插值方法(78學(xué)時(shí))

重慶大學(xué)數(shù)理學(xué)院數(shù)值分析第四講主講教師：譚宏1．教學(xué)內(nèi)容：曲線擬合的概念、直線擬合、多項(xiàng)式擬合、正那么方程組。2．重點(diǎn)難點(diǎn)：擬合曲線的類(lèi)型、正那么方程組的建立、擬合多項(xiàng)式的求解。3．教學(xué)目標(biāo)：了解曲線擬合的概念、對(duì)給出的一組數(shù)據(jù)點(diǎn)，能判斷其擬合曲線的類(lèi)型、建立相應(yīng)的正那么方程組、求得擬合多項(xiàng)式1、9曲線擬合的最小二乘法在實(shí)際應(yīng)用中，常常需要給一組觀測(cè)數(shù)據(jù)設(shè)計(jì)一條連續(xù)曲線去描繪曲線y=f(x)的近似圖象。由于觀測(cè)數(shù)據(jù)往往具有不準(zhǔn)確性、數(shù)據(jù)量大、能夠根本反映因變量隨自變量變化的形態(tài)等特點(diǎn)，實(shí)際應(yīng)用中并不刻意要求曲線經(jīng)過(guò)所有的觀測(cè)點(diǎn)，而是在符合數(shù)據(jù)分布特征的某類(lèi)曲線中，依某種標(biāo)準(zhǔn)選擇一條“最好〞的曲線作為觀測(cè)數(shù)據(jù)的連續(xù)模型。即曲線擬合問(wèn)題。如果不是要求近似函數(shù)過(guò)所有的數(shù)據(jù)點(diǎn),而是要求它反映原函數(shù)整體的變化趨勢(shì),可得到更簡(jiǎn)單更適用的近似函數(shù),這樣的方法稱為數(shù)據(jù)擬合.數(shù)據(jù)擬合最常用的近似標(biāo)準(zhǔn)是最小二乘法那么：1、直線擬合

假設(shè)給定的數(shù)據(jù)點(diǎn)的分布大致成一直線，雖然我們不能要求所做的擬合直線

嚴(yán)格地通過(guò)所有的數(shù)據(jù)點(diǎn)，但總希望它盡可能地從所給數(shù)據(jù)點(diǎn)附近通過(guò)，即要求近似成立由于數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)目通常遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于待定系數(shù)的個(gè)數(shù)，因此，擬合直線的構(gòu)造實(shí)際上是求解超定方程〔矛盾〕方程組的代數(shù)問(wèn)題。設(shè)

表示按擬合直線y=a+bx求得的近似值，它一般不同于觀測(cè)值

兩者之差稱為殘差顯然，殘差的大小是衡量擬合好壞的重要標(biāo)志。具體地說(shuō)，構(gòu)造擬合曲線可以采用以下三種準(zhǔn)那么之一：〔1〕使殘差的最大絕對(duì)值為最小：〔2〕使殘差的絕對(duì)值之和為最?。骸?〕使殘差的平方和為最小：〔1〕、〔2〕兩種由于含有絕值對(duì)運(yùn)算不便于實(shí)際應(yīng)用?；跍?zhǔn)那么〔3〕來(lái)選取擬合曲線的方法稱為曲線擬合的最小二乘法直線擬合問(wèn)題可用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述如下：?jiǎn)栴}10

對(duì)于給定的數(shù)據(jù)點(diǎn)

求作一次式y(tǒng)=a+bx，使總誤差為最小。要使Q到達(dá)極值，參數(shù)a，b應(yīng)滿足即由此可得：解線性方程組〔42〕既可得到a，b例：煉鋼是個(gè)氧化脫碳的過(guò)程，鋼液含碳量的多少直接影響冶煉時(shí)間的長(zhǎng)短，下表是某平爐的生產(chǎn)記錄，表中i是次數(shù)，為全部爐料熔化完畢時(shí)的鋼液的含碳量，為熔畢至出鋼所許的冶煉時(shí)間。解：設(shè)所求的擬合直線為y=a+bx由〔42〕式可得關(guān)于a，b的線性方程組解此線性方程組得：a=-60.9392，b=1.5138故擬合直線為：2、多項(xiàng)式擬合

多項(xiàng)式擬合,是最流行的數(shù)據(jù)處理方法之一.它常用于把觀測(cè)數(shù)據(jù)(離散的數(shù)據(jù))歸納總結(jié)為經(jīng)驗(yàn)公式(連續(xù)的函數(shù)),以利于進(jìn)一步的推演分析或應(yīng)用.問(wèn)題11對(duì)于給定的數(shù)據(jù)點(diǎn)求作m〔m<<N〕次多項(xiàng)式使總誤差為最小。

由于Q可以看成是關(guān)于的多元函數(shù)，故上述擬合多項(xiàng)式的構(gòu)造問(wèn)題可歸結(jié)為多元函數(shù)的極值問(wèn)題。令得：既這個(gè)關(guān)于系數(shù)的線性方程組稱為正那么方程組證：用反證法，假設(shè)不然，那么對(duì)應(yīng)的齊次方程組定理7正那么方程組〔43〕有唯一解有非零解而從而有所以而因此有：即擬合多項(xiàng)式當(dāng)N>m時(shí)，由代數(shù)學(xué)根本定理知必有從而故與正那么方程組解不唯一矛盾，定理得證。有N個(gè)零點(diǎn)定理8設(shè)為正那么方程〔43〕的解，那么必為問(wèn)題11的解。證：任給一組值有利用正那么方程組〔43〕可以知道，該項(xiàng)應(yīng)該為零因而有所以，只有使得殘差的平方和最小故必為問(wèn)題11的解。多項(xiàng)式擬合的一般方法可歸納為：(1)根據(jù)具體問(wèn)題，確定擬合多項(xiàng)式的次數(shù)n；〔描點(diǎn)〕(2)計(jì)算正那么方程組的系數(shù)和右端項(xiàng)(3)寫(xiě)出正那么方程組(4)解正那么方程組,求出a0,a1,…,an；(5)寫(xiě)出擬合多項(xiàng)式Pn(x)例：試求一個(gè)多項(xiàng)式擬合以下數(shù)據(jù)。解：如下圖，它們大體分布在一條直線上，故考慮用線性函數(shù)擬合這些數(shù)據(jù)。設(shè)所求的擬合直線為y=a+bx由〔42〕式可得關(guān)于a，b的線性方程組解此方程組得：a=1.11，b=1.95故所求擬合直線為：例：試求一個(gè)多項(xiàng)式擬合以下數(shù)據(jù)。如下圖，它們大體分布在一條拋物線附近，故考慮用二次多項(xiàng)式函數(shù)擬合這些數(shù)據(jù)。解：由〔43〕式設(shè)所求的擬合多項(xiàng)式為得其正那么方程組為：解此方程組得：所以，所求擬合多項(xiàng)式為：3、觀察數(shù)據(jù)的修勻提高擬合多項(xiàng)式的次數(shù)不一定能改善逼近的效果，實(shí)際應(yīng)用中常用不同的低次多項(xiàng)式去擬合不同的分段，這種方法稱為分段擬合對(duì)于給出的一組觀察數(shù)據(jù)，不可防止地會(huì)產(chǎn)生隨機(jī)干擾和誤差，分段擬合的曲線在兩段曲線交接的地方，也可能產(chǎn)生不夠光滑的現(xiàn)象。因此，我們希望，根據(jù)數(shù)據(jù)分布的總趨勢(shì)去剔除觀察數(shù)據(jù)中的偶然誤差，這就是所謂數(shù)據(jù)修勻〔或稱數(shù)據(jù)平滑〕考察相鄰的五個(gè)節(jié)點(diǎn)假設(shè)節(jié)點(diǎn)是等距的，節(jié)點(diǎn)間距為h，記有-2-1012數(shù)據(jù)如下表設(shè)用二項(xiàng)式作擬合那么其正那么方程組為解出a，b，c，即可得出在節(jié)點(diǎn)處的五點(diǎn)二次修勻公式設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上有定義，且在一組互異點(diǎn)上的函數(shù)值，尋求一個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)p(x)，使?jié)M足

〔1.1〕并用p(x)近似代替f(x)，上述問(wèn)題稱為插值問(wèn)題。插值問(wèn)題小結(jié)拉格朗日插值基函數(shù)拉格朗日插值公式：拉格朗日插值多項(xiàng)式存在并且唯一，并有估計(jì)式n階差商可以遞推定義為：n階差商的性質(zhì)：n階差商關(guān)于節(jié)點(diǎn)是對(duì)稱的差商與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系差商表的建立與使用f(x0,x1,x2,x3)f(x1,x2,x3)f(x2,x3)f(x3)x3f(x0,x1,x2)f(x1,x2)f(x2)x2f(x0,x1)f(x1)x1f(x0)x0三階差商二階差商一階差商f(x)x牛頓插值公式有限差分公式差分的定義差分表正那么方程組問(wèn)題11的解唯一(1)根據(jù)具體問(wèn)題，確定擬合多項(xiàng)式的次數(shù)n；〔描點(diǎn)〕(2)計(jì)算正那么方程組的系數(shù)和右端項(xiàng)(3)寫(xiě)出正規(guī)方程組(4)解正規(guī)方程組,