菱形的判定 省賽一等獎

第一章特殊平行四邊形

1.1菱形的性質(zhì)與判定第2課時(shí)

菱形的判定一組鄰邊相等有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形平行四邊形邊對角線角菱形的定義菱形的性質(zhì)菱形菱形的兩條對角線互相平分菱形的兩組對邊平行菱形的四條邊相等菱形的兩組對角分別相等菱形的鄰角互補(bǔ)菱形的兩條對角線互相垂直平分。

定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.菱形的兩條對角線既互相垂直，又互相平分，從菱形的這一性質(zhì)受到啟發(fā)，你能畫出一個(gè)兩條對角線的長分別為4cm和6cm的菱形嗎？OBDAC

過點(diǎn)O畫兩條互相垂直的線段AC，BD，使得OA=OC=3，OB=OD=2，

連結(jié)AB，BC，CD，DA，則四邊形ABCD是菱形，菱形的判定定理1:對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.已知:如圖,在□ABCD中,對角線AC⊥BD.求證:四邊形ABCD是菱形.分析:要證明□ABCD是菱形,就要證明有一組鄰邊相等即可.證明:∴AO=CO.∵AC⊥BD,∴BD是AC的垂直平分線∴BA=BC∵四邊形ABCD是平行四邊形.∴四邊形ABCD是菱形(菱形的定義）.DBCAO菱形的判別方法:定理1：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.ABCD∵四邊形ABCD是平行四邊形BD⊥AC∴四邊形ABCD是菱形O先畫兩條等長的線段AB、AD，然后分別以B、D為圓心，AB為半徑畫弧，得到兩弧的交點(diǎn)C，連接BC、CD，就得到了一個(gè)四邊形，猜一猜，這是什么四邊形？根據(jù)畫圖，你能得到還有什么方法能判定一個(gè)四邊形是菱形嗎？有四條邊相等的四邊形是菱形。ABCDO菱形的判定定理2:四條邊都相等的四邊形是菱形.已知:如圖,在四邊形ABCD中,AB=BC=CD=DA.分析:利用菱形定義和兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形,可使問題得證.證明:∵AB=BC=CD=DA,∴AB=CD,BC=DA.∴四邊形ABCD是平行四邊形..求證:四邊形ABCD是菱形.∵AB=AD,∴四邊形ABCD是菱形.CBDA菱形的判別方法:定理2:四條邊都相等的四邊形是菱形.ABCDAB=BC=CD=DA∴四邊形ABCD是菱形∵在四邊形ABCD中,

他是這樣做的：將一張長方形的紙對折、再對折，然后沿圖中的虛線剪下，打開即可.你知道其中的道理嗎？

如何利用折紙、剪切的方法，既快又準(zhǔn)確地剪出一個(gè)菱形的紙片？例2.如圖ABCD的兩條對角線AC、BD相交于點(diǎn)O,AB=，OA=2，OB=1求證：□ABCD是菱形ABCDO∴□ABCD是菱形.∵AB=，OA=2,OB=1.證明：∴∴AC⊥BD∴△AOB為直角三角形∠AOB是直角在△AOB中菱形的判定定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形定理1:四條邊都相等的四邊形是菱形.定理2:對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.在四邊形ABCD中,∵AB=BC=CD=AD,∴四邊形ABCD是菱形∵AC,BD是□ABCD的兩條對角線,AC⊥BD.∴四邊形ABCD是菱形.CBDADBCAO

練習(xí).判斷下列說法是否正確？為什么？(1)對角線互相垂直的四邊形是菱形；(2)對角線互相垂直平分的四邊形是菱形；(3)對角線互相垂直，且有一組鄰邊相等的四邊形是菱形；(4)兩條鄰邊相等，且一條對角線平分一組對角的四邊形是菱形．√

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1．如圖，在?ABCD中，E，F(xiàn)分別是AD，BC上的點(diǎn)，且DE＝BF，AC⊥EF.求證：四邊形AECF是菱形．證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，AD∥BC.∵DE＝BF，∴AE＝CF.又∵AE∥CF，∴四邊形AECF是平行四邊形．又∵AC⊥EF，∴?AECF是菱形．2．如圖1－1－21，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝60°，∠FAC，∠ECA是△ABC的兩個(gè)外角，AD平分∠FAC，CD平分∠ECA.求證：四邊形ABCD是菱形．證明：∵AB＝AC，∠B＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴∠BAC＝60°，AB＝AC＝BC，∴∠FAC＝120°.又∵AD平分∠FAC，∴∠DAC＝60°.同理可證：∠DCA＝60°，∴△ADC是等邊三角形，∴AD＝AC＝DC，∴AB＝BC＝AD＝DC，∴四邊形ABCD是菱形．3.如圖，已知AD平分∠BAC，DE//AC，DF//AB,AE=5.（1）判斷四邊形AEDF的形狀？（2）它的周長為多少？