立體幾何-2022屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)模擬提升練

（8）立體幾何一2022屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)模擬提升練

1.（2021?重慶?模擬預(yù)測(cè)）已知僅是兩個(gè)不同的平面，/，加，〃是三條不同的直線，下列

條件中，可以得到/_La的是（）

A./J-八/_L〃，加ua,〃uaB.ILnijnlla

Q.akp.llipD.Ulm,mLa

2.（2021?廣東?模擬預(yù)測(cè)）中國(guó)古代數(shù)學(xué)的瑰寶《九章算術(shù)》中記載了一種稱為“曲池”

的幾何體，該幾何體為上、下底面均為扇環(huán)形的柱體（扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分）.

現(xiàn)有一個(gè)如圖所示的曲池，其高為3,A4,_L底面，底面扇環(huán)所對(duì)的圓心角為弧AD長(zhǎng)

度為弧BC長(zhǎng)度的3倍，且CD=2,則該曲池的體積為（）

A.—B.6TCC.----D.5兀

22

3.（2021?江西?模擬預(yù)測(cè)）己知直三棱柱ABC-A4G的底面是正三角形，AB=24,D

是側(cè)面BCG用的中心，球。與該三棱柱的所有面均相切，則直線"）被球。截得的弦長(zhǎng)為

（）

AVioRVioc.3MD.M5

IF105

4.（2021?陜西省漢中市?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正四棱柱—，48=忘/風(fēng)，

E,F分別為AB,的中點(diǎn)，異面直線A片與GF所成角的余弦值為相，則（）

ACi

近

且

一

加=

A.直線AE與直線GF異面，3

且

加72

B.直線AE與直線GF共面，=3一

后

一

且

加=

C.直線AE與直線GF異面，3

有

一

D.直線與直線GF共面,且M=3

5.（2021?廣西?模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐A-BCD中，AB=AD=BC=3,CD=5,BD=4,

AC=30,則三棱錐外接球的表面積為（）

A63兀D64兀126兀門12871

A.------D.-----C?-------D.-------

10555

6.（2021?隨州市?模擬預(yù)測(cè)）如圖，四邊形A8CD是正方形，四邊形5。皆是矩形，平面

BDEF上平面ABCD,AB=2,ZAFC=6O°,則多面體的體積為（）

A.3B.還C.逑D.3

3333

7.（2021?江西南昌?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在棱長(zhǎng)為1正方體ABS-ABCQ中，M為棱/W

的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在側(cè)面BCC|B1及其邊界上運(yùn)動(dòng)，總有，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的長(zhǎng)度

為（）

A.立B.更C.—D.3

22162

8.（2021?安徽?模擬預(yù)測(cè)）如圖，己知P是矩形ABC。所在平面外一點(diǎn)，B4_L平面43a）,

E、F分別是AB,PC的中點(diǎn).若NPD4=45。，則瓦'與平面ABCD所成角的大小是（）

D.300

9.（2021?湖北?模擬預(yù)測(cè)）（多選）如圖，已知矩形ABC。，AB=y/3,AD=\,AF_L平

面ABC。，且AF=3,點(diǎn)E為線段OC（除端點(diǎn)外）上的一點(diǎn).沿直線4E將△7%￡向上翻折

成△￡>'/1￡,例為8。的中點(diǎn)，則下列說法正確的有（）

A.三棱錐A-BCF的體積為|網(wǎng)

B.當(dāng)點(diǎn)E固定在線段。C某位置時(shí)，則。在某圓上運(yùn)動(dòng)

C.當(dāng)點(diǎn)E在線段。C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，則?！谀城蛎嫔线\(yùn)動(dòng)

D.當(dāng)點(diǎn)E在線段OC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，三棱錐M-3CF的體積的最小值為更

12

10.（2021?河北衡水?模擬預(yù)測(cè)）（多選）正方體488-ABC。的棱長(zhǎng)為2,E,￡G分

別為8C,CC「網(wǎng)的中點(diǎn).則（）

A.直線DQ與直線版垂直

B.直線AG與平面心平行

C.平面田截正方體所得的截面面積為《

D.點(diǎn)4和點(diǎn)D到平面AEF的距離相等

11.（2021?張家口?模擬預(yù)測(cè)）圓柱上、下底面的圓周都在一個(gè)體積為隨的球面上，圓

3

柱底面直徑為8,則該圓柱的表面積為.

12.（2021?遼寧大連?模擬預(yù)測(cè)）在四面體中，48=夜，DA=DB=CA=CB=\,

則四面體A8C。的外接球的體積為.

13.（2021?徐州市?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABC。-ABCR中，E為BC

的中點(diǎn)，P為直線RE上一動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線CG的距離的最小值為.

14.(2021?山東?模擬預(yù)測(cè))已知正三棱錐A-BCD的外接球是球O,BC=1,AB=23,點(diǎn)

3

E為閑中點(diǎn)，過點(diǎn)E作球。的截面，則所得截面圓面積的取值范圍是.

15.(2021?隨州市?模擬預(yù)測(cè))如圖，在直四棱柱A88-44G。中，底面ABCD是邊長(zhǎng)

為2的菱形，且裕=3,瓦尸分別為CG.BR的中點(diǎn).

(1)證明：￡^_1_平面8片"。；

(2)若ND48=60。，求二面角A的余弦值.

答案以及解析

1.答案：D

解析：兩條平行線，其中一條與平面垂直，則另一條也與這個(gè)平面垂直，故選D.其余三個(gè)

選項(xiàng)，直線/與平面a平行相交在面內(nèi)均有可能.

2.答案：B

解析：不妨設(shè)弧4。所在圓的半徑為R,弧8c所在圓的半徑為〃由弧AO長(zhǎng)度為弧8c長(zhǎng)

度的3倍可知R=3r,CD=R-r=2r=2,即「=1.故該曲池的體積丫=%(六一/卜3=6兀.

3.答案：D

解析：因?yàn)榍?。與直三棱柱ABC-AAG的所有面均相切，且直三棱柱ABC-ABCi的底

面是正三角形，所以球心。為該三棱柱上、下底面三角形重心連線的中點(diǎn)，如圖所示，設(shè)

底面三角形A8C的重心為。，連接00',則OO'，底面48C,連接AE,易知點(diǎn)O'在AE上,

連接8、DE,因?yàn)椤Ｊ莻?cè)面8EGC的中心，所以四邊形為正方形，設(shè)球。的半

徑為r,則由AB=26，可得r=2&x等x；=l,易得4。=3](2^x^§)2=加，

連接。4,可得0A=/+(2舟與行=芯,...cos4。。=空三"二竺1=通，

V232DOAD10

故所求弦長(zhǎng)為2r-cosZAD0=跡.

5

4.答案：B

解析：如圖所示:

連接EF,AC，CQ,DF,由正方體的特征得EFPAG，

所以直線AE與直線C/共面.

由正四棱柱的特征得A4HC、D,

所以異面直線Ag與J尸所成角為NOC/.

設(shè)AA=&，則鉆=拒例=2,貝IJOF=百，C、F=布,C、D=#,

3+6-5點(diǎn)

由余弦定理,得機(jī)=cosZDC,F=

2x>/3x>/63

故選：B.

5.答案：C

解析：由已知，邊長(zhǎng)滿足勾股定理，則ABL3C,BCLBD,BC_1_面ABD設(shè)三棱錐外接

球的球心為0,AABD外心為G,則OG，面ABD,0G=■8C,在A.ABD中，cosNBAD=-,

29

sin/B4￡)=延，設(shè)的外接圓半徑為r,則r=―土■尸=二，

904右2K

9

0爐=(4)+||J=黑，故三棱錐外接球表面積為4兀*辭=祟兀.故選C.

6.答案：D

解析：連接B￡>,AC,

?.?四邊形BDE尸為矩形，.?.班1_L瓦)，

?.?平面/JL平面ABCD,平面BOEFD平面ABCD=3￡),8尸u平面8￡>￡尸,

.-.BFl^ABCD,

又A8u平面ABC。，:.BFA.AB,

設(shè)3/=x,則AF=FC=〃+X2,

又ZA尸C=60。，.1△AFC為等邊三角形，,AF=AC=44+4=2&,

即"+犬2=2屈,解得x=2,

?.?四邊形ABCD為正方形，；.AC_LBQ,

?.?平面8DEF_L平面ABC。，平面BDEFCl平面ABCD=3D,ACu平面ABCQ,

ACJ.平面BDEF,

???多面體ABCDEF體積V=VA_BDEF+VJBDEF=|SaBDEF?AC=；x2應(yīng)x2x2忘=?，

故選D.

7.答案：A

解析：如圖：分別取BC、的中點(diǎn)E、F，連接AE,AF,EF，A,M,DM，AtF,

因?yàn)镸為Afi的中點(diǎn)，￡為3c的中點(diǎn)，ABCD為正方形，所以WAE，

又〃￡>_L平面ABCD，所以RO_LAE,

而。時(shí)口〃0=。，所以AEJ_平面，所以

同理可得RM_L4F，

又AEnAF=A，所以平面AEF，

因?yàn)锳Pu平面A￡F，所以APJLRM，

因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)p在側(cè)面BCQBi及其邊界上運(yùn)動(dòng)，所以動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡是線段EF>

而后尸=在，所以動(dòng)點(diǎn)/>的軌跡的長(zhǎng)度為正，

22

故選A.

8.答案：C

解析：取/>￡>中點(diǎn)G,連接AG、FG,

'：EF分別為AB.PC的中點(diǎn)，

1rJ

/.AE=-AB,GF"DCRGF=-DC,

22

又在矩形中AB//8且4?=8,

/.AE//GF且鉆=GF,

四邊形AEFG是平行四邊形，

/.AG//EF,

：.AG與平面"CD所成的角等于￡F與平面458所成的角，

過G作G//J.AD,垂足為，，則G〃//P4

;PA±平面ABCD,；.GHJ_平面ABCD,

NGAH為AG與平面A8C￡）所成的角，即為所求角，

VZPZM=45°,G為陽的中點(diǎn)，

ZGAH=45°,

即EF與平面ABCD所成的角為45°.

故選：C.

D

H

W\/

/?\/

/f?\//

BL----------------c

9.答案：BCD

解析：A：VBCF=^FABC=~x~xX3=—>/3,故A錯(cuò)誤；

r—ADV32,22”

B：當(dāng)固定點(diǎn)E時(shí)，由ZM_LZ)E,可知點(diǎn)。在以為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，故B正確；

C：當(dāng)點(diǎn)在線段QC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，4y=1保持不變，即。的軌跡為以4為球心，半徑為1

的球面的一部分，故C正確；

,,

D：.5A8CF=^xBCxBF=^xlx>/9+3=>/3,.?.求三棱錐〃一3c尸的體積的最小值即求M

到面BCF距離4的最小值，

即求。’到面BCF距離d的最小值，且4=gd.過A作8尸的垂線，垂足為H,可得AH_L

平面8CF,因?yàn)镈'在為以A為球心，半徑為1的球面上運(yùn)動(dòng)，則D'到面8CF距離的最

3111

小值為“=A"-I=5-I=5，4=5”=].所以三棱錐M-BCF的體積的最小值

K,in=S&BCFX4=蔣，故D正確?

10.答案：BCD

解析：因?yàn)椤╮>//c;c，而GC與AT顯然不垂直,

因此。A與跖不垂直，A錯(cuò);

取B|G中點(diǎn)H,連接AH,GH，8G，

由G,E,尸分別是BC,CC,中點(diǎn),得HG//BC,IIEF,

又HEHBB、HAA,，HE=BBi=AA,，是平行四邊形，所以A”〃AE，AEcEF=E，

AE,￡Fu平面，所以A4//平面2A￡F，HG//平面AEF，

而A”n“G="，4",“6<=平面446，所以平面A”G〃平面4EF，

又AGu平面4，G，所以A,G//平面花戶.8正確；

由正方體性質(zhì)，連接月入AR，則截面.即為四邊形AEFQ，它是等腰梯形，

AD、=20EF=?，RF=AE=小，等腰梯形的高為力=J（拓/空子］=挈，

截面面積為S=lx（應(yīng)+20）x土巨=2,C正確，

222

設(shè)AOcA￡）1=O，易知o是A。的中點(diǎn)，所以A，。兩點(diǎn)到平面AEFA的距離相等.。正

確.

故選BCD.

11.答案：80兀

解析：由題意球的體積為：—,所以球的半徑為凡"/?3=竺如，解得R=5，

333

所以圓柱底面直徑為8,圓柱上、下底面的圓周都在一個(gè)體積為竺”的球面上，

3

所以圓柱的高為：V102-82=6.

可得圓柱的表面積：8KX6+2X427T=80TC.

故答案為：80兀.

12.答案：2兀

解析：設(shè)4?的中點(diǎn)為0,連接ODOC,如圖,

:在四面體AB8中，AB=-j2,DA=DB=CA=CB=\,AD2+BD2AB2,

AC2+BC2=AB2,

即△ABC與均為直角三角形，

^OA=OB=OC=OD,

即。為外接球球心，OA=R=—；

2

四面體A8C。的外接球的表面積為4兀4=2兀.

故答案為：27r.

13.答案：正

5

解析：點(diǎn)p到直線CG的距離的最小值就是異面直線與CG的距離?以點(diǎn)。為原點(diǎn)，分

ULIUlllHlUUL1U

別以D4,DC,的方向?yàn)閤軸、)，軸、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則4(0,0,2),

UUUuuuUULIUUL1

￡(1,2,0),C(0,2,0),￡(0,2,2),AD,E=(l,2,-2),Cq=(0,0,2).^n±D,E,nLCCt,

UUUuuu

n=(x,y,z),JJPJn-￡)]E=x+2y-2z=0,n-CC)=2z=0,.\z=0,取y=T,則x=2,

UUUL

.^.〃=(2,-l,0).又Q愣=(l,0,0),.^.異面直線RE與CG的距離"J"C=竺■.

解析：如圖,

設(shè)△BCD的中心為?,球0的半徑為R,連接q0,8,0,,則

0lD=lxsin^x|=^,A0I=QAD。-0河=1,在放△OOQ中，/=（金）+（i—氏尸，

解得R=2,所以oq=AO「R=L,O1E=lxsin2xL無，所以O(shè)R=JOE+oo：=立,

333366

過點(diǎn)E作球。的截面，當(dāng)截面與QE垂直時(shí)，截面的面積最小，此時(shí)截面的半徑為

>JR2-OE2=1,則截面面積為n