9.1 三角形 課件 2023-2024學年華東師大版數(shù)學七年級下冊

第9章多邊形9.1

三角形9.1.1認識三角形第1課時

三角形的有關概念華東師大版數(shù)學七年級下冊問題引入埃及金字塔

水分子結構示意圖飛機機翼問題：(1)從古埃及的金字塔到現(xiàn)代的飛機，從宏偉的建筑

物到微小的分子結構，都有什么樣的形狀？(2)在我們的生活中有沒有這樣的形狀呢？試舉例.三角形的概念

有三條線段，三個角邊：線段

AB，BC，CA是三角形的邊.頂點：點

A，B，C是三角形的頂點.角：∠A,∠B,∠C叫作三角形的內(nèi)角，簡稱三角形的角.問題

1：觀察三角形的形成過程，說一說什么叫三角形?定義：由三條不在同一直線上的線段首尾順次連結組成的平面圖形叫作三角形.問題

2：三角形中有幾條線段?有幾個角?A

B

C

記法：三角形

ABC用符號表示為________.邊的表示：三角形

ABC的邊

AB、AC和

BC可用小寫

字母分別表示為________.△ABCc，b，a邊

c邊

b邊

a頂點

C角角角頂點

A頂點

B辨一辨：下列圖形符合三角形的定義嗎？為什么？不符合不符合不符合①

位置關系：不在同一直線上；②

連接方式：首尾相接.三角形應滿足以下兩個條件：要點提醒表示方法：

三角形用符號“△”表示，如三角形

ABC

可記作“△ABC”，讀作“三角形

ABC”，此外

△ABC

還可記作

△BCA，△CAB，△ACB

等.基本要素：三角形的邊：邊

AB、BC、CA；三角形的頂點：頂點

A、B、C；三角形的內(nèi)角(簡稱為三角形的角)：∠A、∠B、∠C.特別規(guī)定：三角形

ABC中，頂點A所對的邊記作

a，頂點B所對的邊記作

b，頂點C所對的邊記作

c.找一找：（1）圖中有幾個三角形？用符號表示出這些三角形．

ABCDE5個，分別是△ABE，△ABC，△BCE，△BCD，△ECD.（2）以

AB為邊的三角形有哪些？△ABC，△ABE.（3）以

E為頂點的三角形有哪些？△ABE，△BCE，△CDE.（4）以∠D為角的三角形有哪些？△BCD，△DEC.（5）說出

△BCD的三個角和三個頂點所對的邊.△BCD的三個角是∠BCD、∠D

和∠CBD.ABCDE頂點

B所對的邊為

DC，頂點

C所對的邊為

BD，頂點

D所對的邊為

BC.問題

3：

如圖，把△ABC的一邊

BC延長，得到

∠ACD.它與

△ABC有和聯(lián)系呢？

像這樣，三角形的一邊與另一邊的延長線所組成的角，叫作三角形的外角.

對外角∠ACD來說，∠ACB是與它相鄰的內(nèi)角，∠A，∠B是與它不相鄰的內(nèi)角.D

三角形的分類問題1：觀察下列三角形，說一說，按照三角形內(nèi)角的大小，三角形可以分為哪幾類？銳角三角形直角三角形鈍角三角形

由圖可發(fā)現(xiàn)，在三角形中，所有角都是銳角的三角形叫銳角三角形，有一個角是直角的三角形叫直角三角形，有一個角是鈍角的三角形叫鈍角三角形.(1)等腰三角形和等邊三角形的區(qū)別是什么?(2)從邊上來說，除了等腰三角形和等邊三角形還有

什么樣的三角形?(3)根據(jù)上面的內(nèi)容思考：怎樣對三角形進行分類？等腰三角形兩邊相等，等邊三角形三邊相等.三邊都不相等的三角形.問題2：如果以三角形邊的元素的不同，三角形該如何

分類呢？等邊三角形等腰三角形不等邊三角形（頂角（底角（底角按是否有邊相等分三角形不等邊三角形等腰三角形底和腰不相等的等腰三角形等邊三角形按內(nèi)角大小分三角形銳角三角形直角三角形鈍角三角形腰底邊三角形定義及其基本要素頂點、角、邊分類按角分類按邊分類分類不重不漏9.1

三角形9.1.1認識三角形第2課時

三角形中的重要線段華東師大版數(shù)學七年級下冊復習回顧1.過直線外一點，畫已知直線的垂線，能畫幾條，怎么畫？只能畫一條.2.已知

△ABC

中，BC=5cm，高

AD=4cm，求

△ABC的

面積.三角形的高問題1

什么是三角形的高？怎樣畫三角形的高？定義如圖，從△ABC的頂點A向它所對的邊BC所在直線畫垂線，垂足為D，所得線段AD叫做△ABC的邊BC上的高.問題2

由三角形的高你能得到什么結論？∠ADB=∠ADC=90°ABCD垂足注意：標明垂直的記號和垂足的字母.ABCDEFABCDABCDEF畫圖發(fā)現(xiàn)三角形的三條高交于一點.（1）銳角三角形的高交于三角形內(nèi)一點；（2）直角三角形的高交于直角的頂點；（3）鈍角三角形的高交于三角形外一點.O(E,F)O畫一畫如圖，分別畫出銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形的三條高，并觀察高的交點有什么規(guī)律？三角形的中線問題

1

如圖，如果點

C是線段

AB的中點，你能得到什么結論？ACBAC=BC=AB定義：如圖，連接△ABC的頂點

A和它所對的邊

BC的中點

D，所得線段

AD叫做△ABC的邊

BC上的中線.問題

2

如圖，如果點

D是線段

BC的中點，那么線段

AD就稱為

△ABC的中線．類比三角形的高的概念，試說明什么叫三角形的中線.ABC想一想：由三角形的中線能得到什么結論？BD=CD=BCD畫一畫：如圖，畫出銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形的三條中線，并觀察它們中線的交點有什么規(guī)律？畫圖發(fā)現(xiàn)

三角形的三條中線交于三角形內(nèi)部一點，這一點我們稱為三角形的重心.ABCABCABCDEFDDEFEFOOO問題

3

如圖，在

△ABC中，AD是

△ABC的中線，AE是

△ABC的高．試判斷

△ABD和

△ACD的面積有什么關系，為什么？BCDEA答：相等，因為兩個三角形等底同高，所以它們面積相等.問題

4

通過問題

3你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？答：三角形的中線能將三角形的面積平分.三角形的角平分線問題

1

如圖，若

OC是∠AOB的平分線，你能得到什么結論？ACBO∠AOC=∠BOC想一想：三角形的角平分線與角的平分線相同嗎?相同點是：

∠ABD=∠CBD；不同點是：前者是線段，后者是射線.問題

2

如圖，在△ABC中，如果∠BAC的平分線

AD

交

BC邊于點

D，我們就稱

AD

是

△ABC

的角平分線．類比探索三角形的高和中線的過程，你能得到哪些結論？BCDA((答：三角形的三條角平分線交于三角形內(nèi)一點.典例精析例1如圖，已知

AD，AE分別是

△ABC的高和中線，

AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，∠CAB=90°，試求：(1)△ABE的面積；(2)△ACE和

△ABE的周長的差.ABCDE解：(1)即

AD=4.8.(2)∵AE是

△ABC的中線，∴BE=CE.

∴△ACE

和

△ABE的周長的差

=（AC+AE+CE)-(AB+AE+BE)=AC+AE+CE-AB-AE-BE=AC-AB=8-6=2(cm)

重要發(fā)現(xiàn)

三角形中線

AE把原三角形分成的兩個三角形的周長差就是

AC

與

AB

的差.ABCDE例2如圖，在△ABC中，請作圖

(1)畫出

△ABC的

∠C的平分線；

(2)畫出

△ABC的邊

AC上的中線；

(3)畫出

△ABC的邊

BC上的高.ABCDEF答：如圖，CF是一條角平

分線；BE是

AC邊上的中線；AD是邊

BC上的高.

畫高要標明垂直符號.三角形的角平分線，中線及高都要畫成線段.注意1.下列各組圖形，哪一組圖形中

AD是△ABC的

BC邊上的高(

)ADCBABCDABCDABCDABCDD解：∵

CD是△ABC

的中線，

∴

BD=AD.

∵

BC-

AC=5cm，

∴△DBC與△ADC的周長差是

5cm.

又∵△DBC

的周長為

25cm，

∴△ADC的周長為

25-

5=20(cm).2.如圖，在△ABC中，CD是中線，已知

BC-

AC=5cm，

△DBC

的周長為

25cm，求△ADC的周長.ADBC3.如圖是一張三角形紙片，請你動手畫出它的BC邊上的中線，BC邊上的高，∠A

的平分線.ABCD

AD為中線（BD=DC）E

AE為高（AE⊥BC）))AF

為∠A的平分線（∠BAF=∠CAF）F能力提升：王大爺有一塊三角形的菜地，現(xiàn)在要將它們平均分給四個兒子，在菜地的一角

A

處有一口池塘，為了使分開后的四塊菜地都能就近取水，王大爺為此很傷腦筋.你能想出什么辦法幫幫王大爺嗎？如果不考慮水源，你認為還可以怎樣分?A（思路提示：想到三角形的中線能把三角形分成面積相等的兩部分.）三角形的重要線段高鈍角三角形兩短邊上的高的畫法中線會把原三角形的面積平分一邊上的中線把原三角形分成兩個三角形，這兩個三角形的周長差等于原三角形其余兩邊的差角平分線是線段，不是射線9.1

三角形9.1.2

三角形的內(nèi)角和與外角和華東師大版數(shù)學七年級下冊將三角形紙片分別按下面兩種方法進行折疊、剪拼等操作，你能發(fā)現(xiàn)什么？

折疊三角形紙板，可以把它的三個角拼成一個角.可以將∠A，∠B剪下并移至頂點

C處拼接成一個角.ABC三角形的三個內(nèi)角拼到一起恰好構成一個平角.觀察與思考三角形的內(nèi)角和

如圖，經(jīng)過

△ABC

一頂點

A

作直線

B'C'，使得

B'C'∥BC.則

，所以

∠B+∠BAC+∠C=180°.又觀測的結果不一定可靠，還需要通過數(shù)學知識來說明.由此得到：

三角形的內(nèi)角和等于180°.你還能想出其它的方法推出這個結論嗎？思考：多種方法證明三角形內(nèi)角和等于180°

的核心是什么？借助的平行線“移角”的功能，將三個角轉化到一個平角上.CAB12345lACB12345lP6mABCDE例1

在

△ABC

中，∠A

的度數(shù)是

∠B

的度數(shù)的3倍，∠C

比

∠B

大15°，求

∠A，∠B，∠C的度數(shù).解:設

∠B為

x°，則

∠A為(3x)°，∠C為(x＋

15)°，從而有3x＋

x＋(x＋

15)＝

180.解得x＝

33.所以3x＝

99

，x＋

15

＝

48.答：∠A，∠B，∠C的度數(shù)分別為99°，33°，48°.幾何問題借助方程來解.這是一個重要的數(shù)學思想.典例精析例2

如圖，在△ABC中，∠BAC=40°，∠B=75°，AD是△ABC的角平分線，求∠ADB的度數(shù).ABCD解：由∠BAC=40°，AD是△ABC的角平分線，得∠BAD=∠BAC=20°.在△ABD中，∠ADB=180°-

∠B

-

∠BAD=180°-75°-

20°=85°.問題1：如圖，在直角△ABC

中，∠C

=90°，兩銳角的和等于多少呢？在直角△ABC

中，∠C

=

90°，

由三角形內(nèi)角和定理，得∠A+∠B+

∠C

=180°，故∠A+∠B

=

90°.思考：由此，你可以得到直角三角形有什么性質呢？直角三角形的內(nèi)角性質ABC直角三角形的兩個銳角互余．應用格式：在

Rt△ABC

中，∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°．直角三角形的表示：直角三角形可以用符號“Rt△”表示，直角三角形

ABC

可以寫成

Rt△ABC．總結歸納例

3

如圖，∠C=∠D=90°，AD，BC相交于點

E.∠CAE與

∠DBE有什么關系？為什么？ABCDE在

Rt△ACE中，∠CAE=90°-∠AEC.在

Rt△BDE中，∠DBE=90°-∠BED.∵∠AEC=∠BED，∴∠CAE=∠DBE.解：∠CAE=∠DBE.理由如下：三角形的外角的性質問題

1

在圖中，外角∠ACD與它不相鄰的內(nèi)角∠A，∠B之間有什么大小關系？

我覺得可以利用“三角形的內(nèi)角和等于180°”的結論.1.三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.因為∠ACD+∠ACB=180°，

∠A+∠B+∠ACB=180°，所以∠ACD

-

∠A

-

∠B=0（等量減等量，差相等）于是∠ACD=∠A+∠B.由此得到：2.三角形的一個外角大于任何一個不相鄰的內(nèi)角.如圖，∠CAD=100°，∠B=30°，求∠C的度數(shù).解：因為∠B+∠C=∠CAD，所以∠C=∠CAD

-

∠B，

所以∠C=100°

-

30°=70°.做一做解：由三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，得∠BAE=∠2+∠3，∠CBF=∠1+∠3，∠ACD=∠1+∠2.又知∠1+∠2+∠3=180°，所以∠BAE+∠CBF+∠ACD=2(∠1+∠2+∠3)=360°.問題2

如圖，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三個外角，它們的和是多少？ABCEFD((((((213你還有其他解法嗎？解法二：如圖，∠BAE+∠1=180°①，

∠CBF+∠2=180°②，∠ACD+∠3=180°③，又知∠1

+∠2

+∠3=180°，①+②+③得∠BAE

+∠CBF

+∠ACD+(∠1

+∠2

+∠3)=540°，所以∠BAE

+∠CBF

+∠ACD=540°-180°=360°.ABCEFD((((((213要點歸納三角形的外角和等于

360°.ABCEFD((((((213∠BAE+∠CBF+∠ACD=2(∠1+∠2+∠3)=360°.典例精析例4

(一題多解)如圖，∠A=51°，∠B=20°，∠C=30°，求∠BDC的度數(shù).ABCD(((51°20°30°思路點撥：添加適當?shù)妮o助線將四邊形問題轉化為三角形問題.解法一：連接

AD并延長到點

E.在△ABD中，∠1+∠B=∠3，在△ACD中，∠2+∠C=∠4.∵∠BDC=∠3+∠4，∠BAC=∠1+∠2，∴∠BDC=∠BAC+∠B+∠C

=51°

+20°

+30°

=101°.ABCD((20°30°E

))12)3)4你發(fā)現(xiàn)了什么結論？解法二：延長

BD交

AC于點

E.在△ABE中，∠1=∠B+∠A，在△ECD中，∠BDC=∠1+∠C.∴∠BDC=∠A+∠B+∠C

=51°

+20°

+30°

=101°.ABCD(((51°20°30°E

)1解法三：連接

CD并延長交

AB于

F(解題過程同解法二).)2F

解題的關鍵是正確的構造三角形，利用三角形外角的性質及轉化的思想，把未知角與已知角聯(lián)系起來求解.總結ABCD(((132(重要發(fā)現(xiàn)：∠BDC=∠1+∠2+∠3.三角形的內(nèi)角和定理證明了解添加輔助線的方法及其目的內(nèi)容三角形內(nèi)角和等于

180°三角形的外角定義角一邊必須是三角形的一邊，另一邊必須是三角形另一邊的延長線性質推論1：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和三角形的外角和三角形的外角和等于

360°推論2：三角形的外角大于與它不相鄰的任何一個內(nèi)角9.1

三角形9.1.3

三角形的三邊關系華東師大版數(shù)學七年級下冊觀察與思考我要到學校怎么走呀？哪一條路最近呀？為什么？郵局學校商店小明家小明合作探究三角形的三邊關系ABC路線1：從

A到

C再到

B的路線走；路線2：沿線