖象21．（2023·全國·高一假期作業(yè)）已知函數(shù)，則的大致圖象為（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】可以排除法，利用奇偶性可排除選項；利用，可排除選項，從而可得結(jié)果.【詳解】因為，所以函數(shù)是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，可排除選項；又因為，可排除選項.故選：A.【點(diǎn)睛】函數(shù)圖象的辨識可從以下方面入手：（1）從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置.（2）從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢.（3）從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性.（4）從函數(shù)的特征點(diǎn)，排除不合要求的圖象.22．（2023上·云南昆明·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】分析函數(shù)的奇偶性及又時函數(shù)值的正負(fù)即可判斷.【詳解】解：因為定義域為R，且，所以為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于軸對稱，故排除選項B、D；又時，，排除選項C，故選項A正確.故選：A.23．（2023上·廣東梅州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性可排除BC,根據(jù)單調(diào)性可判斷A，即可求解.【詳解】的定義域是，關(guān)于原點(diǎn)對稱，，所以是偶函數(shù)，排除B，C；當(dāng)時，，易知在上是增函數(shù)，排除A．故選：D考點(diǎn)五利用奇偶性求值24．（2023下·重慶長壽·高二統(tǒng)考期末）已知是定義域為的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則．【答案】【分析】由奇函數(shù)的性質(zhì)可得，由此可求，再由，結(jié)合所給解析式求.【詳解】因為是定義域為的奇函數(shù)，所以，所以，，又當(dāng)時，，所以，，所以,故答案為：.25．（2023上·遼寧·高二開學(xué)考試）已知函數(shù)和均為上的奇函數(shù)，且，，則的值為（）A． B． C． D．6【答案】A【分析】代入，和，利用奇函數(shù)的性質(zhì)，兩式相加求值.【詳解】,①,和都是奇函數(shù)，即②①+②可得.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了奇函數(shù)的性質(zhì)求值，屬于基礎(chǔ)題型.26．（2023上·河南開封·高一?？茧A段練習(xí)）已知，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先判斷函數(shù)是奇函數(shù)，再利用奇函數(shù)的性質(zhì)求值.【詳解】對于函數(shù)，，即是奇函數(shù)，所以，則.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查奇函數(shù)的判斷與應(yīng)用，是一道基礎(chǔ)題.考點(diǎn)六利用奇偶性求解析式27．（2023上·高一課時練習(xí)）已知函數(shù)y＝f(x)為奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時，f(x)＝x2－2x＋3，則當(dāng)x<0時，f(x)的解析式是（

）A．f(x)＝－x2＋2x－3 B．f(x)＝－x2－2x－3C．f(x)＝x2－2x＋3 D．f(x)＝－x2－2x＋3【答案】B【分析】首先根據(jù)x<0，－x>0，結(jié)合題中所給的條件，求得f(－x)＝x2＋2x＋3，結(jié)合奇函數(shù)的定義，得到f(x)＝－x2－2x－3，求得結(jié)果.【詳解】若x<0，則－x>0，因為當(dāng)x>0時，f(x)＝x2－2x＋3，所以f(－x)＝x2＋2x＋3，因為函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，所以f(－x)＝x2＋2x＋3＝－f(x)，所以f(x)＝－x2－2x－3，所以x<0時，f(x)＝－x2－2x－3.故選：B.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)函數(shù)的問題，涉及到的知識點(diǎn)有奇函數(shù)的定義，奇函數(shù)的解析式的求解，屬于簡單題目.28．（2023上·新疆烏魯木齊·高一新疆農(nóng)業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)?？计谀┤羰嵌x在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則當(dāng)時，.【答案】【分析】運(yùn)用奇函數(shù)的定義，結(jié)合已知小于0的解析式，求得大于0的解析式即可.【詳解】由題意可得：當(dāng)時，則，所以，因為是定義在R上的奇函數(shù)，所以，所以，即，所以當(dāng)時，.故答案為：.29．（2023上·江蘇宿遷·高一江蘇省泗陽中學(xué)?？计谀┒x在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，當(dāng)時，．【答案】【分析】先根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)求a，然后設(shè)，利用奇函數(shù)定義和已知條件求解可得.【詳解】因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以，解得.設(shè)，則，所以，又為奇函數(shù)，所以，即當(dāng)時，.故答案為：30．（2023上·北京·高一北京市八一中學(xué)校考期中）已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由得，利用給定解析式求出，再由函數(shù)奇偶性，即可得出結(jié)果.【詳解】因為，當(dāng)時，，所以，又函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，所以，因此.故選：D.31．（2023上·福建莆田·高一?？计谀┮阎瘮?shù)是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且.(1)求函數(shù)和的表達(dá)式﹔(2)求在上的值域【答案】(1)；(2)【分析】（1）利用函數(shù)奇偶性和表達(dá)式構(gòu)造方程組即可求得函數(shù)和的解析式；（2）利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性即可求得在上的值域.【詳解】（1）由和的奇偶性以及可得：，兩式相減可得，兩式相加可得；所以函數(shù)和的表達(dá)式為；（2）由函數(shù)和函數(shù)為增函數(shù)可知，函數(shù)在單調(diào)遞增，且趨近于正無窮時，趨近于正無窮；所以，故在上的值域為.32．（2023上·江蘇宿遷·高一統(tǒng)考期末）已知，分別是定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且滿足．若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】首先利用方程組法求出、的解析式，再判斷的單調(diào)性，則問題轉(zhuǎn)化為恒成立，參變分離求出，即可得解.【詳解】因為，分別是定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，所以，，因為，①所以，所以，②①②得，，因為在定義域上單調(diào)遞增，在定義域上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，又，若恒成立，則恒成立，所以恒成立，所以恒成立，所以只需，因為，，所以（當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號），所以（當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號），所以，所以的取值范圍為.故選：B．33．（2023上·江蘇無錫·高一江蘇省天一中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)?是定義在上的函數(shù)，其中是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且，若對于任意，都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．B．C． D．【答案】C【分析】由函數(shù)的奇偶性可得，從而可求得函數(shù)的解析式，再根據(jù)，可得，令，則函數(shù)在上遞增，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性分和結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出答案.【詳解】解：因為是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，所以，又，則，兩式相加可得，若對于任意，都有，可變形為，令，則函數(shù)在上遞增，當(dāng)時，在上遞增，符合題意，當(dāng)時，則函數(shù)為二次函數(shù)，對稱軸為，因為函數(shù)在上遞增，所以或，解得或，綜上所述，.故選：C.考點(diǎn)七由函數(shù)的奇偶性求參數(shù)34．（2023上·四川瀘州·高一統(tǒng)考期末）若函數(shù)是上的偶函數(shù)，則的值為.【答案】【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義域的對稱性得到a的值，進(jìn)一步根據(jù)偶函數(shù)的定義和函數(shù)的解析式得到b的值，即得.【詳解】函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，，即．，，，∴,故答案為：.35．（2023下·湖南長沙·高一湖南師大附中校考階段練習(xí)）函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)．若，則的值為（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】A【分析】由奇函數(shù)的定義域可得的值，再由解出，進(jìn)而求出答案．【詳解】函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則，解得．又，則，所以．故選：A36．（2023下·河北衡水·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則的值為A． B． C．1 D．無法確定【答案】B【詳解】由于函數(shù)是奇函數(shù)，則恒成立，解得，又是定義在上的奇函數(shù)，則是關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間，即，得，所以，從而.故選：B.37．（2023下·湖南衡陽·高二統(tǒng)考期末）若函數(shù)為偶函數(shù)，則.【答案】2【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義求出參數(shù)，再進(jìn)一步求值即可.【詳解】若函數(shù)為偶函數(shù)，則，則則，.故答案為：2.38．（2023·高一課時練習(xí)）已知函數(shù)，若是偶函數(shù)，記，若是奇函數(shù)，記，則A．0 B．1 C．2 D．-1【答案】B【分析】利用奇偶性的定義求解．【詳解】當(dāng)是偶函數(shù)時，，即，即，因為上式對任意實(shí)數(shù)x都成立，所以，即．當(dāng)是奇函數(shù)時，，即，即，因為上式對任意實(shí)數(shù)x都成立，所以，即．所以．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性，即在定義域內(nèi)對任意的，有，函數(shù)為奇函數(shù)，若有，則函數(shù)為偶函數(shù)，再利用恒等式知識可得結(jié)論．39．（2023·上海長寧·統(tǒng)考二模）若函數(shù)為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為．【答案】1【分析】先求出函數(shù)的定義域，再由，代入求解即可.【詳解】因為函數(shù)的定義域為，解得：，所以由函數(shù)為奇函數(shù)，則，由，解得：.故答案為：.40．（2023下·安徽亳州·高二渦陽縣第二中學(xué)校聯(lián)考期末）函數(shù)為偶函數(shù)，則．【答案】【分析】利用偶函數(shù)的性質(zhì)，得到，從而得出結(jié)果.【詳解】因為函數(shù)為偶函數(shù)，則，所以，得到，整理得到，解得.故答案為：.41．（2023上·山西長治·高一校考期末）設(shè)為奇函數(shù)，a為常數(shù).(1)求a的值；(2)判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性并證明.【答案】(1)(2)增函數(shù)，證明見解析【分析】（1）利用奇函數(shù)的定義求解即可；（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義求解.【詳解】（1）為奇函數(shù)，∴，∴∴，即，解得或，當(dāng)時，，此時無意義，當(dāng)時，，符合題意，∴（2）由（1）知，，任取，設(shè)，則，∴.∴，即，∴在上是增函數(shù).42．（2023上·貴州黔東南·高二校考期末）函數(shù)是奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)等于（

）A．或1 B．1 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義可得，結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算比較系數(shù)可得的值.【詳解】函數(shù)是奇函數(shù)，則，所以則，整理得所以，解得.故，其定義域為，滿足為奇函數(shù)所以.故選：D.43．（2023下·貴州黔南·高二統(tǒng)考期末）若函數(shù)是奇函數(shù)，則a的值為．【答案】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)和對數(shù)運(yùn)算法則直接計算即可.【詳解】因為函數(shù)是奇函數(shù)，所以，即，所以，即，所以，即a的值為.故答案為：44．（2023上·遼寧丹東·高一鳳城市第一中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)是奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為.【答案】1或【分析】由題意可得，求出，檢驗即可.【詳解】由題意知，定義域為，函數(shù)是奇函數(shù)，則，即，化解得，解得或，經(jīng)檢驗，或都符合要求.故答案為：1或.45．（2023下·湖南長沙·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)為偶函數(shù)，則．【答案】【分析】令時，則，由偶函數(shù)的定義可得出，可得出、的值，進(jìn)而可得出的值.【詳解】因為函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時，，此時，，所以，，，故.故答案為：.考點(diǎn)八利用函數(shù)的奇偶性求最值46．（2023上·上海·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域為，對任何實(shí)數(shù)、，都有，且函數(shù)的最大值為，最小值為，則的值為.【答案】【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用題中定義可推出函數(shù)為奇函數(shù)，可得出函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，從而得出函數(shù)的圖象也關(guān)于點(diǎn)對稱，由此可得出的值.【詳解】，，構(gòu)造函數(shù)，則，令，可得，，令，則，，所以，函數(shù)為奇函數(shù)，即，所以，，得，所以，，則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，則該函數(shù)最高點(diǎn)和最低點(diǎn)也會關(guān)于這個點(diǎn)對稱，因此，，故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的對稱性求函數(shù)最值之和，解題的關(guān)鍵就是利用定義推導(dǎo)出函數(shù)的對稱中心，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.47．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若對任意，有，則函數(shù)在上的最大值與最小值的和（

）A． B．6 C． D．5【答案】B【分析】首先根據(jù)題中對函數(shù)的性質(zhì)計算出特殊值，再判斷的奇偶性，由此判斷出為奇函數(shù)，最后根據(jù)奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對稱的性質(zhì)得出結(jié)果.【詳解】在中，令得，即，令得，即，∴是奇函數(shù)，令，則，是奇函數(shù)，∴在對稱區(qū)間上，當(dāng)時，，，∴．故選:B48．（2023上·福建漳州·高三福建省長泰縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若定義在區(qū)間上的函數(shù)滿足：對于任意的，都有，且時，有，的最大值、最小值分別為M，N，則的值為（

）.A．2023 B．2023 C．4028 D．4030【答案】C【分析】構(gòu)造函數(shù)，通過討論的性質(zhì)求得的性質(zhì)，再將問題轉(zhuǎn)化為的問題，即可求解.【詳解】構(gòu)造函數(shù).因為，不妨令，即可得則，故可得；不妨令，則故可得，則是奇函數(shù)；且時，有，即.綜上可得是奇函數(shù)，且當(dāng)時，，故故可得.故選：C.【點(diǎn)睛】本題根據(jù)函數(shù)奇偶性，求抽象函數(shù)最值之間的關(guān)系，屬中檔題.49．（2023上·天津和平·高一天津一中校考期末）已知關(guān)于函數(shù)在上的最大值為，最小值，且，則實(shí)數(shù)的值是.【答案】【分析】先利用常數(shù)分離法化得函數(shù)，再構(gòu)造函數(shù)，判斷得為奇函數(shù)，從而利用奇函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】因為，，令，，則，因為定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，，所以是在上的奇函數(shù)，故由奇函數(shù)的性質(zhì)得，所以，所以，則.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：由于奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以其最大值與最小值也關(guān)于原點(diǎn)對稱，這一性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵所在.考點(diǎn)九函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的綜合應(yīng)用50．（2023上·山東泰安·高三山東省泰安第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)奇函數(shù)在上為增函數(shù)，且，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性分析運(yùn)算即可得解.【詳解】解：∵奇函數(shù)在上為增函數(shù)，且，∴在上為增函數(shù)，，則不等式等價為不等式，即.∴當(dāng)時，，由函數(shù)在上為增函數(shù)，得：；當(dāng)時，，由函數(shù)在上為增函數(shù)，得：；∴不等式的解集為.故選：B.51．（2023上·廣西百色·高一統(tǒng)考期末）設(shè)函數(shù)定義域為，滿足，且，若在上單調(diào)遞增，則不等式的解為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先得到為奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)得出上的單調(diào)性，然后分類討論解不等式.【詳解】由和定義域可得，為奇函數(shù)，由在上單調(diào)遞增，由奇函數(shù)的性質(zhì)得在上是增函數(shù)，且，顯然不滿足，又，于是由，可得或，解得，類似的，的解集為，所以不等式等價為，解得，或，解得，綜上所述，的解為.故選：B.52．（2023上·廣東廣州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）若定義在的奇函數(shù)在單調(diào)遞減，且，則滿足的x的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】結(jié)合奇函數(shù)的對稱性，即不等式的性質(zhì)即可求.【詳解】因為定義在的奇函數(shù)在單調(diào)遞減，且，所以在單調(diào)遞減，且，所以當(dāng)，，當(dāng)，，所以若，則或或或或解得或，所以x的取值范圍是.故選：C53．（2023上·湖北·高一校聯(lián)考期中）已知函數(shù)為偶函數(shù)且在上單調(diào)遞增，則使成立的的取值范圍是（

）A． B． C．D．【答案】D【解析】由偶函數(shù)定義可求得，由此得到函數(shù)解析式，并根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)得到函數(shù)單調(diào)性，分別討論和兩種情況，結(jié)合單調(diào)性可求得結(jié)果.【詳解】，為偶函數(shù)，，，即，，在上單調(diào)遞增，，且在上單調(diào)遞減.當(dāng)時，；當(dāng)時，令，解得：或，由得：或，解得：或；綜上所述：使成立的的取值范圍為.故選：.【點(diǎn)睛】易錯點(diǎn)睛：由于已知條件所給單調(diào)區(qū)間與函數(shù)定義域并不吻合，在解題過程中易忽略的情況，需單獨(dú)對的取值進(jìn)行討論.54．（2023上·新疆阿克蘇·高三?？计谀┮阎瘮?shù)，滿足，則的取值范圍是．【答案】【分析】判斷函數(shù)的奇偶性以及單調(diào)性，由此將可轉(zhuǎn)化為，即可求得答案.【詳解】由題意知的定義域為R，又，即為奇函數(shù)，因為在R上單調(diào)遞增，在R上單調(diào)遞減，故在R上單調(diào)遞增，由可得，故，解得，即的取值范圍是，故答案為：55．（2023上·四川·高一四川省平昌中學(xué)校考階段練習(xí)）定義在R上的奇函數(shù)對任意都有，若，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】構(gòu)造，結(jié)合題設(shè)易知在上遞減，且在R上的奇函數(shù)，進(jìn)而有在上遞減，進(jìn)而求出不等式的解集.【詳解】由題設(shè)對任意都有，所以在上遞減，又為R上的奇函數(shù)，所以，故在R上也為奇函數(shù)，則在上遞減，又，則，故，綜上，有.故選：B56．（2023下·新疆·高一?？奸_學(xué)考試）設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，對任意的、，時，滿足且，則不等式的解集為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】構(gòu)造函數(shù)，其中，分析函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性，求得，分、解不等式即可.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，其中，則，所以，函數(shù)為偶函數(shù)，對任意的、，當(dāng)時，，所以，，即，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，故函數(shù)在上為減函數(shù)，因為，則，當(dāng)時，由可得，解得；當(dāng)時，由可得，解得.所以，不等式的解集為.故選：A.57．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知為R上的奇函數(shù)，，若且，都有，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】設(shè)，由題意得到為偶函數(shù)且在上單調(diào)遞增，由將原不等式轉(zhuǎn)化為，然后利用的圖象與性質(zhì)將問題轉(zhuǎn)化為，解不等式即可得解.【詳解】由，得，設(shè)，則在上單調(diào)遞增，∵為奇函數(shù)，∴為偶函數(shù)，而，則，解得：，故選：C.58．（2023·浙江·高一專題練習(xí)）設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，，若對任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C．D．【答案】A【解析】由奇函數(shù)的性質(zhì)求出時函數(shù)的解析式，根據(jù)解析式可以把，然后再確定函數(shù)的單調(diào)性后可化簡不等式．【詳解】∵是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，，∴時，，∴，是上的增函數(shù)，且，∴由得，從而對，恒成立，，而當(dāng)時，的最大值是，∴，．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性，考查不等式恒成立問題，解題關(guān)鍵是由函數(shù)解析式得．59．（2023·全國·高一期末）已知是定義在上的偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，若，，，則、、的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的關(guān)系分別進(jìn)行判斷即可．【詳解】是定義在上的偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，在上為減函數(shù)，則，，，，，即．故選：B．考點(diǎn)十函數(shù)的奇偶性和周期性的綜合應(yīng)用60．（2023下·河北邯鄲·高二校聯(lián)考期末）已知是定義域為的奇函數(shù)，滿足.若，則（

）A． B． C．50 D．【答案】D【解析】首先求出函數(shù)的周期，并求一個周期內(nèi)的的值，根據(jù)周期性求的值.【詳解】因為函數(shù)是奇函數(shù)，，又因為，所以，即，所以，即函數(shù)的周期為4，，，，，，那么.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查抽象函數(shù)的周期，重點(diǎn)考查轉(zhuǎn)化與變形，計算能力，屬于中檔題型.61．（2023·河南開封·統(tǒng)考二模）已知定義在R上的奇函數(shù)，對任意的實(shí)數(shù)x，恒有，且當(dāng)時，，則A．6 B．3 C．0 D．【答案】B【解析】根據(jù)函數(shù)恒有，得到函數(shù)的周期是6，再由定義在R上的奇函數(shù)，得到，然后求解.【詳解】因為函數(shù)對任意的實(shí)數(shù)x，恒有，所以，所以函數(shù)是以6為周期的周期函數(shù)，又定義在R上的奇函數(shù)，所以，又當(dāng)時，，所以，，所以，，，故選：B62．（2023·江蘇常州·?？既＃┮阎瘮?shù)f(x)是定義在實(shí)數(shù)集R上的不恒為零的偶函數(shù)，且對任意實(shí)數(shù)x都有，則的值是（

）A．0 B． C．1 D．【答案】A【分析】由，得，得函數(shù)的周期，得，由及f(x)的奇偶性可得，即可求解．【詳解】當(dāng)且時，由，得，令，則是周期為1的函數(shù)，所以，當(dāng)時，由得，，又是偶函數(shù)，所以，所以，所以，所以故選：A【點(diǎn)睛】解決抽象函數(shù)問題的兩個注意點(diǎn)：（1）對于抽象函數(shù)的求函數(shù)值的問題，可選擇定義域內(nèi)的恰當(dāng)?shù)闹登蠼?，即要善于用取特殊值的方法求解函?shù)值．（2）由于抽象函數(shù)的解析式未知，故在解題時要合理運(yùn)用條件中所給出的性質(zhì)解題，有時在解題需要作出相應(yīng)的變形．63．（2023·黑龍江·統(tǒng)考三模）函數(shù)是定義在實(shí)數(shù)集上的不恒為零的偶函數(shù)，，且對任意實(shí)數(shù)都有，則的值是（

）A．0 B． C．1 D．【答案】A【分析】令，可證為周期函數(shù)且為奇函數(shù)，其周期為1，進(jìn)而得到，，從而得解.【詳解】依題意，令，則，故為上的奇函數(shù)，因為，故當(dāng)且時，有，故，則是以為周期的周期函數(shù)，令，則，所以，所以，其中，故，，因為，所以，故，，所以.故選：A.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：討論抽象函數(shù)的性質(zhì)時，可以根據(jù)抽象函數(shù)具有的性質(zhì)構(gòu)建新函數(shù)，利用新函數(shù)的周期性、奇偶性和單調(diào)性等討論原函數(shù)的性質(zhì).64．（2023下·寧夏