單位脈沖序列

第1章離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)1.1離散時(shí)間信號(hào)——序列1.2離散時(shí)間系統(tǒng)1.3常系數(shù)線性差分方程1.4連續(xù)時(shí)間信號(hào)抽樣

1.1離散時(shí)間信號(hào)——序列

離散時(shí)間信號(hào)------序列比起連續(xù)時(shí)間信號(hào)來(lái)有它自己的運(yùn)算、性質(zhì)和表示方法。離散時(shí)間信號(hào)只在離散時(shí)間上給出函數(shù)值，是時(shí)間上不連續(xù)的一個(gè)序列。它既可以是實(shí)數(shù)也可以是復(fù)數(shù)。一個(gè)離散時(shí)間信號(hào)是一個(gè)整數(shù)值變量n的函數(shù)，表示為x(n)或{x(n)}。其中，獨(dú)立變量n不一定表示“時(shí)間”。1.1.1序列的運(yùn)算

1．序列的移位對(duì)于序列x(n)，其移位序列w(n)為

2．序列的翻褶

如果序列為x(n),則x(-n)是以n=0的縱軸為對(duì)稱(chēng)軸將序列x(n)加以翻褶。x(n)及x(-n)如圖1-3(a)、(b)所示。3．序列的和兩序列的和是指同序號(hào)n的序列值逐項(xiàng)對(duì)應(yīng)相加而構(gòu)成的一個(gè)新序列。和序列z(n)可表示為

4．序列的乘積兩序列相乘是指同序號(hào)n的序列值逐項(xiàng)對(duì)應(yīng)相乘。乘積序列f(n)可表示為

5．序列的標(biāo)乘序列x(n)的標(biāo)乘是指x(n)的每個(gè)序列值乘以常數(shù)c。標(biāo)乘序列f(n)可表示為

6．累加

設(shè)某序列為x(n)，則x(n)的累加序列y(n)定義為7．差分運(yùn)算前向差分Δx(n)=x(n+1)-x(n)

后向差分▽x(n)=x(n)-x(n-1)

由此得出▽x(n)=Δx(n-1)8．離散卷積設(shè)兩序列為x(n)和h(n)，則二者的卷積和y(n)定義為(1-1)性質(zhì)：卷積與兩序列的先后次序無(wú)關(guān)，即

離散卷積運(yùn)算可以分為4步：（1）翻褶：先在變量坐標(biāo)m上作出x(m)和h(m)，將h(m)以

m=0的垂直軸為對(duì)稱(chēng)軸翻褶成h(-m)。（2）移位：將h(-m)移位n，即得h(n-m)。當(dāng)n為正整數(shù)時(shí)，右移n位;當(dāng)n為負(fù)整數(shù)時(shí)，左移n位。（3）相乘：再將h(n-m)和x(m)的相同m值的對(duì)應(yīng)點(diǎn)值相乘。（4）相加：把以上所有對(duì)應(yīng)點(diǎn)的乘積累加起來(lái)，即得y(n)

值。依上法，取n=…,-2,-1,0,1,2,…各值，可得全部y(n)值。圖1-4離散卷積

例圖1-4離散卷積1.1.2幾種常用序列

1．單位脈沖序列（或單位采樣序列）δ(n)

這個(gè)序列只在n=0處有一個(gè)單位值1，其余點(diǎn)上皆為0，因此也稱(chēng)為“單位采樣序列”。(1-3)重要性質(zhì)：可以用單位采樣序列來(lái)表示任意序列，即：2．單位階躍序列u(n)它很類(lèi)似于連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)中的單位階躍函數(shù)u(t)，但u(t)在t=0處通常不予定義。

(1-5)δ(n)和u(n)間的關(guān)系為

(1-6)(1-8)3．矩形序列RN(n)(1-9)RN(n)和δ(n)、u(n)的關(guān)系為:

(1-10)(1-11)4．實(shí)指數(shù)序列式中，a為實(shí)數(shù)。當(dāng)|a|<1時(shí)，序列是收斂的;而當(dāng)|a|>1時(shí)，序列是發(fā)散的。a為負(fù)數(shù)時(shí)，序列是擺動(dòng)的。

5．正弦型序列

x(n)=Asin(nω0+φ)(1-12)式中:A為幅度;φ為起始相位;ω0為數(shù)字域的頻率，它反映了序列變化的速率。

不同于正弦型連續(xù)信號(hào)，正弦序列不一定具有周期性。

6．復(fù)指數(shù)序列序列值為復(fù)數(shù)的序列稱(chēng)為復(fù)數(shù)序列。復(fù)數(shù)序列的每個(gè)值具有實(shí)部和虛部?jī)刹糠?。?fù)指數(shù)序列是最常用的一種復(fù)序列：(1-13a)或(1-13b)式中，ω0是復(fù)正弦的數(shù)字域頻率。1.1.3序列的周期性如果對(duì)所有n存在一個(gè)最小的正整數(shù)N，滿(mǎn)足(1-14)則稱(chēng)序列x(n)是周期性序列，周期為N?，F(xiàn)在討論上述正弦序列的周期性。由于則若Nω0=2πk,當(dāng)k為正整數(shù)時(shí)，則

這時(shí)的正弦序列就是周期性序列，其周期滿(mǎn)足N=2πk/ω0（N，k必須為整數(shù)）。可分幾種情況討論如下。（1）當(dāng)2π/ω0為正整數(shù)時(shí)，周期為2π/ω0，見(jiàn)圖1-9。（2）當(dāng)2π/ω0不是整數(shù)，而是一個(gè)有理數(shù)時(shí)（有理數(shù)可表示成分?jǐn)?shù)），則式中，k,N為互素的整數(shù)，則為最小正整數(shù)，序列的周期為N。

（3）當(dāng)2π/ω0是無(wú)理數(shù)時(shí)，則任何k皆不能使N取正整數(shù)。這時(shí)，正弦序列不是周期性的。這和連續(xù)信號(hào)是不一樣的。同樣，指數(shù)為純虛數(shù)的復(fù)指數(shù)序列的周期性與正弦序列的情況相同。下面，我們來(lái)進(jìn)一步討論，如果一個(gè)正弦型序列是由一個(gè)連續(xù)信號(hào)采樣而得到的，那么，采樣時(shí)間間隔T和連續(xù)正弦信號(hào)的周期之間應(yīng)該是什么關(guān)系才能使所得到的采樣序列仍然是周期序列呢？

設(shè)連續(xù)正弦信號(hào)xa(t)為這一信號(hào)的頻率為f0，角頻率Ω0=2πf0，信號(hào)的周期為T(mén)0=1/f0=2π/Ω0。如果對(duì)連續(xù)周期信號(hào)xa(t)進(jìn)行采樣，其采樣時(shí)間間隔為T(mén)，采樣后信號(hào)以x(n)表示，則有如果令ω0為數(shù)字域頻率，滿(mǎn)足式中,fs是采樣頻率?？梢钥闯觯?是一個(gè)相對(duì)頻率，它是連續(xù)正弦信號(hào)的頻率f0對(duì)采樣頻率fs的相對(duì)頻率乘以2π，或說(shuō)是連續(xù)正弦信號(hào)的角頻率Ω0對(duì)采樣頻率fs的相對(duì)頻率。用ω0代替Ω0T，可得這就是上面討論的正弦型序列。

下面我們來(lái)看2π/ω0與T及T0的關(guān)系，從而討論上面所述正弦型序列的周期性的條件意味著什么？這表明，若要2π/ω0為整數(shù)，就表示連續(xù)正弦信號(hào)的周期T0應(yīng)為采樣時(shí)間間隔T的整數(shù)倍；若要2π/ω0為有理數(shù)，有(1-15)式中，k和N皆為正整數(shù)，從而有即N個(gè)采樣間隔應(yīng)等于k個(gè)連續(xù)正弦信號(hào)的周期。1.2離散時(shí)間系統(tǒng)

一個(gè)離散時(shí)間系統(tǒng)是將輸入序列變換成輸出序列的一種運(yùn)算。若以T［·］來(lái)表示這種運(yùn)算，則一個(gè)離散時(shí)間系統(tǒng)可由圖1-10來(lái)表示，即(1-16)離散時(shí)間系統(tǒng)中最重要、最常用的是“線性時(shí)不變系統(tǒng)”。

1.2.1線性系統(tǒng)

滿(mǎn)足疊加原理的系統(tǒng)稱(chēng)為線性系統(tǒng)，即若某一輸入是由N個(gè)信號(hào)的加權(quán)和組成，則輸出就是系統(tǒng)對(duì)這幾個(gè)信號(hào)中每一個(gè)的響應(yīng)的同樣加權(quán)和組成。如果系統(tǒng)在x１(n)和x2(n)單獨(dú)輸入時(shí)的輸出分別為y1(n)和y2(n)

即:那么當(dāng)且僅當(dāng)式（1-17a）和式（1-17b）成立時(shí)，該系統(tǒng)是線性的（1-17a）（1-17b）式中,a為任意常數(shù)。上述兩個(gè)性質(zhì)分別稱(chēng)為可加性和齊次性（比例性）。這兩個(gè)性質(zhì)合在一起就成為疊加原理，寫(xiě)成（1-18）式(1-18)對(duì)任意常數(shù)a1和a2都成立。該式還可推廣，即（1-19）式中,yk(n)就是系統(tǒng)對(duì)輸入xk(n)的響應(yīng)。

注意：在證明一個(gè)系統(tǒng)是線性的時(shí)，必須證明系統(tǒng)同時(shí)滿(mǎn)足可加性和比例性，而且信號(hào)及任何比例常數(shù)都可以是復(fù)數(shù)。例以下系統(tǒng)是否為線性系統(tǒng)：

y(n)=2x(n)+3

很容易證明這個(gè)系統(tǒng)不是線性的，因?yàn)榇讼到y(tǒng)不滿(mǎn)足疊加原理。證很明顯，在一般情況下所以此系統(tǒng)不滿(mǎn)足疊加性，故不是線性系統(tǒng)。注意：證明一個(gè)是非線性系統(tǒng)的方法主要有三個(gè)：

1）證明不符合線性系統(tǒng)定義；

2）舉反例；

3）證明違反線性系統(tǒng)的一個(gè)重要性質(zhì)：零輸入產(chǎn)生零輸出。1.2.2移不變系統(tǒng)系統(tǒng)的運(yùn)算關(guān)系T［·］在整個(gè)運(yùn)算過(guò)程中不隨時(shí)間（也即不隨序列的延遲）而變化，這種系統(tǒng)稱(chēng)為時(shí)不變系統(tǒng)（或稱(chēng)移不變系統(tǒng)）。這個(gè)性質(zhì)可用以下關(guān)系表達(dá)：若輸入x(n)的輸出為y(n)，則將輸入序列移動(dòng)任意位后，其輸出序列除了跟著移位外，數(shù)值應(yīng)該保持不變，即若T［x(n)］=y(n)

則

T［x(n-m)］=y(n-m)（m為任意整數(shù)）

(1-20)滿(mǎn)足以上關(guān)系的系統(tǒng)就稱(chēng)為時(shí)不變系統(tǒng)。例證明不是時(shí)不變系統(tǒng)。證

由于二者不相等，故不是時(shí)不變系統(tǒng)。說(shuō)明：一個(gè)移不變系統(tǒng)的證明應(yīng)嚴(yán)格根據(jù)定義。一個(gè)移變系統(tǒng)的證明有三種主要方法：1）依據(jù)定義；2）舉個(gè)反例；3）依據(jù)移不變系統(tǒng)所具有的一個(gè)重要結(jié)論：若系統(tǒng)有一個(gè)移變?cè)鲆?，則該系統(tǒng)一定是移變系統(tǒng)。同時(shí)具有線性和時(shí)不變性的離散時(shí)間系統(tǒng)稱(chēng)為線性時(shí)不變（LTI）離散時(shí)間系統(tǒng)，簡(jiǎn)稱(chēng)LTI系統(tǒng)。除非特殊說(shuō)明，本書(shū)都是研究LTI系統(tǒng)。1.2.3單位脈沖響應(yīng)與系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系

線性時(shí)不變系統(tǒng)可用它的單位脈沖響應(yīng)h(n)（又稱(chēng)單位抽樣響應(yīng)）來(lái)表征。單位脈沖響應(yīng)是指輸入為單位脈沖序列時(shí)系統(tǒng)的輸出，即h(n)=T［δ(n)］基于h(n)，可得到此系統(tǒng)對(duì)任意輸入的輸出，如下：

設(shè)系統(tǒng)輸入序列為x(n)，輸出序列為y(n)，則（1-21）

圖1-11線性時(shí)不變系統(tǒng)1.2.4線性時(shí)不變系統(tǒng)的性質(zhì)1．交換律(1-22)2．結(jié)合律(1-23)3．分配律(1-24)1.2.5因果系統(tǒng)

所謂因果系統(tǒng)，就是系統(tǒng)此時(shí)的輸出y(n)只取決于此時(shí)，以及此時(shí)以前的輸入，即x(n),x(n-1),x(n-2),…。如果系統(tǒng)的輸出y(n)還取決于x(n+1),x(n+2),…，也即系統(tǒng)的輸出還取決于未來(lái)的輸入，這樣在時(shí)間上就違背了因果關(guān)系，因而是非因果系統(tǒng)，也即不現(xiàn)實(shí)的系統(tǒng)。例，y(n)=nx(n)和y(n)=x(n+2)+ax(n)分別是因果和非因果系統(tǒng)。

一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)是因果系統(tǒng)的充分必要條件是：

(1-25)額外說(shuō)明：依照因果性定義，我們將n<0，x(n)=0的序列稱(chēng)為因果序列，表示這個(gè)因果序列可以作為一個(gè)因果系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)。1.2.6穩(wěn)定系統(tǒng)

穩(wěn)定系統(tǒng)是指有界輸入產(chǎn)生有界輸出的系統(tǒng)。如果對(duì)于輸入序列x(n)，存在一個(gè)不變的正有限值Bx，對(duì)于所有n值滿(mǎn)足|x(n)|≤Bx<∞（1-26）則稱(chēng)該輸入序列是有界的。穩(wěn)定性要求對(duì)于每個(gè)有界輸入存在一個(gè)不變的正有限值By，對(duì)于所有n值，輸出序列y(n)滿(mǎn)足

|y(n)|≤By<∞

（1-27）

一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)的充分必要條件是單位脈沖響應(yīng)絕對(duì)可和，即(1-28)說(shuō)明：要證明一個(gè)系統(tǒng)不穩(wěn)定，只需找一個(gè)特別的有界輸入，如果此時(shí)能得到一個(gè)無(wú)界的輸出，那么就一定能判定一個(gè)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。但是要證明一個(gè)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，就不能只用某一個(gè)特定的輸入作用來(lái)證明，而要利用在所有有界輸入下都產(chǎn)生有界輸出的辦法來(lái)證明系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

顯然，既滿(mǎn)足穩(wěn)定條件又滿(mǎn)足因果條件的系統(tǒng)，即穩(wěn)定的因果系統(tǒng)是最主要的系統(tǒng)。這種線性時(shí)不變系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)應(yīng)該既是因果的（單邊的）又是絕對(duì)可和的，即：這種穩(wěn)定因果系統(tǒng)既是可實(shí)現(xiàn)的，又是穩(wěn)定工作的，因而這種系統(tǒng)正是一切數(shù)字系統(tǒng)設(shè)計(jì)的目標(biāo)。

連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系常用常系數(shù)線性微分方程表示，而離散時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系除了用式(1-21)表示外，常用以下形式的常系數(shù)線性差分方程表示，即(1-30)

所謂常系數(shù)是指決定系統(tǒng)特征的a1,a2,…,aN,b1,b2,…,bM都是常數(shù)。若系數(shù)中含有n，則稱(chēng)為“變系數(shù)”線性差分方程。差分方程的階數(shù)等于未知序列（指y(n)）變量序號(hào)的最高值與最低值之差。例如,式（1-30）即為N階差分方程。1.3常系數(shù)線性差分方程

所謂線性是指各y(n-k)以及各x(n-k)項(xiàng)都只有一次冪且不存在它們的相乘項(xiàng)（這和線性微分方程是一樣的）;否則就是非線性的。

離散系統(tǒng)的差分方程表示法有兩個(gè)主要的用途，一是從差分方程表達(dá)式比較容易直接得到系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，二是便于求解系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)。

求解常系數(shù)差分方程可以用離散時(shí)域求解法，也可以用變換域求解法。

變換域求解法與連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的拉普拉斯變換法相類(lèi)似，它采用Z變換方法來(lái)求解差分方程，這在實(shí)際使用上是簡(jiǎn)單而有效的。Z變換方法將在后面幾節(jié)中討論。

離散時(shí)域求解有兩種典型方法：（1）卷積計(jì)算法，這用于系統(tǒng)起始狀態(tài)為零時(shí)的求解。卷積方法，前面已經(jīng)討論過(guò)了，只要知道系統(tǒng)脈沖響應(yīng)就能得知任意輸入時(shí)的輸出響應(yīng)。

（2）迭代法，此法較簡(jiǎn)單，但是只能得到數(shù)值解，不易直接得到閉合形式（公式）解答，且通常需要給定初始條件。下面僅簡(jiǎn)單討論離散時(shí)域的迭代解法，即用迭代法求系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)h(n)。例常系數(shù)線性差分方程試求其單位抽樣響應(yīng)（初始狀態(tài)y(-1)=0）。

解設(shè)x(n)=δ(n)，則由上述表達(dá)式及y(n)的初始設(shè)定，依次迭代可得，

如此系統(tǒng)相當(dāng)于因果系統(tǒng)，如果，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。(因?yàn)閷?duì)于這里給出的差分方程及給定的初始條件，可以證明系統(tǒng)是線性移不變系統(tǒng)。)

注意：一個(gè)常系數(shù)線性差分方程并不一定代表因果系統(tǒng)、穩(wěn)定系統(tǒng)、線性系統(tǒng)、移不變系統(tǒng)等，這需要由初始條件來(lái)決定。如下面例題說(shuō)明。但在本課討論中，都假設(shè)常系數(shù)線性差分方程代表線性移不變系統(tǒng)，并且多數(shù)代表可實(shí)現(xiàn)的因果系統(tǒng)。

例利用與上述同一例子，初始條件假設(shè)y(0)=0，分析其系統(tǒng)因果性及穩(wěn)定性。

解

設(shè)x(n)=δ(n)，可得n>0時(shí)，h(n)=y(n)=0，將式（1-31）改寫(xiě)為另一種遞推關(guān)系

y(n-1)=[y(n)-x(n)]/a

或 y(n)=[y(n+1)-x(n+1)]/a

又利用已得出的結(jié)果h(n)=0(n>0),則有：可見(jiàn)，這樣的系統(tǒng)是非因果系統(tǒng)，而且時(shí)，是非穩(wěn)定的。

例利用與上述同一例子，初始條件假設(shè)y(0)=1，分析其系統(tǒng)的線性及移不變性。

解

同樣，利用上面的迭代法求出單位抽樣響應(yīng)后，我們就可以利用前面的卷積公式求出任意輸入下的輸出。

另外，如前所述，差分方程不但便于求解系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)，而且具有另一個(gè)典型優(yōu)點(diǎn)，即可以直接獲得系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)。以上述例子為例，結(jié)構(gòu)如下圖所示。a第2章Z變換與序列的傅里葉變換2.1Z變換2.2序列的Z變換與連續(xù)信號(hào)的拉氏變換/傅里葉變換的關(guān)系2.3序列的傅里葉變換2.4離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)以及系統(tǒng)的頻率響應(yīng)

2.1.1Z變換的定義及收斂域

1.Z變換的定義

一個(gè)離散序列x(n)的Z變換定義為一個(gè)冪級(jí)數(shù)：

2.1Z變換式中，z是一個(gè)復(fù)變量，它所在的復(fù)平面稱(chēng)為Z平面。我們常用Z［x(n)］表示對(duì)序列x(n)進(jìn)行Z變換，也即(2-1)(2-2)

2.Z變換的收斂域顯然，只有當(dāng)式（2-1）的冪級(jí)數(shù)收斂時(shí)，Z變換才有意義。對(duì)任意給定序列x(n)，使其Z變換收斂的所有z值的集合稱(chēng)為X(z)的收斂域。按照級(jí)數(shù)理論，式（2-1）的級(jí)數(shù)收斂的充分必要條件是滿(mǎn)足絕對(duì)可和的條件，即要求(2-3)要滿(mǎn)足此不等式，|z|值必須在一定范圍之內(nèi)才行，這個(gè)范圍就是收斂域。一般收斂域用環(huán)狀域表示，即Rx-<|z|<Rx+

收斂域是分別以Rx-和Rx+為半徑的兩個(gè)圓所圍成的環(huán)狀域（圖2-1中的斜線部分）。Rx-和Rx+稱(chēng)為收斂半徑。當(dāng)然Rx-可以小到零，Rx+可以大到無(wú)窮大。

2-1

（1）有限長(zhǎng)序列:

序列x(n)只在有限區(qū)間n1≤n≤n2之內(nèi)才具有非零的有限值，在此區(qū)間外，序列值皆為零。其Z變換為

設(shè)x(n)為有界序列，由于X(z)是有限項(xiàng)級(jí)數(shù)之和，除0與∞兩點(diǎn)是否收斂與n1、n2取值情況有關(guān)外，整個(gè)Z平面均收斂。如果n1<0，則收斂域不包括∞點(diǎn)；如果n2>0，則收斂域不包括z=0點(diǎn)；如果是因果序列，收斂域包括∞點(diǎn)。具體有限長(zhǎng)序列的收斂域表示如下：(2-4a)(2-4b)(2-4c)

例

x(n)=δ(n)，求此序列的Z變換及收斂域。

解這是n1=n2=0時(shí)有限長(zhǎng)序列的特例，由于

所以收斂域應(yīng)是整個(gè)z的閉平面(0≤|z|≤∞)，如圖2-2所示。圖2-2δ(n)的收斂域(全部Z平面)例求矩形序列x(n)=RN(n)的Z變換及其收斂域。

解這是一個(gè)有限項(xiàng)幾何級(jí)數(shù)之和。因此

（2）右邊序列：右邊序列是指x(n)只在n≥n1時(shí)有值，在n<n1時(shí)x(n)=0。其Z變換為(2-5)則右邊序列Z變換的收斂域至少為：Rx-<|z|<∞右邊序列及其收斂域如圖2-3所示。圖2-3右邊序列及其收斂域

因果序列是最重要的一種右邊序列，即n1=0的右邊序列。其Z變換級(jí)數(shù)中無(wú)z的正冪項(xiàng)，因此級(jí)數(shù)收斂域可以包括|z|=∞。(2-6)Z變換收斂域包括|z|=∞是因果序列的特征。

例

x(n)=anu(n),求其Z變換及收斂域。解這是一個(gè)因果序列，其Z變換為|z|>|a|注意：收斂域內(nèi)不允許有極點(diǎn)存在。所以，右邊序列的Z變換如果有N個(gè)有限極點(diǎn)｛z1,z2,…,zN｝存在，那么收斂域一定在模值為最大的這一個(gè)極點(diǎn)所在圓以外，也即

（3）左邊序列:

左邊序列是指在n≤n2時(shí)x(n)有值，而在n>n2時(shí)x(n)=0，其Z變換為左邊序列Z變換的收斂域至少為如果n2≤0，則上式右端不存在第二項(xiàng)，故收斂域應(yīng)包括z=0，即|z|<Rx+。

例

x(n)=-anu(-n-1),求其Z變換及收斂域。

解這是一個(gè)左邊序列。其Z變換為此等比級(jí)數(shù)在|a-1z|<1，即|z|<|a|處收斂。因此

序列Z變換的收斂域如圖2-5所示。函數(shù)X（Z）在z=a處有一極點(diǎn)，整個(gè)收斂域在極點(diǎn)所在圓以?xún)?nèi)的解析區(qū)域。圖2-5左邊序列收斂域

對(duì)于左邊序列，如果序列Z變換有N個(gè)有限極點(diǎn)｛z1,z2,…,zN｝存在，那么收斂域一定在模值為最小的這一個(gè)極點(diǎn)所在圓以?xún)?nèi)，這樣X(jué)(z)才能在整個(gè)圓內(nèi)解析，也即Rx+=min［|z1|,|z2|,…,|zN|］

由以上兩例可以看出，一個(gè)左邊序列與一個(gè)右邊序列的Ｚ變換表達(dá)式是完全一樣的。所以，只給出Z變換的閉合表達(dá)式是不夠的，是不能正確得到原序列的。必須同時(shí)給出收斂域，才能惟一地確定一個(gè)序列。這就說(shuō)明了研究收斂域的重要性。（4）雙邊序列：一個(gè)雙邊序列可以看作一個(gè)右邊序列和一個(gè)左邊序列之和：(2-7)X(z)有收斂域 Rx-<|z|<Rx+

這是一個(gè)環(huán)狀區(qū)域。

例

x(n)=a|n|,a為實(shí)數(shù)，求其Z變換及收斂域。

解這是一個(gè)雙邊序列，其Z變換為設(shè)若|a|<1，則存在公共收斂域其序列及收斂域如圖2-6所示。若|a|≥1，則無(wú)公共收斂域，因此也就不存在Z變換的封閉函數(shù)，這種序列如圖2-7。序列兩端都發(fā)散，顯然這種序列是不現(xiàn)實(shí)的序列。圖2-6雙邊序列及收斂域圖2-7Z變換無(wú)收斂域的序列表2-1幾種典型序列的Z變換

2.1.2Z反變換已知函數(shù)X(z)及其收斂域，反過(guò)來(lái)求序列的變換稱(chēng)為Z反變換，表示為x(n)=Z-1［X(z)］利用羅朗級(jí)數(shù)定理，有：Z反變換的一般公式為若(2-8)則(2-9)其中，C是在X（Z）的環(huán)狀解析域中圍繞原點(diǎn)的一條反時(shí)針?lè)较虻拈]合單圍線，如圖2-8所示。

圖2-8圍線積分路徑

直接計(jì)算圍線積分是比較麻煩的，實(shí)際上,求Z反變換時(shí)，往往可以不必直接計(jì)算圍線積分。一般求Z反變換的常用方法有三種：圍線積分法（留數(shù)法）、部分分式展開(kāi)法和冪級(jí)數(shù)展開(kāi)法(長(zhǎng)除法是冪級(jí)數(shù)展開(kāi)法的一種實(shí)現(xiàn)形式)。

1.圍線積分法（留數(shù)法）這是求Z反變換的一種有用的分析方法。根據(jù)留數(shù)定理，若函數(shù)F(z)=X(z)zn-1在圍線c以?xún)?nèi)有K個(gè)極點(diǎn)zk，而在c以外有M個(gè)極點(diǎn)zm（M、K為有限值），則有(2-11)或(2-12)（2-11）中C是反時(shí)針?lè)较?，?-12）中C是順時(shí)針?lè)较颉?/p>

現(xiàn)在來(lái)討論如何求X(z)zn-1在任一極點(diǎn)zr處的留數(shù)。設(shè)zr是X(z)zn-1的單一（一階）極點(diǎn)，則有(2-15)如果zr是X(z)zn-1的多重極點(diǎn)，如階極點(diǎn)，則有(2-16)例已知

求Z反變換。解

圍線c以?xún)?nèi)包含極點(diǎn)a，如圖2-9粗線所示。當(dāng)n<0時(shí)，在z=0處有一個(gè)-n階極點(diǎn)。因此圖2-9收斂域|z|>|a|式中，a是單階極點(diǎn)。應(yīng)用公式(2-15)，則在z=0處有一個(gè)-n階極點(diǎn)（n<0），應(yīng)用公式(2-16)，則因此即

這個(gè)指數(shù)因果序列是單階極點(diǎn)的反變換，這個(gè)反變換是很典型的，在以下的部分分式中還要用到這個(gè)結(jié)果。

實(shí)際上，由于收斂域在函數(shù)極點(diǎn)以外，并且包括∞點(diǎn)，因此可以知道該序列一定是因果序列。用留數(shù)法計(jì)算的結(jié)果也證實(shí)了這一點(diǎn)。所以，在具體應(yīng)用留數(shù)法時(shí)，若能從收斂域判定序列是因果的，就可以不必考慮n<0時(shí)出現(xiàn)的極點(diǎn)了，因?yàn)樗鼈兊牧魯?shù)和一定總是零。

2.部分分式展開(kāi)法在實(shí)際應(yīng)用中，一般X(z)是z的有理分式，可表示成X(z)=P(z)/Q(z)，P(z)及Q(z)都是實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式，且沒(méi)有公因式?？蓪(z)展開(kāi)成部分分式的形式，然后利用表2-1的基本Z變換對(duì)的公式求各簡(jiǎn)單分式的Z反變換（注意收斂域），再將各個(gè)反變換相加起來(lái)，就得到所求的x(n)。

為了看出如何求得部分分式展開(kāi)，假設(shè)X(z)可以表示成z-1的多項(xiàng)式之比，即(2-17)

則X（Z）可展成下述形式。當(dāng)M≥N時(shí)，Bn存在，否則Bn=0。（2-18）式中，Bn可用長(zhǎng)除法求得。根據(jù)留數(shù)定理，Ak可由下式求出：（2-19）系數(shù)Cm由下式得到：（2-20a）或（2-20b）

展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)被確定后，基于考慮收斂域，再分別求各項(xiàng)的Z反變換，則原序列就是各項(xiàng)的反變換序列之和。3.冪級(jí)數(shù)展開(kāi)法（長(zhǎng)除法）因?yàn)閤(n)的Z變換定義為z-1的冪級(jí)數(shù)，即

所以只要在給定的收斂域內(nèi)，把X(z)展成冪級(jí)數(shù)，則級(jí)數(shù)的系數(shù)就是序列x(n)。

把X(z)展成冪級(jí)數(shù)的方法很多。例如，直接將X(z)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)形式；當(dāng)X(z)是log,sin,cos,sinh等函數(shù)時(shí)，可利用已知的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式將其展成冪級(jí)數(shù)形式；當(dāng)X(z)是一個(gè)有理分式，分子分母都是z的多項(xiàng)式時(shí)，可利用長(zhǎng)除法，即用分子多項(xiàng)式除以分母多項(xiàng)式得到冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式。例若X(z)為求Z反變換。

解直接將X(z)展開(kāi)成憑觀察，x(n)就是

例若X(z)為X(z)=lg(1+az-1)|z|>|a|

求Z反變換。

解利用lg(1+x)，且|x|<1的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式，可得所以顯然例若X(z)為求Z反變換。

解X(z)在z=-a處有一極點(diǎn)，收斂域在極點(diǎn)所在圓以外，序列應(yīng)該是因果序列，X(z)應(yīng)展成z的降冪次級(jí)數(shù)，所以可按降冪順次長(zhǎng)除有所以則例若X(z)為

求Z反變換。

解

X(z)在z=a處有一極點(diǎn)，收斂域在極點(diǎn)所在圓以?xún)?nèi)，序列應(yīng)該是左邊序列，X(z)應(yīng)展成z的升冪次級(jí)數(shù)，因此應(yīng)按升冪順次長(zhǎng)除有故則

從上面兩例可以看出，長(zhǎng)除法既可展成升冪級(jí)數(shù)也可展成降冪級(jí)數(shù)，這完全取決于收斂域。所以在進(jìn)行長(zhǎng)除以前，一定要先根據(jù)收斂域確定是左邊序列還是右邊序列，然后才能正確地決定是按升冪長(zhǎng)除，還是按降冪長(zhǎng)除。如果收斂域是|z|<Rx+，則x(n)必然是左邊序列，此時(shí)應(yīng)將X(z)展開(kāi)成z的正冪級(jí)數(shù)，為此，X(z)的分子分母應(yīng)按z的升冪（或z-1的降冪）排列。若收斂域是環(huán)狀域，則可以分解為右邊序列和左邊序列兩種情況來(lái)考慮長(zhǎng)除法，教材第58頁(yè)有例題，不再介紹。

總的說(shuō)明：典型Z反變換計(jì)算方法如下：1）通用性的計(jì)算方法是圍線積分計(jì)算法，但其計(jì)算有時(shí)會(huì)復(fù)雜；2）為此，可利用基于留數(shù)的圍線積分法，該法同樣具有通用性；3）當(dāng)Z變換函數(shù)表達(dá)式具有一定形式時(shí)，可采用部分分式展開(kāi)法及冪級(jí)數(shù)展開(kāi)法；4）一些方法可以結(jié)合使用；5）對(duì)于上述各種方法，可以預(yù)先利用Z變換的收斂域確定x(n)的取值范圍，這有利于減少計(jì)算量。2.1.3Z變換的性質(zhì)

1.線性Z變換是一種線性變換，它滿(mǎn)足疊加原理，即若有:Z［x(n)］=X(z)Rx-<|z|<Rx+

Z［y(n)］=Y(z)Ry-<|z|<Ry+

那么對(duì)于任意常數(shù)a、b，Z變換都能滿(mǎn)足以下等式：

Z［ax(n)+by(n)］=aX(z)+bY(z)Ｒ-<|z|<R+(2-21)

通常兩序列和的Z變換的收斂域?yàn)閮蓚€(gè)相加序列的收斂域的公共區(qū)域：R-=max(Rx-,Ry-)

R+=min(Rx+,Ry+)如果線性組合中某些零點(diǎn)與極點(diǎn)互相抵消，則收斂域可能擴(kuò)大。2.序列的移位

位移m可以為正（右移）也可以為負(fù)（左移）。(2-22)設(shè)x(n)的Z變換X(Z)的收斂域?yàn)椋?.乘以指數(shù)序列（Z域尺度變換）(2-23)設(shè)x(n)的Z變換X(Z)的收斂域?yàn)椋?，則4.X(z)的微分

設(shè)x(n)的Z變換X(Z)的收斂域?yàn)椋?，則(2-24)5.復(fù)序列的共軛(2-25)式中，符號(hào)“*”表示取共軛復(fù)數(shù)。設(shè)x(n)的Z變換X(Z)的收斂域?yàn)椋?，則6.翻褶序列

(2-26)設(shè)x(n)的Z變換X(Z)的收斂域?yàn)椋?，則7.初值定理對(duì)于因果序列x(n)，即x(n)=0,n<0,有(2-27)9.序列卷積（時(shí)域卷積定理）若則(2-30)

Y(z)的收斂域?yàn)閄(z)、H(z)收斂域的公共部分。若有極點(diǎn)被抵消，收斂域可擴(kuò)大。

在線性時(shí)不變系統(tǒng)中，如果輸入為x(n)，系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為h(n)，則輸出y(n)是x(n)與h(n)的卷積;利用卷積定理，通過(guò)求出X(z)和H(z)，然后求出乘積X(z)H(z)的Z反變換，從而可得y(n)。這個(gè)定理得到廣泛應(yīng)用。10.序列乘積（頻域卷積定理）

若

則(2-31)表2-2Z變換的主要性質(zhì)2.2序列Z變換與連續(xù)信號(hào)的拉氏變換

/傅里葉變換的關(guān)系

2.2.1拉氏變換與Z變換的關(guān)系設(shè)連續(xù)信號(hào)為xa(t)，其的拉普拉斯變換為:采樣序列x(n)=xa(nT)的Z變換為得X(z)與Xa(s)的關(guān)系：(2-39)2.2.2連續(xù)信號(hào)傅氏變換與序列Z變換關(guān)系傅里葉變換是拉普拉斯變換在虛軸上的特例，即s=jΩ，映射到Z平面上正是單位圓z=ejΩT，將這兩個(gè)關(guān)系代入到式（2-39）可得(2-40)(2-41)上式說(shuō)明：采樣序列在單位圓上的Z變換，就等于其理想采樣信號(hào)的傅里葉變換（頻譜）。2.3序列的傅里葉變換

序列的傅里葉變換是分析序列的頻譜，研究離散時(shí)間系統(tǒng)的頻域特性及信號(hào)通過(guò)系統(tǒng)后頻域的分析的一種重要工具。其定義為：

(2-42)1）該公式和Z變換定義相比較，可見(jiàn)其是單位圓上序列的Z變換。

說(shuō)明：2.3.1序列傅里葉變換及反變換

相應(yīng)的，序列傅里葉反變換為：(2-44)圖2-13序列及其傅里葉變換

鑒于序列的傅里葉變換是序列在單位圓上的Z變換，因此前述的Z變換一些重要性質(zhì)對(duì)序列的傅里葉變換同樣存在，例如：2.3.2序列傅里葉變換的一些重要性質(zhì)表2-3序列傅里葉變換的主要性質(zhì)

表2-3（續(xù)）序列傅里葉變換的主要性質(zhì)表2-4一些常用序列的傅里葉變換對(duì)

2.4離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)以及系統(tǒng)的頻率響應(yīng)

如前討論，一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)完全可以由它的單位脈沖響應(yīng)h(n)來(lái)表示。對(duì)于一個(gè)給定的輸入x(n)，其輸出y(n)為對(duì)等式兩端取Z變換，得則(2-47)

我們把H(z)定義為線性時(shí)不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，它是單位脈沖響應(yīng)的Z變換，即(2-48)

在單位圓上(z=ejω)的系統(tǒng)函數(shù)就是系統(tǒng)的頻率響應(yīng)H(ejω)。

(2-49)2.4.1因果穩(wěn)定的線性時(shí)不變系統(tǒng)如前所討論，線性時(shí)不變系統(tǒng)是因果系統(tǒng)的充分必要條件是：h(n)為因果序列，因此可知，其系統(tǒng)函數(shù)H(z)具有包括z=∞點(diǎn)的收斂域，即(2-50)

另外，如前所述，一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)的充分必要條件為h(n)必須滿(mǎn)足絕對(duì)可和條件，即而Z變換的收斂域由滿(mǎn)足 的那些z值確定，因此該系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)必須在單位圓上收斂，即收斂域包括單位圓|z|=1，H(ejω)存在。綜合上述可見(jiàn)，當(dāng)線性時(shí)不變系統(tǒng)是因果穩(wěn)定系統(tǒng)（最普遍、最重要的一種系統(tǒng)）時(shí)，它的系統(tǒng)函數(shù)H(z)必須在從單位圓到∞的整個(gè)Z域內(nèi)收斂，即(2-51)也就是說(shuō)，系統(tǒng)函數(shù)的全部極點(diǎn)必須在單位圓內(nèi)。2.4.2系統(tǒng)函數(shù)和差分方程的關(guān)系如前探討，一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)也可以用常系數(shù)線性差分方程來(lái)表示，其N(xiāo)階常系數(shù)線性差分方程的一般形式為若系統(tǒng)起始狀態(tài)為零，這樣就可以直接對(duì)上式兩端取Z變換，利用Z變換的線性特性和移位特性可得這樣就得到系統(tǒng)函數(shù)為

（2-52）由此看出系統(tǒng)函數(shù)分子、分母多項(xiàng)式的系數(shù)分別就是差分方程的系數(shù)。式（2-52）是兩個(gè)z-1的多項(xiàng)式之比，將其分別進(jìn)行因式分解，可得

（2-53）例已知系統(tǒng)函數(shù)為

2<|z|≤∞求系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)及系統(tǒng)性質(zhì)。解系統(tǒng)函數(shù)H(z)有兩個(gè)極點(diǎn)z1=0.5,z2=2。從收斂域看，收斂域包括∞點(diǎn)，因此系統(tǒng)一定是因果系統(tǒng)。但是單位圓不在收斂域內(nèi)，因此可以判定系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。由于2nu(n)項(xiàng)是發(fā)散的，可見(jiàn)系統(tǒng)確實(shí)是不穩(wěn)定的。例系統(tǒng)函數(shù)不變，但收斂域不同。

求系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)及系統(tǒng)性質(zhì)。

解收斂域包括單位圓但不包括∞點(diǎn)，因此系統(tǒng)是穩(wěn)定的但是非因果的。由系統(tǒng)函數(shù)的Z反變換可得由于存在2nu(-n-1)項(xiàng)，因此系統(tǒng)是非因果的。

例

考慮一個(gè)因果系統(tǒng)，其輸入輸出滿(mǎn)足差分方程

y(n)=0.5y(n-1)+x(n)顯然，其系統(tǒng)函數(shù)為

因系統(tǒng)是因果系統(tǒng)，故其收斂域?yàn)閨z|>0.5。該系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為例一個(gè)FIR系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為

則系統(tǒng)函數(shù)為2.4.4系統(tǒng)頻率響應(yīng)的物理意義

進(jìn)一步，線性時(shí)不變系統(tǒng)在任意輸入情況下，輸入與輸出兩者的傅里葉變換間的關(guān)系，可通過(guò)對(duì)該系統(tǒng)卷積公式兩端取傅里葉變換，并利用表2-3中傅里葉變換性質(zhì)10得到F［y(n)］=F［x(n)*h(n)］

即

Y(ejω)=X(ejω)H(ejω)(2-58)H(ejω)就是系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。由式（2-58）得知，對(duì)于線性時(shí)不變系統(tǒng)，其輸出序列的傅里葉變換等于輸入序列的傅里葉變換與系統(tǒng)頻率響應(yīng)的乘積。例設(shè)有一線性時(shí)不變系統(tǒng)，其輸入輸出關(guān)系由以下差分方程確定

設(shè)系統(tǒng)是因果的。（1）求該系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)；（2）由(1)的結(jié)果，求輸入x(n)=ejπn的響應(yīng)。

解

（1）利用以前學(xué)的差分方程迭代法可以求解，也可以利用這里的Z變換法求解系統(tǒng)函數(shù)：

系統(tǒng)函數(shù)H(z)僅有一個(gè)極點(diǎn)，z1=1/2，因?yàn)橄到y(tǒng)是因果的，故H(z)的收斂域必須包含∞，所以收斂域?yàn)閨z|>1/2。該收斂域又包括單位圓，所以系統(tǒng)也是穩(wěn)定的。對(duì)系統(tǒng)函數(shù)H(z)進(jìn)行Z反變換，可得單位脈沖響應(yīng)為（2）解法一：系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為

利用Y(ejω)=X(ejω)H(ejω)求Y(ejω)，再求反變換即可。解法二：2.4.5頻率響應(yīng)的幾何確定法一個(gè)N階的系統(tǒng)函數(shù)H(z)完全可以用它在Z平面上的零、極點(diǎn)確定。由于H(z)在單位圓上的Z變換即是系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，因此系統(tǒng)的頻率響應(yīng)也完全可以由H(z)的零、極點(diǎn)確定。頻率響應(yīng)的幾何確定法實(shí)際上就是利用H(z)在Z平面上的零、極點(diǎn)，采用幾何方法直觀、定性地求出系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。式（2-53）已表示出H(z)的因式分解，即用零、極點(diǎn)表示為(2-62)這時(shí)用z=ejω代入，即得系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為(2-63)

例設(shè)一個(gè)因果系統(tǒng)的差分方程為y(n)=x(n)+ay(n-1)|a|<1,a為實(shí)數(shù)

求系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。解將差分方程等式兩端取Z變換，可求得單位脈沖響應(yīng)為該系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為幅度響應(yīng)為相位響應(yīng)為圖2-16一階離散系統(tǒng)的各種特性3.3離散傅里葉級(jí)數(shù)（DFS）的性質(zhì)設(shè)和 皆是周期為N的周期序列，它們各自的DFS分別為：1線性（3-19）2序列的移位（3-20）3序列的調(diào)制特性（3-21）5對(duì)偶性（3-22）周期序列在時(shí)域和頻域間存在下述對(duì)偶關(guān)系：6周期卷積如果則(3-23)

由于DFS和IDFS變換的對(duì)稱(chēng)性或者利用定義的代入，可以證明：時(shí)域周期序列的乘積對(duì)應(yīng)著頻域周期序列的周期卷積。即，如果則

(3-33)3.4有限長(zhǎng)序列離散傅里葉變換（DFT）有限長(zhǎng)序列的離散傅里葉變換的定義:0≤k≤N-10≤n≤N-1（3-38）（3-39）

例

已知序列x(n)=δ(n)，求它的N點(diǎn)DFT。

解單位脈沖序列的DFT很容易由DFT的定義式（2-30）得到：

k=0,1,…,N-1

δ(n)的X(k)如圖3-9。這是一個(gè)很特殊的例子，它表明對(duì)序列δ(n)來(lái)說(shuō)，不論對(duì)它進(jìn)行多少點(diǎn)的DFT，所得結(jié)果都是一個(gè)離散矩形序列。圖3-9序列δ(n)及其離散傅里葉變換

例已知x(n)=cos(nπ/6)是一個(gè)長(zhǎng)度N=12的有限長(zhǎng)序列，求它的N點(diǎn)DFT。

解由DFT的定義式，可得

進(jìn)而可得，

圖3-10有限長(zhǎng)序列及其DFT3.5離散傅里葉變換的性質(zhì)

本節(jié)討論DFT的一些性質(zhì)，它們本質(zhì)上和周期序列的DFS概念有關(guān)，而且是由有限長(zhǎng)序列及其DFT表示式隱含的周期性得出的。以下討論的序列都是N點(diǎn)有限長(zhǎng)序列，用DFT［·］表示N點(diǎn)DFT，且設(shè):DFT［x1(n)］=X1(k)

DFT［x2(n)］=X2(k)1線性

式中，a,b為任意常數(shù)。該式可根據(jù)DFT定義證明。2序列的圓周移位

1）定義一個(gè)長(zhǎng)度為N的有限長(zhǎng)序列x(n)的圓周移位定義為y(n)=x((n+m))NRN(n)（3-40）

我們可以這樣來(lái)理解上述定義：首先，將x(n)以N為周期進(jìn)行周期延拓得到周期序列;再將加以移位：（3-41）然后，再對(duì)移位的周期序列 取主值區(qū)間（n=0到N-1）上的序列值，即x((n+m))NRN(n)。從上述定義可見(jiàn)，一個(gè)有限長(zhǎng)序列的圓周移位序列仍然是一個(gè)長(zhǎng)度為N的有限長(zhǎng)序列，這一過(guò)程可用圖3-11（a）、（b）、（c）、（d）來(lái)表達(dá)。從圖上可以看出，由于是周期序列的移位，當(dāng)我們只觀察0≤n≤N-1這一主值區(qū)間時(shí)，某一采樣從該區(qū)間的一端移出時(shí)，與其相同值的采樣又從該區(qū)間的另一端循環(huán)移進(jìn)。因而，可以想象x(n)是排列在一個(gè)N等分的圓周上，序列x(n)的圓周移位，就相當(dāng)于x(n)在此圓周上旋轉(zhuǎn)，如圖3-11（e）、（f）、(g)所示，因而稱(chēng)為圓周移位。

圖3-11圓周移位過(guò)程示意圖2）時(shí)域圓周移位定理設(shè)x(n)是長(zhǎng)度為N的有限長(zhǎng)序列，y(n)為x(n)圓周移位，即則圓周移位后的DFT為（3-42）

3）頻域圓周移位定理對(duì)于頻域有限長(zhǎng)序列X(k)，也可看成是分布在一個(gè)N等分的圓周上，所以對(duì)于X(k)的圓周移位，利用周期序列的調(diào)制特性，可以證明以下性質(zhì)：若則這就是調(diào)制特性。它說(shuō)明，時(shí)域序列的調(diào)制等效于頻域的圓周移位。（3-43）3對(duì)偶性（3-44）周期序列在時(shí)域和頻域間存在下述對(duì)偶關(guān)系：4共軛對(duì)稱(chēng)性（1）設(shè)x*(n)為x(n)的共軛復(fù)序列，則DFT［x*(n)］=X*((-k))NRN(k)=X*((N-k))NRN(k)

=X*(N-k)0≤k≤N-1且X(N)=X(0)（3-45）（2）用類(lèi)似的方法可以證明

若x(n)是實(shí)序列，這時(shí)x(n)=x*(n)，有

X(k)=X*((N-k))NRN(k)=X*(N-k)(3-57)由上式可看出X(k)只有圓周共軛對(duì)稱(chēng)分量。若x(n)是純虛序列，則顯然X(k)只有圓周共軛反對(duì)稱(chēng)分量，即滿(mǎn)足

X(k)=-X*((N-k))NRＮ(k)=-X*(N-k)(3-58)(5)(6)5圓周卷積(1)圓周卷積定理設(shè)x1(n)和x2(n)都是點(diǎn)數(shù)為N的有限長(zhǎng)序列（0≤n≤N-1），且有：若則

(3-59)說(shuō)明：上述定理中，求和號(hào)內(nèi)的周期序列是圓周移位，所以定義為圓周卷積。

證這個(gè)卷積相當(dāng)于周期序列和作周期卷積后再取其主值序列。先將Y(k)周期延拓，即根據(jù)DFS的周期卷積公式由于0≤m≤N-1為主值區(qū)間， ，因此

將 式經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單換元，也可證明（2）圓周卷積計(jì)算

時(shí)域上，卷積過(guò)程可以用圖3-12來(lái)表示。圓周卷積過(guò)程中，求和變量為m,n為參變量。先將x2(m)周期化，形成x2((m))N，再反轉(zhuǎn)形成x2((-m))N，取主值序列則得到x2((-m))NRN(m)，通常稱(chēng)之為x2(m)的圓周反轉(zhuǎn)。對(duì)x2(m)的圓周反轉(zhuǎn)序列圓周右移n，形成x2((n-m))NRN(m)，當(dāng)n=0,1,2,…,N-1時(shí)，分別將x1(m)與x2((n-m))NRN(m)相乘，并在m=0到N-1區(qū)間內(nèi)求和，便得到圓周卷積y(n)。可以看出,它和周期卷積過(guò)程一樣，只不過(guò)這里要取主值序列。特別要注意，兩個(gè)長(zhǎng)度小于等于N的序列的N點(diǎn)圓周卷積長(zhǎng)度仍為N，這與一般的線性卷積不同。圓周卷積用符號(hào)○來(lái)表示。圓周內(nèi)的N表示所作的是N點(diǎn)圓周卷積。如下頁(yè)所示。

NN或N

頻域上，圓周卷積計(jì)算可直接利用圓周卷積定理，并再利用離散傅里葉反變換就可以計(jì)算出。N

利用時(shí)域與頻域的對(duì)稱(chēng)性或者利用前面周期卷積處的相應(yīng)性質(zhì)，可以證明頻域圓周卷積定理：若x1(n)，x2(n)皆為N點(diǎn)有限長(zhǎng)序列，則即時(shí)域序列相乘，乘積的DFT等于各個(gè)DFT的圓周卷積再乘以1/N。

(3-60)（3）有限長(zhǎng)序列的線性卷積與圓周卷積

時(shí)域圓周卷積在頻域上相當(dāng)于兩序列的DFT的乘積，而計(jì)算DFT可以采用它的快速算法——快速傅里葉變換（FFT）（見(jiàn)第4章），因此圓周卷積與線性卷積相比，計(jì)算速度可以大大加快。但是實(shí)際問(wèn)題大多總是要求解線性卷積。例如，信號(hào)通過(guò)線性時(shí)不變系統(tǒng)，其輸出就是輸入信號(hào)與系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)的線性卷積，如果信號(hào)以及系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)都是有限長(zhǎng)序列，那么是否能用圓周卷積運(yùn)算來(lái)代替線性卷積運(yùn)算而不失真呢？下面就來(lái)討論這個(gè)問(wèn)題。設(shè)x1(n)是N1點(diǎn)的有限長(zhǎng)序列（0≤n≤N1-1），x2(n)是N2點(diǎn)的有限長(zhǎng)序列（0≤n≤N2-1）。1）先看它們的線性卷積x1(m)的非零區(qū)間為0≤m≤N1-1x2(n-m)的非零區(qū)間為0≤n-m≤N2-1(3-61)將兩個(gè)不等式相加，得到0≤n≤N1+N2-2

在上述區(qū)間外，不是x1(m)=0就是x2(n-m)=0，因而y1(n)=0。所以y1(n)是N1+N2-1點(diǎn)有限長(zhǎng)序列，即線性卷積的長(zhǎng)度等于參與卷積的兩序列的長(zhǎng)度之和減1。例如，圖3-13中，x1(n)為N1=4的矩形序列（圖3-13（a）），x2(n)為N2=5的矩形序列（圖3-13（b）），則它們的線性卷積y1(n)為N=N1+N2-1=8點(diǎn)的有限長(zhǎng)序列（圖3-13（c））。2）我們?cè)賮?lái)看x1(n)與x2(n)的圓周卷積。先假設(shè)進(jìn)行L點(diǎn)的圓周卷積，再討論L取何值時(shí)，圓周卷積才能代表線性卷積。設(shè)y(n)=x1(n)○x2(n)是兩序列的L點(diǎn)圓周卷積，L≥max［N1,N2］，這就要將x1(n)與x2(n)都看成是L點(diǎn)的序列。在這L個(gè)序列值中，x1(n)只有前N1個(gè)是非零值，后L-N1個(gè)均為補(bǔ)充的零值。同樣，x2(n)只有前N2個(gè)是非零值，后L-N2個(gè)均為補(bǔ)充的零值。則LL（3-62）

為了分析其圓周卷積，我們先將序列x1(n)與x2(n)以L為周期進(jìn)行周期延拓它們的周期卷積序列為

前面已經(jīng)分析了y1(n)具有N1+N2-1個(gè)非零值。因此可以看到，如果周期卷積的周期L<N1+N2-1，那么y1(n)的周期延拓就必然有一部分非零序列值要交疊起來(lái)，從而出現(xiàn)混疊現(xiàn)象。只有在L≥N1+N2-1時(shí)，才沒(méi)有交疊現(xiàn)象。這時(shí),在y1(n)的周期延拓中，每一個(gè)周期L內(nèi)，前N1+N2-1個(gè)序列值正好是y1(n)的全部非零序列值，而剩下的L-(N1+N2-1)個(gè)點(diǎn)上的序列值則是補(bǔ)充的零值。圓周卷積正是周期卷積取主值序列L因此所以要使圓周卷積等于線性卷積而不產(chǎn)生混疊的必要條件為

（3-63）滿(mǎn)足此條件后就有即 x1(n)○x2(n)=x1(n)*x2(n)L

圖3-13（d）、（e）、（f）正反映了（3-64）式的圓周卷積與線性卷積的關(guān)系。在圖3-13（d）中，L=6小于N1+N2-1=8，這時(shí)產(chǎn)生混疊現(xiàn)象，其圓周卷積不等于線性卷積；而在圖3-13（e）、（f）中,L=8和L=10，這時(shí)圓周卷積結(jié)果與線性卷積相同，所得y(n)的前8點(diǎn)序列值正好代表線性卷積結(jié)果。所以只要L≥N1+N2-1，圓周卷積結(jié)果就能完全代表線性卷積。（3-64）圖3-13線性卷積與圓周卷積圖3-13線性卷積與圓周卷積例一個(gè)有限長(zhǎng)序列為（1）計(jì)算序列x(n)的10點(diǎn)離散傅里葉變換。（2）若序列y(n)的DFT為式中，X(k)是x(n)的10點(diǎn)離散傅里葉變換，求序列y(n)。（3）若10點(diǎn)序列y(n)的10點(diǎn)離散傅里葉變換是式中,X(k)是序列x(n)的10點(diǎn)DFT，W(k)是序列w(n)的10點(diǎn)DFT0≤n≤6其他求序列y(n)。

解

（1）利用DFT定義，可求得x(n)的10點(diǎn)DFT

（2）X(k)乘以一個(gè)WNkm形式的復(fù)指數(shù)相當(dāng)于是x(n)圓周移位m點(diǎn)。利用前面的時(shí)域圓周移位定理，可得：

y(n)=x((n+2))10R10(n)=2δ(n-3)+δ(n-8)

（3）利用前面的圓周卷積定理，或者先求Y(k)，再進(jìn)行離散傅里葉反變換，可得y(n)=｛3,3,1,1，1,3,3,2,2,2｝6DFT形式下的帕塞伐定理

（3-65）表DFT性質(zhì)表(序列長(zhǎng)皆為Ｎ點(diǎn))首先，考慮一個(gè)任意的絕對(duì)可和的非周期序列x(n)，它的Z變換為由于絕對(duì)可和，所以其傅里葉變換存在且連續(xù)，故Z變換收斂域包括單位圓。如果我們對(duì)X(z)在單位圓上進(jìn)行N點(diǎn)等距采樣：（3-71）3.6.2頻域抽樣理論3.6頻域抽樣理論---抽樣Z變換問(wèn)題在于，這樣采樣以后是否仍能不失真地恢復(fù)出原序列x(n)。也就是說(shuō)，頻率采樣后從X(k)的反變換中所獲得的有限長(zhǎng)序列，即xN(n)=IDFT［X(k)］，能不能代表原序列x(n)？

（1）如果x(n)是有限長(zhǎng)序列，點(diǎn)數(shù)為M，則當(dāng)頻域采樣不夠密，即當(dāng)N<M時(shí)，x(n)以N為周期進(jìn)行延拓，就會(huì)造成混疊。這時(shí)，從就不能不失真地恢復(fù)出原信號(hào)x(n)來(lái)。因此，對(duì)于M點(diǎn)的有限長(zhǎng)序列x(n)0≤n≤M-1其他n

頻域采樣不失真的條件是頻域采樣點(diǎn)數(shù)N要大于或等于時(shí)域采樣點(diǎn)數(shù)M（時(shí)域序列長(zhǎng)度），即滿(mǎn)足N≥M

（3-73）

（2）如果x(n)不是有限長(zhǎng)序列（即無(wú)限長(zhǎng)序列），則時(shí)域周期延拓后，必然造成混疊現(xiàn)象，因而一定會(huì)產(chǎn)生誤差;當(dāng)n增加時(shí)信號(hào)衰減得越快，或頻域采樣越密（即采樣點(diǎn)數(shù)N越大），則誤差越小，即xN(n)越接近x(n)。既然N個(gè)頻域采樣X(jué)(k)能不失真地代表N點(diǎn)有限長(zhǎng)序列x(n)，那么這N個(gè)采樣值X(k)也一定能夠完全地表達(dá)整個(gè)X(z)及頻率響應(yīng)X(ejω)。討論如下：由于將它代入X(z)式子中，得到由于WN-Nk=1，因此

這就是用N個(gè)頻率采樣X(jué)(k)來(lái)表示X(z)的內(nèi)插公式。它可以表示為（3-75）（3-76）第4章快速傅里葉變換4.1引言4.2直接計(jì)算DFT的問(wèn)題及改進(jìn)的途徑4.3按時(shí)間抽?。―IT）的基2-FFT算法4.4按頻率抽?。―IF）的基2-FFT算法4.5離散傅里葉反變換（IDFT）的快速計(jì)算4.6一些典型的其它FFT算法4.7線性調(diào)頻Z變換（Chirp-Z變換）算法4.8FFT的一些應(yīng)用示例

4.2直接計(jì)算DFT的問(wèn)題及改進(jìn)的途徑4.2.1直接計(jì)算DFT的運(yùn)算量問(wèn)題

設(shè)x(n)為N點(diǎn)有限長(zhǎng)序列，其DFT為k=0,1,…,N-1（4-1）反變換（IDFT）為n=0,1,…,N-1（4-2）

二者的差別只在于WN的指數(shù)符號(hào)不同，以及差一個(gè)常數(shù)乘因子1/N，所以IDFT與DFT具有相同的運(yùn)算工作量。

下面我們只討論DFT的運(yùn)算量。

一般來(lái)說(shuō)，x(n)和WNnk都是復(fù)數(shù)，X(k)也是復(fù)數(shù)，因此每計(jì)算一個(gè)X(k)值，需要N次復(fù)數(shù)乘法和N-1次復(fù)數(shù)加法。而X(k)一共有N個(gè)點(diǎn)（k從0取到N-1），所以完成整個(gè)DFT運(yùn)算總共需要N2次復(fù)數(shù)乘法及N(N-1)次復(fù)數(shù)加法。在這些運(yùn)算中乘法運(yùn)算要比加法運(yùn)算復(fù)雜，需要的運(yùn)算時(shí)間也多。因?yàn)閺?fù)數(shù)運(yùn)算實(shí)際上是由實(shí)數(shù)運(yùn)算來(lái)完成的，這時(shí)DFT運(yùn)算式可寫(xiě)成（4-3）由此可見(jiàn)，一次復(fù)數(shù)乘法需用四次實(shí)數(shù)乘法和二次實(shí)數(shù)加法；一次復(fù)數(shù)加法需二次實(shí)數(shù)加法。因而每運(yùn)算一個(gè)X(k)需4N次實(shí)數(shù)乘法和2N+2(N-1)=2(2N-1)次實(shí)數(shù)加法。所以，整個(gè)DFT運(yùn)算總共需要4N2次實(shí)數(shù)乘法和2N(2N-1)次實(shí)數(shù)加法。

例根據(jù)式（4-1），對(duì)一幅N×N點(diǎn)的二維圖像進(jìn)行DFT變換，如用每秒可做10萬(wàn)次復(fù)數(shù)乘法的計(jì)算機(jī)，當(dāng)N=1024時(shí)，問(wèn)需要多少時(shí)間（不考慮加法運(yùn)算時(shí)間）？

解直接計(jì)算DFT所需復(fù)乘次數(shù)為（N2)2≈1012次，因此用每秒可做10萬(wàn)次復(fù)數(shù)乘法的計(jì)算機(jī)，則需要近3000小時(shí)。這對(duì)實(shí)時(shí)性很強(qiáng)的信號(hào)處理來(lái)說(shuō)，要么提高計(jì)算速度，而這樣，對(duì)計(jì)算速度的要求太高了。另外，只能通過(guò)改進(jìn)對(duì)DFT的計(jì)算方法，以大大減少運(yùn)算次數(shù)。4.2.2改善途徑能否減少運(yùn)算量，從而縮短計(jì)算時(shí)間呢？仔細(xì)觀察DFT的運(yùn)算就可看出，利用系數(shù)WＮnk的以下固有特性(在第三章介紹過(guò))，就可減少運(yùn)算量：（1）WNnk的對(duì)稱(chēng)性（2）WNnk的周期性（3）WNnk的可約性另外，由上述固有特性還可得：

這樣，利用這些特性，使DFT運(yùn)算中有些項(xiàng)可以合并，并能使DFT分解為更少點(diǎn)數(shù)的DFT運(yùn)算。而前面已經(jīng)說(shuō)到，DFT的運(yùn)算量是與N2成正比的，所以N越小越有利，因而小點(diǎn)數(shù)序列的DFT比大點(diǎn)數(shù)序列的DFT的運(yùn)算量要小。

快速傅里葉變換算法正是基于這樣的基本思想而發(fā)展起來(lái)的。它的算法形式有很多種，但基本上可以分成兩大類(lèi)，即按時(shí)間抽取(Ｄecimation

in

Time，縮寫(xiě)為DIT）法和按頻率抽?。―ecimation

inＦrequency，縮寫(xiě)為DIF）法。

本章中，我們只介紹一些典型的FFT方法，即：1）按時(shí)間抽?。―IT）的基2-FFT算法、2）按頻率抽?。―IF）的基2-FFT算法、3）

N為復(fù)合數(shù)的FFT算法---混合基算法、4）基-4FFT算法、5）分裂基FFT算法、6）線性調(diào)頻Z變換（Chirp-Z變換）算法，本其中，上述方法1）、2）等是本章掌握重點(diǎn)。4.3按時(shí)間抽取（DIT）的基-2FFT算法4.3.1算法原理設(shè)序列x(n)長(zhǎng)度為N，且滿(mǎn)足N=2L，L為正整數(shù)。如果該條件不滿(mǎn)足，可在原序列后面人為補(bǔ)上若干個(gè)0，使其滿(mǎn)足上述條件。按n的奇偶把x(n)分解為兩個(gè)N/2點(diǎn)的子序列：（4-4）則可將DFT化為由于 ，故上式可表示成（4-5）式中，X1(k)與X2(k)分別是x1(r)及x2(r)的N/2點(diǎn)DFT：（4-6）（4-7）由此，我們可以看到，一個(gè)N點(diǎn)DFT已分解成兩個(gè)N/2點(diǎn)的DFT。這兩個(gè)N/2點(diǎn)的DFT再按照式（4-5）組合成一個(gè)N點(diǎn)DFT。這里應(yīng)該看到X1(k)，X2(k)只有N/2個(gè)點(diǎn)，即k=0,1,…,N/2-1。而X(k)卻有N個(gè)點(diǎn)，即k=0,1,…,N-1，故用式（4-5）計(jì)算得到的只是X(k)的前一半的結(jié)果